从命题逻辑到谓词逻辑
命题逻辑与谓词逻辑搜索算法分析
命题逻辑与谓词逻辑搜索算法分析逻辑是研究规则推理的一门学科，它在人类文明的发展中发挥了重要的作用。
很多现代计算机科学领域中的问题都需要逻辑思维的支持，其中命题逻辑和谓词逻辑是最基础和常用的两种逻辑系统。
在计算机领域，我们经常使用这两种逻辑系统来进行推理和搜索，本文将对这两种逻辑系统进行详细的分析和比较。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑学中最基本的逻辑系统，它研究的问题是命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是指一个陈述性句子，它要么是真，要么是假。
命题可以用逻辑符号表示，比如“p”表示一个命题：“今天是星期二”，“q”表示一个命题：“明天会下雨”。
命题逻辑通过建立命题之间的逻辑关系来推理出新的命题，它提供了一种形式化的方法来描述有关真理值推理的过程。
1.1 命题逻辑的基本概念：命题：可以肯定或否定的陈述性句子，如“天气晴朗”。
逻辑连接词：连接两个或多个命题的符号，如“与”、“或”、“非”。
真值表：列出所有可能情况下的命题真假相应的映射关系表。
1.2 命题逻辑的搜索算法命题逻辑的搜索算法，是指通过枚举所有情况并验证所有命题真假值的方法，然后根据真假值的逻辑关系进行推理。
命题逻辑的搜索算法主要有穷举搜索、模拟退火搜索、遗传算法搜索、启发式搜索等多种算法。
二、谓词逻辑谓词逻辑是在命题逻辑的基础上发展出来的，它的研究对象是命题之间和命题内部所涉及到的对象和关系。
谓词逻辑中，谓词是指一个把个体映射到真值的函数，它用一个或多个变量来表示。
如“女性”是一个谓词，用“x”表示变量，“女性（x）”则表示“x是女性”。
谓词逻辑通过建立谓词之间的关系，来描述复杂的命题，例如“所有女性都爱漂亮的鞋子”。
2.1 谓词逻辑的基本概念量词：量词是谓词逻辑中的一个重要概念，它包括“所有”和“存在”两个类型，用来对量化命题的主语进行限定。
变量：谓词逻辑中加入变量的概念，以描述不同对象之间的关系。
2.2 谓词逻辑的搜索算法谓词逻辑的搜索算法主要有模型检测、符号化模型检测、SMT求解等多种算法，这些算法主要用于描述现实世界中复杂的关系，例如人工智能领域中的推理、知识表示和规划等。
命题逻辑和谓词逻辑
命题逻辑和谓词逻辑命题逻辑和谓词逻辑是逻辑学中的两个重要分支，它们在表达和推理形式上有所不同。
下面分别对命题逻辑和谓词逻辑进行介绍。
命题逻辑命题逻辑是逻辑学的基础，它以命题为基本单位，通过逻辑连接词和量词等来表达命题之间的关系。
命题逻辑主要关注命题的真值和推理的有效性，即如何从已知的命题推导出未知的命题。
命题逻辑的基本构成包括命题、逻辑连接词和量词。
命题是一个陈述句，它表达了一个事实或情况。
逻辑连接词包括否定、合取、析取、蕴含等，它们可以将多个命题组合成一个复合命题。
量词包括全称量词和存在量词，它们可以用来对命题进行概括和限制。
在命题逻辑中，一个复合命题的真值取决于其子命题的真值。
例如，对于一个析取命题“P或Q”，如果P为真而Q为假，则该析取命题为真；否则，该析取命题为假。
对于一个蕴含命题“如果P，则Q”，如果P为真而Q为假，则该蕴含命题为假；否则，该蕴含命题为真。
在推理方面，命题逻辑主要关注推理的有效性。
例如，假设有以下两个命题：P：所有的人都会死亡。
Q：张三是人。
根据全称量词的概括作用，我们可以得出一个推论：所有的人都会死亡，张三也是人，因此张三也会死亡。
这个推论是有效的，因为它是根据全称量词的概括作用得出的。
谓词逻辑谓词逻辑是一种更复杂的逻辑系统，它以谓词为基本单位，通过个体、谓词、量词等来表达命题之间的关系。
谓词逻辑主要关注个体和谓词之间的关系，以及它们之间的推理规则。
谓词逻辑的基本构成包括个体、谓词、量词和逻辑连接词。
个体是一个对象或实体，它可以是一个具体的物体、概念或过程等。
谓词是对个体的描述或判断，它可以是动词、形容词或关系动词等。
量词包括全称量词、存在量词和任意量词等，它们可以用来对个体进行概括和限制。
逻辑连接词包括否定、合取、析取、蕴含等，它们可以将多个命题组合成一个复合命题。
在谓词逻辑中，一个复合命题的真值取决于其子命题的真值和个体之间的关系。
例如，对于一个关系命题“张三喜欢李四”，如果张三和李四都是具体的个体，而且他们之间存在喜欢的关系，则该关系命题为真；否则，该关系命题为假。
数学逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑的基本概念
数学逻辑是数学中的一门重要学科，它研究的是关于命题和谓词的逻辑关系。
命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念，它们在逻辑推理和论证中起着重要的作用。
首先，让我们来了解一下命题逻辑。
命题逻辑是逻辑学中研究命题和命题之间逻辑关系的一门学科。
命题是陈述句，可以是真或假的陈述句。
命题逻辑关注的是命题之间的“与”、“或”、“非”等逻辑关系。
在命题逻辑中，我们可以使用逻辑运算符来表示不同的逻辑关系。
例如，“与”运算符用符号“∧”表示，表示命题p和命题q都为真时整个命题为真。
同样地，“或”运算符用符号“∨”表示，表示命题p和命题q中至少有一个为真时整个命题为真。
此外，在命题逻辑中，还有一些常用的推理规则，如简化规则、析取规则、假言推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的命题推导出新的命题，并进行正确的推理和论证。
接下来，我们来了解一下谓词逻辑。
谓词逻辑是逻辑学中研究谓词和谓词之间逻辑关系的一门学科。
谓词是带有变量的物质，它表示一个属性或特征。
谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系以及变量的取值范围。
在谓词逻辑中，我们可以使用量词来表示变量的范围。
例如，“∀”表示全称量词，表示一个命题对于所有的变量都成立。
“∃”表示存在量词，表示存在一个变量使得命题成立。
与命题逻辑类似，谓词逻辑也有一些常用的推理规则，如全称推理规则、存在推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的谓词条件推导出新的谓词条件，并进行正确的推理和论证。
同时，命题逻辑和谓词逻辑在数学中具有广泛的应用。
它们可以帮助我们进行逻辑推理，判断论证的有效性。
在数学证明中，命题逻辑和谓词逻辑也是必不可少的工具。
利用命题逻辑和谓词逻辑，我们可以对命题进行分析和论证，从而得出正确的结论。
总而言之，命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念。
命题逻辑关注的是命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系和变量的取值范围。
这两个概念在逻辑推理和论证中起着重要的作用，并在数学中具有广泛的应用。
逻辑学的基本原理与概念
逻辑学的基本原理与概念逻辑学是一门研究思维和推理规律的学科，它关注的是我们如何正确地思考和推理。
逻辑学的基本原理和概念为我们提供了一种清晰、准确和合理的思维方式，帮助我们更好地理解和分析问题。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑学的基础，它研究的是命题之间的关系。
命题是陈述性语句，可以被判断为真或假。
命题逻辑的基本原理包括“与”、“或”、“非”和“蕴涵”等。
其中，“与”表示两个命题同时为真时整个命题为真，“或”表示两个命题中至少有一个为真时整个命题为真，“非”表示命题的否定，“蕴涵”表示如果前提为真，则结论也为真。
命题逻辑的概念还包括真值表、逻辑联结词和命题公式等。
二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它研究的是命题中的对象和属性之间的关系。
谓词逻辑引入了量词和谓词，量词包括全称量词和存在量词，用来表示命题在某个范围内是否成立。
谓词表示对象的性质或关系，它可以是单个对象的属性，也可以是多个对象之间的关系。
谓词逻辑的基本原理包括量词的分配律、量词的对偶律和量词的去范围律等。
三、推理推理是逻辑学的核心内容，它研究的是从已知命题出发得出新的结论的方法和规则。
推理可以分为演绎推理和归纳推理两种。
演绎推理是从一般到个别的推理过程，它基于命题逻辑和谓词逻辑的规则，通过逻辑推理得出结论的正确性。
归纳推理是从个别到一般的推理过程，它通过观察和实验得出一般性的结论。
推理的基本原理包括假言推理、拒取式推理、假设演绎和归谬法等。
四、谬误谬误是逻辑学研究的一个重要内容，它指的是推理过程中的错误和伪命题。
谬误可以分为形式谬误和实质谬误两种。
形式谬误是指推理过程中违反了逻辑规则，导致结论不正确。
实质谬误是指推理过程中出现了事实错误或逻辑错误，导致结论不可靠。
谬误的常见类型包括偷换概念、诉诸个人攻击、虚假二选一和滥用类比等。
了解和识别谬误有助于我们避免在思考和推理过程中犯错。
总结起来，逻辑学的基本原理和概念为我们提供了一种清晰、准确和合理的思维方式。
人工智能导论：模型与算法2-逻辑与推理
r的真假依赖于x的取值，无法判断r的真假，因此r 不是命题。
命题逻辑
可通过命题联结词(connectives）对已有命题进行组合，得到新命题。这些通过命
题联结词得到的命题被称为复合命题(compound proposition）。假设存在命题和，
下面介绍五种主要的命题联结词：
能够制造工具。 (小王)表示小王能够制造工具（该命题或者为真、或
者为假）。
谓词逻辑：量词
全称量词与存在量词之间的组合
∀¬() ≡ ¬∃()
¬∀() ≡ ∃¬()
∀ ≡ ¬∃¬
∃() ≡ ¬∀¬()
谓词逻辑：函数与谓词的区别
和证明等问题的研究。
亚里士多德（Aristotle公元
前384-前322，古代先哲、
古希腊人）
逻辑与推理是人工智能的核心问题
墨翟（尊称为墨子）被认为是东方逻辑
学的奠基人。墨子提出了名、辞、说三
种基本思维形式和由故、理、类三物构
成的逻辑推理。
墨子也提出了一些几何思想，如“平，同
高也（两平行线或两平行平面间距离处
中存在一个或若干个个体，∃()表示定义域中存在一个个体或若干
个体具有性质
全称量词和存在量词统称为量词。
谓词逻辑：量词
全称量词
谓词()：能够制造工具。∀()表示定义域中的所有个体能够制造
工具。 (小王)表示小王能够制造工具。
存在量词
谓词()：能够制造工具。 ∃()表示定义域中的存在某个/某些个体
前提：1) 每驾飞机或者停在地面或者飞在天空；2) 并非每驾飞机都飞在天空
结论：有些飞机停在地面
形式化：plane : 是飞机；in_ground : 停在地面；on_fly : 飞在天空
形式逻辑的各种推理方法的发展历程
形式逻辑的各种推理方法的发展历程形式逻辑作为一种推理方法，旨在通过严密的逻辑结构和规则，从已知的前提中得出合乎逻辑的结论。
在形式逻辑的发展历程中，出现了多种推理方法，它们在不同的时期和文化背景下逐渐形成并发展。
首先，我们可以追溯到古希腊哲学家亚里士多德。
亚里士多德是形式逻辑的奠基人，他提出了命题逻辑的基本原理和推理规则。
命题逻辑是一种基于命题的推理方法，它将命题分为真和假两种情况，并通过逻辑运算符（如与、或、非）来构建复合命题。
亚里士多德的命题逻辑为后来的逻辑学家提供了重要的思想基础。
随着哲学和数学的发展，形式逻辑逐渐演变为更为复杂的形式。
在19世纪，英国哲学家弗雷格（Frege）提出了一种新的逻辑系统，被称为谓词逻辑。
谓词逻辑通过引入量词和谓词，使得逻辑表达能力更加丰富。
它可以处理更复杂的命题，包括涉及到个体和属性的推理问题。
弗雷格的贡献使得形式逻辑在逻辑学和数学领域得到了广泛应用。
20世纪初，波兰逻辑学家古特洛布（Gödel）和图灵（Turing）的工作为形式逻辑的发展带来了重要的推动力。
古特洛布提出了一种新的逻辑系统，被称为模型论。
模型论通过将逻辑表达式映射到实际的模型中，使得逻辑推理问题能够通过数学方法进行解决。
图灵则在形式逻辑的基础上发展了计算机科学领域的重要理论，如图灵机和可计算性理论。
这些理论为逻辑推理的自动化和机械化提供了基础。
近年来，随着人工智能和机器学习的快速发展，形式逻辑的应用范围进一步扩大。
基于机器学习的推理方法，如神经网络和深度学习，使得计算机能够通过大量的数据进行逻辑推理，并做出准确的判断。
这些新的方法为形式逻辑的发展带来了新的机遇和挑战。
总结而言，形式逻辑的发展历程是一个不断演变和丰富的过程。
从亚里士多德的命题逻辑到弗雷格的谓词逻辑，再到古特洛布的模型论和图灵的计算机理论，形式逻辑在不同的时期和文化背景下不断发展，推动了逻辑学和数学领域的进步。
随着人工智能的发展，形式逻辑的应用也在不断扩展，为我们提供了更多的推理工具和思维方式。
经典命题逻辑和谓词逻辑的语义解释
经典命题逻辑和谓词逻辑的语义解释经典命题逻辑（Classical Propositional Logic，CPL）和谓词逻辑（Predicate Logic，PL）是常见的两种逻辑。
下面将分别对它们的语义解释进行简要说明。
一、经典命题逻辑的语义解释经典命题逻辑是一种用于判断正确性的逻辑，基于“命题（proposition）”的概念来描述逻辑结构。
命题是一个具有真假性的陈述，例如“太阳从东方升起”。
CPL可以用逻辑符号来表示命题，如“∧”表示逻辑与，“∨”表示逻辑或，“¬”表示逻辑非等。
下面是CPL语义解释的基本概念：• 模型（Model）：对于一组命题，在逻辑上称为“命题系统”，如果存在一组真值赋值（True/False Assignment），使得对于系统中的所有命题，每个命题都能够被赋予相应的真假值，则称这个真值赋值是模型。
也就是说，模型是对命题系统的一种真值解释，通过模型可以判断命题系统的真伪性。
• 句子（Sentence）：CPL中的句子由一个或多个命题构成，并由逻辑符号组合而成。
例如，P∧Q就是由P和Q组成的一个句子。
句子的真假性取决于其中每个命题的真伪性以及逻辑符号的作用。
如果一个句子是真的，那么我们就说它是“可满足的”。
• 命题公式（Propositional Formula）：命题公式是指由命题和逻辑符号组成的复杂语句。
命题公式可以被看做是一种特殊的句子，句子是命题公式的实例。
例如，P∧(Q∨R)就是一个命题公式。
二、谓词逻辑的语义解释谓词逻辑是经典命题逻辑的扩展，用步骤更加精细的方式来描述命题的结构。
谓词逻辑是一种用于描述命题关系的逻辑。
它使用“命题变量（variable）”和“谓词（predicate）”这两个概念来构建命题。
命题变量代表某种对象，谓词则代表这些对象的性质或关系。
例如，如果我们有一个谓词“有色彩（colored）”，那么我们就可以将一个命题变量“x”替换为具体对象，如“苹果”，称得到的命题为“苹果有色彩”。
命题逻辑与谓词逻辑
如 D2 = {1，2，3}
根据上面的分析，在D2上的解释应有29个。
下面是其中的一个解释：
I: P(1, 1) P(1, 2) P(1, 3) P(2, 1) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 1) P(3, 2) P(3,3)
T
T
T
F
F
T
FF
F
由于x = 3时，不存在一个y使P(x, y) = T。所以在这个解释下公式B为假，
要考察在这个解释下公式A的真假，根据量词(x)要对所有x 进行考察。由于：对x = 0时，
P(x)→Q( f (x), a) = P(0)→Q( f (0), 0) = P(0)→Q(1, 0) = F→F = T
对x = 1时
P(x)→Q( f (x), a) = P(1)→Q( f (1), 0) = P(1)→Q(0,0) = T→T = T
定义2-5 永真蕴涵：命题公式A永真蕴 涵命题公式B，当且仅当A→B是一个永真 式，记作AB，读作“A永真蕴涵B”，简 称“A蕴涵B”。
2.2 谓 词 逻 辑
• 1．谓词与个体 原子命题被分解为谓词和个体两部分。
• 个体是指可以单独存在的事物，它可以是 一个抽象的概念，也可以是一个具体的东 西。
定理2-2是反证法的理论依据。
6．谓词公式中的等价和蕴涵式 定义2-13 设P与Q是两个谓词公式，D是它们
共同的个体域。若对D上的任何一个解释，P与Q 的真值都相同，则称公式P和Q在域D上是等价的。 如果在任何个体域上P和Q都等价，则称P和Q是 等价的，记做：P Q。
下面是一些常用的等价式：
• 交换律 P∨QQ∨P
（证毕）
定理2-2 G为B1, B2, …, Bn的逻辑结论，当且仅当 (B1 ∧ B2 ∧ … ∧ Bn) ∧ ～ G
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从命题逻辑到谓词逻辑命题逻辑研究的基本元素是命题。
命题是有真假意义的一句话，而对这句话的结构和成分是不考虑的。
因此，用这样简单的手段，很多思维过程不能在命题逻辑中表达出来。
例如，逻辑学中著名的三段论：凡人必死张三是人张三必死在命题逻辑中就无法表示这种推理过程。
因为，如果用P代表“凡人必死”这个命题，Q代表“张三是人”这个命题，R代表“张三必死”这个命题，则按照三段论，R应该是P和Q的逻辑结果。
但是，在命题逻辑中，R 却不是P和Q的逻辑结果，因为公式P∧Q→R显然不是恒真的，解释{P，Q，¬R}就能弄假上面的公式。
发生这种情况的原因是：命题逻辑中描述出来的三段论，即PÙQ®R，使R成为一个与P，Q 无关的独立命题。
因此，取解释时，可将P，Q取真，R取假，从而弄假公式P∧Q→R。
但是，实际上命题R是和命题P，Q有关系的，只是这种关系在命题逻辑中无法表示。
因此，对命题的成分、结构和命题间的共同特性等需要做进一步的分析，这正是谓词逻辑所要研究的问题。
为了表示出这三个命题的内在关系，我们需要引进谓词的概念。
在谓词演算中，可将命题分解为谓词与个体两部分。
例如，在前面的例子“张三是人”中的“是人”是谓语，称为谓词，“张三”是主语，称为个体。
定义3.1.1 可以独立存在的物体称为个体。
（它可以是抽象的，也可以是具体的。
）如人、学生、桌子、自然数等都可以做个体。
在谓词演算中，个体通常在一个命题里表示思维对象。
定义3.1.2 设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{1，0}上的n元函数，称为n 元命题函数或n元谓词。
其中Dn表示集合D的n次笛卡尔乘积。
一般地，一元谓词描述个体的性质，二元或多元谓词描述两个或多个个体间的关系。
0元谓词中无个体，理解为就是命题，这样，谓词逻辑包括命题逻辑。
下面我们举一个谓词的例子：令G(x，y)：“x高于y”，于是，G(x，y)是一个二元谓词。
将x代以个体“张三”，y 代以个体“李四”，则G(张三，李四)就是命题：“张三高于李四”。
随便将x，y代以确定的个体，由G(x，y)都能得到一个命题。
但是，G(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。
于是，用谓词的概念可将三段论做如下的符号化：令H(x)表示“x是人”，M(x)表示“x必死”。
则三段论的三个命题表示如下：P：H(x)→M(x)Q： H(张三)R： M(张三)那么，在命题逻辑的基础上，仅仅引进谓词的概念是否就可以了呢?下面的例子说明，仅有谓词还是不够的。
例如我们想得到“命题”P的否定“命题”，应该就是“命题”ØP。
但是，¬P=¬(H(x)→M(x))=¬(¬H(x)∨M(x))=H(x)∨¬M(x)亦即，“命题”P的否定“命题”是“所有人都不死”。
这和人们日常对命题“所有人都必死”的否定的理解，相差得实在太远了。
其原因在于，命题P的确切意思应该是：“对任意x，如果x是人，则x必死”。
但是H(x)→M(x)中并没有确切的表示出“对任意x”这个意思，亦即H(x)®M(x)不是一个命题。
因此，在谓词逻辑中除引进谓词外，还需要引进“对任意x”这个语句，及其对偶的语句“存在一个x”。
定义3.1.3 语句“对任意x”称为全称量词，记以∀x；语句“存在一个x”称为存在量词，记以∃x。
这时，命题P就可确切地符号化如下：∀x(H(x)→M(x))命题P的否定命题为：¬P=¬(∀x(H(x)→M(x)))=∃ x(H(x)∨¬M(x))亦即“有一个人是不死的”。
这个命题确实是“所有人都要死”的否定。
¬P=¬(H(x)→M(x))=¬(¬H(x)∨M(x))=H(x)∨¬M(x) 应为H(x)∧¬M(x)¬P=¬(∀x(H(x)→M(x)))=∃ x(H(x)∨¬M(x)) 应为=∃ x(H(x)∧¬M(x))---------------------------------------解释由于公式是由常量符号，变量符号，函数符号，谓词符号通过逻辑联结词和量词(当然还有括号)连结起来的抽象符号串，所以若不对它们(常量符号，变量符号，函数符号，谓词符号)给以具体解释，则公式是没有实在意思的。
所谓给公式以解释，就是将公式中的常量符号指为常量，函数符号指为函数，谓词符号指为谓词。
定义3.2.4 谓词逻辑中公式G的一个解释I，是由非空区域D和对G中常量符号，函数符号，谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：1. 对每个常量符号，指定D中一个元素；2. 对每个n元函数符号，指定一个函数，即指定Dn到D的一个映射；3. 对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指定Dn到{0，1}的一个映射。
定义3.2.5 公式G称为可满足的，如果存在解释I，使G在I下取1值，简称I满足G。
若I不满足G，则简称I弄假G。
定义3.2.6 公式G称为是恒假的(或不可满足的)，如果不存在解释I满足G；公式G称为恒真的，如果G的所有解释I都满足G。
定义3.3.1 公式G，H称为等价，记以G=H，如果公式G↔H是恒真的。
由定义显然可以看出：公式G，H等价的充要条件是：对G，H的任意解释I，G，H在I下的真值相同。
因为对任意公式G，H，在解释I下，G，H就是两个命题，所以命题逻辑中给出的10组基本等价式，在谓词逻辑中仍然成立。
定义3.3.2 设G，H是公式，称G蕴涵H，或H是G的逻辑结果，如果公式G→H是恒真的，并记以G⇒H。
显然，对任意两个公式G，H，G蕴涵H的充要条件是：对任意解释I，若I满足G，则I必满足H。
同样，命题逻辑中的14 组基本蕴涵式仍成立。
现在，我们再回到三段论上来。
令G1 =∀x(H(x)→M(x))G2=H(a)H=M(a)我们将证明：H是G1∨G2的逻辑结果。
因为，设I是G1 ，G2，H的一个解释(I指定a为张三)，且I满足G1 ∧G2，即I满足∀x(H(x)→M(x))∧H(a)所以，I满足M(a)。
由于集合D可以是无穷集合，而集合D的“数目”也可能是无穷多个，因此，所谓公式的“所有”解释，实际上是无法考虑的。
这就使得谓词逻辑中公式的恒真，恒假性的判断变得异常困难。
1936年Church和Turing分别独立地证明了：对于谓词逻辑，判定问题是不可解的谓词演算的推理理论利用命题公式间的各种等价和蕴涵关系，通过一些推理规则，从已知的命题公式推出另一些新的命题公式。
这是命题演算中的推理。
类似地，利用谓词公式间的各种等价和蕴涵关系，通过一些推理规则，从一些已知的谓词公式推出另一些新的谓词公式，这是谓词演算中的推理。
在谓词演算中，要进行正确的推理，也必须构造一个结构严谨的形式证明，因此也要求给出一些相应的推理规则。
下面我们就介绍这些规则，对于命题逻辑公式也可以应用相应的规则进行演算。
（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引用前提。
（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以在其后的证明中引用。
（3）置换规则：在证明的任何步骤上，公式的子公式都可以用与之等价的其他公式置换。
（4）代入规则：在证明的任何步骤上，恒真公式中的任一原子都可以用一公式代入，得到的仍是恒真的公式。
（5）全称特定化规则（US）：∀xA(x)⇒ A(y)这里的A(y)是将A(x)中的x处处代以y。
要求y在A(x)中不约束出现。
这里自由变量y也可以写成个体常量c，这时c为个体域中任意一个确定的个体。
这个规则的意思是说，如果个体域的所有元素都具有性质A，则个体域中的任一个元素具有性质A。
（6）存在特定化规则（ES）：∃xA(x) ⇒ A©这里c是个体域中的某个确定的个体。
这个规则是说，如果个体域中存在有性质A的元素，则个体域中必有某一元素c具有性质A。
但是，如果∃xA(x)中有其它自由变量出现，且x 是随其它自由变量的值而变，那么就不存在唯一的c使得A©对自由变量的任意值都是成立的。
这时，就不能应用存在特定化规则。
例如，∃x（x=y）中，x、y的论域是实数集合。
若使用ES规则，则得c=y，即在实数集中有一实数c，等于任意实数y。
结论显然不成立，这是因为A(x)：x=y中的x依赖于自由变量y，此时不能使用ES规则。
另外，要注意的是，如果∃xP(x)和∃xQ(x)都真，则对于某个c和某个d，可以断定P© ∧Q(d)必真，但不能断定P© ∧Q©为真。
（7）全称一般化规则（UG）：A(x)⇒∀yA(y)这个规则是说，如果个体域中任意一个个体都具有性质A，则个体域中的全体个体都具有性质A。
这里要求x必须为自由变量，并且y不出现在A(x)中。
（8）存在一般化规则（EG）：A©⇒∃yA(y)这个规则是说，如果个体域中某一元素c具有性质A，则个体域中存在着具有性质A的元素。
这里要求y不在A©中出现。
令G1 =∀x(H(x)→M(x))G2=H(a)H=M(a)我们将证明：H是G1∨G2的逻辑结果。
应为G1∧G2------------------------------------------------------引理1 设G是公式，其中自由变量有且仅有一个x，记以G(x)，H是不含变量x的公式，于是有：1) ∀x(G(x)∨H)=∀xG(x)∨H1’∃x(G(x)∨H)=∃xG(x)∨H2) ∀x(G(x)∧H)=∀xG(x)∧H2’∃x(G(x)∧H)=∃xG(x)∧H3) ¬(∀xG(x))=∃x(¬G(x))4) ¬(∃xG(x))=∀x(¬G(x))引理2 设G，H是两个公式，其中自由变量有且只有一个x，分别记以G(x)，H(x)，于是有：1) ∀xG(x)∧∀xH(x)=∀x(G(x)∧H(x))2) ∃xG(x)∨∃xH(x)=∃x(G(x)∨H(x))3)∀xG(x)∨∀xH(x)=∀x∀y(G(x)∨H(y))4)∃xG(x)∧∃xH(x)=∃x∃y(G(x) ∧H(y))。