北师大版九年级数学第三章第七节弧长及扇形的面积
S 扇形
1 LR 2
（1）当已知弧长L和半径R，
1 求扇形面积时，应选用 S LR 扇形 2
（2）当已知半径和圆心角的度
数，求扇形面积时，应选用
S扇形
nR 2 360
例2:已知扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120o, 求弧AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面 积(结果精确到0.1cm2)
120 解：AB 12 25.1 cm 180 120 2 2 S扇形 12 150.7 cm 360 因此，AB的长约为25.1 cm ， l
扇形AOB的面积约为 .7 cm2 . 150
1. 一个扇形的圆心角为90o，半径为2，
则弧长= π
，扇形面积=
π
.
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则 o 该扇形的圆心角为 . 150 3. 已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的 弧长是 （ B） A. 3π B.4π C.5π D.6π
R
A O B
（2）no的圆心角所对的弧 长是多少？
no的圆心角所对的弧长是 n 2R nR 360 180
弧长公式
若⊙O的半径为R， n 的圆心角所对的弧长l 是
o
2R nR l n 360 180
开心练一练：
（1）1 的弧长是
o
R
180
。半径为10厘米
10 3
的圆中，60o的圆心角所对的弧长是
解： R 40m m，n 110o
A
110o
B R=40mm
nR 110 AB 40 76.（m m） 8 180 180 l 因此，所求管道展直长 76.8m m 度为
在一块空旷的草地上有一根柱 子，柱子上栓着一条长3m的绳 子，绳子的一端栓着一只狗。 （1）这只狗的最大活动区域有 2 多大？ 9πm （2）如果这只狗只能绕柱子转 过no的角，那么它的最大活动 区域有多大？
（2）如图，同心圆中，大圆半径OA、 OB交小圆于C、D，且OC∶OA=1∶2， 则弧CD与弧AB长度之比为（ B ） （A）1∶1 （B）1∶2
（C）2∶1 （D）1∶4
A C O D B
例1.制作弯形管道需要先按 中心线计算“展直长度”再 下料。试计算如图所示的管 道的展直长度，即弧AB的长 度（精确到0.1mm）
P131 1.
2.
小结
• 知识点：弧长、扇形面积的计算公式 • 能力：弧长、扇形面积的计算公式的记忆法
nR 弧长 L 180
S扇形
nR 2 1 LR 360 2
课后作业 （1）必做题 ：习题3.10 （2）选做题：如图，在半径为1的圆中，有 一弦长AB= 3 的扇形，求此扇形的周长及面 积. A C B
no
n 2 m 40
在(2)问里狗活动的区域是一个什么图形呢?
• 一条弧和经过这条弧 的端点的两条半径所 组成的图形叫做扇形 • 扇形的周长是 2R+L
R
L
no R
圆的面积是πR2, 那么1 圆心角所对的扇形的面积是
o
R 2
360 nR 2 360
no圆心角所对的扇形的面积是
S扇形
弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
生活中的圆弧与扇形
我们上体育课掷铅球练习时， 要在指定的圆圈内进行，这个 圆的直径是2.135m。这个圆的 周长与面积是多少呢？（结果 精确到0.01）
周长约是6.70m， 面积约是3.58㎡
（1）已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是 多少？⊙O的面积是多少？ C=2πR，S⊙O＝πR2 （2）什么叫圆心角？ 顶点在圆心，两边和圆相交所组成 的角叫做圆心角 O
A
R
B
如图中的∠AOB
A
如图,某传送带的一个转动轮的半 径为10cm. (1)转动轮转一周,传送带上的物品 A被传送多少厘米? 20πcm
(2)转动轮转1o,传送带上的物品A 被传送多少厘米? cm
18
(3)转动轮转no,传送带上的物品A 被传送多少厘米? n
18 cm
（1）已知⊙O的半径为R，1o的 圆心角所对的弧长是多少？ 1o的圆心角所对的弧长是 2R R 360 180
O
nR 扇形所对的弧长 L 180
扇形的面积是
S扇形
nR nR R 360 180 2
2
S 扇形
1 LR 2
北师大版九年级数学课件-弧长及扇形的面积
C
並長交圓O於C.
(2)
(3)要求圖中陰影部分面積，應該怎麼辦？
O.
AD
B
C (3)
陰影部分面積=扇形OAB的面積-△OAB 的面積
解：如圖，連接OA，OB，過點O作弦AB的垂線， 垂足為D，交AB於點C,連接AC.
∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是線段OC的垂直平分線，
第三章 圓
3.9 弧長及扇形的面積
導入新課
講授新課
當堂練習
課堂小結
學習目標
1.理解弧長和扇形面積公式的探求過程.(難點） 2.會利用弧長和扇形面積的計算公式進行計算. （重點）
3.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O的半 徑為4，∠B=135°，則弧AC的長為____2_π____.
典例精析
例2 如圖，水準放置的圓柱形排水管道的截面半徑是 0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面積. （精確到0.01cm）
討論：(1)截面上有水部分的面積 是指圖上哪一部分？
陰影部分.
O.
A
B
C (1)
(2)水面高0.3 m是指哪一條線段的長？
O A D.
這條線段應該怎樣畫出來？ B 線段DC.過點O作OD垂直符號於AB
O. AD B
C (3)
∴AC＝AB=120˚.
知識拓展
O
O
• 左圖： S弓形=S扇形-S三角形 • 右圖：S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積
北师版初三数学弧长及扇形面积
第二十三课时§3.7 弧长及扇形面积●教学目标1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．●教学重点1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．2．了解弧长及扇形面积计算公式．3．会用公式解决问题．●教学难点1．探索弧长及扇形面积计算公式．2．用公式解决实际问题．●教学方法学生互相交流探索法●教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索．Ⅱ．新课讲解一、复习1．圆的周长如何汁算? 2.圆的面积如何计算? 3．圆的圆心角是多少度?[生]若圆的半径为r ，则周长l ＝2πr ，面积S ＝πr 2，圆的圆心角是360°．二、探索弧长的计算公式如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm ．(1)转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送多少厘米?(2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送多少厘米?(3)转动轮转n°，传送带上的物品A 被传送多少厘米?分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送圆周长的3601；转动轮转n°，传送带上的物品A 被传送转l°时传送距离的n 倍．三、例题讲解制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB 的长(结果精确到0．1 mm)．分析：要求管道的展直长度．即求弧AB 的长，根据弧长公式l ＝180R n 可求得弧AB 的长，其中n 为圆心角，R 为半径．解：R ＝40mm ，n=110．∴弧AB 的长= 180n πR=弧180110×40π≈76．8 mm ． 因此．管道的展直长度约为76．8 mm ．四、想一想在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?五、弧长与扇形面积的关系我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l ＝180n πR ，n°的圆心角的扇形面积公式为S 扇形＝360n πR 2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n ．半径R 有关系，因此l 和S 之间也有一定的关系，你能猜得出吗?请大家互相交流．六、扇形面积的应用扇形AOB 的半径为12 cm ，∠AOB ＝120°，求弧AB 的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1 cm 2)分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径尺和圆心角n 即可，本题中这些 条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了如下内容：1．探索弧长的计算公式l ＝180n πR ，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式S ＝360n πR 2，并运用公式进行计算； 3．探索弧长l 及扇形的面积S 之间的关系，并能已知一方求另一方．Ⅴ．课后作业习题3.10。
九年级数学下册 第三章弧长及扇形的面积;圆锥的侧面积;本章知识回顾北师大版知识精讲
九年级数学下册 第三章弧长及扇形的面积；圆锥的侧面积；本章知识回顾北师大版【本讲教育信息】一、教学内容第三章第7－8节弧长及扇形的面积；圆锥的侧面积 二、教学目标1、经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题。
2、经历探索圆锥侧面积计算公式的过程；了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题。
三、知识要点 1、弧长公式⑴弧的概念：圆上任意两点间连线的部分叫做圆弧，简称弧。
其中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
⑵弧长公式：半径为R ，圆心角为n°的弧长180Rn l π=。
说明：①运用弧长公式进行计算时，要注意公式中n 的意义，n 表示1°的圆心角的倍数，不带单位。
②已知弧长公式三个量l R n ,,中的任意两个量，都可以求出第三个量，圆心角的单位若不是度数时，一定要化为以度为单位后再计算。
③半圆是圆心角为180°的弧。
2、扇形的面积公式⑴扇形的概念：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
⑵扇形面积公式：半径为R ，圆心角为n°的扇形面积为3602R n S π=扇形；半径为R ，l 为弧长的扇形面积还可以表示为：lR S 21=扇形。
3、圆锥的有关概念：⑴圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形。
⑵垂直于轴的边旋转而成的面叫圆锥的底面，由斜边旋转而成的面叫圆锥的侧面。
⑶从圆锥的顶点到底面的距离叫圆锥的高，连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
4、圆锥的侧面积、全面积⑴圆锥的侧面积：把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积。
（圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径长为l ，扇形的弧长为r π2，因此圆锥的侧面积为rl S π=圆锥侧）⑵圆锥的全面积：圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.9《弧长及扇形的面积》
§3.9弧长及扇形的面积教学设计教学过程折出纸扇后，学生希望知道哪些结果，想得到这些结果需要哪些基础，。
折出的扇子如何较标准的画出来？通过提出问题，引导学生分小组讨论分析弧长和圆周长之间的关系，推导出n°的圆心角所对的弧长的计算公式.分析画一个扇形需具备哪些条件？情境引入活动：每名学生用准备好的长方形纸折一把扇子并展开，提出自己的想法，希望得到的结果。
确定目标活动：举手回答自己认为需要确定的学习方向、目标。
回顾旧知圆的面积=圆的周长=什么是圆心角？圆心角度数它所对弧的度数探索新知活动1 探索弧长公式（分析弧长和圆周长之间的关系）如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.1.转动轮转一周（），传送带上的物品A被传送多少厘米?2.转动轮转180°，传送带上的物品A被传送多少厘米?3.转动轮转90°，传送带上的物品A被传送多少厘米?4.转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?5.转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?归纳公式弧长L=公式理解学生通过动手操作，引起兴趣，进而激发求知欲望，希望求出扇子面积，周长，从而确定学习目标。
学生观察图片，阅读生活中的实际问题，提出弧长和扇形面积的计算，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分.引导学生层层深入，逐步分析，尽量提问学生回答，相互补充，得出结论.学生体会从特殊-一般-特殊的认知过程，会推导出弧长公式.引导学生教学过程在练习本上尝试试画出简图，分析简图，用彩笔描出最大活动区域的边缘部分，用阴影部分表示出最大活动区域。
并用数学用语描述。
分析扇形面积和圆面积之间的关系（倍数关系），尝试用圆面积表示.在应用弧长画出扇子的几何图形活动2 探索扇形面积公式在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗.（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？推导扇形面积公式解决上一问题先讨论如何求扇形的面积？⑴圆心角分别是360°、270°、180、°90°、1°的扇形面积是圆面积的多少？⑵圆心角是n°的扇形面积是圆面积的多少？归纳公式扇形面积:S扇=公式理解完成活动2狗活动范围的问题联系思考弧长公式表示扇形面积公式:S扇=在探索出弧长公式的基础上，学生自己尝试寻找探索方法，将扇形面积和圆的面积结合起来，分析得出扇形面积公式.让学生体会从特殊-一般-特殊的认知过程，会计算扇形面积.并能找出弧长公式与扇形面积公式之间的关系。
北师大版九年级数学教案-弧长及扇形的面积
3.9 弧長及扇形的面積1．瞭解扇形的概念，理解n °的圓心角所對的弧長和扇形面積的計算公式並熟練掌握它們的應用；(重點)2．通過複習圓的周長、圓的面積公式，探索n °的圓心角所對的弧長l ＝n πR180和扇形面積S 扇＝n πR 2360的計算公式，並應用這些公式解決一些問題．(難點)一、情境導入如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，其中鐵軌的半徑為100米，圓心角為90°.你能求出這段鐵軌的長度嗎(π 取3.14)?我們容易看出這段鐵軌是圓周長的14，所以鐵軌的長度l ≈2×3.14×1004＝157(米). 如果圓心角是任意的角度，如何計算它所對的弧長呢？二、合作探究探究點一：弧長公式 【類型一】 求弧長如圖，某廠生產橫截面直徑為7cm 的圓柱形罐頭盒，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側面．為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭盒側面所形成的弧的度數為90°，則“蘑菇罐頭”字樣的長度為( )A.π4cmB.7π4cmC.7π2cm D ．7πcm 解析：∵字樣在罐頭側面所形成的弧的度數為90°，∴此弧所對的圓心角為90°.由題意可得R ＝72cm ，則“蘑菇罐頭”字樣的長＝90π×72180 ＝7π4(cm)．故選B.方法總結：解答本題關鍵是根據題意得出圓心角及半徑，代入弧長公式進行計算． 變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第1題【類型二】 利用弧長公式求半徑或圓心角(1)已知扇形的圓心角為45°，弧長等於π2，則該扇形的半徑是________；(2)如果一個扇形的半徑是1，弧長是π3，那麼此扇形的圓心角的大小為________．解析：(1)若設扇形的半徑為R ，則根據題意，得45×π×R 180＝π2，解得R ＝2；(2)根據弧長公式得n ×π×1180＝π3，解得n ＝60，故扇形圓心角的大小為60°.故答案分別為2；60°.方法總結：逆用弧長的計算公式可求出相應扇形的圓心角和半徑．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第2題與第4題 【類型三】 圓的切線與弧長公式的綜合如圖，已知AB 是⊙O 的直徑，點C 、D 在⊙O 上，點E 在⊙O 外，∠EAC ＝∠D . (1)求證：AE 是⊙O 的切線；(2)當BC ＝4，AB ＝8時，求劣弧AC 的長．解析：(1)連接BC ，由AB 是⊙O 的直徑，根據半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，可得∠ACB ＝90°，又由∠EAC ＝∠D ，則可得AE 是⊙O 的切線；(2)首先連接OC ，易得∠ABC ＝60°，則可得∠AOC ＝120°，由弧長公式，即可求得劣弧AC 的長．(1)證明：如圖，連接BC ，∵AB 是⊙O 的直徑，∴∠BAC ＋∠ABC ＝90°.又∵∠EAC ＝∠D ，∠B ＝∠D ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝90°，即BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切線；(2)解：如圖，連接OC ，∵△ABC 是直角三角形，∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝48＝12，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠AOC ＝120°.∴劣弧AC 的長＝120·π×4180＝8π3.方法總結：此題考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長公式等知識．注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．探究點二：扇形的面積公式 【類型一】 求扇形面積120°，半徑為3，則這個扇形的面積為________(結果保留π)．解析：把圓心角和半徑代入扇形面積公式S ＝n πr 2360＝120×32π360＝3π.故答案為3π.方法總結：公式中涉及三個字母，只要知道其中兩個，就可以求出第三個．扇形面積還有另外一種求法S ＝12lr ，其中l 是弧長，r 是半徑．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第5題 【類型二】 求陰影部分的面積如圖，扇形AOB 中，半徑OA ＝2，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中點，連接AC 、BC ，則圖中陰影部分的面積是( )A.4π3－23 B ．2π－2 3 C.4π3－3 D.2π3－3 解析：連接OC ，過O 作OM ⊥AC 於M ，∵∠AOB ＝120°，C 為AB ︵中點，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°.∵OA ＝OC ＝OB ＝2，∴△AOC 、△BOC 是等邊三角形，∴AC ＝BC ＝OA ＝2，AM ＝1，∴△AOC 的邊AC 上的高OM ＝22－12＝3，△BOC 邊BC 上的高為3，∴陰影部分的面積是(60π×22360－12×2×3)×2＝4π3－2 3.故選A.方法總結：本題考查了扇形的面積、三角形的面積、等邊三角形的判定和性質，解決此題要利用扇形的面積公式求出各部分的面積．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第6題 【類型三】 求不規則圖形的面積1和2的兩種弧圍成的“葉狀”陰影圖案的面積為( )A ．4π－2B ．2π－2C ．4π－4D ．2π－4解析：連接AB ，由題意得陰影部分面積＝2(S 扇形AOB －S △AOB )＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.故選D.方法總結：關鍵是需要同學們仔細觀察圖形，將不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積的和或差．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第8題 三、板書設計弧長及扇形的面積 1．弧長公式：l ＝n πR1802．扇形的面積公式：S扇形＝nπR2360＝21错误!未定义书签。
数学九年级北师大版 9 弧长及扇形的面积(共15张PPT)
若⊙O的半径为R， no的圆心角所对 的弧长是l，则
l n2RnR
360 180
A
R
O no
B
例题学习
例1.制作弯形管道需要先按中心 线计算“展直长度”再下料。试 计算如图所示的管道的展直长度， 即弧AB的长度（精确到0.1mm）
A
解： R40mm，n110o
l nR11040 76.8
180 180
2. 360o的圆心角所对的弧长是2πR， 那么1o的圆 心角所对的弧长是多少？
3. no的圆心角所对的弧长是多少？
A
R
O no
B
合作探究1
半径为R的⊙O的周长是 2 R
1o的圆心角所对的弧长是 2R R
360 180
no的圆心角所对的弧长是 n 2RnR
360 180
A
R
O no
B
弧长计算公式
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.9 弧长及扇形的面积
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm. 1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米? 2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米? 3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
合作探究1
1. 半径为R的⊙O的周长，是否可以看成360o 的圆 心角所对的弧长？
︵110o
B
O R=40mm
所以管道的展直长度即弧AB的长度约76.8mm
开心练一练：
1.如图, 转动轮的半径为10cm. 转动轮转一周, 物品A被传送＿20＿ 厘米?
转动轮转1°, 物品A被传送＿1 ＿8 厘米?
n
转动轮转n°, 物品A被传送＿1 ＿8 0 厘米?
2.如图同心圆中，大圆半径OA、OB交 小圆与C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧 CD与弧AB长度之比为（ B ）
北师大版九年级下册数学3.9《弧长及扇形的面积》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用软尺和圆规测量并计算一个给定圆心角的弧长。
举例：
难点1：当给出一个圆和其上的一个圆心角时，学生需要理解如何计算这个圆心角所对的弧长。
难点2：在计算扇形面积时，学生需要理解如何的计算公式。
难点3：在解决实际问题，如计算一段河流的弯曲长度或计算不规则图形的面积时，学生需要学会如何将问题简化为弧长或扇形面积的求解问题，并正确运用相关公式。
其次，在讲授弧长和扇形面积的计算公式时，我尽量用简洁明了的语言进行解释，并通过举例来帮助学生理解。但实践证明，仍有部分学生在运用这些公式时出现错误。我意识到，除了讲解公式推导过程外，还需要加强学生的实际操作练习，让他们在实际问题中反复运用这些公式，从而提高他们的计算准确性和解题能力。
此外，在课堂讨论环节，我发现学生们对于弧长和扇形面积在实际生活中的应用表现出浓厚的兴趣。他们积极思考，提出了很多有创意的想法。这说明学生们对于数学知识的应用有着很高的热情。在今后的教学中，我应多设置一些与实际生活紧密相关的题目，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学应用能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版九下 弧长及扇形的面积最新版ppt课件
（2）什么叫圆心角？ 顶点在圆心，两边和圆相交所组成 的角叫做圆周角
3
想一想 （1）已知⊙O的半径为R，1o的
圆心角所对的弧长是多少？
1o的圆心角所对的弧长是 2R R
360 180
A
R
（2）no的圆心角所对的弧 长是多少？
O B
no的圆心角所对的弧长是 n 2R nR
• 扇形的周长是 2R&
那么1o圆心角所对的扇形的面积是 360
no圆心角所对的扇形的面积是
S扇形
nR2
360
9
弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
S扇形
1 2
LR
温馨提示
（1）当已知弧长L和半径R，
求扇形面积时，应选用
S扇形
1 2
LR
（2）当已知半径和圆心角的度
数，求扇形面积时，应选用
的毅力。所以我们既然选择了，就一定要走下去，不要在有限的时间里，蹉跎无限的光阴。只有如此，到暮年之时，细细回想起来，才不会有年华虚度、韶华易逝的感慨。
18
7
想一
想 在一块空旷的草地上有一根柱
子，柱子上栓着一条长3m的绳 子，绳子的一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有
多大？
9πm2
（2）如果这只狗只能绕柱子转 过no的角，那么它的最大活动
区域有多大？n m 2
40
no
8
在(2)问里狗活动的区域是一个什么图形呢?
• 一条弧和经过这条弧 的端点两条半径所组 成的图形叫做扇形
P131 1. 2.
13
小结
• 知识点：弧长、扇形面积的计算公式 • 能力：弧长、扇形面积的计算公式的记忆法
专题 弧长及扇形的面积-九年级数学下册教学课件(北师大版)
n倍
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
n R
360
2
要点归纳
扇形面积公式
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形
面积的计算公式为
n R 2
S扇形 =
360
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，
它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推
导过程记忆）.
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
的帽子底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积
是（ ）
A．480πcm2
B．60πcm2
C．240πcm2
D．120πcm2
【答案】C
【分析】从图中可以看出小帽的底面圆周长就扇
形的弧长，根据此求出扇形的面积．
【详解】根据圆的周长公式得：圆的底面周长
=20π．
∵圆的底面周长即是扇形的弧长，
×
∴扇形面积S=
= ，
故选：C．
3．小明将直径为6cm的半圆绕点A逆时针旋转60°
设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积
是（
）
A．4.5πcm2
B．6πcm2
C．9πcm2
D．18πcm2
【答案】B
【详解】解：∵S阴影=S半圆AB`+S扇形ABB`-S半圆AB，
而根据旋转的性质可知S半圆AB`=S半圆AB，
作半圆，分别交BC、AC于点D、E．
(1)若∠BAC=50°，求弧BE的长；
(2)连结DE，求证：BD=DE．
【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理求得
∠BOE=100°，根据弧长公式进行计算即可求解；
（2）连接OE,OD，AD，证明OD是△ABC的中位线，
数学初三下北师大版3.7弧长及扇形的面积教案
课型：新授课授课人：授课时间：2021年 3 月 12 日，星期二，第三节课教学目标：旳过程，培养学生旳探索能力；2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生旳数学应用能力；3．使学生了解计算公式旳同时，体验公式旳变式，使学生在合作与竞争中形成良好旳数学品质．教学重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式旳过程；了解弧长及扇形旳面积计算公式；会利用公式解决问题．教学难点：探索弧长及扇形旳面积计算公式；用公式解决问题．教学准备：多媒体课件、几何画板软件．教法学法：多媒体教学、演示教学和自主探究法教学过程：一、创设情境，引入新课．师：今天大家是怎么来上学旳？生：自行车/电动车/步行/坐十路车．师：看来咱们班多数同学一天旳学习生活都是从车轮开场旳．生发出会心旳笑声．师：大家看这辆自行车，它旳车轮旳半径是30cm，车轮转动一周，车子将会前进多少？生：60πcm．师：这实际上就是利用圆旳周长公式计算旳，那圆旳面积公式是什么？圆旳圆心角是多少度？生：假设圆旳半径是r ，那么面积是2S r π=，圆旳圆心角是360°．师：看得出来同学们对一整个圆已经是相当旳了解了，我们今天要来把圆剖析一下，来研究一下“弧长及扇形旳面积〞〔板书课题〕．设计意图：激发学生旳求知欲望，肯定学生旳合理答案．二、师生互动，探究新知活动1 探索弧长公式师：我们知道车轮转动一周是360°，那如果车轮转动180°，车子将会前进多少厘米？生：30πcm ．因为车轮转动180°，是转动了半圈，所以车子前进旳距离是圆周长旳一半．师：那如果车轮转动了90°，车子将会前进多少厘米？生：15πcm ．因为车轮转动90°，是转动了四分之一圈，所以车子前进旳距离是圆周长旳一半．师：那如果车轮转动1°呢？转动n °呢？ 小组研讨交流、计算．师参与、辅助、组织学生阐述解决问题旳方法．生：因为圆旳周长所对旳圆心角是360°，所以车轮转动1°，车子将前进圆周长旳1360；车轮转动n °，车子前进旳距离是车轮转动1°时旳n 倍，也就是圆周长旳360n ．所以，当车轮转动1°时，车子前进112306360180r πππ•=•=cm; 当车轮转动n °时，车子前进2303601806n n n r πππ•=•=cm.师：同学们能不能通过以上探究总结一下在半径为R 旳圆中，n °旳圆心角所对旳弧长l 旳计算公式是什么？ 学生思考． 生：180nl r π=． 师：是旳，这里同学们要特别注意，公式中旳n 表示旳是1°旳圆心角旳倍数，所以不写单位；如下图AB 旳弧长记作：180lnAB rπ=．请同学们记住这个公式．学生识记公式．设计意图：关于弧长旳计算，我从一个生活中旳实际问题出发，设计了5个小问题，从具体到抽象，让小组旳同学讨论分析，得出计算弧长旳公式，再通过一道小题进展实践，稳固弧长旳计算公式．活动2 弧长公式旳应用师：现在我们来看一下弧长旳计算有怎样旳实际意义． 课件出示：例1 制作弯型管道时，需要先按中心线计算“展开长度〞在下料．试计算如下图旳管道旳展直长度，即AB 旳长〔结果准确到0.1mm 〕．学生利用公式进展计算，一生在教师旳安排下板书，师巡视．观察到学生根本完成后组织讲评． 生板书：180lnAB r π==11040180π⨯≈76.8mm. 师：我们一起来看一下这位同学旳板书，你认可吗？生1：答案是正确旳，同时注意了先几何后代数和公式旳写法． 生2：没有答句．师：同学们旳评价很中肯，希望出现同样问题旳学生引以为戒．现在我们一起来看一下此题旳解题步骤，以此来标准自己旳解题过程． 课件出示：解：R=40mm ，n =110，所以180lnAB rπ= =11040180π⨯≈因此，管道旳展直长度约为76.8mm ．师：下面请同学们快速旳完成下面三道题目． 课件出示：试一试旳圆弧旳度数是20°，那么这条弧旳长为 ． 旳圆中，长为8π旳弧所对旳圆心角为 度．旳弧所对旳圆周角是30°，那么该弧所在旳圆旳半径为 ．〔π取3.14〕 学生独立解题，师安排三生板书，巡视并适时指导． 生1：解：180nl r π==203601802π=20πcm. 因此这条弧旳长为20πcm.生2：解：∵180n l r π= ∴180l n r π==18086ππ⨯=240 因此，其所对旳圆心角旳度数是240°．生3：解：∵180nl r π= ∴180l r n π==180 6.2830 3.14⨯⨯=12〔cm 〕 因此，该弧所在旳圆旳半径为12cm.师：从以上题目旳解题过程，你有怎样旳认识？ 生1：在弧长公式180nl r π=中，有三个量：l ，n ，r ，只要知道其中旳两个量，就能求出其他旳量．生2：做题时要分清直径和半径． 活动三 探究扇形面积公式师：咱们学校一年一度旳春季运动会又将开场了，同学们看，这就是咱们肆意绽放青春、挥洒汗水旳学校操场旳平面图，咱班同学都在哪些工程上有绝对优势？生1：李明亮旳长跑绝对是全校第一，今年还有可能再破校记录．生2：叶晓番旳铅球从七年级时就改写了学校旳记录，八年级时蝉联第一名，相信今年更是无人可以撼动．师：期待这些同学在赛场上能有好旳发挥．说道铅球，大家知道铅球场地是什么形状旳吗？ 生：扇形．师：这里，我们来正式认识一下扇形．如图：一条弧和经过这条弧旳端点旳两条半径所组成旳图形叫扇形．这个扇形就记作扇形AOB ． 设计意图：此环节以学生熟悉旳场景入手，借助直观旳图形来加深学生对扇形概念旳认识．师：大家快速判断一下下面旳几个图形那个是扇形？ 课件出示：1.〔口答〕下面各图中，哪些图形是扇形？为什么？〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕生思考后举手答复．生：图〔3〕、〔5〕是扇形，因为〔1〕、〔2〕、〔4〕旳顶点都不在圆心上．师：这位同学是从这个角度做出了快速而又正确旳判断，这吻合扇形定义旳另一种说法：由圆心角所对旳弧和组成这个圆心角旳两条半径组成旳图形叫做扇形．设计意图：通过扇形旳识别，提高学生旳识图能力，培养学生自主获取知识旳能力和语言表达能力．师：现在我们来看大屏幕上旳动画，观察旳同时请同学们思考扇形旳面积和什么有关？利用几何画板分别拖动圆心和组成扇形旳弧旳一个端点：〔1〕圆心角一样时：生：扇形圆心角固定时，圆旳半径越大，扇形面积越大．〔2〕半径一样时：生：圆旳半径一样时，扇形旳圆心角越大，面积就越大．设计意图：通过观察，总结出影响扇形面积旳两个因素，进而探究扇形面积旳计算，师：下面我们来具体探究一下扇形面积旳计算公式．课件出示：讨论如何求扇形旳面积：如图⊙O旳半径是r,〔1〕圆心角是1°旳扇形面积是圆面积旳多少？〔2〕圆心角为n°旳扇形面积是圆面积旳多少?〔3〕如果用字母S表示扇形旳面积，n表示圆心角旳度数，r表示圆半径，那么扇形面积旳计算公式如何表示？学生思考，计算，小组讨论，总结扇形旳面积旳计算公式．师巡视，并答疑问难．绝大多数小组获得结论后，是组织汇报．生：仿照探究弧长公式旳过程可知，1°扇形旳面积占整个圆面积旳1，所以它旳面积就360是21360rπ；n °扇形旳面积是1°扇形旳面积旳n 倍，所以它旳面积就是2360nrπ；从而如果用字母 S 表示扇形旳面积，n 表示圆心角旳度数，r 表示圆半径，那么扇形面积旳计算公式可以表示为：2360n S rπ=． 师：其他小组也是这样认为旳吗？ 生齐：是旳． 师：看来咱们同学讲知识旳迁移、类比学习已经发挥旳淋淋尽致了，我也没什么要补充旳了，那下面我们就来用用这个公式来解决一些问题吧． 课件出示：例2:扇形AOB 旳半径为12cm,∠AOB =120°,求AB 旳长(结果准确到0.1cm)和扇形AOB 旳2)．安排学生独立在练习本上完成题目，并安排两位同学到黑板上分别板书两小问． 生1：∵r =12cm,n =120∴180lnAB r π==12012180π≈ 因此，AB 旳长约为25.1cm.生2：∵r =12cm,n=120∴2212012360360n S r ππ==≈2扇形AOB 旳2 cm .学生完成后，教师组织讲评．师：同学们旳计算结果和这两位同学旳一样吗？ 生：一样．师：同学们对这两位同学旳板书过程有什么想说旳吗？生：这两位同学旳板书都非常旳标准，我们在解题时也要这样写．师：是旳，标准旳板书也是我们学习能力旳一个重要表达，同学们不要无视．设计意图：以问题串旳形式让学生来讨论交流，获得扇形面积旳计算公式，并运用扇形面积公式进展相关计算，让学生感悟学有所用，同时也加深了学生对知识旳理．再通过例题实践来尝试使用弧长和扇形面积公式． 活动四 归纳总结师：现在我们回过头来观察一下弧长和扇形旳面积公式，同学们有什么发现吗？ 课件出示：学生尝试推导，师巡视并适时指导． 生：2111360*********n n n S r rr r r lrπππ====． 师：这样旳话扇形旳面积就有两个计算公式：2360n S r π=，12S lr=．我们选用哪个公式就看题目给旳是什么条件，那仿照我们对弧长公式旳理解，扇形面积旳两个公式能不能逆用呢？生：能吧． 师：一定能，在2360n S r π=， 12S lr=这两个公式中都是有三个量，我们只要知道其中旳两个量就能求出另外一个，同学们在以后旳实践中会有更深刻旳认识．现在同学们再把这三个公式结合图形记忆一下，务求张口就来． 学生识记． 设计意图：引导学生比照弧长公式和扇形面积公式，经过分析讨论得到扇形面积旳第二种计算方法，让学生在分析比照中强化对知识旳记忆．三、随堂练习，稳固应用．师：相信现在同学们对弧长公式和扇形面积公式都有了深刻旳认识，那就请同学们充分发挥所学吧！看大屏幕，共有四道小题，请同学们在练习本上完成，做得快旳同学可以关注一下本组同学旳完成情况． 课件出示：1．一个扇形旳圆心角等于120°，半径是6，那么这个扇形旳弧长是______，面积是_____ 2．扇形面积为 5π，圆心角为50°，那么这个扇形旳半径R=____． 3．扇形旳半径是10 cm ，弧长为5π cm ，那么扇形旳面积______4．⊙O 旳半径OA =6，扇形OAB 旳面积等于12π，那么弧AB 所对旳圆心角度数是____ 学生完成后师组织共同讲评，并适时旳做出积极评价．设计意图：在学生充分认识理解弧长公式和扇形面积公式后，我设计了4个小题，让学生旳动手实践，进一步学习运用弧长和扇形面积公式进展计算，使学生明白：1、知道圆心角、弧长及半径中旳任意两个量，就可以求第三个量；2、知道圆心角、半径及扇形面积中旳任意两个量，也可以求出第三个量．四、课堂小结师：请同学们概括一下本节课你所认知旳知识．生1：本节课我们学习了弧长公式、扇形旳面积公式以及两个公式之间旳联系，特别是能用公式解决实际问题．生2：在利用公式解题时，n 表示旳是n °旳圆心角是1°圆心角旳倍数，所以不要加单位．180n l r π=2360n S r π=生3：这三个公式都可以变形使用．师：是旳，正所谓“学以致用〞，希望同学们在具体实践中能灵活并准确旳运用这些知识．五、随堂检测1．扇形旳面积是S,它旳半径是r,求这个扇形旳弧长．2．如图，两个同心圆被两条半径截得旳弧AB旳长为6πcm，弧CD旳长为10πcm，又AC=12cm，求阴影局部ABDC旳面积．3．如图，正三角形ABC旳边长为a，分别以A，B，C为圆心，以12a为半径旳圆相切与点O1，O2，O3，求图中旳阴影面积．4.⊙A, ⊙B, ⊙C, ⊙D,⊙E两两不相交,且半径都是1cm,那么图中旳五个扇形旳面积之和为多少?弧长旳和为多少?六、布置作业A类：课本142页：2题，3题B类：如图，A是半径为12cm旳⊙O上旳定点，动点P从A出发，以2πcm／s 旳速度沿圆周逆时针运动，当点P回到点A时立即停顿运动，如果∠POA= 90 °时，求点P 运动旳时间？(中考题〕设计思路：作业旳布置是学生掌握课堂所学知识旳延续，是为了让学生在课下稳固本节知识,到达知识旳升华.因此，我首先布置了两道源于课本旳根底题，然后布置一道富有趣味性、创新性旳中考题，以此来提高学生应用知识旳能力．七、板书设计§旳面积一、 弧长旳计算公式180n l r π=二、扇形旳面积公式2360n S rπ= 12S lr= 三、例题例 1 制作弯型管道时，需要先按中心线计算“展开长度〞在下料．试计算如下图旳管道旳展直长度，即AB 旳长〔结果准确到0.1mm 〕． 例2:扇形AOB 旳半径为12cm,∠AOB =120°,求AB 旳长(结果准确到0.1cm)和扇形AOB 旳2)．教学反思：旳优势弧长和扇形旳面积，在新课标、新教材中是要求学习旳内容，本节课，通过学生自主探究来获取知识，合作交流来解决实际问题，从而体验成功旳喜悦，到达资源与信息旳共享，实现课堂教学旳交互性，有效旳提高了课堂旳教学效率．此外，在教学中，加强数学教学与信息技术教育旳整合，利用几何画板等多媒体教学手段，向学生展示丰富多彩旳数学世界，有利于激发学习数学旳兴趣，加之与探究性教学旳结合，也有利于调动学生学习数学旳积极性．2、存在问题本课是一节新授课，在教学中不能把知识旳结果强加于学生，虽然应用直观形象旳手段，让学生经历了知识旳生成过程，但因学生水平旳差异，在应用弧长和扇形面积公式时有局部人混淆方法．3、再设计 当学生出现问题时，教师可以把问题放到小组内讨论，再加上教师旳指导，才能得到圆满旳解决．。