自功率谱密度函数互功率谱密度函数

确定信号的时间特性
表示信号的时间函数，包含了信号的全部 信息量，信号的特性首先表现为它的时间 特性。 时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅 度变化的特性。

– 同一形状的波形重复出现的周期长短 – 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉 冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程 度）

以时间函数描述信号的图象称为时域图， 在时域上分析信号称为时域分析。
确定信号与随机信号
当信号是一确定的时间函数时，给定某一时 间值，就可以确定一相应的函数值。这样的 信号称为确定信号。 随机信号不是确定的时间函数，只知道该信 号取某一数值的概率。 带有信息的信号往往具有不可预知的不确定 性，是一种随机信号。 除实验室发生的有规律的信号外，通常的信 号都是随机的，因为确定信号对受信者不可 能载有信息。
• Fn是复数振幅，将其代入f(t),得到
1 T /2 f (t ) f (t )e jn1t dt e jn1t T T / 2 n

非周期信号的频域分析方法
• 当T 增加时，基频ω1变小，频谱线变密，且各分量的振幅也 减小，但频谱的形状不变。在T→∞的极限情况下，每个频率 分量的幅度变为无穷小，而频率分量有无穷多个，离散频谱 变成了连续频谱。这时，f(t)已不是nω1的离散函数，而是ω 的连续函数。 • 以上过程可以用计算式说明。由于相邻频率分量间隔为 Δω=(n+1)ω1-nω1=ω1 周期T 可写为
r kt skt t ht kt
–(c) 是系统对于(a)所示的激励函数的总响应，可近似 地看作是各脉冲通过系统所产生的冲激响应的叠加。 该总响应 n
r t skt t ht kt
k 0
S(t)
激励函数(输入 信号)的分解 s(kΔt)


t0 t0
δ t 0,
• 当Δt无限趋小而成为dτ时，上式中不连续变量kΔt成了连 续变量τ，对各项求和就成了求积分。于是有
r t s ht d
t 0
这种叠加积分称为卷积积分。
频域分析
• 作为时间函数的激励和响应，可通过傅立叶 变换将时间变量变换为频率变量去进行分析， 这种利用信号频率特性的方法称为频域分析 法。频域是最常用的一种变换域。 • 频域分析的基本工具是傅立叶分析，包括傅 立叶级数和傅立叶变换。
1 f (t ) 2



f (t )e jt dt e jt d
• 式中方括号是原函数 f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数，它 具有单位频带振幅的量纲，记作F(ω) 。即
0
第k个脉冲函数之面积 skt t （当Δt 0，脉冲函数 可近似表示为冲激函数）
r(kΔt) 第k个脉冲的 冲激响应(输 出信号)波形
0
t kΔt 系统对第k个冲激函数 的冲激响应函数 skt t ht kt
r(t) 冲激响应叠加 后的总响应(输 出信号)波形
第二章 信号及其描述
主 要 内 容
–信号的分类与定义 随机信号与确定性信号 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号 –确定性信号的特性 时间特性 频率特性 时间与频率的联系
–确定性信号分析 时域分析 频域分析 –随机信号特性及分析
信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为 传输媒质能够接受的信号形式方能传输。广义的说， 信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量 中，才可能含有信息。
An-，n-分别称为 幅值谱和相位谱，统 称为频谱。
带有直流分量的信号
指数傅立叶级数
• 用正交函数集来表示周期信号另一种更常用的方法 是傅立叶级数的指数表示法，称为指数傅立叶级数。 • 三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同 类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方 法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计 算。 • 根据欧拉公式

lim f (t ) lim f ( t )

• 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
周期信号的频域分析方法
• 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成 分的正弦波之和。 • 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
确定信号的频率特性


信号还具有频率特性，可用信号的频谱函数来表示。在频谱 函数中，也包含了信号的全部信息量。 频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和 相位。 – 频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分析将它分解为许 多不同频率的正弦分量，而每一正弦分量则以它的振幅和 相位来表征。将各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低 次序排列成频谱。 – 频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限， 但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程 应用上一般忽略高于某一频率的分量。频谱中该有效频率 范围称为该信号的频带。 以频谱描述信号的图象称为频域图，在频域上分析信号称为 频域分析。
0
kΔt
r(kΔt)
t
时 域 分 析 法 示 意 图
kΔt
t
时域分析的方法（2）
• 式中h(t)是单位冲激函数δ(t)对应的响应，称为单位冲激 响应函数。 • 单位冲激函数δ(t) 也称狄拉克函数或δ函数，其定义是： 在t≠0时，函数值均为0；在t=0处，函数值为无穷大，而 脉冲面积为1，即
δ t dt 1,
周期信号的频域分析方法
• 考察信号
1 1 1 f t sin 1t sin 31t sin 51t sin 71t 3 5 7
式中ω1=2πf1。ω1称为基波频率，简称基频， ω1的倍数称为谐波。
• 对于周期信号而言，其频谱由离散的频率成分， 即基波与谐波构成。
复杂周期信号波形
时域和频域
不同频率信号的时域图和频域图

信号还可以用它的能量特点加以区分。 – 在一定的时间间隔内，把信号施加在一负载上，负载上就 消耗一定的信号能量。 T /2
E
T / 2
| f (t ) |2 dt
– 把该能量值对于时间间隔取平均，得到该时间内信号的平 1 T /2 均功率。 P lim | f (t ) |2 dt
e j t cos t j sin t 1 jn1t cos n1t e e jn1t 2 1 jn1t j sin n1t e e jn1t 2
•当n取-∞和+∞之间包括0在内 的所有整数，则函数集ejnωt（其 中n=0,±1,±2,……）为一完备 的正交函数集。任意周期信号f(t) 可在时间区间（-T/2,T/2）内用 此函数集表示为
• 傅立叶级数的这种形式称为三角函数展开式或称正弦-余弦 表示，是用正交函数集来表示周期信号的一种常用方法。
傅立叶级数还可以改写成：
f (t ) A0 An cos( n1t n )
n 1

式中： A0 an tan n an
f t a0 (an cos n1t bn sin n1t )
n 1
• a0是频率为零的直流分量（如图），式中系数值为
1 T /2 T / 2 f t dt T 2 T /2 an f t cos n1tdt T / 2 T 2 T /2 bn f t sin n1tdt T / 2 T a0
非周期信号的频域分析方法
• 如果在表示周期信号f(t)的傅立叶级数中令周期T→∞， 则在整个时间内表示 f(t)的傅立叶级数也能在整个时间 内表示非周期信号。 • f (t)的指数傅立叶级数可写为
f t
式中
1 Cn T
n


C ne jn1t

T /2
T / 2
f t e jn1t dt
T
T

T / 2
– 如果时间间隔趋于无穷大，将产生两种情况。

信号总能量为有限值而信号平均功率为零，称为能量信号； 信号平均功率为大于零的有限值而信号总能量为无穷大，称 为功率信号，周期信号就是常见的功率信号。
信号分析
• 时域分析 –信号时域分析（线性系统叠加原理） –卷积积分的应用及其数学描述 • 频域分析 –周期信号的频域分析(三角与指数傅立叶级 数） –非周期信号的频域分析（傅立叶积分） –信号在频域与时域之间的变换（正反傅立 叶变换式） –频谱与时间函数的关系
f t
n
Cn e jn1t

1 T /2 Cn f t e jn1t dt , n 0, 1, 2,.... T T / 2
•求出Cn，信号分解的任务就完成了。
C0 a0 A0 1 1 Cn (an jbn ), C n ( an jbn ) 2 2 1 1 2 Cn C n An a n b2n 2 2
2 T 1 2
于是，有
1 T /2 f (t ) f (t )e jn1t dt e jn1t T / 2 n 2

非周期信号的频域分析方法
• 当T→∞ 时，求和变成了取积分，Δω变成dω ，nω1用ω表 示。因此有

连续信号与离散信号
如果在某一时间间隔内，对于一切时间 值，除若干不连续点外，该函数都能给 出确定的函数值，此信号称为连续信号。 和连续信号相对应的是离散信号。代表 离散信号的时间函数只在某些不连续的 时间值上给定函数值。 一般而言，模拟信号是连续的（时间和 幅值都是连续的），数字信号是离散的。 连续信号模拟信号
时域分析
• 系统的输入信号称为激励，输出称为响应 • 激励与响应都是时间的函数
– 激励函数s(t) – 响应函数r(t)