左孝凌离散数学课件
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左孝凌离散数学3.7-复合关系和逆关系PPT课件
算应改为布尔加和布尔乘。
例6
设
M
1和
M
是两个关系矩阵
2
1 0 0
M
1
0
0
0 1
1
0
1 0 0
M 2 0
1
0
1
0
0
1 0 1
1 0 0
则
M
1
M
2
1 0
0 1
1
0
2021/1/17
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-ห้องสมุดไป่ตู้
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• 复合关系的关系矩阵
定理3.5.5 设A、B、C均是有限集， R 1 是一由A 到B的关系, R 2 是一由B到C的关系，它们的关系
R 1 R 2 { 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 3 ,2 , 4 , 1 }
234
123
12 3
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
M
R1
2 3
0
0
0 1
1
0
M R 2 3 0 4 1
1 0
0 1
M R1 R2
2 1 3 0
0 1
1
0
4
1
0
0
矩阵分别为 M R1 和 M R2 ，则复合关系 R1 R2 的
关系矩阵
MR1R2 MR1MR2
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例7 设有集合A{1,2,3,4，} B{2，,3,4} C{1,2,3}
A到B的关系 B到C的关系 则
R 1 { 1 ,2 ,2 ,4 ,3 ,3 ,4 ,2 }
R 2 { 2 ,1 ,3 ,2 ,4 ,1 ,4 ,3 }
左孝凌离散数学课件1.8推理理论
例题1 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R 证法2 (1) P→R P (2) P∨Q →R∨Q T(1) I3 (3) Q→S P (4) Q∨R →S∨R T(3) I (5) P∨Q →S∨R T(2),(4) I13 (6) P∨Q P (7) S∨R T(5),(6) I11P,P→Q Q假言 推理
E1 E2 ┐┐P P P∧Q Q∧P E12 E13 R ∨(P∧┐P) R R∧ (P ∨ ┐P) R
E3
E4 E5 E6 E7 E8 E9
P∨QQ∨P
(P∧Q) ∧R P∧ (Q∧R) (P ∨ Q) ∨ R P ∨(Q ∨ R)
E14
E15 E16
R ∨(P ∨ ┐P) T
T T T T T F F
从真值表看到，P→R，Q→R，P∨Q的真值都为T的 情况为第1行、第3行和第5行，而在这三行中R的真值均为 T。故 (P→R)∧(Q→R)∧(P∨Q) R
二、直接证法
• 直接证法：由一组前提，利用一些公认的推理规则， 根据已知的等价或蕴含公式推演得到有效结论。 • 常用的推理规则 P规则:（前提引入规则）前提在推导过程中的任何时候 都可以引用。 T规则（结论引用规则）在推导过程中，如果有一个或多 个公式重言蕴含着公式S，则公式S可以引入推导之。 如 P→Q, Q→R P→R，这时 P→R可引入推导之中
d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S) ┐S (1) (┐Q∨R) ∧┐R P (2) ┐Q∨R T(1),I1 (3) ┐R T(1),I2 (4) ┐Q T(2)(3),I10析取三段论 (5) P→Q P (6) ┐P T(4)(5),I12 (7) ┐(┐P∧┐S) P (8) P∨┐S T(7),E (9) ┐S T(6)(8),I10析取三段论
左孝凌离散数学课件3.6关系的性质
例如，实数集R上的“>”“<”“≤”“≥”以及集 合上的“”
三、传递性 定义：设RAA, 如果对于任意的x,y,zA, 每当
xRy， yRz 时就有xRz ，称关系R在A上是传递的。
R在A上是传递的 (x)(y)(z)(xAyAzAxRy yRz xRz) R非传递 (x)(y)(z)(xAyAzAxRy yRzxRz)。
传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb， 由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对 吗？为什么？
不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。
自反性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，
有<x，x>R，则称R是自反的。
对称性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x， yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R，则称R是 对称的。 传递性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX， 每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，z>R，则 称R是传递的。
例：设A={a,b,c}考擦下列关系的传递性 R1={<a,b>,<b,c>,<a,c>} √ R2={<b,a>} R3={<a,c>,<c,b>,<a,b>,<c,a>} ×
√
三、传递性 特点：
如果R是传递关系，如果结点x能通过有向弧组成 的有向路通向结点z，（该有向路包含两条或两条 以上的弧）则x必须有有向弧直接指向z，否则R就 不是传递的；
自反性是说对于每一个xX，有<x，x>R。 对称性是说每当<x，y>R，就有<y，x>R，没 有要求对于每一个xX，传递性是说每当<x， y>R，<y，z>R时就有<x，z>R ，也没有要 求对于每一个xX。因此不能从一个关系是对称 且传递的推出它是是自反的。
左孝凌离散数学课件1.7对偶与范式
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶与
范式(Dual & Normal Form)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式
为了使任意一个命题公式化成唯一的等价命题的 标准形式，下面给出主范式的有关概念。
1.命题公式的主析取范式
定义1-7.4: n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项， 其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须 出现且仅出现一次。
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例
1.命题公式的主析取范式-小项
1. 两个命题变元P和Q的小项为： P∧Q，P∧┐Q，┐P∧Q，┐P∧┐Q。 2. 三个命题变元P、Q、R的小项为： P∧Q∧R，P∧Q ∧┐R ， P∧┐Q ∧R ， P∧┐Q ∧┐R ┐P∧Q ∧R ，┐ P∧Q ∧┐R ， ┐P∧┐Q ∧R ，┐P∧┐Q ∧┐R 。
同一命题公式可以有各种相互等价的表达形式,为了把命题公 式规范化,下面讨论命题公式的范式问题。
第一章 命题逻辑1.7对偶与范式
定义 (1) 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式： A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An， （n≥1） 其中A1，A2，…An都是由命题变元或其否定所组成的析取 式。 如：P ∧ ┐Q ， (P ∨ Q) ∧(P ∨┐Q ∨R), Q∧┐P (2) 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式： A1 ∨ A2 ∨ … ∨ An， （n≥1） 其中A1，A2，…An都是由命题变元或其否定所组成的合取 式。 如：P∨┐Q ， (P ∧ Q) ∨(P ∧┐Q∧R), Q∨┐P. (3)范式：析取范式与合取范式统称为范式。 显然, 任何合(析)取范式的对偶式是析(合)取范式.
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对合律 幂等律 结合律 交换律
最新左孝凌离散数学课件1.3命题公式与翻译1.4真值表与等价公式PPT课件
• 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
00 1 1 1
1
01 0 0 1
0
10 0 1 0
0
11 1 1 1
1
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
➢ 2. 等值演算法(Equivalent Caculation)（利用P15表1-4.8)
• 定义1.4.4 子公式：如果X是wff A的一部分,且X本身也是wff， 则称X是A的子公式。 例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
• 定理1.4.1 置换定理：设X是wff A的子公式，若XY，则若将A 中的X用Y来置换，所得公式B与A等价，即AB。
• 定义1.4.5 等值演算：根据已知的等价公式,推演出另外一些等 价公式的过程称为等值演算.
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
• 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn为出现
于真A值和指B派中, 的A和所B有的原真子值变都元相,若同给,则P称1 ,AP和2 ,B…是,P等n任价一. 组 记作A B。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派 下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐P∨Q与 P→Q的对应真值相同，如表1-4.5所示。
表1-4.5
我们说┐P∨Q和P→Q 是等价的，这在以 后的推理中特别有 用。
左孝凌离散数学课件3.1集合的概念和表示法3.2集合的运算.ppt
3. 幂集：给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，
称为集合A的幂集，记为P (A)
• P (A)={x|xA}
判断：任何集合的 幂集一定不是空集。
• 注意: xP (A) xA
（空集呢？）
例如: A={a,b}的0元子集： ，1元子集： {a},{b}， 2元子集：为{a,b}
所以： P (A)={,{a},{b},{a,b}}，共22=4个子集。
c) A E = A （同一律）
d) A B = B A （交换律）
e) (A B) C = A (B C) （结合律）
f) A B A A B B
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二、并运算
3. 2集合的运算
定义2 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素组成的集合称
为A与B的并集，记作 A 。B即
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第三章 集合与关系
1 集合的概念和表示 法 2 集合的运算 3 4序偶与笛卡尔集 5关系及其表示 6 关系的性质
7 复合关系和逆关系 8 关系的闭包运算 9 10等价关系与划分 11 相容关系与覆盖 12 偏序关系
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3.1 集合概念及其表示法
一、基本概念 二、集合的表示方式 三、集合间的关系 四、几类特殊的集合
2) A B,则A C B C
3)分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4)吸收律
A (A B) A A (A B) A
5)当且仅当A B = B A B = A AB
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3. 2集合的运算
三、相对补运算(差)
左孝凌离散数学1.5重言式与蕴含式PPT课件
从而┐Q（P→Q）为假.
②若Q为假，则┐Q为真，P→Q为假，
从而┐Q（P→Q）为假.
根据① ②，所以 ┐Q（P→Q）┐P
4）法4： （┐Q（P→Q）） → ┐P
┐ （┐Q（ ┐ P ∨ Q）） ∨ ┐P
（Q ∨（P ┐ Q）） ∨ ┐P
（（Q ∨P） （Q ∨ ┐ Q ）） ∨ ┐P
（Q ∨P） ∨ ┐P
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
判别命题公式的类型有两种方法: 真值表法和等值
演算法.
等值演算法是将所给命题公式通过等值演算化为最
简单的形式, 然后再进行判别.
例1.判别下列命题公式的类型.
(1). Q∨┓((┓P∨Q)∧P) (重言式)
重言式与蕴含式(Tautology and Implication)
• 小结：本节介绍了命题公式的分类，重言式、矛盾式与蕴 含式的概念及其性质，等价式与蕴涵式的关系。
• 重点掌握: （1）用等值演算法判别命题公式的类型。 （2）重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。 （3）等价式与蕴涵式的关系。
• 作业: P23 (1)c,d ,(2) a ,(8). • 预习:1.6 • 思考题:1) 为什么要引入联结词?
2) 什么是最小联结词组? ,,, c
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1. 真值表指派 2. 真值表及其构成方法 3. 等价公式及等价置换 4. 命题公式的分类 5. 蕴含式判定及其性质
小结
（1）若A在其各种赋值下的取值均为真，则称A是重言式或永真式, 记 为T或1。 （2）若A在其各种赋值下的取值均为假，则称A是矛盾式或永假式, 记 为F或0。
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。