频域分析法——频率法和稳定判定

对于任何线性系统都可以采用这种方法分析。
RC网络
❖ 其传递函数
G(s) 1 T RC Ts 1
❖ 频率特性
G(s)
s j
1
Tj 1
1
e j tan1(T) G( j)
(T)2 1
该结论适用任何线性系统！
三、频率特性的几种表示方法
1、幅频特性、相频特性、幅相特性
G( j) G( j) G( j) A()e j ()
暂态值
i 1
其中：
ct (t) cs (t)
稳态值
D
(s)
Ar s2 2
(s
j)
s j
( j) Ar
2j
( j)
2
j[ ( j ) ]
Are
2
同理： ( j)
j[ ( j ) ]
B 2 Ar e
2
将B、D代入c(t)，则:
( j)
j[t ( j ) ] j[t ( j ) ]
A
ur Asin t Ur (s) s2 2
Uc
(s)
G(s)U
r
(s)
1 Ts
1
s
2
A
2
uc (t)
A T 1 2T
2
et /T
A sin( t arctg T ) 1 2T 2
(t 0)
正弦稳态输出 ucss (t)
A sin( t arc tg T ) 1 2T 2
稳态输出幅值：1
线性定常系统，在正弦信号作用下，输出
的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率 特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。
频率特性表达式为：
(s) |s j ( j) | ( j) | e j( j)
例子 以RC网络为例
❖ 其传递函数
T
duc dt
uc
ur
T RC
G(s) Uc(s) 1 Ur (s) Ts 1
频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应。 ➢控制系统在正弦信号作用下的稳态输出
输入信号： r(t) Ar sin t
其拉氏变换式：
R(s)
Ar s2 2
n
输出： C(s) R(s)(s)
Ci
B
D
i1 s si s j s j
拉氏反变换得：
n
c(t) Ciesit (De jt Be jt )
对数坐标系
5-2 典型环节的频率特性
一、比例环节（放大环节）
G( j) K K e j0o A()e j()
幅频特性
L() 20lg A() 20lg K
☺频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应；
基本要求
1. 正确理解频率特性的概念。
2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲 线及对数频率特性曲线。
3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数 幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。
4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频 特性曲线求开环传递函数的方法。
A
2T
2
稳态输出相位：arctg T
取：G( j) 1 1 (arc tg T ) jT 1 1 2T 2
G(j)能够完整描述网络在正弦信号作用下稳态输 出的幅值和相角与输入信号频率之间的规律。 G(j)即 为系统的频率特性。
幅频特性： G( j) | 1 1 2T 2
相频特性：G( j) arctgT
(dB)表示。 L() 20lg A() ~ (lg)
对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分 度，纵坐标采用线性分度用角度表示。
L()(dB) 0 0.1 1
10
20
( ) 0 o 0.1 1 10
45o 90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标以幅值对数分贝数为刻度，是均匀的；横坐 标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不 均匀的。——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10、5-50，而轴上所有十倍频程 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标 分贝数的变化量。
频域分析法——频率法和 稳定判定
频率特性法是经典控制理论中对系 统进行分析与综合的又一重要方法。
☺与时域分析法和根轨迹法不同； ☺频域性能指标与时域性能指标之间有内在联系； ☺频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解 析的方法得到系统的频率特性，也可以用实验的方 法测出稳定系统或元件的频率特性；
☆对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）
以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐 标为幅值，单位采用分贝。
例程：sys=tf([1],[1 1 1]); nichols(sys,{0.1,100}); grid
Bode图的优点
幅值的乘积简化为加减； 可以用叠加方法绘制Bode图； 可以用简便方法近似绘制Bode图； 扩大研究问题的范围； 便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。
:0
A() ~ 为系统的 幅频特性 。
() ~ 为系统的 相频特性 。
RC网络的幅频特性和相频特性
G(s)
s j
1
Tj 1
1
e j tan1(T) G( j)
(T)2 1
G( j) G( j)
0 1/T
1 1/ 2 0
00 45o 90o
RC网络的幅频特性和相频特性
0 1/T
RC G( j)
1 1/ 2 0
网 络
G( j)
00 45o 90o的源自幅相特性
曲
线
2、对数频率特性 ❖ 对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括
对数幅频和对数相频两条曲线。
对数幅频特性：
L() 20lg A() ~ (lg)
对数相频特性:
() ~ (lg)
对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取
10为底的对数 log10，纵坐标采用线性分度用分贝数
5. 熟练掌握Nyquist稳定判据和对数频率稳定判据。
6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的 定性关系。
8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段 的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分 析与比较。
5－1 频率特性
一、基本概念
cs (t) 2 Ar (e
2 e
2
(
j)
Ar
cos(t
(
j)
)
2
( j) Ar sin(t ( j))
Ac sin(t )
cs (t) Ac sin(t )
式中：
Ac ( j) Ar
( j)
结论：线性定常系统在正弦信号作用下，输出
稳态分量是和输入同频率的正弦信号。
二、频率特性的定义及求取方法