复频域分析法变换域分析

11.3 拉普拉斯反变换
例题11.4：已知 F ( s)
2s 1 s 3 7 s 2 10s
，求它的原函数 f (t)。
解：将分母分解因式得 F ( s)
2s 1 s( s 2)( s 5)
2 ss 11 2 A1 lim ss 0.0 1.1 lim ss 0 0s )( ss 55 )) s((ss 22 )( 0.1 0.5 0.6 F ( s) 22 ss 11 s s2 s5 A2 lim (s 2) 0.0 5.5 lim (s 2 ) ss 22 s )( ss 55 )) s((ss 22 )( f (t ) 0.1 0.5e2t 0.6e5t (t 0) 22 ss 11 A3 lim (s 5)5 0 6.6 lim (s ) .0 ss 55 s )( ss 55 )) s((ss 22 )(
11.3 拉普拉斯反变换
讨论n >m 情况 (1) F2(s)=0只有单根
非振荡过程
f (t ) A1e p1t A2e p2t Ane pnt
n Ak An A F1 ( s) A1 A2 F ( s) k F2 ( s) s p1 s p2 s pk s pn k 1 s pk
1 1 st0 A F ( s) A( e ) (1 e st0 ) s s s
5．位移性质
at L { e f (t )} F (s a) 若 L { f (t )} F (s) ，则
[Re( s a)
11.2 拉普拉斯变换的基本性质
6、初值定理
sF ( s) 存在，则 若 L { f (t )} F (s) ，且 lim s
(1) f (t ) A(1 e at )
(2) f (t ) sin t A A Aa at at F ( s) L{ A(1 e )} AL{1} AL{e } s s a s( s a) 1 j j t t 1 Lj{ F ( s ) L {sin t } e jt e )} F ( s) L{sin t} L{ (e t (e )}
2、微分性质
df (t ) 若 L { f (t )} F ( s) ，则 L sF ( s) f (0 ) dt 例题11.2: 应用微分性质求 f (t ) cos t 的象函数：
s 1 d 1 F ( s) L{cos t} L{ sin t} sL{sin t} sin t t 0 2 s 2 dt
at jj(( j ( t )) ) j( t at t jj( ( t ) ) at t t ) | A | e [ e e || A A || e e at [e e j( t e e j( t ] ] [ ) ) ]
t
11.2 拉普拉斯变换的基本性质
4、延迟性质
st0 L { f ( t t ) ( t t )} e F ( s) L { f ( t )} F ( s ) 若 ，则 0 0
根据上述性质可以方便地求出矩形脉冲的象函数。
f (t ) A[ (t ) (t t0 )}
f (0 ) lim f (t ) lim sF (s)
t 0 s
7．终值定理 若 L { f (t )} F (s), 且 s F ( s ) 所有极点都在S左半平面 ，则
f () lim f (t ) lim sF ( s)
t s 0
8、卷积定理
L { f1 (t ) f 2 (t )} F1 (s) F2 (s)
第11章 线性动态电路暂态过程的复频域分析
线性动态电路的暂态分析方法： 1、时域分析法：列解微分方程，高阶方程不易求解 2、复频域分析法：变换域分析，无需解微分方程 变换域分析法：
（1）相量法：求正弦稳态响应
正弦量 i1 i2 i
相量

I1 I 2 I
（2）复频域分析法：求线性动态电路暂态响应 无需解微分方程，对于高阶复杂动态电路更显得方便
记作：
F ( s) L{ f (t )}
二、常用函数的拉氏变换
1、单位阶跃函数


11.1 拉普拉斯变换
1 1 1 st st L[ (t )] )] 0 (t ) )e e dt dt 0 e e dt e e 0 0 0 s s 0 s
st st

st st
11 1 ( s(a ) ta ) t s LL [e dt e e dt [e ]] 00 e e dt 0 aa sa 0 ss
atat
2、指数函数



at st st at


3、单位冲激函数
L[ (t )] 0 (t )e dt 0 (t )e dt 1
s 1 例题11.5：已知 F ( s) 3 ，求它的原函数f(t)。 2 s 2s 2s 解：令 F2 ( s) s 3 2s 2 2s 0 得： p1 0 p2 a j 1 j A B B F ( s) s p1 s p2 s p3 p3 j 1 j
2 | A | e at cos(t )
f (t ) Ae j (A ej )t ( )jt )t j ( j ))tt jj j ( j j ( j ( j ) t A e e A e e A Ae e je e ( j ) Ae e je e ( j ) t t A Ae e Ae e
F ( S ) F1 ( S ) F2 ( S ) Fn ( S )
f ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) f n ( t )
S的有理分式
部分分式展开 拉氏反变换求f(t)
F1 ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 F ( s) F2 ( s) an s n an 1s n 1 a1s a0
st s0


0
11.2 拉普拉斯变换的基本性质
1、线性性质
若L[ f1 ( t )] F1 ( S ) , L[ f 2 ( t )] F2 ( S )
则 L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 ( S ) bF2 ( S )
例题11.1：求下列函数的象函数F(s)
Ak lim F (s)( s pk )
s pk
pk称为F（s）的极点
F1 ( s)( s pk ) F1 ( s) F1( s)( s pk ) F1 ( pk ) lim 或：Ak slim pk s p k F2 ( s) F2( s) F2( pk )


3、积分性质 t 1 若 L { f (t )} F ( s) ，则 L{ 0 f ( )d } F ( s ) s 例题11.3：求 f (t ) t (t ) 的象函数F(s) 。
t (t ) ( )d
0 t
1 1 F ( s) L{t (t )} L{ ( )d } L{ (t )} 2 0 s s
| A | e [e e at at at 2 | A | e cos( t )) 2 | A | e cos( t 22 |A | e cos( t ) at | A | e cos(t )
]
(tt 0 )E E) E ( t0 0 ( ) (t 0)

p1t p1t
p1t p2tp2t
p2t p 2 tp 2 t p 2 t
j s j t j t j ) tp j ( ) j ( ( )t j( (j )j( t j ) t 3 s 4 sj) 2j 3 4 s 2 s p s
L 1{F1 (s) F2 (s)} f1 (t ) f 2 (t )
二、拉氏反变换
11.3 拉普拉斯反变换
记作： f (t ) L1[F ( s)] 由F(s)求f(t)的变换称为拉氏反变换
求原函数一般采用部分分式展开法：
F1 ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 F ( s) F2 ( s) an s n an 1s n 1 a1s a0
A A F (s) * s p s p
pt pt f ( t ) A e A A pt (tt) ) A Ae e pt A ee ff ( e pt ptt p pt

11.3 拉普拉斯反变换 m m 1
振荡过程
pt pt

*
f (t ) Ae A e
A3 A1 A2 F ( s) s s2 s5
F1 ( s) bm s bm1s s n 1 a1s a0 (2) F2(s)=0为共轭复根 p1,2 j
11.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换


一个定义在[0，∞）区间的函数 f(t)，其拉氏变换定义为：
F( S )
0
f ( t )e
st
dt
式中：s = + jω (复参量，复数变量, 复频率) f(t) 称为原函数，是 t 的函数。
F(s) 称为象函数，是s 的函数。
拉氏变换存在条件：积分在复平面S的某范围内收敛
A A
11.3 拉普拉斯反变换