成都市高新区二诊数学试题(标准答案)
成都二诊数学试题及答案
成都二诊数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = |x| \)C. \( f(x) = x^3 \)D. \( f(x) = \sin(x) \)答案：C2. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 23B. 21C. 19D. 17答案：A3. 计算下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \]A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a > 0\) 且 \(b > 0\)，下列哪个点不可能在双曲线上？A. \((a, b)\)B. \((-a, -b)\)C. \((a, -b)\)D. \((-a, b)\)答案：A5. 计算下列定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \]A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：A6. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
A. -1B. 0C. 1D. 3答案：A7. 计算下列二项式展开式中 \( x^3 \) 的系数：\[ (x + 1)^5 \]A. 5B. 10C. 15D. 20答案：B8. 已知向量 \( \vec{a} = (2, 3) \) 和 \( \vec{b} = (-1, 2) \)，求向量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的点积。
A. -4B. -1C. 1D. 4答案：B9. 计算下列三角函数的值：\[ \cos(\frac{\pi}{3}) \]A. \(\frac{1}{2}\)B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D. 1答案：C10. 已知圆的方程为 \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \)，求圆心到直线 \( y = x \) 的距离。
2023_2024学年四川省成都市高三二诊数学(理)模拟测试卷(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三二诊数学（理）模拟测试卷一、单选题1．已知集合，则（ ）{}()20|{|2ln 2}3A x x x B x y x =+-≤==+，A B = A ．B ．C ．D ．(2,1]--(2,3]-(2,1]-[2,1]-【正确答案】C【分析】先化简集合然后用交集的定义即可求解,,A B 【详解】因为，{}{}23|1|230A x x x x x =+-≤-≤≤=，()}ln 2|2{}{|B x y x x x ===+>-所以(2,1]A B =- 故选：C2．若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ）()1iR 2i b b -∈+b A ．B ．6-3-C ．D ．36【正确答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据题意得到方程，解得即可.【详解】解：，()()()()()21i 2i 221i1i 2i 2i i 2i 2i 2i 55b b b b b b ----+---+===++-故由题设，解得；221b b -=--3b =-故选：B3．“”是“函数存在零点”的0m <2()log (1)f x m x x =+≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A 【详解】显然由于，所以当m<0时，函数f( x)= m+log 2x （x≥1）存在零点;反21,log 0x x ≥≥之不成立，因为当m=0时，函数f(x)也存在零点，其零点为1，故应选A ．4．已知，则的值为sin α=0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABCD【正确答案】A【详解】分析：根据同角三角函数关系由，于是可得sinα=cos α=，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．sin2,cos 2αα详解：∵，sin α=0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴cos α==∴，3sin22sin cos 25ααα===．224cos 212sin 125αα=-=-⨯=∴1413cos 22sin 262525πααα⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭故选A ．点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．5．的内角所对的边分别为，且，则的值为（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 20tan ,sin 43a B b A ==a A ．6B ．5C ．4D ．3【正确答案】B【分析】根据正弦定理可得，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得.sin 4a B =a 【详解】由得，又，所以，从而，,sin 4sin sin a b b A A B ==sin 4a B =20tan 3a B =3cos 5B =4sin 5B =所以.5a =故选：B6．已知函数的图象过点，若要得到一个偶函π())cos (03)2f x x x ωωω=--<<π(,0)3P 数的图象，则需将函数的图象()f x A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度2π32π3C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度π3π3【正确答案】B【详解】函数．由已知，所π()cos 2sin()6f x x x x ωωω-=-πππ()2sin(0336f ω=⨯-=以，解得．因为，所以，，所以πππ()36k k ω-=∈Z 13()2k k Z ω=+∈03ω<<0k =12ω=．令，得（），所以函数的1π()2sin(26f x x =-1πππ()262x k k -=+∈Z 4π2π3x k =+Z k ∈()f x 图象的对称轴为（）．时，对称轴方程为；时，对称轴4π2π3x k =+Z k ∈0k =4π3x =1k =-方程为．要得到一个偶函数的图象，可将该函数的图象向左平移个单位长度，或2π3x =-4π3向右平移个单位长度，故选B ．2π3点睛：本题主要考查了三角函数式的化简以及三角函数图象的变换，属于基础题；变换过程中三点提醒：（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是．sin y A x ω=()sin y A ωx φ=+ϕω||ϕ7．已知，是圆上的两个动点，，，若是线段A B 224+=O: x y ||2AB = 1233OC OA OB =+M 的中点，则的值为（ ）.AB OC OM ⋅A B ．C ．2D ．3【正确答案】D【分析】判断出是等边三角形，以为基底表示出，由此求得的值.OAB ∆,OA OB OM OC OM ⋅ 【详解】圆圆心为，半径为，而，所以是等边三角形.由于是线段O ()0,02||2AB =OAB ∆M 的中点，所以.所以AB 1122OM OA OB =+ OC OM ⋅ 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭ .22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+ 21422cos 603323=+⨯⨯⨯+= 故选：D本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为），则该几何体的体积1等于A ．B ．C ．D ．12π+5123π+4π+543π+【正确答案】A【详解】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由三视图可知该几何体是一个组合体，从下到上依次为：长宽高分别为的长方体；半径为的半球；底面半径为，高为的圆锥；2,2,31R =1R =1h =据此可得该几何体的体积为：.3214122311112233V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+本题选择A 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9．点，，，均在同一球面上，且，，两两垂直，且，，A B C D AB AC AD 1AB =2AC =，则该球的表面积为3AD =A ．B ．C ．D 7π14π72π【正确答案】B【分析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，A BCD -对角线的长为球的直径，然后解答即可．【详解】解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，A BCD -它也外接于球，对角线的长为球的直径，d =外接球的表面积是2414ππ=故选：B ．10．已知定义在R 上的奇函数满足，且当时，()f x ()()20f x f x +=+[0,1]x ∈，则下列不等式正确的是()21=log ()f x x +A ．B ．()()2log 756()f f f -<<()()2log 7()65f f f -<<C ．D ．()()25log (76)f f f <<-()()256o )l g 7(f f f -<<【正确答案】C【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期，然后利用函数的性质计算或估4T =()f x 计、、的值或范围即可比较大小.()2log 7f ()6f (5)f -【详解】由，得，所以，的周期.()()++2=0f x f x ()()=+2f x f x -()+4()f x f x =()f x 4T =又，且有，()()f x f x -=-()()20=0=f f -所以，.()()2551log 2==1()==f f f -----()()620f f ==又，所以，即，22log 73<<20log 721<-<270log 14<<因为时，，[0,1]x ∈()2()[]log 10,1f x x +∈=所以()222log 7log 727()(log )4f f f =--=-222277log (log 1)log (log )42=-+=-又，所以，所以，271log 22<<2270log (log 12<<2271log (log 02-<-<所以.2(5)(log 7)(6)f f f -<<故选：C.本题主要考查根据已知条件推导抽象函数的周期性并利用函数的奇偶性、周期性等性质，再结合函数在指定区间的解析式比较函数值的大小问题，试题综合性强11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上A 24x y =B P 且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的||||PA m PB =m P ,A B 离心率为（ ）A B C D 11【正确答案】C【分析】首先利用两点间距离表示，再结合基本不等式求最值，并且求得点的坐标，根2m P 据双曲线上的点和焦点坐标，即可求得双曲线的离心率.【详解】设，，，则(,),0P x y y ≥()0,1A -()0,1B()()222222222222(1)4(1)4(1)4112(1)(1)141PA x y y y y y y m PB y y x y y y ++++++=====+≤=+++-+-，当且仅当时取等号，此时, ，1y =()2,1P ±22c =所以.1c e a ===故选：C12．已知，，若存在，，使得，{|()0}M f αα=={|()0}N g ββ==M α∈N β∈||n αβ-<则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“度零点函数”，()f x ()g x n 2()21x f x -=-2()e xg x x a =-1则实数的取值范围为a A ．B ．C ．D ．214(,]e e214(,]e e 242[,e e3242[,e e【正确答案】B【详解】易知函数在上单调递增，且，所以函数只有一个零点()f x R 22(2)210f -=-=()f x 2，故.由题意知，即，由题意，函数在内存在零点，由{2}M =|2|1β-<13β<<()g x (1,3)，得，所以，记，则2()e 0x g x x a =-=2e x a x =2e xx a =2()((1,3))e x x h x x =∈，所以当时，，函数单调递增；222e e (2)()((1,3))(e )e x x x xx x x x h x x --==∈'(1,2)x ∈()0h x '>()h x 当时，，函数单调递减.所以.而，(2,3)x ∈()0h x '<()h x 24()(2)e h x h ≤=1(1)e h =，所以，所以的取值范围为.故选B.391(3)e e h =>214()(2)e e h x h <≤=a 214(,]e e 点睛：本题通过新定义满足“度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇1到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为，即求函2exx a =数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.二、填空题13．已知向量满足，则的夹角等于,a b ()cos2018,sin2018,2a a b =+=,a b __________.【正确答案】π3【分析】将两边平方可得，然后利用夹角公式即可求得答案a +1a b ⋅= 【详解】由条件知1,2,a b a b ===+= 则所以，222||27,a b a b a b +=++⋅= 1a b ⋅= 故1cos ,,2a b a b a b ⋅==因为所以0,π,a b ≤≤,3a b π=故π314．若的展开式中的系数为,则常数项为________.()()512x a x ++3x 20【正确答案】14-根据二项展开式的通项公式,写出的系数列方程求出的值,即可求得答案.3x a 【详解】的展开式中的系数为:()()512x a x ++3x 2233552220C a C ⋅+⋅⋅=∴408020a +=解得:14a =-∴()()()55112124x a x x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭=的二项式展开通项公式为:()512x +()5152rrr T C x -+=的常数项为:.∴()51124x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()550544211x C --=-故答案为:.14-本题主要考查了展开式中的常数项,解题关键是掌握二项式通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15．点M 是双曲线渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2+y 2-4x +3=0相切，2214y x -=则圆M 的半径的最小值等于________.1【分析】先得到渐近线方程，再根据圆M 的半径最小，得到圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x -y =0垂直.此时圆M 的半径的最小值r min =|MC |min -R ，从而可解.【详解】不妨设点M 是渐近线2x -y =0上一点.∵圆C ：x 2+y 2-4x +3=0的标准方程为，()2221x y -+=∴圆心C （2，0），半径R =1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x -y =0垂直.因此圆M 的半径的最小值r min =|MC |min -R .由于，故.min ||MC =min 1r -116．如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形ABCD 6AB =3BC =4CD =5AD =的面积为_____________．ABCD【正确答案】【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围0＜C ＜π，利用同角三22477BD =3cos 7C =-角函数基本关系式可求sin C ，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】如图所示，连接，因为为圆内接四边形，BD ABCD所以180°，则，利用余弦定理得，A C +=cos cos A C =-22265cos 265BD A +-=⨯⨯，解得，所以．22234cos 234BD C -+=⨯⨯22477BD =3cos 7C =-由，得22sin cos 1C C +=sin C因为，所以，180A C +=︒sin sin A C ==．11563422ABD BCD ABCD S S S =+=⨯⨯⨯⨯= 四边形故答案为.本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题17．已知等比数列的前项和为， ，， 是，{}n a n n S 12a =()*0n a n N >∈66S a +44S a +的等差中项.55S a +（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，数列的前项和为，求.1212log n n b a -=12n n b b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T 【正确答案】(1) .212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2).221n nT n =--【分析】（1）由是，的等差中项，推出，再根据数列是等比66S a +44S a +55S a +644a a ={}n a 数列，即可求得公比，从而可得数列的通项公式；（2）根据（1）可得数列的通项{}n a {}n b 公式，进而可得数列的通项公式，再根据裂项相消法求和，即可求得.12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【详解】（1）∵是，的等差中项，66S a +44S a +55S a +∴()6644552S a S a S a+=+++∴，66445566S a S a S a S a +--=+--化简得，，644a a =设等比数列的公比为，则，{}n a q 26414a q a ==∵，∴，∴，()*0n a n N>∈0q >12q =∴.1211222n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得.2n-31211221log log ()232n n b a n -===-设.()()1221123212321n n n C b b n n n n +===-----∴121111111112111133523212121n n n T C C C n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.：本题主要考查求等比数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（3）；（4）1k=()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A ，B 两个项目，每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人，分别统计他们A ，B 两个项目的测试成绩，得到A 项目测试成绩的频率分布直方图和B 项目测试成绩的频数分布表如下：B 项目测试成绩频数分布表分数区间频数[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]35将学生的成绩划分为三个等级，如下表：分数[0,30)[30,50)[50,60]等级一般良好优秀(1)在抽取的100人中，求A 项目等级为优秀的人数；(2)已知A 项目等级为优秀的学生中女生有14人，A 项目等级为一般或良好的学生中女生有34人，试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关？优秀一般或良好总计男生女生总计(3)将样本的概率作为总体的概率，并假设A 项目和B 项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计其A 项目等级比B 项目等级高的概率.参考数据：P (K 2≥k 0)0.100.0500.0250.0100.001k 02.7063.8415.0246.63510.828参考公式K 2＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++【正确答案】（1）40；（2）详见解析；（3）0.3.（1）根据A 项目测试成绩频率分布直方图，计算出A 项目等级为优秀的频率，由此计算出A 项目等级为优秀的人数.（2）填写好列联表，计算出的值，由此判断有95%以上的把握认为“A 项目等级为优22⨯2K 秀”与性别有关.（3）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】(1)由A 项目测试成绩频率分布直方图，得A 项目等级为优秀的频率为0.04×10＝0.4，所以A 项目等级为优秀的人数为0.4×100＝40.(2)由(1)知A 项目等级为优秀的学生中，女生数为14人，男生数为26人.A 项目等级为一般或良好的学生中，女生数为34人，男生数为26人.作出如下2×2列联表：优秀一般或良好总计男生262652女生143448总计4060100则K 2＝≈4.514.1002634261440604852⨯⨯-⨯⨯⨯⨯由于4.514＞3.841，所以有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关.(3)设“A 项目等级比B 项目等级高”为事件C .记“A 项目等级为良好”为事件A 1，“A 项目等级为优秀”为事件A 2，“B 项目等级为一般”为事件B 0，“B 项目等级为良好”为事件B 1.于是P (A 1)＝(0.02＋0.02)×10＝0.4，P (A 2)＝0.4.由频率估计概率得P (B 0)＝＝0.1，P (B 1)＝＝0.55.235100++1540100+因为事件Ai 与Bj 相互独立，其中i ＝1,2，j ＝0,1，所以P (C )＝P (A 1B 0＋A 2B 0＋A 2B 1)＝0.4×0.1＋0.4×0.1＋0.4×0.55＝0.3.所以随机抽取一名学生，其A 项目等级比B 项目等级高的概率为0.3.本小题主要考查根据频率分布直方图计算频数，考查列联表独立性检验，考查相互独立22⨯事件概率乘法公式，考查数据分析与处理能力，属于中档题.19．在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）中，侧面底面，底面111ABC A B C -11AA C C ⊥ABC 是边长为2的正三角形，，.ABC 11A A A C =11⊥A A AC（1）求证：；111A C B C ⊥（2）求二面角的正弦值.111B A C C --【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明，，证得11A C D 1B D CD 11⊥CD A C 111B D A C ^平面，由此证得.11A C ⊥1B CD 111A C B C⊥（2）解法一：利用几何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值，再求得其正弦值.解法二：建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦11A B C 11A C C 值，再求得其正弦值.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，，11A C D 1B D CD ∵，111==C C A A A C ∴，11⊥CD A C ∵底面是边长为2的正三角形，ABC ∴，，2AB BC ==11112A B B C ==∴，又，111B D A C ^1⋂=B D CD D ∴平面，且平面，11A C ⊥1B CD 1B C 1B CD ∴.111A C B C ⊥（2）解法一：如上图，过点作于点，连接.D 1DE A C ⊥E 1B E ∵侧面底面，11AA C C ⊥ABC ∴侧面平面，又，侧面平面，11AA C C ⊥111A B C 111B D A C ^11AA C C 11111A B C A C =∴侧面，又平面，1B D ⊥11AA C C 1A C 11AA C C ∴，又且，11B D A C ⊥1DE A C ⊥1⋂=B D DE D ∴平面，∴，1A C ⊥1B DE11⊥B E AC ∴为所求二面角的平面角，1∠B ED ∵，∴，1111112A B B C A C ===1B D =又∴，112==EDCC 11tan ∠===B DB ED ED∴二面角.111B A C C --法二：如图，取的中点，以为坐标原点，射线，，分别为，，轴的AC O O OB OC1OA x y z 正方向建立空间直角坐标系，则，(0,0,0)O ，，，，B 1(0,0,1)A 11,1)-B 1(0,2,1)-C (0,-1,0)C ∴，，111,0)A B =-1(0,1,1)AC =-- 设为平面的法向量，(,,)m xy z =11A B C ∴，11100m A B y m A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令，得，y= m 又为平面的一个法向量，n =11A C C 设二面角的大小为，显然为锐角，111B A C C --θθcos cos ,m θ=〈则∴二面角.sin θ==111B A C C --本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为22(0)x py p =>222(0)x y r r +=>F 4.(1)求抛物线和圆的方程；(2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与轴的交点为，求F ,A B A x M 面积的最小值.ABM △【正确答案】(1)225x y +=【分析】（1）由题意可知，求得的值，得到抛物线的方程，进而求得圆的方程. p （2）设直线的方程为：，联立方程组，求的及，利用导数求得切l =+1y kx 1212,x x x x +||AB 线方程，得到，利用点到直线的距离公式，求的距离，表示出面积的表达式，利用导数，M 研究函数的单调性和最值，即可得到结论.【详解】（1）由题意可知，为公共弦长，且,，则EP =4EP (0,)2pF (,2p P p 所以，则，故抛物线的方程为.=2=4EP p =2p 24x y =又，所以， 所以圆的方程为.22222p p OF r ⎛⎫+== ⎪⎝⎭25r =225x y +=（2）,设直线的方程为：，并设，(0,1)F l =+1y kx ()()1122,,,A x y B x y 联立，消可得，.2=4=+1x y y kx ⎧⎨⎩y 2440x kx --=所以,12124,4x x k x x +==-.()241k =+由于，则，所以在点的切线的斜率为，切线为，214y x =2x y '=A 12x ()1112x y y x x -=-令，可得，， 所以点到直线的距离=0y 1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭M ABd故，(21141222ABM S AB d k =⋅=⨯++ 又，代入上式并整理可得：21111144y x k x x --==，令，可得为偶函数，()22114116ABM x S x +=()()224x f x x+=()f x 当时，，0x >()()2234168x f x x x xx +==++，令，可得()()()222224341638x x f x x x x +-=+'-=()=0f x 'x =当，，单调递减，当，，单调递增，x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x x ∞⎫∈+⎪⎭()0f x '>()f x 所以，因此当的最小值为x =()f x 1x =ABM S .116=本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，利用题设条件确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．已知函数，且.()()()ln ,g x ax a x f x xg x =--=()0g x ≥(1)求实数的值；a (2)证明：存在，且时，.0x ()00f x '=00101x x <<<<，()()0f x f x ≤【正确答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）要使，即，对求导，得到的单调性和最值，即可()0g x ≥()min 0g x ≥()g x ()g x 求出实数a 的值；（2）对求导，则，设，再对求导，利用导数()f x ()22ln f x x x'=--()22ln h x x x=--()h x 性质推导出是在的唯一极大值点，即可证明.0x x =()f x ()0,1【详解】（1）显然的定义域为，且.()g x ()0,∞+()1,0g x a x x '=->因为，且，故只需.()0g x ≥()10g =()10g '=又，则，∴.()11g a '=-10a -=1a =若，则.显然当时，，此时在上单调递减；1a =()11g x x '=-01x <<()0g x '<()g x ()0,1当，，此时在（1，+∞）上单调递增.1x >()0g x '>()g x 所以是的唯一极小值点，1x =()g x 故.综上，所求的值为1.()()10g x g ≥=a （2）由（1）知.()()2ln ,22ln f x x x x x f x x x=-'--=-设，则()22ln h x x x=--()12h x x'=-当时，；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<当时，，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0h x '>所以在上单调递减，()h x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭在上单调递增.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()21e 0,0,10,2h h h -⎛⎫><= ⎪⎝⎭又所以在有唯一零点，在上有唯一零点1，()h x 10,2⎛⎤ ⎝⎦0x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭且当时，；当时；()00,x x ∈()0h x >()0,1x x ∈()0h x <因为，所以是的唯一极大值点.()()f x h x '=0x x =()f x 即是在的最大值点，所以成立.0x x =()f x ()0,1()()0f x f x ≤22．在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，xOy 1:0l x =()(22:111C x y -+-=轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x (1)求的极坐标方程；1,l C (2)若直线的极坐标方程为，设与的公共点分别为，求的面积.2l()πR 4θρ=∈12,l l C ,A B OAB 【正确答案】(1)答案见解析；(2)1+【分析】（1）由公式法求出的极坐标方程；1,l C（2）、代入)=0求得、ρ2，由此能求π2θ=π4θ=(22cos 21sin ρρθρθ--1ρ出△OAB 的面积．【详解】（1）∵，cos ,sin x y ρθρθ==∴的极坐标方程为，即，1lcos 0ρθ=()πR 2θρ=∈的极坐标方程为.C (22cos 21sin 30ρρθρθ--++=（2）将代入，π2θ=(22cos 21sin 30ρρθρθ--++=得，解得(22130ρρ-+++=11ρ=+将代入，π4θ=(22cos 21sin 30ρρθρθ--++=得，解得(22130ρρ-+++=21ρ=故△OAB 的面积为.(21π1sin 124⨯⨯=23．已知.()11f x x ax =+--（1）当时，求不等式的解集；=1a ()1f x >（2）若时不等式成立，求的取值范围.()0,1x ∈()f x x>a 【正确答案】（1）；（2）．1>2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(]0,2【分析】（1）方法一：将代入函数解析式，求得，利用零点分段法将=1a ()11f x x x =+--解析式化为，分类讨论即可求得不等式的解集；()2,1,=2,1<<1,2, 1.x f x x x x -≤--≥⎧⎪⎨⎪⎩（2）方法一：根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可()0,1x ∈()f x x>以化为时，分情况讨论即可求得结果.()0,1x ∈11ax -<【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法当时，，即，所以不等式等价于=1a ()11f x x x =+--()2,1=2,1<<12,1x f x x x x -≤--≥⎧⎪⎨⎪⎩()1f x >或或，解得：．12>1x ≤--⎧⎨⎩1<<12>1x x -⎧⎨⎩12>1x ≥⎧⎨⎩12x >故不等式的解集为．()1f x >1>2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭［方法二］：【最优解】数形结合法如图，当时，不等式即为．=1a ()1f x >|1||1|1x x +-->由绝对值的几何意义可知，表示x 轴上的点到对应的点的距离减去到1对应|1||1|x x +--1-点的距离．结合数轴可知，当时，，当时，1=2x |1||1|1x x +--=12x >．故不等式的解集为．|1||1|1x x +-->()1f x >1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论当时，成立等价于当时，成立．()0,1x ∈11x ax x +-->()0,1x ∈11ax -<若，则当时，；0a ≤()0,1x ∈111ax ax -=-≥若，由得，，解得：，所以，故．0a >11ax -<111ax -<-<20x a <<21a ≥02a <≤综上，的取值范围为．a (]0,2［方法二］：平方法当时，不等式成立，等价于时，成立，即(0,1)x ∈|1||1|x ax x +-->(0,1)x ∈11ax -<成立，整理得．2211ax -<(2)0ax ax -<当时，不等式不成立；=0a 当时，，不等式解集为空集；0a <(2)0ax ax ->当时，原不等式等价于，解得．0a >220a x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭20x a <<由，解得．故a 的取值范围为．>021a a ≥⎧⎪⎨⎪⎩02a <≤(0,2]［方法三］：【最优解】分离参数法当时，不等式成立，等价于时，成立，(0,1)x ∈|1||1|x ax x +-->(0,1)x ∈|1|1ax -<即，解得：，而，所以．故a 的取值范围为．111ax -<-<20a x <<22x >02a <≤(0,2]【整体点评】（1）方法一：利用零点分段法是解决含有两个以及以上绝对值不等式的常用解法，是通性通法；方法二：利用绝对值的几何意义解决特殊类型的绝对值不等式，直观简洁，是该题的最优解．（2）方法一：分类讨论解出绝对值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通()0,1法；方法二：本题将绝对值不等式平方，转化为解含参的不等式，利用是不等式解集的子集()0,1求出，虽可解出，但是增加了题目的难度；方法三：利用分离参数，将不等式问题转化为恒成立最值问题，思想简单常见，是该题的最优解．。
2020年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷-含答案【打印版】
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2020年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列各数中，比−1小的数是( )A. −2B. 0C. 1D. 2 2. 如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是( )A.B.C.D.3. 2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵在北京天安门广场隆重举行，此次阅兵规模空前，这次阅兵编59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约15000人．将数据15000用科学记数法表示为( ) A. 0.15×105 B. 1.5×104 C. 15×105 D. 1万5千 4. 下列计算正确的是( )A. a 2+a 3=a 5B. a 2⋅a 3=a 6C. (a 2)3=a 5D. a 5÷a 3=a 25. 在平面直角坐标系中，若点A(2,a)在第四象限内，则点B(a,2)所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 6. 分式方程3x−2−2x =0的解为( )A. x =2B. x =3C. x =4D. x =−47. 4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：读书时间(小时) 4 5 6 7 8 学生人数610987则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是( ) A. 6，5 B. 6，6 C. 6.5，6D. 6.5，58. 如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC 的直角顶点放在矩形桌面CDEF 的一个顶点C 处，桌面的另一个顶点F 与三角板斜边相交于点F ，如果∠1=50°，那么∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40° 9. 如图，在⊙O 中，若∠CDB =60°，⊙O 的直径AB 等于4，则BC 的长为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 4√310. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )A. abc >0B. a −b +c =2C. 4ac −b 2<0D. 当x >−1时，y 随x 增大而增大第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共9小题，共36.0分） 11. 实数4的算术平方根为______．12. 如图，BA ⊥AC ，CD//AB ，BC =DE ，且BC ⊥DE ，若AB =5，CD =8，则AE =______． 13. 同一直角坐标系中，一次函数y =k 1x +b 与正比例函数y =k 2x 的图象如图所示，则满足k 1x +b >k 2x 的x 取值范围是______．14. 如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 、F ；②作直线EF 交BC 于点G ，连接AG ；若AG ⊥BC ，CG =3，则AD 的长为______．15. 若实数a 满足√(a −2)2=a −1，且0<a <√3，则a =______．16. 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2−(2m −1)x −14=0的两个实数根，且x 1−x 2=1，则m =______．第2页，共12页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 如图，在等边△ABC 内任取一点D ，连接CD ，BD 得到△CDB ，如果等边△ABC内每一点被取到的可能性都相同，则△CBD 是钝角三角形的概率是______． 18. 如图，直线l 与反比例函数y =kx (k ≠0)的图象在第二象限交于B 、C 两点，与x 轴交于点A ，连接OC ，∠ACO 的角平分线交x 轴于点D.若AB ：BC ：CO =1：2：2，△COD 的面积为6，则k 的值为______．19. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =6√2，∠EDF 的顶点D 是AB的中点，且∠EDF =45°，现将∠EDF 绕点D 旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF 的两边DE 、DF 分别交直线AC 于点G 、H ，把△DGH沿DH 折叠，点G 落在点M 处，连接AM ，若AHAM =34，则AH 的长为______．三、解答题（本大题共9小题，共84.0分） 20. (1)计算：−12+(13)−1×4√3−|1−2cos30°|；(2)解不等式组：{5x −6≤2(x +3)①x 4−1<x−23②．21. 先化简，再求值：x 2−1x 2−2x+1÷x+1x−1−1−x1+x ，x =√2−1．22. 2020年春节联欢晚会传承创新亮点多，收视率较往年大幅增长．成都高新区某学校对部分学生就2020年春晚的关注程度，采用随机抽样调査的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图(其中A 表示“非常关注”；B 表示“关注”；C 表示“关注很少”；D 表示“不关注”)．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)直接写出m =______；估计该校1800名学生中“不关注”的人数是______人；(2)在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．23. 成都市天府一南站城市立交桥是成都市政府确定的城建标志性建筑，如图是立交桥引申出的部分平面图，测得拉索AB 与水平桥面的夹角是37°，拉索DE 与水平桥面的夹角是67°，两拉索顶端的距离AD 为2m ，两拉索底端距离BE 为10m ，请求出立柱AC 的长．(参考数据tan37°≈34，sin37°≈45，cos37°≈35，tan67°≈125，sin67°≈1213，cos67°≈513)24. 如图，一次函数y =x +b 的图象与反比例函数y =kx (k 为常数且k ≠0)的图象交于A(−1,a)、B 两点，与x 轴交于点C(−4,0)． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点D 是第四象限内反比例函数图象上的点，且点D 到直线AC 的距离为5√2，求点D 的横坐标．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………25. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 、BD 相交于点F ，AC 是⊙O 的直径，延长CB 到点E ，连接AE ，∠BAE =∠ADB ，AN ⊥BD ，CM ⊥BD ，垂足分别为点N 、M ．(1)证明：AE 是⊙O 的切线；(2)试探究DM 与BN 的数量关系并证明；(3)若BD =BC ，MN =2DM ，当AE =√2时，求OF 的长．26. 一名大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，在成都市高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，计划销售一种产品．已知该产品成本价是20元/件，其销售价不低于成本价，且不高于30元/件，员工每人每天的工资为200元．经过市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求每件产品销售价为多少元时，每天门店的纯利润最大？最大纯利润是多少？ (纯利润=销售收入−产品成本−员工工资)27. 将矩形ABCD 沿对角线BD 翻折，点A 落在点A′处，AD 交BC 于点E ，点F 在CD 上，连接EF ，且CE =3CF ，如图1．(1)试判断△BDE 的形状，并说明理由； (2)若∠DEF =45°，求tan ∠CDE 的值；(3)在(2)的条件下，点G 在BD 上，且不与B 、D 两点重合，连接EG 并延长到点H ，使得EH =BE ，连接BH 、DH ，将△BDH 沿DH 翻折，点B 的对应点B′恰好落在EH 的延长线上，如图2.当BH =8时，求GH 的长．28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(−3,0)、B(2,0)两点，与y 轴交于点C(0,3)． (1)求抛物线的解析式；(2)点E(m,2)是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ．①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时，求出线段EF 的长； ②点G 为y 轴左侧抛物线上一点，过点G 作直线CE 的垂线，垂足为H ，若∠GCH =∠EBA ，请直接写出点H 的坐标．第4页，共12页答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、−2<−1，故正确；B、0>−1，故本选项错误；C、1>−1，故本选项错误；D、2>−1，故本选项错误；故选A．根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．本题考查了有理数的大小比较，注意：正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2.【答案】B【解析】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是两个小正方形，故选：B．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单几何体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．3.【答案】B【解析】解：将15000用科学记数法表示为：1.5×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】D【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，错误；B、a2⋅a3=a5，错误；C、(a2)3=a6，错误；D、a5÷a3=a2，正确．故选：D．根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法计算即可．此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法，关键是根据法则进行计算．5.【答案】B【解析】解：∵点A(2,a)在第四象限内，∴a<0，则点B(a,2)所在的象限是第二象限，故选：B．先根据点A(2,a)在第四象限内得出a<0，据此可得点B所在象限．本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点．6.【答案】D【解析】解：去分母得：3x−2(x−2)=0，去括号得：3x−2x+4=0，解得：x=−4，经检验x=−4是分式方程的解．故选D．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7.【答案】A【解析】解：由表格可得，读书时间为5小时最多，故一周读书时间的众数为5，该班学生一周读书时间的第20个数6和第21个数是6，故该班学生一周读书时间的中位数为6+62=6，故选：A．根据表格中的数据可知该班有学生40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决．本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数．8.【答案】B【解析】解：∵四边形CDEF为矩形，∴EF//DC，∴∠AGE=∠1=50°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A=30°，∴∠AFE=∠AGE−∠A=20°．故选B．由四边形CDEF为矩形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可．此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵∠CDB=60°，∴∠CAB=∠CDB=60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CBA=30°，∵，⊙O的直径AB等于4，∴BC=2√3，故选：C．根据圆周角定理得出∠CAB=60°，进而利用含30°的直角三角形的性质解答即可．此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据圆周角定理得出∠CAB=60°解答．10.【答案】C【解析】解：根据抛物线y=ax2+bx+c的图象可知：A、a>0，b>0，c<0，∴abc<0，所以A选项错误；B、当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，所以B选项错误；C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以△>0，即b2−4ac>0，所以4ac−b2<0，所以C选项正确；D、当x>−1时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，所以D选项错误．故选：C．A、根据抛物线y=ax2+bx+c的图象可得a>0，b>0，c<0，即可判断；B、当x=−1时，y<0，即可判断；C、因为抛物线与x轴有两个交点，可得△>0即可判断；D、当x>−1时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，即可判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．11.【答案】2【解析】解：∵22=4，∴4的算术平方根是2．故答案为：2．依据算术平方根根的定义求解即可．本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．12.【答案】3【解析】解：∵BA⊥AC，CD//AB，∴CD⊥AC，∠B=∠DCB，∴∠A=∠DCE=90°，∵BC⊥DE，∴∠DCB+∠CDE=∠DCB+∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CDE，在△ABC和△CED中，∵{∠A=∠DCE∠ACB=∠CDE BC=DE，∴△ABC≌△CED(AAS)，∴AB=CE=5，AC=CD=8，∴AE=AC−CE=8−5=3；故答案为：3．证明△ABC≌△CED(AAS)，得出AB=CE=5，AC=CD=8，即可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．13.【答案】x<−3【解析】解：当x≤−3时，直线l1：y1=k1x+b都在直线l2：y2=k2x的上方，即k1x+b>k2x.∴满足k1x+b>k2x的x取值范围是x<−3，故答案为：x<−3．观察函数图象得到当x≤−3时，直线l1：y1=k1x+b都在直线l2：y2=k2x的上方，即y1>y2．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了观察函数图象的能力．14.【答案】6+3√2【解析】解：由作法得EF垂直平分AB，∴AG=BG，∵AG⊥BC，∴△ABG是等腰直角三角形，∴AB=√2AG，设AG=BG=x，则AB=√2x，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=√2x，∵CG=3，∴BC=x+3=√2x，解得：x=3(√2+1)，∴AD=AB=6+3√2，故答案为：6+3√2．由作法得到EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到AG=BG，根据等腰直角三角形的性质得到AB=√2AG，设AG=BG=x，则AB=√2x，根据菱形的性质健康得到结论，本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的性质和解直角三角形．15.【答案】32【解析】解：∵√(a−2)2=a−1，且0<a<√3，∴2−a=a−1，∴a=32，故答案为：32．先确定√3<2，所以由已知得a<2，可化简二次根式√(a−2)2=2−a，解方程计算即可．本题主要考查的是二次根式的化简，解一元一次方程，掌握二次根式的性质是解题的关键．16.【答案】12【解析】解：根据题意知x1+x2=2m−1①，x1x2=−14②，∵x1−x2=1③，由①③，得：{x1=mx2=m−1，代入②，得：m(m−1)=−14，解得m=12，故答案为：12．先根据根与系数的关系得出x1+x2=2m−1①，x1x2=−14②，结合x1−x2=1求出{x1=mx2=m−1，将其代入②求解可得．本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．第6页，共12页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17.【答案】12−√3π18【解析】解：如图，取BC 的中点O ，以O 为圆心，BC 为直径画半圆，交AB 于E ，连接OE ，当D 在半圆上时，∠BDC =90°，∵△CBD 是钝角三角形时，只能∠BDC >90°，∴点D 落在如图所示的半圆O 内时，△CBD 是钝角三角形， 设等边三角形的边长为2a ， 半圆的面积为12πa 2，等边△ABC 的面积是√34×(2a)2=√3a 2，∴满足∠BDC >90°的概率是√3a 2−[12πa 2−2(60πa 2360−√34a 2)]√3a 2=12−√3π18， ∴△CBD 是钝角三角形的概率12−√3π18；故答案为：12−√3π18．由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案．此题考查了等边三角形和概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.【答案】−152【解析】解：∵AB ：BC ：CO =1：2：2， ∴设AB =x ，BC =CO =2x ，如图1，过D 作DE//l ，交OC 于E ，∴∠ACD =∠CDE ， ∵CD 平分∠ACO ， ∴∠ACD =∠DCE ， ∴∠DCE =∠CDE ， ∴DE =CE ，设DE =a ，则CE =a ，OE =2x −a ， ∵DE//AC ，∴△DOE∽△AOC ， ∴DEAC =OECO ，即a3x =2x−a 2x，∴x(6x −5a)=0，∵x ≠0，∴6x −5a =0，a =65x ， ∵DE AC=OD AO=65x 3x=25， ∴S △COD S △AOC=25， ∵△COD 的面积为6， ∴△AOC 的面积为15，如图2，过B 作BG ⊥x 轴于G ，过C 作CH ⊥x 轴于H ，∴BG//CH ，∴△ABG∽△ACH ， ∴BG CH=AB AC，∵AB ：BC =1：2， ∴BGCH =13，设BG =b ，CH =3b ，∵直线l 与反比例函数y =kx (k ≠0)的图象在第二象限交于B 、C 两点， ∴B(kb ,b)，C(k3b ,3b)， ∴GH =k 3b −k b =−2k 3b，∵AG GH =ABBC =12， ∴AG =12GH =−k 3b，∴OA =AG +OG =−k3b −kb =−4k3b ， ∵S △ACO =12⋅AO ⋅CH =15，12⋅(−4k3b )⋅3b =15， k =−152， 故答案为：−152．根据已知的比设AB =x ，BC =CO =2x ，如图1，过D 作DE//l ，交OC 于E ，根据角平分线的定义和平行线的性质得：∠DCE =∠CDE ，所以DE =CE ，由△DOE∽△AOC ，列比例式，可得6x −5a =0，a =65x ，……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得△AOC 的面积为15，如图2，过B 作BG ⊥x 轴于G ，过C 作CH ⊥x 轴于H ，证明△ABG∽△ACH ，得BGCH =13，设BG =b ，CH =3b ，表示B(kb ,b)，C(k3b ,3b)，根据三角形面积列式可得结论．本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及三角形的面积问题，解题时注意：同高三角形的面积等于对应底边的比，注意设未知数表示线段的长．19.【答案】9√22或3√22或3√2【解析】解：①如图1中，当点H 在线段AC 上，点G 在AC 的延长线上时，连接CD ，作DJ ⊥AC 于J ，设AH =3k ，AM =4k ．∵CA =CB ，∠ACB =90°，AD =DB ， ∴CD ⊥AB ，CD =DA =DB ，∴∠ACD =∠DCB =45°，∠DCG =135°， ∵∠EDF =∠EDM =45°，DG =DM ， ∴∠ADC =∠MDG ， ∴∠ADM =∠CDG ，∴△ADM≌△CDG(SAS)， ∴∠DAM =∠DCG =135°， ∵∠CAB =45°， ∴∠CAM =90°，∴MH =GH =√AM 2+AH 2=√(3k)2+(4k)2=5k ， ∵∠GDH =∠GAD =45°，∠DGH =∠AGD ， ∴△DGH∽△AGD ， ∴DGAG =GHDG ，∴DG 2=GH ⋅GA =40k 2，∵AC =BC =6√2，∠ACB =90°， ∴AB =√2AC =12， ∴AD =CD =6， ∵DJ ⊥AC ，∴AJ =JC =3√2，DJ =AJ =IC =3√2， ∴GJ =8K −3√2，在Rt △DJG 中，∵DG 2=DJ 2+GJ 2， ∴40k 2=(8k −3√2)2+(3√2)2， 解得k =3√22或√22(舍弃)， ∴AH =3k =9√22．②如图2中，当点H 在线段AC 上，点G 在上时，连接CD ，作DJ ⊥AC 于J ，设AH =3k ，AM =4k ．同法可得：40k 2=(8k −3√2)2+(3√2)2，解得k =3√22(舍弃)或√22， ∴AH =3k =3√22．③如图3中，当点H 在线段CA 的延长线上，点G 在线段AC 上时，连接CD ，作DJ ⊥AC 于J ，设AH =3k ，AM =4k ．同法可得：10k 2=(3√2−2k)2+(3√2)2，解得k =√2或−3√2(舍弃)， ∴AH =3k =3√2，综上所述，满足条件的AH 的值为9√22或3√22或3√2． 故答案为9√22或3√22或3√2． 分三种情形：①如图1中，当点H 在线段AC 上，点G 在AC 的延长线上时，连接CD ，作DJ ⊥AC 于J ，设AH =3k ，AM =4k.②如图2中，当点H 在线段AC 上，点G 在上时，连接CD ，作DJ ⊥AC 于J ，设AH =3k ，AM =4k.③如图3中，当点H 在线段CA 的延长线上，点G 在线段AC 上时，连接CD ，作DJ ⊥AC 于J ，设AH =3k ，AM =4k.首先证明AM ⊥AC ，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可． 本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．20.【答案】解：(1)原式=−1+3×4√33−|1−2×√32|第8页，共12页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………=−1+4√3−|1−√3| =−1+4√3−(√3−1) =−1+4√3−√3+1=3√3；(2)解不等式①，得：x ≤4， 解不等式②，德：x >−4，则不等式组的解集为−4<x ≤4．【解析】(1)先计算乘方、负整数指数幂、分母有理化、代入三角函数值，再计算乘法和绝对值符号内的运算，继而去绝对值符号，最后计算加减可得；(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】解：原式=x 2−1x 2−2x+1÷x+1x−1−1−x1+x． =(x −1)(x +1)(x −1)2⋅x −1x +1+x −1x +1=1+x−1x+1， =x+1+x−1x+1，=2xx+1，当x =√2−1时，原式=2(√2−1)√2−1+1=2√2−2√2=2−√2．【解析】把分式的分子、分母分解因式，再把除法化为乘以，约分，然后代入x 的值计算即可．本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 22.【答案】25 330【解析】解：(1)∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60(人)； ∴m%=1560×100%=25%，该校1800名学生中“不关注”的人数是1800×60−15−4−3060=330(人)；故答案为：25，330； (2)由题意列树状图：由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果有6种， ∴选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为612=12．(1)首先求出总人数，再由A 的人数即可求出m 的值；求出D 的人数即可补全条形统计图； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】解：设CE =xm ，则BC =(10+x)m ， 在Rt △CDE 中，∵∠DEC =67°， ∴CD =CE ⋅tan67°=125x ，在Rt △ABC 中，∵∠B =37°， ∴AC =BC ⋅tan37°=34×(10+x)， ∴AD =AC −CD =34×(10+x)−125x =2，解得：x =103，∴AC =AD +CD =2+125×103=10(m)，答：立柱AC 的长为10m ．【解析】设CE =xm ，则BC =(10+x)m ，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出BC 和CD 是解决问题的关键． 24.【答案】解：(1)将C(−4,0)代入y =x +b ，得b =4， ∴一次函数的表达式为y =x +4，将A(−1,a)代入y =x +4，y =kx 中，得：a =−1+4，a =k−1，∴k =−3，∴反比例函数的表达式为y =−3x ；(2)过点D 作DE//AC 交x 轴于点E ，过点E 作EF ⊥AC 于点F ，∴设直线DE 的解析式为y =x +m ，EF =5√2，∵y =x +4， ∴G(0,4)， 又C(−4,0)，∴CO =GO =4， 又∠GOC =90°， ∵EF ⊥AC ，∴CE =√2EF =10，……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴EO =6， ∴E(6,0)，将E(6,0)代入y =x +m 中，得：m =−6， ∴y =x −6， 联立{y =−3x y =x −6， 解得x =±√6+3，∴点D 的横坐标x =±√6+3．【解析】(1)将点C 坐标代入y =x +b 可得其解析式，将A 的坐标代入一次函数和反比例函数解析式可得k 的值，从而得出反比例函数解析式； (2)过点D 作DE//AC 交x 轴于点E ，过点E 作EF ⊥AC 于点F ，设直线DE 的解析式为y =x +m ，EF =5√2，由题意得出CO =GO =4知CE =√2EF =10，EO =6，从而得E(6,0)，将E(6,0)代入y =x +m 中得m =−6，从而得出y =x −6，联立{y =−3xy =x −6解之可得答案．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及根据解析式求直线与双曲线交点坐标的能力．25.【答案】(1)证明：∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC =90°，∴∠ADB +∠BDC =90°，∵∠BAC =∠BDC ，∠BAE =∠ADB ，∴∠BAE +∠BAC =90°，即∠CAE =90°， ∴AE ⊥AC ，AE 是⊙O 的切线；(2)解：DM =BN ，理由如下：∵AN ⊥BD ，CM ⊥BD ，∠ADC =90°，∴∠AND =∠ANB =∠DMC =∠ADC =90°， ∴∠ADN +∠MDC =∠MCD +∠MDC =90°， ∴∠ADN =∠MCD ， ∴△DMC∽△AND ， ∴DM AN=CDAD，∵∠ABN =∠ACD ，∠ANB =∠ADC =90°， ∴△ADC∽△ANB ， ∴AD AN =CD BN，即BN AN =CDAD ， ∴DM AN=BNAN， ∴DM =BN ；(3)解：由(2)知DM =BN ，则BM =DN ， 设DM =BN =a ，∵MN =2DM ，BD =BC ，∴MN =2a ，BM =DN =3a ，BD =BC =4a ， ∵∠BMC =90°，∴CM =√BC 2−BM 2=√(4a)2−(3a)2=√7a ， ∵AC 是⊙O 的直径，AN ⊥BD ， ∴∠ABC =∠AND =90°， ∵∠ADB =∠ACB ，∴△ADN∽△ACB ， ∴AN AB=DN BC=3a4a =34，设AN =3b ，AB =4b(b >0)，∵∠ANB =∠ABC =90°，BN =a ，∴AN 2+BN 2=AB 2，即(3b)2+a 2=(4b)2， 解得：b =√77a ，∴AN =3√77a ，AB =4√77a ， ∵BC =4a ，∴AC =√AB 2+BC 2=√(4√77)2+(4a)2=8√147a ， ∴cos ∠ACB =cos ∠ADB =cos ∠EAB =BC AC=4a8√147a=√144，∵AE =√2，∴AB =AE ×cos ∠EAB =√2×√144=√72=4√77a ，∴a =78， ∴AC =√14， ∴OC =12AC =√142， ∵∠ANF =∠CMF =90°，∠AFM =∠MFC ， ∴△ANF∽△CMF ， ∴AF CF=AN MC =3√77a √7a=37， ∴CF =710AC =7√1410， ∴OF =CF −OC =7√1410−√142=√145．【解析】(1)由圆周角定理得出∠ADC =90°，∠BAC =∠BDC ，得出∠ADB +∠BDC =90°，证出∠BAE +∠BAC =90°，得出AE ⊥AC ，即可得出结论；(2)证△DMC∽△AND ，得出DMAN =CDAD ，证△ADC∽△ANB ，得出ADAN =CDBN ，即BNAN =CDAD ，进而得出结论； (3)由(2)知DM =BN ，则BM =DN ，设DM =BN =a ，则MN =2a ，BM =DN =3a ，BD =BC =4a ，由勾股定理得出CM =√7a ，证△ADN∽△ACB ，得出ANAB =DN BC=3a4a =34，求出AN =3√77a ，AB =4√77a ，AC =8√147a ，由AB =AE ×cos ∠EAB =√72=4√77a ，求出a =78，得出AC =√14，OC =√142，证△ANF∽△CMF ，求出CF =710AC =7√1410，即可得出答案．本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键． 26.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ， 把(21,290)、(29,210)代入，第10页，共12页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………得{21k +b =29029k +b =210， 解得，{k =−10b =500，则y 与x 之间的函数关系式为y =−10x +500(20≤x ≤30)； (2)每天门店的纯利润W =(−10x +500)(x −20)−400=−10x 2+700x −10400=−10(x −35)2+1850， ∵20≤x ≤30，∴当x =30时，每天门店的纯利润W 最大，最大为1600元．【解析】(1)利用待定系数法求出y 与x 之间的函数关系式；(2)根据纯利润=销售收入−产品成本−员工工资列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 本题考查的是二次函数的应用，正确列出二次函数解析式、掌握二次函数的性质是解题的关键． 27.【答案】解：(1)△BDE 是等腰三角形， 理由是：如图1，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD//BC ，∴∠ADB =∠DBC ，由折叠得：∠ADB =∠BDE ， ∴∠DBC =∠BDE ， ∴BE =DE ，∴△BDE 是等腰三角形；(2)如图1，过点F 作FM ⊥DE 于M ，∵∠DEF =45°，∴EF =√2FM ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C =90°， ∵CE =3CF ，∴设CF =2a ，CE =3a ， ∴EF =√10a ， ∵FM =√5a ，∵∠C =90°，FM ⊥DE ， ∴sin ∠MDF =MF DF=CEDE ，设DF =x ， ∴√5a x=3aDE ，∴DE =3√5x5， ∵∠C =90°，∴DE 2=CE 2+CD 2，即(3√5x 5)2=(3a)2+(x +a)2，解得：x =5a 或−52a(舍)， ∴tan ∠CDE =CE CD=3a 5a+a =12； (3)如图2，过点E 作EN ⊥BH ，由折叠得：∠B′=∠HBD ，∠B′DH =∠BDH ，∴∠DHE =∠B′+∠B′DH =∠HBD +∠BDH ， ∵BE =EH =DE ，∴∠DHE =∠EDH =∠BDE +∠BDH ， ∴∠HBD =∠BDE ， ∴BH//DE ，∴∠HBE =∠DEC ，∵∠BNE =∠C =90°，BE =DE ， ∴△BNE≌△ECD(AAS)， ∴BN =CE ，∵BE =EH ，EN ⊥BH ，BH =8， ∴BN =NH =CE =4，由(2)知：CD =2CE ，则CD =8， ∴DE =EH =√42+82=4√5，∵∠HBD =∠BDE ，∠HGB =∠DGE ， ∴△DEG∽△BHG ，∴DE BH =EGHG =4√58=√52， ∴GH =2+√5EH =40−16√5．【解析】(1)根据折叠的性质和平行线的性质得：∠DBC =∠BDE ，由等角对等边可得△BDE 是等腰三角形；(2)如图1，过点F 作FM ⊥DE 于M ，根据等腰直角三角形的性质得：EF =√2FM ，设CF =2a ，CE =3a ，由勾股定理得EF =√10a ，FM =√5a ，设DF =x ，根据三角函数定义可得DE =3√5x5，最后利用勾股定理列方程可得x 与a 的关系，从而得结论；(3)如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BNE≌△ECD(AAS)，得BN =CE ，从而由等腰三角形三线合一的性质得BN =NH =CE =4，证明△DEG∽△BHG ，列比例式可得结论．此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、折叠的性质等知识，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．28.【答案】解：(1)将A(−3,0)、B(2,0)、C(0,3)代入y =ax 2+bx +c 得， {0=9a −3b +c 0=4a +2b +c 3=c，第11页，共12页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………解得：{a =−12b =−12c =3，∴抛物线的解析式为：y =−12x 2−12x +3； (2)①将E(m,2)代入y =−12x 2−12x +3中， 得−12m 2−12m +3=0，解得m =−2或1(舍去)， ∴E(−2,2)，∵A(−3,0)、B(2,0)，∴AB =5，AE =√5，BE =2√5， ∴AB 2=AE 2+BE 2， ∴∠AEB =∠DOB =90°，∴∠EAB +∠EBA =∠ODB +∠EBA =90°， ∴∠EAB =∠ODB ，(Ⅰ)当△FEA∽△BOD 时，∴∠AEF =∠DOB =90°， ∴F 与B 点重合， ∴EF =BE =2√5，(Ⅱ)当△EFA∽△BOD 时，∴∠AFE =∠DOB =90°， ∵E(−2,2)， ∴EF =2，故：EF 的长为2√5或2； ②点H 的坐标为(−45,135)或(−449,59)，(Ⅰ)过点H 作HN ⊥CO 于点N ，过点G 作GM ⊥HN 于点M ，∴∠GMN =∠CNH =90°， 又∠GHC =90°，∴∠CHN +∠GHM =∠MGH +∠GHM =90°， ∴∠CHN =∠MGH ，∵HN ⊥CO ，∠COP =90°， ∴HN//AB ，∴∠CHN =∠APE =∠MGH ， ∵E(−2,2)，C(0,3)，∴直线CE 的解析式为y =12x +3，∴P(−6,0)，∴EP =EB =2√5， ∴∠APE =∠EBA ， ∵∠GCH =∠EBA ，∴∠GCH =∠APE =∠EBA =∠CHN =∠MGH ， ∴GC//PB ， 又C(0,3)，∴G 点的纵坐标为3，代入y =−12x 2−12x +3中，得：x =−1或0(舍去)， ∴MN =1，∵∠AEB =90°，AE =√5，BE =2√5， ∴tan ∠EBA =tan ∠CHN =tan ∠MGH =AEBE =12，设CN =MG =m ，则HN =2m ，MH =12m ， ∴MH +HN =2m +12m =1，解得，m =25，∴H 点的橫坐标为−45，代入y =12x +3，得：y =135，∴点H 的坐标为(−45,135).(Ⅱ)过点H 作MN ⊥PB ，过点C 作CN ⊥MH 于点N ，过点G 作GM ⊥HM 于点M ，第12页，共12页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴CN//PB ，∴∠NCH =∠APE ，由(Ⅰ)知：∠APE =∠EBA ，则∠NCH =∠EBA ， ∵∠GMN =∠CNH =90°， 又∠GHC =90°，∴∠HCN +∠NHC =∠MHG +∠NHC =90°， ∴∠HCN =∠MHG ， ∵∠GCH =∠EBA ，∴∠GCH =∠EBA =∠HCN =∠MHG ，由(Ⅰ)知：tan ∠EBA =12，则tan ∠MHG =GMHM =tan ∠GCH =HGCH =12， 设MG =a ，则MH =2a ，∵∠NCH =∠MHG ，∠N =∠M ， ∴△HMG∽△CNH ， ∴MH CN=MG NH =HG CH =12，∴NH =2a ，CN =4a ，又C(0,3)，∴G(−3a,3−4a)，代入y =−12x 2−12x +3中，得，a =119或0(舍去)，∴CN =449，∴H 点的橫坐标为−449，代入y =12x +3，得，y =59． ∴点H 的坐标为(−449,59).综合以上可得点H 的坐标为(−45,135)或(−449,59).【解析】(1)用待定系数法求出函数解析式即可； (2)①得出∠EAB =∠ODB ，当△FEA∽△BOD 时，当△EFA∽△BOD 时，可求出EF 的长；②(Ⅰ)求出直线CE 的解析式为y =12x +3，得出∠APE =∠EBA ，则∠GCH =∠APE =∠EBA =∠CHN =∠MGH ，得出GC//PB ，由tan ∠EBA =tan ∠CHN =tan ∠MGH =AE BE =12，设CN =MG =m ，则HN =2m ，MH =12m ，则MH +HN =2m +12m =1，解得，m =25，可求出H 点的坐标；(Ⅱ)过点H 作MN ⊥PB ，过点C 作CN ⊥MH 于点N ，过点G 作GM ⊥HM 于点M ，证得∠GCH =∠EBA =∠HCN =∠MHG ，由(Ⅰ)知：tan ∠EBA =12，则tan ∠MHG =GM HM =tan ∠GCH =HG CH =12，设MG =a ，则MH =2a ，证明△HMG∽△CNH ，则NH =2a ，CN =4a ，又C(0,3)，得出G(−3a,3−4a)，代入y =−12x 2−12x +3中，得CN =449，可求出H 点坐标．本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．。
高新区二模中考数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(x)的图像关于点（1，1）对称，则x的取值范围是：A. x > 1B. x ≤ 1C. x = 1D. x < 12. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点B的坐标是：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)3. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a+b=8，则c的值为：A. 2B. 4C. 6D. 84. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAC=40°，则∠ABC的度数是：A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. 若等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第n项an=？A. 2^nB. 3^nC. 2×3^(n-1)D. 3×2^(n-1)6. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是：A. 75°B. 45°C. 30°D. 15°7. 若m、n是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个实数根，则m+n的值为：A. 5B. 6C. 7D. 88. 已知函数f(x) = -x^2 + 4x + 3，若f(x)在x=2时取得最小值，则最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于原点的对称点Q的坐标是：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (-2, 3)D. (2, -3)10. 若等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an=？A. 21B. 22C. 23D. 24二、填空题（每小题3分，共30分）11. 若函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的图像开口向上，则a的取值范围是______。
2019年四川省成都市高新区九年级下学期二诊数学试题(附带详细解析)
2．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
A． B．
C． D．
3．2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度55000米，则数据55000用科学记数法表示为（ ）
评卷人
得分
三、解答题
20．（1）计算：（﹣ ）﹣2+2 ﹣8cos30°﹣|﹣3|；
） ，其中m＝2019．
22．我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
绝密★启用前
2019年四川省成都市高新区九年级下学期二诊数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．某种食品保存的温度是﹣10±2℃，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（ ）
(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为______°.
(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为_______人.
(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.
2020年高新区二诊数学答案
Ａ卷（100 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
题号 1
2
3
4
10
答案 A
C
B
D
B
D
A
B
C
C
二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分)
11．2 12．3 13．x ＜－3 14． 3 2 + 6
∴AN= 3 7 a ，AB= 4 7 a ，又 BC=4a
7
7
∴AC= 8 14 a 7
∴cos∠ACB= cos∠ADB=cos∠EAB= BC = 4a = 14 AC 8 14 a 4 7
∵AE= 2 ∴a= 7
8
∴AB= AE×cos∠EAB= 7 = 4 7 a 27
∴AC= 14 …………………………8 分
17．（本小题满分 8 分） 解：（1）25；330；……2 分
（2）设这名男同学为男，三名女同学为女 1，女 2，女 3，画树状图如下：
第1页（共8页）
结果为：（男，女 1）、（男，女 2）、（男，女 3）、（女 1，男）、（女 1，女 2）、（女 1，女 3）、 （女 2，男）、（女 2，女 1）、（女 2，女 3）、（女 3，男）、（女 3，女 1）、（女 3，女 2） ………………………… 6 分 总共有 12 种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好选取到两名同学中刚好 有这位男同学的有结果有 6 种，
∴OC= 14 2
∵∠ANF=∠CMF =90°，∠AFN=∠MFC ∴△ANF∽△CMF
∴
AN
=
四川省成都市高新区中考数学二诊试卷(含解析)
2020年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷(含解析)2020年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷一、选择题〔本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求〕1．〔3分〕以下各数中，比﹣1小的数是〔〕A．﹣2B．0C．1D．22．〔3分〕如图是由5个一样大小的正方体搭成的几何体，那么它的俯视图是〔〕A．B．C．D．3．〔3分〕2019年10月1日上午，庆贺中华人民共和国成立70周年阅兵在北京天安门广场隆重进行，此次阅兵规模空前，这次阅兵编59个方〔梯〕队和结合军乐团，总规模约15000人．将数据15000用科学记数法表示为〔〕A．0.15×105B．1.5×104C．15×105D．1万5千4．〔3分〕以下计算正确的选项是〔〕A．a2+a3＝a5B．a2?a3＝a6C．〔a2〕3＝a5D．a5÷a3＝a2 5．〔3分〕在平面直角坐标系中，假设点A〔2，a〕在第四象限内，那么点B〔a，2〕所在的象限是〔〕A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限6．〔3分〕分式方程的解为〔〕A．x＝2B．x＝3C．x＝4D．x＝﹣47．〔3分〕4月23日为世界读书日，提倡全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了理解同学的课外阅读状况，随机抽取了一个班级的同学，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进展了统计，统计数据如表所示：读书时间〔小时〕45678同学人数610987那么该班同学一周读书时间的中位数和众数分别是〔〕A．6，5B．6，6C．6.5，6D．6.5，58．〔3分〕如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，假如∠1＝50°，那么∠AFE的度数为〔〕A．10°B．20°C．30°D．40°9．〔3分〕如图，在⊙O中，假设∠CDB＝60°，⊙O的直径AB等于4，那么BC的长为〔〕A．B．2C．2D．410．〔3分〕已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如下图，以下说法正确的选项是〔〕A．abc＞0B．a﹣b+c＝2C．4ac﹣b2＜0D．当x＞﹣1时，y随x增大而增大二、填空题〔本大题共4个小题，每题4分，共16分，答案写在答题卡上〕11．〔4分〕实数4的算术平方根为．12．〔4分〕如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE，假设AB＝5，CD＝8，那么AE ＝．13．〔4分〕同始终角坐标系中，一次函数y＝k1x+b与正比例函数y ＝k2x的图象如下图，那么满足k1x+b＞k2x的x取值范围是．14．〔4分〕如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E、F；②作直线EF交BC于点G，连接AG；假设AG⊥BC，CG＝3，那么AD的长为．三、解答题〔本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上〕15．〔12分〕〔1〕计算：﹣12+〔〕﹣1×﹣|1﹣2cos30°|；〔2〕解不等式组：．16．〔6分〕先化简，再求值：÷﹣，x＝﹣1．17．〔8分〕2020年春节联欢晚会传承创新亮点多，收视率较往年大幅增长．成都高新区某学校对局部同学就2020年春晚的关注程度，采纳随机抽样调査的方式，并依据搜集到的信息进展统计，绘制了如下图的两幅尚不完好的统计图〔其中A表示“特别关注〞；B表示“关注〞；C表示“关注很少〞；D表示“不关注〞〕．请你依据统计图中所供应的信息解答以下问题：〔1〕挺直写出m＝；估量该校1800名同学中“不关注〞的人数是人；〔2〕在一次沟通活动中，教师打算从本次调查答复“关注〞的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查答复“关注〞的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．18．〔8分〕成都市天府一南站城市立交桥是成都市政府确定的城建标记性建筑，如图是立交桥引申出的局部平面图，测得拉索AB与程度桥面的夹角是37°，拉索DE与程度桥面的夹角是67°，两拉索顶端的间隔 AD为2m，两拉索底端间隔 BE为10m，恳求出立柱AC的长．〔参考数据tan37°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan67°≈，sin67°≈，cos67°≈〕19．〔10分〕如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝〔k为常数且k≠0〕的图象交于A〔﹣1，a〕、B两点，与x轴交于点C〔﹣4，0〕．〔1〕求一次函数和反比例函数的表达式；〔2〕假设点D是第四象限内反比例函数图象上的点，且点D到直线AC的间隔为5，求点D的横坐标．20．〔10分〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．〔1〕证明：AE是⊙O的切线；〔2〕摸索究DM与BN的数量关系并证明；〔3〕假设BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．一．填空题〔本大题5个小题，每题4分，共20分〕21．〔4分〕假设实数a满足＝a﹣1，且0＜a＜，那么a＝．22．〔4分〕已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣〔2m﹣1〕x ﹣＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝1，那么m＝．23．〔4分〕如图，在等边△ABC内任取一点D，连接CD，BD得到△CDB，假如等边△ABC 内每一点被取到的可能性都一样，那么△CBD是钝角三角形的概率是．24．〔4分〕如图，直线l与反比例函数y＝〔k≠0〕的图象在其次象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x 轴于点D．假设AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，那么k的值为．25．〔4分〕如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D 是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH 沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，假设＝，那么AH的长为．二、解答题〔本大题共3个小题，共30分〕26．〔8分〕一名大学毕业生响应国家“自主创业〞的号召，在成都市高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，方案销售一种产品．已知该产品本钱价是20元/件，其销售价不低于本钱价，且不高于30元/件，员工每人每天的工资为200元．经过市场调查发觉，该产品每天的销售量y〔件〕与销售价x〔元/件〕之间的函数关系如下图．〔1〕求y与x之间的函数关系式；〔2〕求每件产品销售价为多少元时，每天门店的纯利润最大？最大纯利润是多少？〔纯利润＝销售收入﹣产品本钱﹣员工工资〕27．〔10分〕将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点A′处，AD 交BC于点E，点F 在CD上，连接EF，且CE＝3CF，如图1．〔1〕试推断△BDE的样子，并说明理由；〔2〕假设∠DEF＝45°，求tan∠CDE的值；〔3〕在〔2〕的条件下，点G在BD上，且不与B、D两点重合，连接EG并延长到点H，使得EH＝BE，连接BH、DH，将△BDH沿DH翻折，点B的对应点B′恰好落在EH 的延长线上，如图2．当BH＝8时，求GH的长．28．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c 的图象与x轴交于A〔﹣3，0〕、B〔2，0〕两点，与y轴交于点C〔0，3〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点E〔m，2〕是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相像时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，假设∠GCH＝∠EBA，请挺直写出点H的坐标．2020年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求〕1．〔3分〕以下各数中，比﹣1小的数是〔〕A．﹣2B．0C．1D．2【分析】依据两个负数比拟大小，肯定值大的负数反而小，可得答案．【解答】解：A、﹣2＜﹣1，故正确；B、0＞﹣1，故本选项错误；C、1＞﹣1，故本选项错误；D、2＞﹣1，故本选项错误；应选：A．2．〔3分〕如图是由5个一样大小的正方体搭成的几何体，那么它的俯视图是〔〕A．B．C．D．【分析】依据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看第一列是一个小正方形，其次列是一个小正方形，第三列是两个小正方形，应选：B．3．〔3分〕2019年10月1日上午，庆贺中华人民共和国成立70周年阅兵在北京天安门广场隆重进行，此次阅兵规模空前，这次阅兵编59个方〔梯〕队和结合军乐团，总规模约15000人．将数据15000用科学记数法表示为〔〕A．0.15×105B．1.5×104C．15×105D．1万5千【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的肯定值与小数点挪动的位数一样．当原数肯定值≥10时，n 是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数．【解答】解：将15000用科学记数法表示为：1.5×104．应选：B．4．〔3分〕以下计算正确的选项是〔〕A．a2+a3＝a5B．a2?a3＝a6C．〔a2〕3＝a5D．a5÷a3＝a2【分析】依据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法计算即可．【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，错误；B、a2?a3＝a5，错误；C、〔a2〕3＝a6，错误；D、a5÷a3＝a2，正确．应选：D．5．〔3分〕在平面直角坐标系中，假设点A〔2，a〕在第四象限内，那么点B〔a，2〕所在的象限是〔〕A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限【分析】先依据点A〔2，a〕在第四象限内得出a＜0，据此可得点B 所在象限．【解答】解：∵点A〔2，a〕在第四象限内，∴a＜0，那么点B〔a，2〕所在的象限是其次象限，应选：B．6．〔3分〕分式方程的解为〔〕A．x＝2B．x＝3C．x＝4D．x＝﹣4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x﹣2〔x﹣2〕＝0，去括号得：3x﹣2x+4＝0，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．应选：D．7．〔3分〕4月23日为世界读书日，提倡全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了理解同学的课外阅读状况，随机抽取了一个班级的同学，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进展了统计，统计数据如表所示：读书时间〔小时〕45678同学人数610987那么该班同学一周读书时间的中位数和众数分别是〔〕A．6，5B．6，6C．6.5，6D．6.5，5【分析】依据表格中的数据可知该班有同学40人，从而可以求得中位数和众数，此题得以解决．【解答】解：由表格可得，读书时间为5小时最多，故一周读书时间的众数为5，该班同学一周读书时间的第20个数6和第21个数是6，故该班同学一周读书时间的中位数为＝6，应选：A．8．〔3分〕如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，假如∠1＝50°，那么∠AFE的度数为〔〕A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】由四边形CDEF为矩形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，依据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可．【解答】解：∵四边形CDEF为矩形，∴EF∥DC，∴∠AGE＝∠1＝50°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．应选：B．9．〔3分〕如图，在⊙O中，假设∠C DB＝60°，⊙O的直径AB等于4，那么BC的长为〔〕A．B．2C．2D．4【分析】依据圆周角定理得出∠CAB＝60°，进而利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠CDB＝60°，∴∠CAB＝∠CDB＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝30°，∵，⊙O的直径AB等于4，∴BC＝2，应选：C．10．〔3分〕已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如下图，以下说法正确的选项是〔〕A．abc＞0B．a﹣b+c＝2C．4ac﹣b2＜0D．当x＞﹣1时，y随x增大而增大【分析】A、依据抛物线y＝ax2+bx+c的图象可得a＞0，b＞0，c＜0，即可推断；B、当x＝﹣1时，y＜0，即可推断；C、因为抛物线与x轴有两个交点，可得△＞0即可推断；D、当x＞﹣1时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，即可推断．【解答】解：依据抛物线y＝ax2+bx+c的图象可知：A、a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，所以A选项错误；B、当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以B选项错误；C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，所以4ac﹣b2＜0，所以C选项正确；D、当x＞﹣1时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，所以D选项错误．应选：C．二、填空题〔本大题共4个小题，每题4分，共16分，答案写在答题卡上〕11．〔4分〕实数4的算术平方根为2．【分析】根据算术平方根根的定义求解即可．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故答案为：2．12．〔4分〕如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE，假设AB＝5，CD＝8，那么AE ＝3．【分析】证明△ABC≌△CED〔AAS〕，得出AB＝CE＝5，AC＝CD＝8，即可得出答案．【解答】解：∵BA⊥AC，CD∥AB，∴CD⊥AC，∠B＝∠DCB，∴∠A＝∠DCE＝90°，∵BC⊥DE，∴∠DCB+∠CDE＝∠DCB+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDE，在△ABC和△CED中，∵，∴△ABC≌△CED〔AAS〕，∴AB＝CE＝5，AC＝CD＝8，∴AE＝AC﹣CE＝8﹣5＝3；故答案为：3．13．〔4分〕同始终角坐标系中，一次函数y＝k1x+b与正比例函数y ＝k2x的图象如下图，那么满足k1x+b＞k2x的x取值范围是x＜﹣3．【分析】观看函数图象得到当x≤﹣3时，直线l1：y1＝k1x+b都在直线l2：y2＝k2x的上方，即y1＞y2．【解答】解：当x≤﹣3时，直线l1：y1＝k1x+b都在直线l2：y2＝k2x的上方，即k1x+b ＞k2x．∴满足k1x+b＞k2x的x取值范围是x＜﹣3，故答案为：x＜﹣3．14．〔4分〕如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E、F；②作直线EF交BC于点G，连接AG；假设AG⊥BC，CG＝3，那么AD的长为6+3．【分析】由作法得到EF垂直平分AB，依据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，依据等腰直角三角形的性质得到AB＝AG，设AG＝BG＝x，那么AB＝x，依据菱形的性质安康得到结论，【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，∴AG＝BG，∵AG⊥BC，∴△ABG是等腰直角三角形，∴AB＝AG，设AG＝BG＝x，那么AB＝x，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝x，∵CG＝3，∴BC＝x+3＝x，解得：x＝3〔+1〕，∴AD＝AB＝6+3，故答案为：6+3．三、解答题〔本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上〕15．〔12分〕〔1〕计算：﹣12+〔〕﹣1×﹣|1﹣2cos30°|；〔2〕解不等式组：．【分析】〔1〕先计算乘方、负整数指数幂、分母有理化、代入三角函数值，再计算乘法和肯定值符号内的运算，继而去肯定值符号，最终计算加减可得；〔2〕分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．【解答】解：〔1〕原式＝﹣1+3×﹣|1﹣2×|＝﹣1+4﹣|1﹣|＝﹣1+4﹣〔﹣1〕＝﹣1+4﹣+1＝3；〔2〕解不等式①，得：x≤4，解不等式②，德：x＞﹣4，那么不等式组的解集为﹣4＜x≤4．16．〔6分〕先化简，再求值：÷﹣，x＝﹣1．【分析】把分式的分子、分母分解因式，再把除法化为乘以，约分，然后代入x的值计算即可．【解答】解：原式＝÷﹣．＝+＝1+，＝，＝，当x＝﹣1时，原式＝＝＝2﹣．17．〔8分〕2020年春节联欢晚会传承创新亮点多，收视率较往年大幅增长．成都高新区某学校对局部同学就2020年春晚的关注程度，采纳随机抽样调査的方式，并依据搜集到的信息进展统计，绘制了如下图的两幅尚不完好的统计图〔其中A表示“特别关注〞；B 表示“关注〞；C表示“关注很少〞；D表示“不关注〞〕．请你依据统计图中所供应的信息解答以下问题：〔1〕挺直写出m＝25；估量该校1800名同学中“不关注〞的人数是330人；〔2〕在一次沟通活动中，教师打算从本次调查答复“关注〞的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查答复“关注〞的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．【分析】〔1〕首先求出总人数，再由A的人数即可求出m的值；求出D的人数即可补全条形统计图；〔2〕首先依据题意画出树状图，然后由树状图求得全部等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的状况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：〔1〕∵理解很少的有30人，占50%，∴承受问卷调查的同学共有：30÷50%＝60〔人〕；∴m%＝×100%＝25%，该校1800名同学中“不关注〞的人数是1800×＝330〔人〕；故答案为：25，330；〔2〕由题意列树状图：由树状图可知，全部等可能的结果有12 种，选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果有6种，∴选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为＝．18．〔8分〕成都市天府一南站城市立交桥是成都市政府确定的城建标记性建筑，如图是立交桥引申出的局部平面图，测得拉索AB与程度桥面的夹角是37°，拉索DE与程度桥面的夹角是67°，两拉索顶端的间隔 AD为2m，两拉索底端间隔 BE为10m，恳求出立柱AC的长．〔参考数据tan37°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan67°≈，sin67°≈，cos67°≈〕【分析】设CE＝xm，那么BC＝〔10+x〕m，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：设CE＝xm，那么BC＝〔10+x〕m，在Rt△CDE中，∵∠DEC＝67°，∴CD＝CE?tan67°＝x，在Rt△ABC中，∵∠B＝37°，∴AC＝BC?tan37°＝×〔10+x〕，∴AD＝AC﹣CD＝×〔10+x〕﹣x＝2，解得：x＝，∴AC＝AD+CD＝2+×＝10〔m〕，答：立柱AC的长为10m．19．〔10分〕如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝〔k为常数且k≠0〕的图象交于A〔﹣1，a〕、B两点，与x轴交于点C〔﹣4，0〕．〔1〕求一次函数和反比例函数的表达式；〔2〕假设点D是第四象限内反比例函数图象上的点，且点D到直线AC的间隔为5，求点D的横坐标．【分析】〔1〕将点C坐标代入y＝x+b可得其解析式，将A的坐标代入一次函数和反比例函数解析式可得k的值，从而得出反比例函数解析式；〔2〕过点D作DE∥AC交x轴于点E，过点E作EF⊥AC于点F，设直线DE的解析式为y＝x+m，EF＝5，由题意得出CO＝GO＝4知CE＝EF ＝10，EO＝6，从而得E 〔6，0〕，将E〔6，0〕代入y＝x+m中得m ＝﹣6，从而得出y＝x﹣6，联立解之可得答案．【解答】解：〔1〕将C〔﹣4，0〕代入y＝x+b，得b＝4，∴一次函数的表达式为y＝x+4，将A〔﹣1，a〕代入y＝x+4，y＝中，得：a＝﹣1+4，a＝，∴k＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣；〔2〕过点D作DE∥AC交x轴于点E，过点E作EF⊥AC于点F，∴设直线DE的解析式为y＝x+m，EF＝5，∵y＝x+4，∴G〔0，4〕，又C〔﹣4，0〕，∴CO＝GO＝4，又∠GOC＝90°，∵EF⊥AC，∴CE＝EF＝10，∴EO＝6，∴E〔6，0〕，将E〔6，0〕代入y＝x+m中，得：m＝﹣6，∴y＝x﹣6，联立，解得x＝+3，∴点D的横坐标x＝±+3．20．〔10分〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．〔1〕证明：AE是⊙O的切线；〔2〕摸索究DM与BN的数量关系并证明；〔3〕假设BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．【分析】〔1〕由圆周角定理得出∠ADC＝90°，∠BAC＝∠BDC，得出∠ADB+∠BDC＝90°，证出∠BAE+∠B AC＝90°，得出AE⊥AC，即可得出结论；〔2〕证△DMC∽△AND，得出＝，证△ADC∽△ANB，得出＝，即＝，进而得出结论；〔3〕由〔2〕知DM＝BN，那么BM＝DN，设DM＝BN＝a，那么MN＝2a，BM＝DN＝3a，BD＝BC＝4a，由勾股定理得出CM＝a，证△ADN∽△ACB，得出＝＝＝，求出AN＝a，AB＝a，AC＝a，由AB＝AE×cos∠EAB＝＝a，求出a＝，得出AC＝，OC＝，证△ANF∽△CMF，求出CF＝AC＝，即可得出答案．【解答】〔1〕证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠A DC＝90°，∴∠ADB+∠BDC＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∠BAE＝∠ADB，∴∠BAE+∠BAC＝90°，即∠CAE＝90°，∴AE⊥AC，AE是⊙O的切线；〔2〕解：DM＝BN，理由如下：∵AN⊥BD，CM⊥BD，∠ADC＝90°，∴∠AND＝∠ANB＝∠DMC＝∠ADC＝90°，∴∠ADN+∠MDC＝∠MCD+∠MDC＝90°，∴∠ADN＝∠MCD，∴△DMC∽△AND，∴＝，∵∠ABN＝∠ACD，∠ANB＝∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ANB，∴＝，即＝，∴＝，∴DM＝BN；〔3〕解：由〔2〕知DM＝BN，那么BM＝DN，设DM＝BN＝a，∵MN＝2DM，BD＝BC，∴MN＝2a，BM＝DN＝3a，BD＝BC＝4a，∵∠BMC＝90°，∴CM＝＝＝a，∵AC是⊙O的直径，AN⊥BD，∴∠ABC＝∠AND＝90°，∵∠ADB＝∠ACB，∴△ADN∽△ACB，∴＝＝＝，设AN＝3b，AB＝4b〔b＞0〕，∵∠ANB＝∠ABC＝90°，BN＝a，∴AN2+BN2＝AB2，即〔3b〕2+a2＝〔4b〕2，解得：b＝a，∴AN＝a，AB＝a，∵BC＝4a，∴AC＝＝＝a，∴cos∠ACB＝cos∠ADB＝cos∠EAB＝＝＝，∵AE＝，∴AB＝AE×cos∠EAB＝×＝＝a，∴a＝，∴AC＝，∴OC＝AC＝，∵∠ANF＝∠CMF＝90°，∠AFM＝∠MFC，∴△ANF∽△CMF，∴＝＝＝，∴CF＝AC＝，∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．一．填空题〔本大题5个小题，每题4分，共20分〕21．〔4分〕假设实数a满足＝a﹣1，且0＜a＜，那么a＝．【分析】先确定＜2，所以由已知得a＜2，可化简二次根式＝2﹣a，解方程计算即可．【解答】解：∵＝a﹣1，且0＜a＜，∴2﹣a＝a﹣1，∴a＝，故答案为：．22．〔4分〕已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣〔2m﹣1〕x ﹣＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝1，那么m＝．【分析】先依据根与系数的关系得出x1+x2＝2m﹣1 ①，x1x2＝﹣②，结合x1﹣x2＝1求出，将其代入②求解可得．【解答】解：依据题意知x1+x2＝2m﹣1 ①，x1x2＝﹣②，∵x1﹣x2＝1 ③，由①③，得：，代入②，得：m〔m﹣1〕＝﹣，解得m＝，故答案为：．23．〔4分〕如图，在等边△ABC内任取一点D，连接CD，BD得到△CDB，假如等边△ABC 内每一点被取到的可能性都一样，那么△CBD是钝角三角形的概率是．【分析】由题意通过圆和三角形的学问画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再依据概率公式即可得出答案．【解答】解：如图，取BC的中点O，以O为圆心，BC为直径画半圆，交AB于E，连接OE，当D在半圆上时，∠BDC＝90°，∵△CBD是钝角三角形时，只能∠BDC＞90°，∴点D落在如下图的半圆O内时，△CBD是钝角三角形，设等边三角形的边长为2a，半圆的面积为，等边△ABC的面积是＝a2，∴满足∠BDC＞90°的概率是＝，∴△CBD是钝角三角形的概率；故答案为：．24．〔4分〕如图，直线l与反比例函数y＝〔k≠0〕的图象在其次象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x 轴于点D．假设AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，那么k的值为﹣．【分析】依据已知的比设AB＝x，BC＝CO＝2x，如图1，过D作DE∥l，交OC于E，依据角平分线的定义和平行线的性质得：∠DCE＝∠CDE，所以DE＝CE，由△DOE∽△AOC，列比例式，可得6x﹣5a＝0，a＝x，依据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得△AOC的面积为15，如图2，过B作BG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H，证明△ABG∽△ACH，得，设BG＝b，CH＝3b，表示B〔，b〕，C〔，3b〕，依据三角形面积列式可得结论．【解答】解：∵AB：BC：CO＝1：2：2，∴设AB＝x，BC＝CO＝2x，如图1，过D作DE∥l，交OC于E，∴∠ACD＝∠CDE，∵CD平分∠ACO，∴∠ACD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠C DE，∴DE＝CE，设DE＝a，那么CE＝a，OE＝2x﹣a，∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴，即，∴x〔6x﹣5a〕＝0，∵x≠0，∴6x﹣5a＝0，a＝x，∵＝，∴＝，∵△COD的面积为6，∴△AOC的面积为15，如图2，过B作BG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H，∴BG∥CH，∴△ABG∽△ACH，∴，∵AB：BC＝1：2，∴，设BG＝b，CH＝3b，∵直线l与反比例函数y＝〔k≠0〕的图象在其次象限交于B、C两点，∴B〔，b〕，C〔，3b〕，∴GH＝＝﹣，∵，∴AG＝GH＝﹣，∴OA＝AG+OG＝﹣＝﹣，∵S△ACO＝，，k＝﹣，故答案为：﹣．25．〔4分〕如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D 是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH 沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，假设＝，那么AH的长为或或3．【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC 的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H 在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相像三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．【解答】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，∴∠ADC＝∠MDG，∴∠ADM＝∠CDG，∴△ADM≌△CDG〔SAS〕，∴∠DAM＝∠DCG＝135°，∵∠CAB＝45°，∴∠CAM＝90°，∴MH＝GH＝＝＝5k，∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，∴△DGH∽△AGD，∴＝，∴DG2＝GH?GA＝40k2，∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝12，∴AD＝CD＝6，∵DJ⊥AC，∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3，∴GJ＝8K﹣3，在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2，∴40k2＝〔8k﹣3〕2+〔3〕2，解得k＝或〔舍弃〕，∴AH＝3k＝．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC 于J，设AH＝3k，AM＝4k．同法可得：40k2＝〔8k﹣3〕2+〔3〕2，解得k＝〔舍弃〕或，∴AH＝3k＝．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．同法可得：10k2＝〔3﹣2k〕2+〔3〕2，解得k＝或﹣3〔舍弃〕，∴AH＝3k＝3，综上所述，满足条件的AH的值为或或3．故答案为或或3．二、解答题〔本大题共3个小题，共30分〕26．〔8分〕一名大学毕业生响应国家“自主创业〞的号召，在成都市高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，方案销售一种产品．已知该产品本钱价是20元/件，其销售价不低于本钱价，且不高于30元/件，员工每人每天的工资为200元．经过市场调查发觉，该产品每天的销售量y〔件〕与销售价x〔元/件〕之间的函数关系如下图．〔1〕求y与x之间的函数关系式；〔2〕求每件产品销售价为多少元时，每天门店的纯利润最大？最大纯利润是多少？〔纯利润＝销售收入﹣产品本钱﹣员工工资〕【分析】〔1〕利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；〔2〕依据纯利润＝销售收入﹣产品本钱﹣员工工资列出二次函数解析式，依据二次函数的性质解答即可．【解答】解：〔1〕设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，把〔21，290〕、〔29，210〕代入，得，解得，，那么y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+500〔20≤x≤30〕；〔2〕每天门店的纯利润W＝〔﹣10x+500〕〔x﹣20〕﹣400＝﹣10x2+700x﹣10400＝﹣10〔x﹣35〕2+1850，∵20≤x≤30，∴当x＝30时，每天门店的纯利润W最大，最大为1600元．27．〔10分〕将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点A′处，AD 交BC于点E，点F 在CD上，连接EF，且CE＝3CF，如图1．〔1〕试推断△BDE的样子，并说明理由；〔2〕假设∠DEF＝45°，求tan∠CDE的值；〔3〕在〔2〕的条件下，点G在BD上，且不与B、D两点重合，连接EG并延长到点H，使得EH＝BE，连接BH、DH，将△BDH沿DH翻折，点B的对应点B′恰好落在EH 的延长线上，如图2．当BH＝8时，求GH的长．【分析】〔1〕依据折叠的性质和平行线的性质得：∠DBC＝∠BDE，由等角对等边可得△BDE是等腰三角形；〔2〕如图1，过点F作FM⊥DE于M，依据等腰直角三角形的性质得：EF＝FM，设CF＝2a，CE＝3a，由勾股定理得EF＝a，FM＝a，设DF＝x，依据三角函数定义可得DE＝，最终利用勾股定理列方程可得x与a的关系，从而得结论；〔3〕如图2，作帮助线，构建全等三角形，证明△BNE≌△ECD〔AAS〕，得BN＝CE，从而由等腰三角形三线合一的性质得BN＝NH＝CE＝4，证明△DEG∽△BHG，列比例式可得结论．【解答】解：〔1〕△BDE是等腰三角形，理由是：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，由折叠得：∠ADB＝∠BDE，∴∠DBC＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形；〔2〕如图1，过点F作FM⊥DE于M，∵∠DEF＝45°，∴EF＝FM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵CE＝3CF，∴设CF＝2a，CE＝3a，∴EF＝a，∵FM＝a，∵∠C＝90°，FM⊥DE，设DF＝x，∴，∴DE＝，∵∠C＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，即，解得：x＝5a或﹣a〔舍〕，∴tan∠CDE＝＝＝；〔3〕如图2，过点E作EN⊥BH，由折叠得：∠B'＝∠HBD，∠B'DH＝∠BDH，∴∠DHE＝∠B'+∠B'DH＝∠HBD+∠BDH，∵BE＝EH＝DE，∴∠DHE＝∠EDH＝∠BDE+∠BDH，∴∠HBD＝∠BDE，∴BH∥DE，∴∠HBE＝∠DEC，∵∠BNE＝∠C＝90°，BE＝DE，∴△BNE≌△ECD〔AAS〕，∴BN＝CE，∵BE＝EH，EN⊥BH，BH＝8，∴BN＝NH＝CE＝4，由〔2〕知：CD＝2CE，那么CD＝8，∵∠HBD＝∠BDE，∠HGB＝∠DGE，∴△DEG∽△BHG，∴，∴GH＝．28．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c 的图象与x轴交于A〔﹣3，0〕、B〔2，0〕两点，与y轴交于点C〔0，3〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点E〔m，2〕是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相像时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，假设∠GCH＝∠EBA，请挺直写出点H的坐标．【分析】〔1〕用待定系数法求出函数解析式即可；〔2〕①得出∠EAB＝∠ODB，当△FEA∽△BOD时，当△EF A∽△BOD时，可求出EF的长；②〔Ⅰ〕求出直线CE的解析式为y＝，得出∠APE＝∠EBA，那么∠GCH＝∠APE ＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，得出GC∥PB，由tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，设CN＝MG＝m，那么HN＝2m，MH＝m，那么MH+HN＝2m+m＝1，解得，m ＝，可求出H点的坐标；〔Ⅱ〕过点H作MN⊥PB，过点C作CN⊥MH于点N，过点G作GM⊥HM 于点M，证得∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，由〔Ⅰ〕知：tan∠EBA ＝，那么tan∠MHG＝＝tan∠GCH＝，设MG＝a，那么MH＝2a，证明△HMG∽△CNH，那么NH＝2a，CN ＝4a，又C〔0，3〕，得出G〔﹣3a，3﹣4a〕，代入y＝﹣中，得CN＝，可求出H点坐标．【解答】解：〔1〕将A〔﹣3，0〕、B〔2，0〕、C〔0，3〕代入y＝ax2+bx+c 得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x+3；〔2〕①将E〔m，2〕代入y＝﹣x+3中，得﹣m+3＝0，解得m＝﹣2或1〔舍去〕，∴E〔﹣2，2〕，∵A〔﹣3，0〕、B〔2，0〕，∴AB＝5，AE＝，BE＝2，∴AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB＝∠DOB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，∴∠EAB＝∠ODB，〔Ⅰ〕当△FEA∽△BOD时，∴∠AEF＝∠DOB＝90°，∴F与B点重合，∴EF＝BE＝2，〔Ⅱ〕当△EF A∽△BOD时，∴∠AFE＝∠DOB＝90°，∵E〔﹣2，2〕，∴EF＝2，故：EF的长为2或2；②点H的坐标为〔﹣，〕或〔﹣，〕，〔Ⅰ〕过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，∴∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，∴∠CHN＝∠MGH，∵HN⊥CO，∠COP＝90°，∴HN∥AB，∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，∵E〔﹣2，2〕，C〔0，3〕，∴直线CE的解析式为y＝x+3，∴P〔﹣6，0〕，∴EP＝EB＝2，∴∠APE＝∠EBA，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，∴GC∥PB，又C〔0，3〕，∴G点的纵坐标为3，代入y＝﹣x+3中，得：x＝﹣1或0〔舍去〕，∴MN＝1，∵∠AEB＝90°，AE＝，BE＝2，∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，设CN＝MG＝m，那么HN＝2m，MH＝m，∴MH+HN＝2m+m＝1，解得，m＝，∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得：y＝，∴点H的坐标为〔﹣，〕．〔Ⅱ〕过点H作MN⊥PB，过点C作CN⊥MH于点N，过点G作GM⊥HM 于点M，∴CN∥PB，∴∠NCH＝∠APE，由〔Ⅰ〕知：∠APE＝∠EBA，那么∠NCH＝∠EBA，∵∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠HCN+∠NHC＝∠MHG+∠NHC＝90°，∴∠HCN＝∠MHG，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，由〔Ⅰ〕知：tan∠EBA＝，那么tan∠MHG＝＝tan∠GCH＝，设MG＝a，那么MH＝2a，∵∠NCH＝∠MHG，∠N＝∠M，∴△HMG∽△CNH，∴，∴NH＝2a，CN＝4a，又C〔0，3〕，∴G〔﹣3a，3﹣4a〕，代入y＝﹣x+3中，得，a＝或0〔舍去〕，∴CN ＝，∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得，y＝．∴点H的坐标为〔﹣〕．综合以上可得点H的坐标为〔﹣，〕或〔﹣〕．。
2020年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷(含解析)
2020年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）下列各数中，比﹣1小的数是（）A．﹣2B．0C．1D．22．（3分）如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵在北京天安门广场隆重举行，此次阅兵规模空前，这次阅兵编59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约15000人．将数据15000用科学记数法表示为（）A．0.15×105B．1.5×104C．15×105D．1万5千4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．a5÷a3＝a2 5．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（2，a）在第四象限内，则点B（a，2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）分式方程的解为（）A．x＝2B．x＝3C．x＝4D．x＝﹣47．（3分）4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：读书时间（小时）45678学生人数610987则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（）A．6，5B．6，6C．6.5，6D．6.5，58．（3分）如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°9．（3分）如图，在⊙O中，若∠CDB＝60°，⊙O的直径AB等于4，则BC的长为（）A．B．2C．2D．410．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．abc＞0B．a﹣b+c＝2C．4ac﹣b2＜0D．当x＞﹣1时，y随x增大而增大二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）实数4的算术平方根为．12．（4分）如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝5，CD＝8，则AE ＝．13．（4分）同一直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x的图象如图所示，则满足k1x+b＞k2x的x取值范围是．14．（4分）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E、F；②作直线EF交BC于点G，连接AG；若AG⊥BC，CG＝3，则AD的长为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：﹣12+（）﹣1×﹣|1﹣2cos30°|；（2）解不等式组：．16．（6分）先化简，再求值：÷﹣，x＝﹣1．17．（8分）2020年春节联欢晚会传承创新亮点多，收视率较往年大幅增长．成都高新区某学校对部分学生就2020年春晚的关注程度，采用随机抽样调査的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图（其中A表示“非常关注”；B表示“关注”；C表示“关注很少”；D表示“不关注”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）直接写出m＝；估计该校1800名学生中“不关注”的人数是人；（2）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．18．（8分）成都市天府一南站城市立交桥是成都市政府确定的城建标志性建筑，如图是立交桥引申出的部分平面图，测得拉索AB与水平桥面的夹角是37°，拉索DE与水平桥面的夹角是67°，两拉索顶端的距离AD为2m，两拉索底端距离BE为10m，请求出立柱AC的长．（参考数据tan37°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan67°≈，sin67°≈，cos67°≈）19．（10分）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a）、B两点，与x轴交于点C（﹣4，0）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点D是第四象限内反比例函数图象上的点，且点D到直线AC的距离为5，求点D的横坐标．20．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；（3）若BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．一．填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）若实数a满足＝a﹣1，且0＜a＜，则a＝．22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝1，则m＝．23．（4分）如图，在等边△ABC内任取一点D，连接CD，BD得到△CDB，如果等边△ABC 内每一点被取到的可能性都相同，则△CBD是钝角三角形的概率是．24．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为．25．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）一名大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，在成都市高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，计划销售一种产品．已知该产品成本价是20元/件，其销售价不低于成本价，且不高于30元/件，员工每人每天的工资为200元．经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求每件产品销售价为多少元时，每天门店的纯利润最大？最大纯利润是多少？（纯利润＝销售收入﹣产品成本﹣员工工资）27．（10分）将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点A′处，AD交BC于点E，点F 在CD上，连接EF，且CE＝3CF，如图1．（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；（2）若∠DEF＝45°，求tan∠CDE的值；（3）在（2）的条件下，点G在BD上，且不与B、D两点重合，连接EG并延长到点H，使得EH＝BE，连接BH、DH，将△BDH沿DH翻折，点B的对应点B′恰好落在EH 的延长线上，如图2．当BH＝8时，求GH的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．2020年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）下列各数中，比﹣1小的数是（）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．【解答】解：A、﹣2＜﹣1，故正确；B、0＞﹣1，故本选项错误；C、1＞﹣1，故本选项错误；D、2＞﹣1，故本选项错误；故选：A．2．（3分）如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是两个小正方形，故选：B．3．（3分）2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵在北京天安门广场隆重举行，此次阅兵规模空前，这次阅兵编59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约15000人．将数据15000用科学记数法表示为（）A．0.15×105B．1.5×104C．15×105D．1万5千【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将15000用科学记数法表示为：1.5×104．故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．a5÷a3＝a2【分析】根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法计算即可．【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，错误；B、a2•a3＝a5，错误；C、（a2）3＝a6，错误；D、a5÷a3＝a2，正确．故选：D．5．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（2，a）在第四象限内，则点B（a，2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据点A（2，a）在第四象限内得出a＜0，据此可得点B所在象限．【解答】解：∵点A（2，a）在第四象限内，∴a＜0，则点B（a，2）所在的象限是第二象限，故选：B．6．（3分）分式方程的解为（）A．x＝2B．x＝3C．x＝4D．x＝﹣4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x﹣2（x﹣2）＝0，去括号得：3x﹣2x+4＝0，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．故选：D．7．（3分）4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：读书时间（小时）45678学生人数610987则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（）A．6，5B．6，6C．6.5，6D．6.5，5【分析】根据表格中的数据可知该班有学生40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决．【解答】解：由表格可得，读书时间为5小时最多，故一周读书时间的众数为5，该班学生一周读书时间的第20个数6和第21个数是6，故该班学生一周读书时间的中位数为＝6，故选：A．8．（3分）如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】由四边形CDEF为矩形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可．【解答】解：∵四边形CDEF为矩形，∴EF∥DC，∴∠AGE＝∠1＝50°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．故选：B．9．（3分）如图，在⊙O中，若∠CDB＝60°，⊙O的直径AB等于4，则BC的长为（）A．B．2C．2D．4【分析】根据圆周角定理得出∠CAB＝60°，进而利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠CDB＝60°，∴∠CAB＝∠CDB＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝30°，∵，⊙O的直径AB等于4，∴BC＝2，故选：C．10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．abc＞0B．a﹣b+c＝2C．4ac﹣b2＜0D．当x＞﹣1时，y随x增大而增大【分析】A、根据抛物线y＝ax2+bx+c的图象可得a＞0，b＞0，c＜0，即可判断；B、当x＝﹣1时，y＜0，即可判断；C、因为抛物线与x轴有两个交点，可得△＞0即可判断；D、当x＞﹣1时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，即可判断．【解答】解：根据抛物线y＝ax2+bx+c的图象可知：A、a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，所以A选项错误；B、当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以B选项错误；C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，所以4ac﹣b2＜0，所以C选项正确；D、当x＞﹣1时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，所以D选项错误．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）实数4的算术平方根为2．【分析】依据算术平方根根的定义求解即可．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故答案为：2．12．（4分）如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝5，CD＝8，则AE ＝3．【分析】证明△ABC≌△CED（AAS），得出AB＝CE＝5，AC＝CD＝8，即可得出答案．【解答】解：∵BA⊥AC，CD∥AB，∴CD⊥AC，∠B＝∠DCB，∴∠A＝∠DCE＝90°，∵BC⊥DE，∴∠DCB+∠CDE＝∠DCB+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDE，在△ABC和△CED中，∵，∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE＝5，AC＝CD＝8，∴AE＝AC﹣CE＝8﹣5＝3；故答案为：3．13．（4分）同一直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x的图象如图所示，则满足k1x+b＞k2x的x取值范围是x＜﹣3．【分析】观察函数图象得到当x≤﹣3时，直线l1：y1＝k1x+b都在直线l2：y2＝k2x的上方，即y1＞y2．【解答】解：当x≤﹣3时，直线l1：y1＝k1x+b都在直线l2：y2＝k2x的上方，即k1x+b ＞k2x．∴满足k1x+b＞k2x的x取值范围是x＜﹣3，故答案为：x＜﹣3．14．（4分）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E、F；②作直线EF交BC于点G，连接AG；若AG⊥BC，CG＝3，则AD的长为6+3．【分析】由作法得到EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AG，设AG＝BG＝x，则AB＝x，根据菱形的性质健康得到结论，【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，∴AG＝BG，∵AG⊥BC，∴△ABG是等腰直角三角形，∴AB＝AG，设AG＝BG＝x，则AB＝x，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝x，∵CG＝3，∴BC＝x+3＝x，解得：x＝3（+1），∴AD＝AB＝6+3，故答案为：6+3．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：﹣12+（）﹣1×﹣|1﹣2cos30°|；（2）解不等式组：．【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂、分母有理化、代入三角函数值，再计算乘法和绝对值符号内的运算，继而去绝对值符号，最后计算加减可得；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．【解答】解：（1）原式＝﹣1+3×﹣|1﹣2×|＝﹣1+4﹣|1﹣|＝﹣1+4﹣（﹣1）＝﹣1+4﹣+1＝3；（2）解不等式①，得：x≤4，解不等式②，德：x＞﹣4，则不等式组的解集为﹣4＜x≤4．16．（6分）先化简，再求值：÷﹣，x＝﹣1．【分析】把分式的分子、分母分解因式，再把除法化为乘以，约分，然后代入x的值计算即可．【解答】解：原式＝÷﹣．＝+＝1+，＝，＝，当x＝﹣1时，原式＝＝＝2﹣．17．（8分）2020年春节联欢晚会传承创新亮点多，收视率较往年大幅增长．成都高新区某学校对部分学生就2020年春晚的关注程度，采用随机抽样调査的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图（其中A表示“非常关注”；B 表示“关注”；C表示“关注很少”；D表示“不关注”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）直接写出m＝25；估计该校1800名学生中“不关注”的人数是330人；（2）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．【分析】（1）首先求出总人数，再由A的人数即可求出m的值；求出D的人数即可补全条形统计图；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；∴m%＝×100%＝25%，该校1800名学生中“不关注”的人数是1800×＝330（人）；故答案为：25，330；（2）由题意列树状图：由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果有6种，∴选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为＝．18．（8分）成都市天府一南站城市立交桥是成都市政府确定的城建标志性建筑，如图是立交桥引申出的部分平面图，测得拉索AB与水平桥面的夹角是37°，拉索DE与水平桥面的夹角是67°，两拉索顶端的距离AD为2m，两拉索底端距离BE为10m，请求出立柱AC的长．（参考数据tan37°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan67°≈，sin67°≈，cos67°≈）【分析】设CE＝xm，则BC＝（10+x）m，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：设CE＝xm，则BC＝（10+x）m，在Rt△CDE中，∵∠DEC＝67°，∴CD＝CE•tan67°＝x，在Rt△ABC中，∵∠B＝37°，∴AC＝BC•tan37°＝×（10+x），∴AD＝AC﹣CD＝×（10+x）﹣x＝2，解得：x＝，∴AC＝AD+CD＝2+×＝10（m），答：立柱AC的长为10m．19．（10分）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a）、B两点，与x轴交于点C（﹣4，0）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点D是第四象限内反比例函数图象上的点，且点D到直线AC的距离为5，求点D的横坐标．【分析】（1）将点C坐标代入y＝x+b可得其解析式，将A的坐标代入一次函数和反比例函数解析式可得k的值，从而得出反比例函数解析式；（2）过点D作DE∥AC交x轴于点E，过点E作EF⊥AC于点F，设直线DE的解析式为y＝x+m，EF＝5，由题意得出CO＝GO＝4知CE＝EF＝10，EO＝6，从而得E （6，0），将E（6，0）代入y＝x+m中得m＝﹣6，从而得出y＝x﹣6，联立解之可得答案．【解答】解：（1）将C（﹣4，0）代入y＝x+b，得b＝4，∴一次函数的表达式为y＝x+4，将A（﹣1，a）代入y＝x+4，y＝中，得：a＝﹣1+4，a＝，∴k＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣；（2）过点D作DE∥AC交x轴于点E，过点E作EF⊥AC于点F，∴设直线DE的解析式为y＝x+m，EF＝5，∵y＝x+4，∴G（0，4），又C（﹣4，0），∴CO＝GO＝4，又∠GOC＝90°，∵EF⊥AC，∴CE＝EF＝10，∴EO＝6，∴E（6，0），将E（6，0）代入y＝x+m中，得：m＝﹣6，∴y＝x﹣6，联立，解得x＝+3，∴点D的横坐标x＝±+3．20．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；（3）若BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ADC＝90°，∠BAC＝∠BDC，得出∠ADB+∠BDC＝90°，证出∠BAE+∠BAC＝90°，得出AE⊥AC，即可得出结论；（2）证△DMC∽△AND，得出＝，证△ADC∽△ANB，得出＝，即＝，进而得出结论；（3）由（2）知DM＝BN，则BM＝DN，设DM＝BN＝a，则MN＝2a，BM＝DN＝3a，BD＝BC＝4a，由勾股定理得出CM＝a，证△ADN∽△ACB，得出＝＝＝，求出AN＝a，AB＝a，AC＝a，由AB＝AE×cos∠EAB＝＝a，求出a＝，得出AC＝，OC＝，证△ANF∽△CMF，求出CF＝AC＝，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠BDC＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∠BAE＝∠ADB，∴∠BAE+∠BAC＝90°，即∠CAE＝90°，∴AE⊥AC，AE是⊙O的切线；（2）解：DM＝BN，理由如下：∵AN⊥BD，CM⊥BD，∠ADC＝90°，∴∠AND＝∠ANB＝∠DMC＝∠ADC＝90°，∴∠ADN+∠MDC＝∠MCD+∠MDC＝90°，∴∠ADN＝∠MCD，∴△DMC∽△AND，∴＝，∵∠ABN＝∠ACD，∠ANB＝∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ANB，∴＝，即＝，∴＝，∴DM＝BN；（3）解：由（2）知DM＝BN，则BM＝DN，设DM＝BN＝a，∵MN＝2DM，BD＝BC，∴MN＝2a，BM＝DN＝3a，BD＝BC＝4a，∵∠BMC＝90°，∴CM＝＝＝a，∵AC是⊙O的直径，AN⊥BD，∴∠ABC＝∠AND＝90°，∵∠ADB＝∠ACB，∴△ADN∽△ACB，∴＝＝＝，设AN＝3b，AB＝4b（b＞0），∵∠ANB＝∠ABC＝90°，BN＝a，∴AN2+BN2＝AB2，即（3b）2+a2＝（4b）2，解得：b＝a，∴AN＝a，AB＝a，∵BC＝4a，∴AC＝＝＝a，∴cos∠ACB＝cos∠ADB＝cos∠EAB＝＝＝，∵AE＝，∴AB＝AE×cos∠EAB＝×＝＝a，∴a＝，∴AC＝，∴OC＝AC＝，∵∠ANF＝∠CMF＝90°，∠AFM＝∠MFC，∴△ANF∽△CMF，∴＝＝＝，∴CF＝AC＝，∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．一．填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）若实数a满足＝a﹣1，且0＜a＜，则a＝．【分析】先确定＜2，所以由已知得a＜2，可化简二次根式＝2﹣a，解方程计算即可．【解答】解：∵＝a﹣1，且0＜a＜，∴2﹣a＝a﹣1，∴a＝，故答案为：．22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝1，则m＝．【分析】先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m﹣1 ①，x1x2＝﹣②，结合x1﹣x2＝1求出，将其代入②求解可得．【解答】解：根据题意知x1+x2＝2m﹣1 ①，x1x2＝﹣②，∵x1﹣x2＝1 ③，由①③，得：，代入②，得：m（m﹣1）＝﹣，解得m＝，故答案为：．23．（4分）如图，在等边△ABC内任取一点D，连接CD，BD得到△CDB，如果等边△ABC 内每一点被取到的可能性都相同，则△CBD是钝角三角形的概率是．【分析】由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：如图，取BC的中点O，以O为圆心，BC为直径画半圆，交AB于E，连接OE，当D在半圆上时，∠BDC＝90°，∵△CBD是钝角三角形时，只能∠BDC＞90°，∴点D落在如图所示的半圆O内时，△CBD是钝角三角形，设等边三角形的边长为2a，半圆的面积为，等边△ABC的面积是＝a2，∴满足∠BDC＞90°的概率是＝，∴△CBD是钝角三角形的概率；故答案为：．24．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为﹣．【分析】根据已知的比设AB＝x，BC＝CO＝2x，如图1，过D作DE∥l，交OC于E，根据角平分线的定义和平行线的性质得：∠DCE＝∠CDE，所以DE＝CE，由△DOE∽△AOC，列比例式，可得6x﹣5a＝0，a＝x，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得△AOC的面积为15，如图2，过B作BG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H，证明△ABG∽△ACH，得，设BG＝b，CH＝3b，表示B（，b），C（，3b），根据三角形面积列式可得结论．【解答】解：∵AB：BC：CO＝1：2：2，∴设AB＝x，BC＝CO＝2x，如图1，过D作DE∥l，交OC于E，∴∠ACD＝∠CDE，∵CD平分∠ACO，∴∠ACD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CDE，∴DE＝CE，设DE＝a，则CE＝a，OE＝2x﹣a，∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴，即，∴x（6x﹣5a）＝0，∵x≠0，∴6x﹣5a＝0，a＝x，∵＝，∴＝，∵△COD的面积为6，∴△AOC的面积为15，如图2，过B作BG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H，∴BG∥CH，∴△ABG∽△ACH，∴，∵AB：BC＝1：2，∴，设BG＝b，CH＝3b，∵直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，∴B（，b），C（，3b），∴GH＝＝﹣，∵，∴AG＝GH＝﹣，∴OA＝AG+OG＝﹣＝﹣，∵S△ACO＝，，k＝﹣，故答案为：﹣．25．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为或或3．【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H 在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．【解答】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，∴∠ADC＝∠MDG，∴∠ADM＝∠CDG，∴△ADM≌△CDG（SAS），∴∠DAM＝∠DCG＝135°，∵∠CAB＝45°，∴∠CAM＝90°，∴MH＝GH＝＝＝5k，∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，∴△DGH∽△AGD，∴＝，∴DG2＝GH•GA＝40k2，∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝12，∴AD＝CD＝6，∵DJ⊥AC，∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3，∴GJ＝8K﹣3，在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2，∴40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，解得k＝或（舍弃），∴AH＝3k＝．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．同法可得：40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，解得k＝（舍弃）或，∴AH＝3k＝．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．同法可得：10k2＝（3﹣2k）2+（3）2，解得k＝或﹣3（舍弃），∴AH＝3k＝3，综上所述，满足条件的AH的值为或或3．故答案为或或3．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）一名大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，在成都市高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，计划销售一种产品．已知该产品成本价是20元/件，其销售价不低于成本价，且不高于30元/件，员工每人每天的工资为200元．经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求每件产品销售价为多少元时，每天门店的纯利润最大？最大纯利润是多少？（纯利润＝销售收入﹣产品成本﹣员工工资）【分析】（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）根据纯利润＝销售收入﹣产品成本﹣员工工资列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，把（21，290）、（29，210）代入，得，解得，，则y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+500（20≤x≤30）；（2）每天门店的纯利润W＝（﹣10x+500）（x﹣20）﹣400＝﹣10x2+700x﹣10400＝﹣10（x﹣35）2+1850，∵20≤x≤30，∴当x＝30时，每天门店的纯利润W最大，最大为1600元．27．（10分）将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点A′处，AD交BC于点E，点F 在CD上，连接EF，且CE＝3CF，如图1．（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；（2）若∠DEF＝45°，求tan∠CDE的值；（3）在（2）的条件下，点G在BD上，且不与B、D两点重合，连接EG并延长到点H，使得EH＝BE，连接BH、DH，将△BDH沿DH翻折，点B的对应点B′恰好落在EH 的延长线上，如图2．当BH＝8时，求GH的长．【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：∠DBC＝∠BDE，由等角对等边可得△BDE是等腰三角形；（2）如图1，过点F作FM⊥DE于M，根据等腰直角三角形的性质得：EF＝FM，设CF＝2a，CE＝3a，由勾股定理得EF＝a，FM＝a，设DF＝x，根据三角函数定义可得DE＝，最后利用勾股定理列方程可得x与a的关系，从而得结论；（3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BNE≌△ECD（AAS），得BN＝CE，从而由等腰三角形三线合一的性质得BN＝NH＝CE＝4，证明△DEG∽△BHG，列比例式可得结论．【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形，理由是：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，由折叠得：∠ADB＝∠BDE，∴∠DBC＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形；（2）如图1，过点F作FM⊥DE于M，∵∠DEF＝45°，∴EF＝FM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵CE＝3CF，∴设CF＝2a，CE＝3a，∴EF＝a，∵FM＝a，∵∠C＝90°，FM⊥DE，∴sin∠MDF＝，设DF＝x，∴，∴DE＝，∵∠C＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，即，解得：x＝5a或﹣a（舍），∴tan∠CDE＝＝＝；（3）如图2，过点E作EN⊥BH，由折叠得：∠B'＝∠HBD，∠B'DH＝∠BDH，∴∠DHE＝∠B'+∠B'DH＝∠HBD+∠BDH，∵BE＝EH＝DE，∴∠DHE＝∠EDH＝∠BDE+∠BDH，∴∠HBD＝∠BDE，∴BH∥DE，∴∠HBE＝∠DEC，∵∠BNE＝∠C＝90°，BE＝DE，∴△BNE≌△ECD（AAS），∴BN＝CE，∵BE＝EH，EN⊥BH，BH＝8，∴BN＝NH＝CE＝4，由（2）知：CD＝2CE，则CD＝8，∴DE＝EH＝＝4，∵∠HBD＝∠BDE，∠HGB＝∠DGE，∴△DEG∽△BHG，∴，∴GH＝．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）①得出∠EAB＝∠ODB，当△FEA∽△BOD时，当△EF A∽△BOD时，可求出EF的长；②（Ⅰ）求出直线CE的解析式为y＝，得出∠APE＝∠EBA，则∠GCH＝∠APE ＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，得出GC∥PB，由tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，设CN＝MG＝m，则HN＝2m，MH＝m，则MH+HN＝2m+m＝1，解得，m ＝，可求出H点的坐标；（Ⅱ）过点H作MN⊥PB，过点C作CN⊥MH于点N，过点G作GM⊥HM于点M，证得∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，由（Ⅰ）知：tan∠EBA＝，则tan∠MHG＝＝tan∠GCH＝，设MG＝a，则MH＝2a，证明△HMG∽△CNH，则NH＝2a，CN ＝4a，又C（0，3），得出G（﹣3a，3﹣4a），代入y＝﹣中，得CN＝，可求出H点坐标．【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、B（2，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x+3；（2）①将E（m，2）代入y＝﹣x+3中，得﹣m+3＝0，解得m＝﹣2或1（舍去），∴E（﹣2，2），∵A（﹣3，0）、B（2，0），∴AB＝5，AE＝，BE＝2，∴AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB＝∠DOB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，∴∠EAB＝∠ODB，（Ⅰ）当△FEA∽△BOD时，∴∠AEF＝∠DOB＝90°，∴F与B点重合，∴EF＝BE＝2，（Ⅱ）当△EF A∽△BOD时，∴∠AFE＝∠DOB＝90°，∵E（﹣2，2），∴EF＝2，故：EF的长为2或2；②点H的坐标为（﹣，）或（﹣，），（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，∴∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，∴∠CHN＝∠MGH，∵HN⊥CO，∠COP＝90°，∴HN∥AB，∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，∵E（﹣2，2），C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝x+3，∴P（﹣6，0），∴EP＝EB＝2，∴∠APE＝∠EBA，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，∴GC∥PB，又C（0，3），∴G点的纵坐标为3，代入y＝﹣x+3中，得：x＝﹣1或0（舍去），∴MN＝1，∵∠AEB＝90°，AE＝，BE＝2，∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，设CN＝MG＝m，则HN＝2m，MH＝m，∴MH+HN＝2m+m＝1，解得，m＝，∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得：y＝，∴点H的坐标为（﹣，）．（Ⅱ）过点H作MN⊥PB，过点C作CN⊥MH于点N，过点G作GM⊥HM于点M，∴CN∥PB，∴∠NCH＝∠APE，由（Ⅰ）知：∠APE＝∠EBA，则∠NCH＝∠EBA，∵∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠HCN+∠NHC＝∠MHG+∠NHC＝90°，∴∠HCN＝∠MHG，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，由（Ⅰ）知：tan∠EBA＝，则tan∠MHG＝＝tan∠GCH＝，设MG＝a，则MH＝2a，∵∠NCH＝∠MHG，∠N＝∠M，∴△HMG∽△CNH，∴，∴NH＝2a，CN＝4a，又C（0，3），∴G（﹣3a，3﹣4a），代入y＝﹣x+3中，得，a＝或0（舍去），∴CN＝，∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得，y＝．∴点H的坐标为（﹣）．综合以上可得点H的坐标为（﹣，）或（﹣）．。
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成都市高新区二诊数学试题(答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2018年九年级第二次诊断性考试试题数学（满分150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷A卷（100分）一、选择题（每小题3分，共30分, 在下面每一个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.）1．计算9的结果为（A）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣92．下列运算正确的是（C）A．a+a=a2B．a3÷a=a3C．a2•a=a3D．（a2）3=a53．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（B）A．B． C． D．4．把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则n为（ B ）A．1 B．﹣2 C．2 D．8.135．谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转．打一数学学习用具，谜底为（D）A．量角器B．直尺C．三角板D．圆规6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的众数、极差分别为（C）A ．1.70、0.25B ．1.75、3C ．1.75、0.30D ．1.70、37．将抛物线y=﹣x 2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是（C ）A ．B ．C ．D ．8．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1=0有实根，则m 的取值范围是（ D ） A ．m ＜3 B ．m ≤3 C ．m ＜3且m ≠2 D ．m ≤3且m ≠29．如图：有一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ B ） A ．30° B ．25° C ．20° D ．15°10．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为5，则的长度为（ B ）A ．πB ．2πC ．5πD ．10π第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分，共16分） 11．因式分解：=++49142x x()27+x．12．如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是．13．如图，▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的F 点，若△FDE 的周长为8 cm ，△FCB 的周长为20cm ，则FC 的长为 6 cm ．14. 把直线y=﹣x +3向上平移m 个单位后，与直线y=2x +4的交点在第一象限，则m 的取值范围是 m ＞1 ． 三、解答题（本题共54分） 15. （每小题6分，共12分）（1）计算：()o45cos 2341|21|01--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--π解：()分分分原式14-12141242221412⋯⋯=⋯⋯-+--=⋯⋯⨯-+-+-=（2）解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-<-+-≥xx x x 613121，并把解集在数轴上表示出来． 解：分分分1212211⋯⋯<≤-∴⋯⋯<⋯⋯-≥x 由②得:x 由①得：x将原不等式组解集在数轴上表示如下： 数轴表示……2分16、（本小题6分）先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛---÷--225262x x x x ，其中12-=x ． 解：()()()()()分分分原式132133223222452322⋯⋯+-=⋯⋯+--⨯---=⋯⋯⎪⎪⎭⎫⎝⎛---÷--=x x x x x x x x x x 分分原式时当1221312212⋯⋯-=⋯⋯+--=-=x17、（本小题8分）为了测量白塔的高度AB ，在D 处用高为1.5米的测角仪 CD ，测得塔顶A 的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A 的仰角为61°，求白塔的高度AB ．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）解：设AE=x，在Rt△ACE中，CE==1.1x，………………………………2分在Rt△AFE中，FE==0.55x，………………………………2分由题意得，CF=CE﹣FE=1.1x﹣0.55x=12，………………………………2分解得：x=，………………………………1分故AB=AE+BE=+1.5≈23米．答：这个电视塔的高度AB为23米．………………………………1分18、（本小题8分）某销售公司年终进行业绩考核，人事部门把考核结果按照A，B，C，D四个等级，绘制成两个不完整的统计图，如图1，图2．（1）参加考试人数是，扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是，请把条形统计图补充完整；（2）若考核为A等级的人中仅有2位女性，公司领导计划从考核为A等级的人员中选2人交流考核意见，请用树状图或表格法，求所选人员恰为一男一女的概率；（3）为推动公司进一步发展，公司决定计划两年内考核A等级的人数达到30人，求平均每年的增长率．（精确到0.01，=2.236）解：（1）参加考试的人数是：24÷48%=50人；………………………………1分 扇形统计图中D 部分所对应的圆心角的度数是：360°×=36°；…………………………………1分C 等级的人数是：50﹣24﹣15﹣5=6人，补图如下：………………………………1分故答案为：50，36；（2）树状图或表格因为共有20种可能，其中满足一男一女的情况有12种，………………………………2分 ∴P （一男一女）=532012 ；………………………………1分（3）设增长率是x ，依题意列方程得：24（1+x ）2=30，………………………………1分解得：x1=﹣1+≈0.12，x2=﹣1﹣（舍去），答：每年增长率为12%．………………………………1分19、（本小题10分）如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．解：（1）设反比例函数解析式为y=，把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，∴反比例函数解析式为y=；………………………………1分把A（3，m）代入y=，可得3m=6，即m=2，∴A（3，2），………………………………1分设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，解得，∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；………………………………1分（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；…………………2分（3）存在点C．………………………………1分如图所示，延长AO交双曲线于点C1，∵点A与点C1关于原点对称，∴AO=C1O，∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；………………………………1分如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，可设直线C1C2的解析式为y=x+b'，把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，………………………………1分解得b'=，∴直线C1C2的解析式为y=x+，解方程组，可得C2（，）；………………………………1分如图，过A 作OB 的平行线，交双曲线于点C 3，则△OBC 3的面积等于△OBA 的面积， 设直线AC 3的解析式为y=x +b“， 把A （3，2）代入，可得2=×3+b“， 解得b“=﹣，∴直线AC 3的解析式为y=x ﹣，解方程组，可得C 3（﹣，﹣）；………………………………1分综上所述，点C 的坐标为（﹣3，﹣2），（，），（﹣，﹣）．20、（本小题10分）如图， ⊙O ABC Rt ∆的外接圆，o90=∠C ，21tan =B ，过点B 的直线l 是 ⊙O 的切线，点D 是直线l 上一点，过点D 作CB DE ⊥交CB 延长线于点E ,连结AD ，交⊙O 于点F ,连结BF 、CD 交于点G. （1）ACB ∆∽BED ∆；（2）当AC AD ⊥时，求CGDG的值； （3）若CD 平分ACB ∠，AC =2，连结CF,求线段CF 的长.（1）分∽分分111⋯⋯∆∆⋯⋯∠=∠⋯⋯∠=∠BEDACBBDEABCEACB（2）分分∽分为矩形∽141124:2:1::⋯⋯=⋯⋯∆∆⋯⋯=∴∆∆CGDGGDFGCBBCDEBEACEDBEDACB（3）分分分15581454,5218,442⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∴⋯⋯⊥⇒==⇒==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯===⇒=CFABCFBCBFBDABDEBEBCACB 卷（50分）一、填空题（每小题4分，共20分）21.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是 11 小时．22.若⎩⎨⎧-==21b a 是关于b a ,的二元一次方程7=-+b ay ax 的一个解，代数式1222-++y xy x 的值是 24 ．23.如图，同心圆的半径为6cm ，8cm ，AB 为小圆的弦，CD 为大圆的弦，且ABCD 为矩形，若矩形ABCD 面积最大时，矩形ABCD 的周长为 39.2 cm ．24.如图，在矩形ABCD 中，将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B'C'交CD 边于点G ．连接BB'、CC'．若AD=7，CG=4，AB'=B'G ，则=（结果保留根号）．25.在平面直角坐标系，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）． 点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为 3或﹣；若点P 在函数y=﹣x 2+16（﹣5≤x ≤a ）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，实数a 的取值范围为__≤a ≤4．____________．二、解答题（本题共30分）26、（本小题8分）为进一步缓解城市交通压力，成都大力支持共享单车的推广，并规范共享单车定点停放，某校学生小明统计了周六校门口停车点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y 的值表示8：00点时的存量，x=2时的y 值表示9：00点时的存量…以此类推，他发现存量y （辆）与x （x 为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．时段x 还车数借车数存量y7：00﹣8：00 1 7 5 158：00﹣9：00 2 8 7 n……………根据所给图表信息，解决下列问题：（1）m=，解释m的实际意义：；（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；（3）已知10：00﹣11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．解：（1）m+7﹣5=15，m=13，………………………………1分则m的实际意义：7：00时自行车的存量；………………………………1分故答案为：13，7：00时自行车的存量；（2）由题意得：n=15+8﹣7=16，………………………………1分设二次函数的关系式为：y=ax2+bx+c，把（0，13）、（1，15）和（2，16）分别代入得：，………………………………1分解得：，∴y=﹣x2+x+13；………………………………1分（3）当x=3时，y=﹣×32+×3+13=16，………………………………1分当x=4时，y=﹣×42+×4=13=15，………………………………1分设10：00﹣11：00这个时段的借车数为x，则还车数为2x﹣4，根据题意得：16+2x﹣4﹣x=15，x=3，………………………………1分答：10：00﹣11：00这个时段的借车数为3辆．27、（本小题10分）在正六边形ABCDEF中，N、M为边上的点，BM、AN相交于点P（1）如图1，若点N在边BC上，点M在边DC上，BN=CM，求证：BP•BM=BN•BC；（2）如图2，若N为边DC的中点，M在边ED上，AM∥BN，求的值；（3）如图3，若N、M分别为边BC、EF的中点，正六边形ABCDEF的边长为2，请直接写出AP的长．（1）证明：在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠BCD=120°，………………………………1分∵BN=CM，∴△ABN≌△BCM，∴∠ANB=∠BMC，………………………………1分∵∠PBN=∠CBM，∴△BPN∽△BCM，∴=，∴BP•BM=BN•BC；………………………………1分（2）延长BC，ED交于点H，延长BN交DH于点G，取BG的中点K，连接KC，………………1分在正六边形ABCDEF中，∠BCD=∠CDE=120°，∴∠HCD=∠CDH=60°，∴∠H=60°，∴DC=DH=CH，∵DC=BC，∴CH=BC，∵BK=GK，∴2KC=GH，KC∥DH，………………………………1分∴∠GDN=∠KCN，∵CN=DN，∠DNG=∠CNK，∴△DNG≌△CNK，∴KC=DG，∴DG=DH=DE，∵MG∥AB，AM∥BG，∴四边形MABG是平行四边形，………………………………1分∴MG=AB=ED，∴ME=DG=DE，即=，………………………………1分（3）如图3，过N作NH⊥AB，交AB的延长线于H，………………………………1分∵∠ABC=120°，∴∠NBH=60°，Rt△NBH中，∠BNH=30°，BN=1，∴BH=BN=，∴NH==，Rt△ANH中，AN===，连接FC，延长FC与AN交于G，设FC与BM交于K，易证△ANB≌△GNC，∴CG=AB=2，AN=NG=，FC=2AB=4，∴FG=FC+CG=6，∵EF∥BC，∴，∴，∵FK+KC=4，∴FK=，KC=，KG=+2=，∵KG∥AB，∴，∴=，………………………………1分设PG=7x，AP=3x，由PG+AP=AG=2得：7x+3x=2，x=，∴AP=3x=．………………………………1分28、（本小题12分）如图，直线l ：33+-=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线422++-=a ax ax y ()0<a 经过点B,交x 轴正半轴于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；（2））已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值及此时动点M 的坐标；（3）将点A 绕原点旋转得点A ′，连结CA ′、BA ′，在旋转过程中，一动点M 从点B 出发，沿线段BA ′以每秒3个单位的速度运动到A ′，再沿线段A ′C 以每秒1个单位的速度运动到C 后停止，求点M 在整个运动过程中用时最少是多少？解：（1）令x=0代入y=﹣3x +3，………………………………1分 ∴y=3， ∴B （0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，………………………………1分∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；………………………………1分（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，………………………………1分∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y=0代入y=﹣3x+3，∴x=1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），………………………………1分S=S四边形OAMB﹣S△AOB=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB=×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3………………………………1分=﹣（m﹣）2+………………………………1分∴当m=时，S取得最大值．可知：M′的坐标为（，）；………………………………1分（4）取点⎪⎭⎫⎝⎛31,0H ………………………………1分''OBA H OA ∆∆∽………………………………1分''3HA BA =………………………………1分 3823''''=≥+=+=HC C A HA C A BA t ………………………………1分。