等差数列课件(第一课时)

• 一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。
等差数列的定义
那么对于以上四组等差数列，它们的公差 依次是5，5，-2.5，72。
定义的符号表示是：
an - an-1=d(n≥2,n∈N*),
变形
an a m d nm
等差数列
等差数列的通项公式： 如果一个等差数列{an}的首项为a1 ，公差为d， 那么我们可以根据等差数列的概念得到： a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d ………… an-1-an-2=d + an-an-1=d an-a1=(n-1)d
等差数列的通项公式：
四 个 实 例 从第二项起，后一项与前一项的差是5。
我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列： 0，5， 10 ，15 ，20 ，… ① 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比 从第二项起，后一项与 赛项目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列 5。 （单位：kg）： 48 ，53，58，63. 前一项的差是 ② 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清 库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为 18m，自然放水每天 从第二项起，后一项与 水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工 前一项的差是-2.5。 作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13， 10.5，8，5.5. ③
an=a1 +(n-1)d 等价变形： a1=an- (n-1)d
d=(an-a1)/ (n-1)
n=(an-a1)/d+1
等差数列
思考: an=a1 +(n-1)d
am=?
am=a1 +(m-1)d am-an =? am-an =(m-n) d am=an +(m-n) d d=am-an /(m-n)
a2-a1=d, 所以有：
(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3) a2=a1a +d, 3-a2=d, +…+(a a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d n-an-1)=(n-1)d a -a =d , 4 3 a4=a3+d=（a1+2d）+d=a +3d 1、 a 、 n 、 d 知 ∴ a =(n-1)d n-a1a 1 n … an=a +(n-1)d 当n=1 时，上式也成立。 三求一 即 a =a +(n-1)d 1 n 1 an-an-1=d
请同学们思 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利 息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和 = 考，这四个 本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%， 数列有何共 那么按照单利， 5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列： 从第二项起，后一项 同特点 10072? ，10144，10216，10288 ，10360. ④。 与前一项的差是 72
这就是数列的递推公式。
数列{an}为等差数列
an+1-an=d 或a +1=a +d n n
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。 a1=1,d=2 （1）1，3，5，7，… 是 （2）9，6，3，0，-3…
练 习 一
a1=9,d=-3 a1=-8,d=2 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 思考：在数列 是 （4）3（ ，3 ， 3 ， 3 ， … a1=3,d=0 1），a =？我
分析（2）要想判断 -401是否为这个数列 中的项，关键是要求 出通项公式，看是否 存在正整数n,使得 an=-401。
(2)由题意得： a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴这个数列的通项公式是： an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100 ∴-401是这个数列的第100项。
解： an
an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
pn q ( pn p q) p 为常数
∴{ an }是等差数列 首项 a1 p q ，公差为 p。
4 1 例 4、已知数列 {an }满足a1 4且an 4 (n 1). 记 bn an1 an 2
设正项数列 an 满足 a1 1 ， an 2a
2 n1 （n≥2）.求数列
an 的通项公式.
课时小结
• 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义 及数学表达式： an+1-an=d(n≥1且n∈N*); • 其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n≥1) . • 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任 意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。
小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主 要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。
从该例题中可以看出，等差数列的通项公 式其实就是一个关于、、d、n（独立的量 有3个）的方程；另外，要懂得利用通项 公式来判断所给的数是不是数列中的项， 当判断是第几项的项数时还应看求出的项 数是否为正整数，如果不是正整数，那么 它就不是数列中的项。
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数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。 一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一 个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
练习二
（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项； （2）判断102是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是， 是第几项，如果不是，说明理由。
（2）由题意得： 解：（1）根据题意得： a1=2,d=9-2=7 ∴这个数列的通项公式是： a1=3,d=7-3=4, an=2+ (n-1) × 7 ∴这个数列的通项公式是： =7n-5(n≥1)令102=7n-5,得 an=a1+(n-1)d=4n-1 n=107/7 N ∴a4=4×4-1=15, ∴102不是这个数列的项。 a10=4×10-1=39.
练习三
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
解：依题意得：
a1 3d 10 a1 6d 19
解之得：
a1 1 d 3
∴这个数列的首项是1，公差是3。
例 3、已知数列{ an }的通项公式 an pn q ，其中 p 、 q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是， 首项与公差分别是什么？
思考题：
已知等差数列{an}中，am、公差d 是常数，试求出
an的值。
分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须 将am ,d 看成是常数.
解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：
am=a1+(m-1)d
①
an=a1+(n-1)d
∴an=am +(n-m)d
②
②- ①得：an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
是
1 1 1 1 们该如何求解呢？ 不是 (5)1, , , , , 2 3 4 5
100
（6）15，12，10，8，6，…
不是
通项公式的推导
问an=? 通过观察：a2， a3，a4都可 • 设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有： 以用a1与d 表示出来；a1与d a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…的系数有什么特点？
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d
例题 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项? 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。 分析（1）由给出的等 解：(1)由题意得： 差数列前三项，先找 a1=8,d=5-8=-3,n=20 到首项a1,求出公差d, ∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11 写出通项公式，就可 以求出第20项a20. ∴a20=11-3×20=-49
（Ⅰ）求证：数列 {bn } 是等差数列 ； （Ⅱ）求数列 {an } 的通项公式
an1 例 5、 an , a1 1 求数列 an 的通项公式. 3 an1 1
1 3 an1 1 1 1 1 解：取倒数： 则 3 3 an an1 an1 an an1
1 1 1 是等差数列， (n 1) 3 1 (n 1) 3 an a1 an
1 an 3n 2
有些数列若通过取倒数代数变形方法， 可由复杂变为简单，使问题得以解决.
7an1 3 已知数列 an 中， a1 2 ，n≥2 时 an ，求通项公式. 3an1 1

例题 例2 在等差数列{a }中，已知a =10,a =31, n 5 12 求首项a1与公差d .
解：由题意得：a5 a1 4d 10
a12 a1 11d 31
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组， 解之得： a 2
1 d 3
∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.