八年级数学反比例函数概念
中考考点反比例函数的定义反比例函数像的性质与变化规律

中考考点反比例函数的定义反比例函数像的性质与变化规律反比例函数是数学中的一个重要概念,也是中考数学考试的一个重要考点。
它具有独特的定义和性质,同时在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对反比例函数的定义、性质以及变化规律进行详细阐述。
一、反比例函数的定义反比例函数是指具有形如y=k/x的函数关系的数学函数。
其中,k 是一个常数,并且x≠0。
例如,y=3/x就是一个简单的反比例函数。
当x取不同的值时,y的值会产生相应的变化。
在反比例函数中,x的值为0时,y的值无定义。
这是因为在数学中,除数不能为0。
因此,反比例函数的定义域为x≠0,值域为y≠0。
二、反比例函数的性质反比例函数具有以下几个重要的性质:1. 过原点:反比例函数的图像一定经过坐标原点(0,0)。
这是因为当x取0时,y的值无论为何都是无意义的。
2. 零点:反比例函数在定义域中,存在一个特殊的点使得函数值为0。
该点称为反比例函数的零点。
对于y=k/x的反比例函数来说,当x=k时,y=0。
3. 单调性:反比例函数在其定义域内是单调的。
当x1<x2时,对应的y1和y2之间存在着y1>y2的关系。
4. 变化趋势:反比例函数的图像可以是一个倾斜的曲线。
当x的值增大时,y的值会逐渐减小;当x的值减小时,y的值会逐渐增大。
5. 图像形态:反比例函数的图像一般是一个双曲线。
它在坐标平面上的形态取决于k的正负和绝对值大小。
三、反比例函数的变化规律反比例函数在实际问题中具有一定的变化规律。
以“速度与时间的关系”为例,假设一个运动物体在匀速直线运动中,其行驶距离与时间的关系可以表示为y=d/t,其中,d为距离,t为时间。
可以看出,该关系符合反比例函数的形式。
根据反比例函数的特性,在运动过程中,当时间逐渐增加时,物体所行驶的距离会逐渐减小,即速度会逐渐减小。
反之,当时间逐渐减小时,物体所行驶的距离会逐渐增加,即速度会逐渐增大。
这与我们常规的观察和经验是一致的。
八年级下册数学第六章反比例函数知识点

八年级下册数学第六章反比例函数知识点
八年级下册数学第六章主要学习反比例函数的知识。
以下是该章节的主要内容:
1. 反比例函数的定义:如果两个变量的乘积为定值,那么它们之间就存在反比例的关系,可以表示为y = k/x,其中k为常数。
2. 反比例函数的图像特点:反比例函数的图像是一个直角双曲线,对称于一、三象限的原点。
函数的图像与y轴和x轴都有渐近线。
3. 反比例函数的性质:反比例函数的定义域为除去x=0的所有实数,值域也为除去y=0的所有实数。
4. 反比例函数的性质:随着x的增大,y的值趋近于0;随着x的减小,y的值趋近于无穷大。
5. 反比例函数的应用:反比例函数常用于解决与速度、密度、浓度、比例等问题,如速度和时间、材料的用量和产品的质量等。
6. 反比例函数的图像变换:通过对反比例函数进行平移、伸缩和翻转等操作,可以得到新的反比例函数的图像。
以上是八年级下册数学第六章反比例函数的主要知识点。
希望对你有帮助!。
(中考考点梳理)反比例函数-中考数学一遍过

考点10 反比例函数一、反比例函数的概念1.反比例函数的概念一般地,函数kyx=(k是常数,k≠0)叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成1y kx-=的形式.自变量x的取值范围是x≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数.2.反比例函数kyx=(k是常数,k≠0)中x,y的取值范围反比例函数kyx=(k是常数,k≠0)的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数,函数值y的取值范围也是非零实数.二、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象与性质(1)图象:反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限.由于反比例函数中自变量x≠0,函数y≠0,所以,它的图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴.(2)性质:当k>0时,函数图象的两个分支分别在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小.当k<0时,函数图象的两个分支分别在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.表达式kyx=(k是常数,k≠0)k k>0 k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内,y随x的增大而减小在每个象限内,y随x的增大而增大2.反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴为直线y=x和y=-x,对称中心为原点.3.注意(1)画反比例函数图象应多取一些点,描点越多,图象越准确,连线时,要注意用平滑的曲线连接各点.(2)随着|x|的增大,双曲线逐渐向坐标轴靠近,但永远不与坐标轴相交,因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0.(3)反比例函数的图象不是连续的,因此在谈到反比例函数的增减性时,都是在各自象限内的增减情况.当k>0时,在每一象限(第一、三象限)内y随x的增大而减小,但不能笼统地说当k>0时,y随x 的增大而减小.同样,当k<0时,也不能笼统地说y随x的增大而增大.三、反比例函数解析式的确定1.待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法,由于在反比例函数kyx=中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式.2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤(1)设反比例函数解析式为kyx=(k≠0);(2)把已知一对x,y的值代入解析式,得到一个关于待定系数k的方程;(3)解这个方程求出待定系数k;(4)将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式.四、反比例函数中|k|的几何意义1.反比例函数图象中有关图形的面积2.涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时,可通过面积作和或作差的形式来求解. (1)正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①,S △ABC =2S △ACO =|k |;(2)如图②,已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点,且一次函数与x 轴交于点C ,则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+; (3)如图③,已知反比例函数ky x=的图象上的两点,其坐标分别为()A A x y ,,()B B x y ,,C 为AB 延长线与x 轴的交点,则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-. 五、反比例函数与一次函数的综合 1.涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时,联立两个解析式,构造方程组,然后求出交点坐标.针对12y y >时自变量x 的取值范围,只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如,如下图,当12y y >时,x 的取值范围为A x x >或0B x x <<;同理,当12y y <时,x 的取值范围为0A x x <<或B x x <.2.求一次函数与反比例函数的交点坐标(1)从图象上看,一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定. ①k 值同号,两个函数必有两个交点;②k 值异号,两个函数可能无交点,可能有一个交点,也可能有两个交点;(2)从计算上看,一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况. 六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式,再利用图象找出解决问题的方案,特别注意自变量的取值范围.考向一 反比例函数的定义1.反比例函数的表达式中,等号左边是函数值y ,等号右边是关于自变量x 的分式,分子是不为零的常数k ,分母不能是多项式,只能是x 的一次单项式.2.反比例函数的一般形式的结构特征:①k ≠0;②以分式形式呈现;③在分母中x 的指数为1.典例1 下列函数中,y 与x 之间是反比例函数关系的是 A .xyB .3x +2y =0C .y =D .y =【答案】Ak x 21x1.下列函数:①2x y =;②2y x =;③12y x=-;④12y x -=中,是反比例函数的有 A .1个 B .2个 C .3个D .4个考向二 反比例函数的图象和性质当k >0时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内,y 随x 的增大而减小.当k <0时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内,y 随x 的增大而增大.学科=网双曲线是由两个分支组成的,一般不说两个分支经过第一、三象限(或第二、四象限),而说图象的两个分支分别在第一、三象限(或第二、四象限).典例2 在同一坐标系中,函数y=和y =–kx +3的大致图象可能是 A . B .C .D .kx【答案】D【解析】A 、由反比例函数图象得函数y =(k 为常数,k ≠0)中k >0,根据一次函数图象可得–k >0,则k <0,则选项错误; B 、由反比例函数图象得函数y =(k 为常数,k ≠0)中k >0, 根据一次函数图象可得–k >0,则k <0,则选项错误; C 、由反比例函数图象得函数y =(k 为常数,k ≠0)中k <0, 根据一次函数图象可得–k <0,则k >0,则选项错误; D 、由反比例函数图象得函数y =(k 为常数,k ≠0)中k >0, 根据一次函数图象可得–k <0,则k >0,故选项正确. 故选D .典例3 反比例函数3y x=-的图象在 A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第二、三象限D .第二、四象限【答案】D【解析】因为30k =-<,故图象在第二、四象限,故选D . 典例4 已知点A (1,m ),B (2,n )在反比例函数(0)ky k x=<的图象上,则 A .0m n << B .0n m << C .0m n >>D .0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)ky k x=<,它的图象经过A (1,m ),B (2,n )两点,∴m =k <0,n =2k<0,∴0m n <<,故选A .2.对于函数4y x=,下列说法错误的是 kxkxkxkxA .这个函数的图象位于第一、第三象限B .这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C .当x >0时,y 随x 的增大而增大D .当x <0时,y 随x 的增大而减小3.下列函数中,当x <0时,y 随x 的增大而减小的是 A .y =x B .y =2x –1 C .y =D .y=–4.如图是三个反比例函数y =1k x ,y =2kx ,y =3k x在x 轴上方的图象,由此观察得到k 1,k 2,k 3的大小关系为A .k 1>k 2>k 3B .k 3>k 2>k 1C .k 2>k 3>k 1D .k 3>k 1>k 2考向三 反比例函数解析式的确定1.反比例函数的解析式ky x=(k ≠0)中,只有一个待定系数k ,确定了k 值,也就确定了反比例函数,因此要确定反比例函数的解析式,只需给出一对x ,y 的对应值或图象上一个点的坐标,代入k y x=中即可.2.确定点是否在反比例函数图象上的方法:(1)把点的横坐标代入解析式,求出y 的值,若所求值等于点的纵坐标,则点在图象上;若所求值不等于点的纵坐标,则点不在图象上.(2)把点的横、纵坐标相乘,若乘积等于k ,则点在图象上,若乘积不等于k ,则点不在图象上.典例5 若反比例函数的图象经过点()32,-,则该反比例函数的表达式为 A .6y x=B .6y x=-3x 1xC .3y x=D .3y x=-【答案】B【解析】设反比例函数为:ky x=.∵反比例函数的图象经过点(3,-2),∴k =3×(-2)=-6.故反比例函数为:6y x=-,故选B . 典例6 如图,某反比例函数的图象过点M (-2,1),则此反比例函数表达式为A .y =2xB .y =-2xC .y =12xD .y =-12x【答案】B【解析】设反比例函数表达式为y =k x ,把M (2-,1)代入y =k x 得,k =(-2)×1=-2,∴2y x=-,故选B .典例7 如图,C 1是反比例函数y=在第一象限内的图象,且过点A(2,1),C 2与C 1关于x 轴对称,那么图象C 2对应的函数的表达式为__________(x >0).【答案】y =–【解析】∵C 2与C 1关于x 轴对称, ∴点A 关于x 轴的对称点A ′在C 2上, ∵点A (2,1), ∴A ′坐标(2,–1),kx2x∴C 2对应的函数的表达式为y =–, 故答案为y =–.5.已知反比例函数y =-6x,下列各点中,在其图象上的有 A .(-2,-3) B .(2,3) C .(2,-3)D .(1,6)6.点A 为反比例函数图象上一点,它到原点的距离为5,则x 轴的距离为3,若点A 在第二象限内,则这个函数的解析式为A .y =12xB .y =-12xC .y =112xD .y =-112x7.在平面直角坐标系中,点P (2,a )在反比例函数y =的图象上,把点P 向上平移2个单位,再向右平移3个单位得到点Q ,则经过点Q 的反比例函数的表达式为__________.考向四 反比例函数中k 的几何意义三角形的面积与k 的关系 (1)因为反比例函数ky x=中的k 有正负之分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应加上绝对值符号.(2)若三角形的面积为12|k |,满足条件的三角形的三个顶点分别为原点,反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足.典例8 如图,点A 为函数ky x=(x >0)图象上的一点,过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点B ,连接OA ,如果△AOB 的面积为2,那么k 的值为2x2x2xA .1B .2C .3D .4【答案】D【解析】设点A 坐标为(m ,n ),则有AB =m ,OB =n ,由题意可得:12mn =2,所以mn =4,又点A 在双曲线ky x=上,所以k =mn =4,故选D . 典例9 如图,已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ,与直角边AB 相交于点C ,若△OBC 的面积为9,则k =__________.【答案】6ky x=【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段,垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k |,结合函数图象所在的象限可以确定k 的值,反过来,根据k 的值,可以确定此矩形的面积.在解决反比例函数与几何图形综合题时,常常需要考虑是否能用到k 的几何意义,以简化运算.8.如图,A 、B 两点在双曲线4y x=的图象上,分别经过A 、B 两点向轴作垂线段,已知1S =阴影,则12S S +=A .8B .6C .5D .49.如图,点A ,B 是反比例函数yx >0)图象上的两点,过点A ,B 分别作AC ⊥x 轴于点C ,BD ⊥x 轴于点D ,连接OA 、BC ,已知点C (2,0),BD =3,S △BCD =3,则S △AOC 为A.2 B.3 C.4 D.610.如图,等腰三角形ABC的顶点A在原点,顶点B在x轴的正半轴上,顶点C在函数y=kx(x>0)的图象上运动,且AC=BC,则△ABC的面积大小变化情况是A.一直不变B.先增大后减小C.先减小后增大D.先增大后不变考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型:(1)利用k值与图象的位置的关系,综合确定系数符号或图象位置;(2)已知直线与双曲线表达式求交点坐标;(3)用待定系数法确定直线与双曲线的表达式;(4)应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等.解题时,一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识,并结合图象分析、解答问题.典例10 在同一平面直角坐标系中,函数1yx=-与函数y=x的图象交点个数是A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】∵y =x 的图象是过原点经过一、三象限,1y x=-的图象在第二、四象限内,但不过原点,∴两个函数图象不可能相交,故选A . 典例11 已知一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示,则当y 1<y 2时,x 的取值范围是A .x <-1或0<x <3B .-1<x <0或x >3C .-1<x <0D .x >3【答案】B【解析】根据图象知,一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx的交点是(-1,3),(3,-1),∴当y 1<y 2时,-1<x <0或x >3,故选B .【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点,把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键,注意数形结合思想的应用. 典例12 如图,已知直线y =–xy x>0)交于A 、B 两点,连接OA ,若OA ⊥AB ,则k 的值为A .B .C D 【答案】B【解析】如图,过A 作AE ⊥OD 于E ,139102710∵直线解析式为y =–xC (0D (0), ∴OC ODRt △COD 中,CD =10,∵OA ⊥AB ,∴CO ×DO =CD ×AO , ∴AO =3,∴AD =9, ∵OD ×AE=AO ×AD ,∴AE∴Rt △AOE 中,OE,∴A), ∴代入双曲线yk=,故选B .11.已知反比例函数y =kx(k ≠0),当x >0时,y 随x 的增大而增大,那么一次函数y =kx -k 的图象经过 A .第一、二、三象限 B .第一、二、四象限 C .第一、三、四象限D .第二、三、四象限12.如图,已知A (–4,n ),B (2,–4)是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =的图象的两个交点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)求△AOB 的面积.13121212122710mx考向六 反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤(1)审:审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系; (2)设:根据常量与变量之间的关系,设出函数解析式,待定的系数用字母表示; (3)列:由题目中的已知条件列出方程,求出待定系数; (4)写:写出函数解析式,并注意解析式中变量的取值范围; (5)解:用函数解析式去解决实际问题.典例13 某化工车间发生有害气体泄漏,自泄漏开始到完全控制利用了40min ,之后将对泄漏有害气体进行清理,线段DE 表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y 与时间x (min )之间的函数关系(0≤x ≤40),反比例函数y=对应曲线EF 表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y 与时间x (min )之间的函数关系(40≤x ≤?).根据图象解答下列问题: (1)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________;kx(2)求反比例函数y =__________的表达式,并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值.(2)将x =40代入y =1.5x +20,得y =80,∴点E (40,80), ∵点E 在反比例函数y=的图象上, ∴80=,得k =3200, 即反比例函数y=,当y =20时,20=,得x =160,即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值是160.13.如图为某种材料温度y (℃)随时间x (min )变化的函数图象.已知该材料初始温度为15℃,温度上升阶段y 与时间x 成一次函数关系,且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降;温度下降阶段,温度y 与时间x 成反比例关系.(1)分别求该材料温度上升和下降阶段,y 与x 间的函数关系式;(2)根据工艺要求,当材料的温度高于30℃时,可以进行产品加工,问可加工多长时间?kx40k3200x 3200x1.下列函数中,y 是x 的反比例函数的是 A .x (y –1)=1B .15y x =- 1C 3y x =.21D y x=.2.已知反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限,则k 的取值范围是 A .k >8 B .k ≥8 C .k ≤8D .k <83.已知反比例函数y =kx的图象过点A (–3,2),则k 的值为 A .3 B .6C .–6D .–34.已知点A (2,y 1)、B (4,y 2)都在反比例函数ky x=(k <0)的图象上,则y 1、y 2的大小关系为 A .y 1>y 2 B .y 1<y 2C .y 1=y 2D .无法确定5.如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数()0y kx b k =+≠与()0my m x=≠的图象相交于点()()2,3,6,1A B --,则不等式mkx b x+>的解集为A .6x <-B 60x -<<.或2x >C .2x >D 6x <-.或02x <<6.如图,点A 、点B 是函数y =kx的图象上关于坐标原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积是4,则k 的值是A .–2B .±4C .2D .±27.反比例函数y =a x (a >0,a 为常数)和y =2x 在第一象限内的图象如图所示,点M 在y =ax 的图象上,MC ⊥x 轴于点C ,交y =2x 的图象于点A ;MD ⊥y 轴于点D ,交y =2x 的图象于点B .当点M 在y =ax的图象上运动时,以下结论:①S △ODB =S △OCA ;②四边形OAMB 的面积不变;③当点A 是MC 的中点时,则点B 是MD 的中点.其中正确结论的个数是A .0个B .1个C .2个D .3个8.如图,平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 、OC 分别落在x 、y 轴上,点B 坐标为(6,4),反比例函数y =6x的图象与AB 边交于点D ,与BC 边交于点E ,连接DE ,将△BDE 沿DE 翻折至△B 'DE 处,点B '恰好落在正比例函数y =kx 图象上,则k 的值是A .-25B .-121C.-15D.-1249.如图,直线y=x A,且OA=2,则k的值为__________.10.如图,直线分别与反比例函数2yx=-和3yx=的图象交于点A和点B,与y轴交于点P,且P为线段AB的中点,作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴交于点D,则四边形ABCD的面积是__________.11.如图,正方形ABCD的边长为2,AD边在x轴负半轴上,反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点B和CD边中点E,则k的值为__________.12.如图,已知点P(6,3),过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,反比例函数y=kx的图象交PM于点A,交PN于点B.若四边形OAPB的面积为12,则k=__________.13.如图,已知反比例函数ky x与一次函数y =x +b 的图象在第一象限相交于点A (1,-k +4). (1)试确定这两个函数的表达式;(2)求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标,并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.14.如图,一次函数y =kx +b (k 、b 为常数,k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,且与反比例函数y=(n 为常数,且n ≠0)的图象在第二象限交于点C .CD ⊥x 轴,垂足为D ,若OB =2OA =3OD =12.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)记两函数图象的另一个交点为E ,求△CDE 的面积; (3)直接写出不等式kx +b ≤的解集.nxnx15.一般情况下,中学生完成数学家庭作业时,注意力指数随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC为线段,CD为双曲线的一部分).(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式;(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求出一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟?1.(2018·辽宁省阜新市)反比例函数y=kx的图象经过点(3,–2),下列各点在图象上的是A.(–3,–2)B.(3,2)C.(–2,–3)D.(–2,3)2.(2018·甘肃省天水市)函数y1=x和y2=1x的图象如图所示,则y1>y2的x取值范围是A.x<–1或x>1 B.x<–1或0<x<1 C.–1<x<0或x>1 D.–1<x<0或0<x<13.(2018·黑龙江省大庆市)在同一直角坐标系中,函数y=kx和y=kx–3的图象大致是A.B.C.D.4.(2018·广西玉林市)如图,点A,B在双曲线y=3x(x>0)上,点C在双曲线y=1x(x>0)上,若AC∥y轴,BC∥x轴,且AC=BC,则AB等于A B.C.4 D.5.(2018·吉林省长春市)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=kx(x>0)的图象上,若AB=2,则k的值为A.4 B.C.2 D6.(2018·广西贺州市)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k、b是常数,且k≠0)与反比例函数y2=cx(c是常数,且c≠0)的图象相交于A(–3,–2),B(2,3)两点,则不等式y1>y2的解集是A.–3<x<2 B.x<–3或x>2 C.–3<x<0或x>2 D.0<x<27.(2018·山东省日照市)已知反比例函数y=–8x,下列结论:①图象必经过(–2,4);②图象在第二,四象限内;③y随x的增大而增大;④当x>–1时,则y>8.其中错误的结论有A.3个B.2个C.1个D.0个8.(2018·四川省攀枝花市)如图,已知点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,作Rt△ABC,边BC在x轴上,点D为斜边AC的中点,连接DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为4,则k=__________.9.(2018·四川省泸州市)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(2,–6),且与反比例函数y=–12 x的图象交于点B(a,4).(1)求一次函数的解析式;(2)将直线AB向上平移10个单位后得到直线l:y1=k1x+b1(k1≠0),l与反比例函数y2=6x的图象相交,求使y1<y2成立的x的取值范围.1.【答案】C【解析】①不是正比例函数,②③④是反比例函数,故选C.2.【答案】C【解析】根据反比例函数的图象与性质,可由题意知k =4>0,其图象在一三象限,且在每个象限内y 随x 增大而减小,它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形,故选C . 3.【答案】C【解析】A 、为一次函数,k 的值大于0,y 随x 的增大而增大,不符合题意; B 、为一次函数,k 的值大于0,y 随x 的增大而增大,不符合题意; C 、为反比例函数,k 的值大于0,x <0时,y 随x 的增大而减小,符合题意; D 、为反比例函数,k 的值小于0,x <0时,y 随x 的增大而增大,不符合题意; 故选C . 4.【答案】B 【解析】由图知,yyyk 1<0,k 2>0,k 3>0,又当x =1时,有k 2<k 3,∴k 3>k 2>k 1,故选B . 5.【答案】C【解析】∵反比例函数y =-中,k =-6,∴只需把各点横纵坐标相乘,结果为-6的点在函数图象上,四个选项中只有C 选项符合,故选C .7.【答案】y =【解析】∵点P (2,a )在反比例函数y =的图象上, ∴代入得:a ==1, 即P 点的坐标为(2,1),∵把点P 向上平移2个单位,再向右平移3个单位得到点Q , ∴Q 的坐标是(5,3),设经过点Q 的反比例函数的解析式是y =, 把Q 点的坐标代入得:c =15, 即y =, 故答案为:y =. 8.【答案】B6x15x2x22c x15x15x【解析】∵点A 、B 是双曲线y =上的点,分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段,则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k |=4,∴S 1+S 2=4+4-1×2=6,故选B .10.【答案】A【解析】如图,作CD ⊥AB 交AB 于点D ,则S △ACD =,∵AC =BC ,∴AD =BD ,∴S △ACD =S △BCD , ∴S △ABC =2S △ACD =2×=k ,∴△ABC 的面积不变,故选A .11.【答案】B【解析】∵当x >0时,y 随x 的增大而增大,∴反比例函数(k ≠0)的图象在二、四象限,∴k <0,∴一次函数y =kx -k 的图象经过第一、二、四象限,故选B . 12.【解析】(1)∵B (2,–4)在y =图象上, ∴m =–8.∴反比例函数的解析式为y =–. ∵点A (–4,n )在y =–图象上, ∴n =2,∴A (–4,2).∵一次函数y =kx +b 图象经过A (–4,2),B (2,–4),∴,解得.∴一次函数的解析式为y =–x –2;(2)如图,令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点,4x2k2kky x=mx8x8x4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩12k b =-=-⎧⎨⎩当x =0时,y =–2, ∴点C (0,–2). ∴OC =2,∴S △AOB =S △ACO +S △BCO=×2×4+×2×2=6. 13.【解析】(1)当0≤x <5时,为一次函数,设一次函数表达式为y =kx +b ,由于一次函数图象过点(0,15),(5,60),所以,解得:,所以y =9x +15,当x ≥15时,为反比例函数,设函数关系式为:y =, 由于图象过点(5,60),所以m =300. 则y =;学-科网 (2)当0≤x <5时,y =9x +15=30,得x =, 因为y 随x 的增大而增大,所以x >, 当x ≥5时,y ==30, 得x =10,因为y 随x 的增大而减小, 所以x <10,10–=. 答:可加工min . 1.【答案】C121215560b k b =+=⎧⎨⎩159b k ==⎧⎨⎩mx300x5353300x 53253253【解析】由反比例函数的定义知,是y 关于x 的反比例函数,其余的不是y 关于x 的反比例函数.故选C . 2.【答案】A【解析】∵反比例函数y =的图象位于第一、三象限,∴k –8>0,解得k >8,故选A . 3.【答案】C 【解析】∵函数的图象过点A (–3,2),∴,解得.故选C .6.【答案】C【解析】∵反比例函数的图象在第一、三象限,∴k >0, ∵BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,且点A 、点B 关于坐标原点对称, ∴S △AOD =S △BOE =k ,∴S 矩形OECD =2△AOD =k , ∴S △ABC =S △AOD +S △BOE +S 矩形OECD =2k =4,解得k =2. 故选C .8.【答案】【解析】∵矩形OABC ,∴CB ∥x 轴,AB ∥y 轴,∵点B 坐标为(6,4),∴D 的横坐标为6,E 的纵坐标为4,∵D ,E 在反比例函数y =的图象上,∴D (6,1),E (,4),∴BE =6-=,BD =4-1=3,∴ED =BB ′,交ED 于F ,过B ′作B ′G ⊥BC 于G ,∵B ,B ′关13y x=8k x-k y x=23k =-6k =-126x 32329232于ED 对称,∴BF =B ′F ,BB ′⊥ED ,∴BF •ED =BE •BD ,即BF=3×,∴BF,∴BB,设EG =x ,则BG =-x,∵BB ′2-BG 2=B ′G 2=EB ′2-GE 2,∴()2-(-x )2=()2-x 2,∴x =,∴EG =,∴CG =,∴B ′G =,∴B ′(,-),∴k=-,故选B .9.【答案】2【解析】∵点A在直线y =x 上,且OA =2,∴点A 得,,∴k=2,故答案为:2. 10.【答案】5【解析】过点作轴,垂足于点;过点作轴,垂足为点.∵点是中点,∴.易得△APF ≌△BPE ,∴,∴,故答案为5.11.【答案】-4【解析】∵正方形ABCD 的边长为2,∴AB =AD =2,设B (,2),∵E 是CD 边中点,∴E (-2,1),∴-2=k ,解得k =-4,故答案为:-4. 329292929245264526421354134213213121ky x==A AF y ⊥FB BE y ⊥E P AB PA PB =APF BPE S S = ABCD ACOF EODB S S S =+ 23=-+5=2k 2k2k12.【答案】6【解析】∵点P (6,3),∴点A 的横坐标为6,点B 的纵坐标为3,代入反比例函数y =得,点A 的纵坐标为,点B 的横坐标为,即AM =,NB =,∵S 四边形OAPB =12,即S矩形OMPN -S △OAM -S △NBO =12,6×3-×6×-×3×=12,解得k =6,故答案为:6. 13.【解析】(1)∵已知反比例函数经过点A (1,-k +4), ∴,即-k +4=k , ∴k =2,∴A (1,2).∵一次函数y =x +b 的图象经过点A (1,2),∴2=1+b ,∴b =1,∴反比例函数的表达式为, 一次函数的表达式为y =x +1. (2)由,消去y ,得x 2+x -2=0, 即(x +2)(x -1)=0,∴x =-2或x =1.∴y =-1或y =2.∴或. ∵点B 在第三象限,∴点B 的坐标为(-2,-1),由图象可知,当反比例函数的值大于一次函数的值时,x 的取值范围是x <-2或0<x <1.14.【解析】(1)由已知,OA =6,OB =12,OD =4,∵CD ⊥x 轴,∴OB ∥CD ,∴△ABO ∽△ACD ,k x6k 3k 6k 3k 126k 123k k y x =41k k -+=2y x=12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩21x y ⎧=-⎨=-⎩12x y ⎧=⎨=⎩∴=,∴=,∴CD =20, ∴点C 坐标为(–4,20),∴n =xy =–80,∴反比例函数解析式为:y =–, 把点A (6,0),B (0,12)代入y =kx +b 得:,解得, ∴一次函数解析式为:y =–2x +12;(2)当–=–2x +12时,解得x 1=10,x 2=–4; 当x =10时,y =–8,∴点E 坐标为(10,–8),∴S △CDE =S △CDA +S △EDA =×20×10+×8×10=140; (3)不等式kx +b ≤,从函数图象上看,表示一次函数图象不高于反比例函数图象; ∴由图象得,x ≥10,或–4≤x <0.(2)将y =40代入y 1=2x +30得:2x +30=40,解得:x =5,将y =40代入y 2=得:x =55. 55-5=50.所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟. 1.【答案】D【解析】∵反比例函数y =的图象经过点(3,–2),∴xy =k =–6, A 、(–3,–2),此时xy =–3×(–2)=6,不合题意;B 、(3,2),此时xy =3×2=6,不合题意;C 、(–2,–3),此时xy =–3×(–2)=6,不合题意;OA AD OB CD 61012CD80x0612k b b =+=⎧⎨⎩212k b =-=⎧⎨⎩80x1212n x2200xk xD 、(–2,3),此时xy =–2×3=–6,符合题意;故选D .【名师点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,正确得出k 的值是解题关键. 2.【答案】C【解析】观察图象可知当–1<x <0或x >1时,直线在双曲线的上方,所以y 1>y 2的x 取值范围是–1<x <0或x >1,故选C .【名师点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用了数形结合的思想,熟练掌握数形结合思想是解本题的关键.3.【答案】B【解析】分两种情况讨论:①当k >0时,y =kx –3与y 轴的交点在负半轴,过第一、三、四象限,反比例函数的图象在第一、三象限;②当k <0时,y =kx –3与y 轴的交点在负半轴,过第二、三、四象限,反比例函数的图象在第二、四象限,观察只有B 选项符合,故选B .【名师点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,熟练掌握它们的性质才能灵活解题.4.【答案】B【解析】点C 在双曲线y =上,AC ∥y 轴,BC ∥x 轴, 设C (a ,),则B (3a ,),A (a ,),∵AC =BC ,∴=3a –a ,解得a=1(负值已舍去), ∴C(1,1),B(3,1),A(1,3),∴AC =BC =2,∴Rt △ABC 中,AB,故选B .【名师点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,注意反比例函数图象上的点(x,y )的横纵坐标的积是定值k ,即xy =k .5.【答案】A【解析】作BD ⊥AC 于D ,如图,∵△ABC 为等腰直角三角形,∴AC AB ,∴BD =AD =CD ,∵AC ⊥x 轴,∴C (,),把C (,)代入y =得k =4,故选A . 1x1a 1a 3a31–a a k x【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟知反比例函数y=(k 为常数,k ≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x ,y )的横纵坐标的积是定值k ,即xy =k 是解题的关键.6.【答案】C【解析】∵一次函数y 1=kx +b (k 、b 是常数,且k ≠0)与反比例函数y 2=(c 是常数,且c ≠0)的图象相交于A (–3,–2),B (2,3)两点,∴不等式y 1>y 2的解集是–3<x <0或x >2,故选C .【名师点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用数形结合是解题的关键.【名师点睛】本题考查了反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.8.【答案】8【解析】∵BD 为Rt △ABC 的斜边AC 上的中线,∴BD =DC ,∴∠DBC =∠ACB ,又∠DBC =∠EBO ,∴∠EBO =∠ACB ,又∠BOE =∠CBA =90°,∴△BOE ∽△CBA ,∴,即BC ×OE =BO ×AB . 又∵S △BEC =4, ∴BC •EO =4, 即BC ×OE =8=BO ×AB =|k |.∵反比例函数图象在第一象限,k >0.∴k =8.故答案是:8.【名师点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义.反比例函数y =中k 的几何意义,即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为|k |,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思k xc xBO OE BC AB=12k x想,做此类题一定要正确理解k 的几何意义.9.【解析】(1)∵反比例函数y =–的图象过点B (a ,4), ∴4=–,解得:a =–3, ∴点B 的坐标为(–3,4).学=科网将A (2,–6)、B (–3,4)代入y =kx +b 中,,解得:, ∴一次函数的解析式为y =–2x –2.(2)直线AB 向上平移10个单位后得到直线l 的解析式为:y 1=–2x +8.联立直线l 和反比例函数解析式成方程组,,解得,, ∴直线l 与反比例函数图象的交点坐标为(1,6)和(3,2).画出函数图象,如图所示.观察函数图象可知:当0<x <1或x >3时,反比例函数图象在直线l 的上方,∴使y 1<y 2成立的x 的取值范围为0<x <1或x >3.【名师点睛】反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解方程组,解题的关键是:(1)根据点A 、B 的坐标利用待定系数法求出直线AB 的解析式;(2)联立两函数解析式成方程组,通过解方程组求出两函数图象的交点坐标.12x 12a2634k b k b +-⎧⎨-+⎩==22k b -⎩-⎧⎨==286y x y x =-+=⎧⎪⎨⎪⎩1116x y ⎧⎨⎩==2232x y ⎧⎨⎩==。
反比例函数知识点归纳和典型例题

反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念,它在实际问题的建模和解决中起着重要作用。
本文将对反比例函数的知识点进行归纳,并给出一些典型例题进行解析。
一、定义和性质反比例函数又称为倒数函数,其定义如下:设x和y是实数,且y ≠ 0,若存在一个实数k,使得y = k/x,那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支,不包括原点。
其一般形式为y = k/x,其中k为常数。
反比例函数具有以下重要性质:1. 定义域:定义除数x不能为0,所以反比例函数的定义域为x ≠ 0。
2. 值域:值域取决于常数k的正负,当k > 0时,值域为(0, +∞),当k < 0时,值域为(-∞, 0)。
3. 对称性:反比例函数关于两个坐标轴都具有对称性。
二、图象和特殊情况反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支,不包括原点。
当常数k > 0时,反比例函数的图象在第一象限和第三象限,当常数k< 0时,反比例函数的图象在第二象限和第四象限。
对于一些特殊情况,我们有以下例子:1. 当k > 0时,反比例函数的图象经过点(1, k),且在x轴和y轴上有渐进线。
2. 当k < 0时,反比例函数的图象经过点(-1, k),且在x轴和y轴上有渐进线。
三、典型例题解析下面通过几个典型例题来进一步理解反比例函数的应用。
例题1:已知y和x成反比例关系,且当x = 2时,y = 5,求当x =4时,y的值。
解析:根据反比例函数的定义,有y = k/x。
代入已知条件x = 2时,y = 5,得到5 = k/2,解得k = 10。
因此,当x = 4时,y = 10/4 = 2.5。
例题2:如果一根细木杆以每分钟1.5cm的速度缩短,那么多少分钟后长度为60cm?解析:设时间为t分钟,根据题意可以列出反比例函数y = k/x。
已知当t = 0时,y = 100,即杆子的初始长度是100cm。
初中数学:反比例函数的概念,真简单

初中数学:反比例函数的概念,真简单反比例函数是数学中一个基本的函数类型,它的特点是当自变量增大时,函数值减小;当自变量减小时,函数值增大。
下面,我们将会深入探讨反比例函数的概念以及它的相关知识点。
一、反比例函数的定义反比例函数,简称反比函数,指的是若一函数 y 与另一函数 x 成反比例关系,即 y = k/x(k为常数),则称 y 为 x 的反比函数。
其中,k 为反比例函数的比例系数,通常用正数表示。
二、反比例函数的图像特点反比例函数的图像呈现出 x 轴的非零实数的全体是定义域,y 轴的非零实数的全体是值域的形态,其图像是一个对称于第二象限和第四象限的双曲线。
三、反比例函数的性质1. 反比函数的定义域为 R - {0},值域也是 R - {0}。
2. 当 x > 0 时,反比例函数单调递减;当 x < 0 时,反比例函数单调递增。
3. 反比例函数在原点处不存在定义,但是可以趋近于无穷大或无穷小。
4. 当 x 的值增加,k 不变时 y 的值逐渐减小,表现出反比例函数的反比例关系。
四、反比例函数的应用反比例函数是数学中非常重要的函数类型,具有广泛的应用。
下面我们列举一些实际中应用反比例函数的例子:1. 银行利率:银行将存款金额与利息之间的关系建立为反比例关系,可以使用反比例函数来描述。
2. 太阳能电池板:当太阳光照射到电池板上时,电压和电流成反比例关系,可以使用反比例函数来描述。
3. 计算机处理速度:计算机的处理速度与处理任务的复杂程度呈反比例关系。
4. 等比例速度问题:有时需要研究物体在不同速度下的行驶时间,这时可以使用反比例函数来描述。
以上是反比例函数的定义、图像特点、性质及应用的详细介绍。
相信通过对反比例函数的学习,我们可以更好地理解数学中的基本概念。
八年级同步第15讲:反比例函数的图像及性质

第15讲 反比例函数的图像及性质知识框架反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容,主要对反比例函数的图像及性质进行讲解,重点是反比例函数的性质的理解,难点是反比例函数表达式的归纳总结.通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据.15.1 反比例函数的概念反比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,你们就说这两个变量成反比例.用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例,就是xy k =,或表示为ky x=,其中k 是不等于0的常数.(2)解析式形如ky x=(k 是常数,0k ≠)的函数叫做反比例函数,其中k 称也叫做比例系数.(3)反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数.【例1】若函数231(2)m m y m x -+=-是反比例函数,则m 的值为________. 【例2】如果2212n n n n y x+++=是反比例函数,那么n 的值是________.【例3】已知y 是x 的反比例函数,且当2x =时,2y =,那么当1y =时,x的值是________.【例4】如果变量1x和变量y 成正比例,变量1y 和变量z 成反比例,那么变量x 和z 成________比例关系.【例5】已知反比例函数22++=k xk y ,求k 的值,并求当x =2时的函数值【例6】已知12y y y =+,若1y 与x 正比例,2y 与x 成反比例函数,且当2x =时,14y =,当3x =时,1293y =,求y 与x 间的函数关系式.【例7】已知12y y y =+,若1y 与1x -正比例,2y 与1x +成反比例,且当0x =时5y =-,当2x =时1y =;(1)求y 与x 间的函数关系式;(2)求当3y =-时,x 的值.【例8】已知:正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数,且正比例函数的图像过点-,求反比例函数的解析式.15.2 反比例函数的图像和性质一、 反比例函数的图像反比例函数ky x=(k 是常数,0k ≠)的图像叫做双曲线,它有两支. 二、 反比例函数的性质(1)当0k >时,函数图像的两支分别在第一、三象限;在每个象限内,当自变量x 的值逐渐增大时,y 的值随着逐渐减小.(2)当0k <时,函数图像的两支分别在第二、四象限;在每个象限内,当自变量x 的值逐渐增大时,y 的值随着逐渐增大.(3)图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴,但不会与x 轴和y 轴相交,且关于原点中心对称.【例9】已知函数ky x=的图象不经过第一、三象限,则y kx =-的图象经过第________象限. 【例10】如果反比例函数ky x=(k 是常数,0k ≠)的图像在第二、四象限,那么正比例函数y kx =(k 是常数,0k ≠)的图像经过哪几个象限?【例11】若正比例函数(0)y kx k =≠,与反比例函数(0)my m x=≠的图像没有交点,那么k 与m 满足关系式可以是________.【例12】已知反比例函数1y x=-的图像上有两点11()A x y ,、22()B x y ,,且12x x <,那么下列结论正确的是( )(A )12y y <; (B )12y y >;(C )12y y =;(D )1y 与2y 的大小关系无法确定.【例13】反比例函数4y x=-的图像上一点的横坐标是3,那么这点到x 轴的距离是________.【例14】已知反比例函数21k y x+= (1)若该函数图像经过点(21)-,,求k 的值;(2)若该函数图像在每一象限内y 随x 的增大而减小,求k 的取值范围.【例15】直线y kx =(k >0)与双曲线交于11()A x y ,、22()B x y ,两点,求122127x y x y -的值.【例16】反比例函数2y x=的图像上一点A ,过A 点分别作x 轴、y 轴垂线,垂足为B 、C ; (1)求矩形ABOC 的面积;(2)当点A 沿双曲线移动时(1)中矩形面积有变化吗?为什么?【例17】若P (a ,b )是反比例函数图像上的一点,且a是b是数部分,求反比例函数的解析式.xy 4=【例18】已知:点A 、B 是函数3y x=-图像上关于原点对称的任意两点,AC ∥y 轴,BC ∥x 轴,求△ABC 的面积.【例19】反比例函数xky =(0)k <的图像经过点()A m ,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,△AOB 的面积为3,求k 和m 的值.【例20】已知:反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A ,B 两点,若点A 在第二象限,且点A 的横坐标为-3,且AD ⊥x 轴,垂足为D ,△AOD 的面积是4. (1)写出反比例函数的解析式; (2)求出点B 的坐标;(3)若点C 的坐标为(6,0),求△ABC 的面积.15.2 课堂检测1. 在同一平面直角坐标系内,分别画出下列函数的图像. ①4y x =; ②4y x =-. 求:(1)这两个函数的图像分别位于哪几个象限内?(2)在每一象限内,随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大,纵坐标y 是怎样变化的?(3)图像的每支都向两方无限延伸,它们可能与x 轴、y 轴相交吗?为什么?2. 已知正比例函数y kx =与反比例函数xky -=6图像的一个交点坐标是(1,3),则反比例函数的解析式是________. 3. 已知反比例函数xk y 1+=,11()x y ,、22()x y ,为其图像上的两点,若当120x x <<时,12y y >,则k 的取值范围是________.4. 若点(34),是反比例函数221m m y x++=图像上一点,则此函数图像必经过点 ( )(A )(34)-,;(B )(26)-,;(C )(43)-,;(D )(26),.5. 已知M 是反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点,MA x ⊥轴于点A ,若 4AOM S =V ,则这个反比例函数的解析式是( )(A )8y x =; (B )8y x=-; (C )8y x =或8y x=-;(D )4y x =或4y x=-. 6. 已知122y y y =+,若1y 与(1)x +正比例,2y 与x 成反比例函数,且当1x =时,1y =-;当3x =-时,3y =,求y 与x 间的函数关系式.7. 已知第三象限内的点B (3m ,m )在反比例函数的图像上,且OB =,而点A (1,y )也在双曲线上,求反比例函数的解析式,并求出△AOB 的面积. 8.11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形,点P 1、P 2在4y x=(x >0)的图像上,斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上,求点A 2的坐标.9. 两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图像如图所示,点P 在k y x=的图像上,PC ⊥x 轴于点C ,交1y x =的图像于点A ,PD ⊥y 轴于点D ,交1y x=的图像于点B ,当点P 在ky x=的图像上运动时,以下结论:①△ODB 与△OCA 的面积相等;②四边形P AOB 的面积不会发生变化; ③P A 与PB 始终相等;④当点A 是PC 的中点时,点B 一定是PD 的中点.其中一定正确的是 (把你认为正确结论的序号都填上,少填或错填不给分).15.4 课后作业1. 已知长方形的面积为20平方厘米,它的一边长为x 厘米,求这个边的邻边长y (厘米)关于x (厘米)的函数解析式,并写出这个函数的定义域.2. 反比例函数ky x=的图像上有两点111()p x y ,,222(,)p x y ,若120x x <<,12y y >,则k ________0,图像经过第________象限.3. 在平面直角坐标系内,从反比例函数ky x=(0)k ≠上一点作x 轴、y 轴的垂线段,与x 轴、y 轴围成面积为3的矩形,求函数解析式.4. (1)已知y 与2x -成反比例,当4x =时,3y =,求5x =时,y 的值;(2)已知y 与2x 成反比例,并当3x =时,2y =,求 1.5x =时,y 的值.5. 已知12y y y =+,1y 与x 成正比例,2y 与2x 成反比例,当2x =与3x =时,19y =,求y关于x 的函数解析式.6. 点A 是反比例函数6y x=的图像上的一点,AB ⊥y 轴于点B ,求△AOB 的面积.7. 已知n 是正整数,111()P x y ,,222()P x y ,,…()n n n P x y ,,…是反比例函数图像上的一列点,其中11x =, 22x =,…,n x n =,….记112A x y =,223A x y =,…,1n n n A x y +=,…,若1A a =(a 是非零常数),求12n A A A ⋅⋅⋅K 的值(用含a 和n 的代数式表示).。
数学知识点之反比例函数

数学知识点之反比例函数学习数学的目的是“学以致用”,现从反比例函数与一次函数、不等式、简单的几何知识的综合运用能提高我们的数学知识。
下面是作者给大家带来的数学知识点之反比例函数,欢迎大家浏览参考,我们一起来看看吧!初中数学知识点:反比例函数的定义一样地,函数(k是常数,k≠0)叫做反比例函数,自变量x的取值范畴是x≠0的一切实数,函数值的取值范畴也是一切非零实数。
注:(1)由于分母不能为零,所以反比例函数函数的自变量x不能为零,同样y也不能为零;(2)由,所以反比例函数,自变量x的次数为-1; (3)在反比例函数中,两个变量成反比例关系,即,因此判定两个变量是否成反比例关系,应看是否能写成反比例函数的情势,即两个变量的积是不是一个常数。
自变量的取值范畴:①在一样的情形下,自变量x的取值范畴可以是不等于0的任意实数;②函数y的取值范畴也是任意非零实数。
反比例函数性质:①反比例函数的表达式中,等号左边是函数值y,等号右边是关于自变量x的分式,分子是不为零的常数k,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式;②反比例函数表达式中,常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;③反比例函数(k是常数,k≠0)的自变量x的取值范畴是不等式0的任意实数,函数值y的取值范畴也是非零实数。
反比例函数的定义的教学目标1、从现实情境和已有的知识体会动身,讨论两个变量之间的类似关系,加深对函数概念的知道。
2、经历抽象反比例函数概念的进程,领会反比例函数的意义,知道反比例函数的概念。
3、结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件肯定反比例函数表达式。
初中数学知识点:反比例函数的图像反比例函数的图象:反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0,函数y≠0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无穷接近坐标轴,但永久达不到坐标轴。
反比例函数的概念与性质

反比例函数在经济学中的应用
描述供求关系:反比例函数可以用来描述经济学中的供求关系,帮助分析 市场上的供需变化。
解释边际效用递减规律:反比例函数可以解释经济学中的边际效用递减规 律,即随着消费量的增加,单位消费所带来的效用逐渐减少。
反比例函数与二次函数的联系与区别
反比例函数与二次函数都是非线性函数,具有不同的函数图像和性质。
反比例函数的图像位于x轴和y轴之间,而二次函数的图像可能位于x轴上 方或下方。
反比例函数的导数在x=0处不存在,而二次函数的导数在x=0处存在。
反比例函数在x>0时单调递减,在x<0时单调递增,而二次函数在x<0时 单调递减,在x>0时单调递增。
反比例函数与幂函数的联系与区别
反比例函数与幂函数在形式上的联系:两者都是形如y=k/x(k为常数)的函数,具有反比例关 系的函数形式。
反比例函数与幂函数在性质上的区别:反比例函数的图像分布在第一、三象限,而幂函数的图 像根据幂次的不同分布在各象限;反比例函数的图像是关于原点对称的,而幂函数的图像则关 于:双曲 线,位于两轴之 间
图像位置:取决于 比例常数k,k>0 时位于一三象限, k<0时位于二四象 限
图像变化趋势: 随着x的增大或减 小,y值逐渐减小 或增大
图像与坐标轴的 交点:原点 O(0,0)和点(k,0)
反比例函数的解析式
定义:形如 y = k/x (k为常数且k≠0) 的函数称为反比例函数 解析式:y = k/x (k为常数且k≠0) 图像:双曲线,位于x轴和y轴的两侧 性质:当k>0时,图像位于第一、三象限;当k<0时,图像位于第二、四象限
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