八年级数学函数的概念同步讲义

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八年级数学暑假同步讲义第13讲函数的概念及正比例函数的概念_(解析版)

函数的概念及正比例函数的概念是八年级数学上学期第三章第一节、第二节内容，主要对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数的概念理解，难点是函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正反比例函数提供依据．1、函数的概念a)在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；b) 2.在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量y随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.函数用记号()y f x=表示，()f a表示x a=时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念及正比例函数的概念知识结构模块一：函数的概念知识精讲内容分析班假暑级年八2/ 19【例1】（1）瓜子每千克12元，买x 千克瓜子需付款y 元，用x 的代数式表示y ,并指出这个问题中的变量和常量；（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量．【答案】（1）12y x =，x 、y 为变量，12为常量；（2）2C r π=，C 、r 为变量，π为常量．【解析】（1）总价=单价×数量，可得y 与x 的关系式为12y x =，根据变量与常量的概念和区别，可知x 、y 为变量，12为常量；（2）圆周长公式为2C r π=，其中C 表示圆的周长，r 表示圆的半径，π表示圆周率，根据变量与常量的概念和区别，可知C 、r 为变量，π为常量．【总结】考查变量与常量的概念．【例2】下列变量之间的变化关系不是函数关系的是（）A 、三角形的面积与底边的长B 、 2x -与xC 、圆的面积和它的半径D 、矩形的宽一定时，周长与长【答案】A【解析】根据三角形面积公式12S ah =，可知三角形面积同时与底边长和对应底边上的高有关，即三角形面积与底边的长没有确定的依赖关系，故选A ．【总结】考查函数的概念，两个变量之间必须存在确定的依赖关系两个变量才是函数关系．【例3】下列各式中，y 是否是x 的函数？为什么？（1）23y x =；（2）23y x =．例题解析【答案】（1）是；（2）不是．【解析】（1）对变量x 的任意值，有唯一确定的y 值与之相对应，故y 是x 的函数；（2）对变量x 取值范围内的任意值，有两个y 值与之相对应，即y 与x 之间不存在确定的依赖关系，故y 不是x 的函数．【总结】函数的概念，对两个变量而言，对一个变量取值范围内任意值，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应，则为函数关系，否则不是．【例4】已知汽车驶出A 站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与A 站的距离S （km ）表示成t （时）的函数．【答案】240303S t t ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭．【解析】根据路程=速度×时间，可知汽车后面所行驶的路程40s vt t ==，则汽车与A 站的距离3403S s t =+=+，同时汽车行驶时间不超过40分钟，即23h ，可知203t ≤≤．【总结】根据所学相关公式，即可得到其中一些量之间的关系，三个量相互关联的量中一个量一定的情况下，另两个量之间则有函数关系．【例5】扇形的面积公式是2360nS r π=，其中S 表示面积，n 表示圆心角，r 表示半径，π表示圆周率，则其中常量是————．【答案】360、π．【解析】常量即为保持数值不变的量，故为360和π．【总结】考查常量的概念，即为保持数值不变的量．【例6】物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受重力G 是不是它的质量m 的函数？【答案】是．【解析】由公式变形可得Gm g=，在g 一定的情况下，对任一G 值，有唯一确定的m 值与之相对应，即m 与G 之间有确定的依赖关系，可知G 是m 的函数．班假暑级年八【总结】本题主要考查函数的概念，对两个变量而言，对一个变量取值范围内任意值，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应，则为函数关系，否则不是．模块二：函数的定义域和函数值知识精讲1.函数的定义域和函数值4/ 19a) 函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．b) 函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．【例7】求下列函数的定义域. （1）10y x =-；（2）2y x =+；（3）11y x =+；（4）22x y x -=-+．【答案】（1）全体实数；（2）2x ≥-；（3）1x ≠-；（4）2x < 【解析】（1）x 为任意值，y 都有意义，即函数定义域为全体实数；（2）202x x +≥≥-由，得；（3）101x x +≠≠-由，得；（4）202x x -+><由，得．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可．【例8】（1）如果函数5()51x f x x =-+，那么()1f -=——————；（2）如果函数4()2xf x x -=+，那么()2f -=——————；（3）如果函数2223()231x x g x x x +-=++，那么12g ⎛⎫⎪⎝⎭=——————．【答案】（1）566-；（2）532+；（3）23-．【解析】（1）()()()51556166511f ⨯---===--⨯-+；（2）()()()()424222106225322222f --+++-====+-+；（3）221123122222331123122g ⎛⎫⨯+- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯+⨯+ ⎪⎝⎭．【总结】()f a 表示x a =时的函数值，代值进行相应化简计算即可．例题解析【例9】求函数20(2)y x =-+的定义域．【答案】x ≠0x ≠．【解析】由题意，可得：22200x x ⎧-≠⎪⎨≠⎪⎩，解得：x ≠0x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．【例10】求函数y 的定义域．【答案】4x ≥且29x ≠．【解析】由题意，可得：4050x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，解得：4x ≥且29x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．【例11】若函数1y =2211556y x x =++，求函数12y y y =⋅中自变量x 的取值范围．【答案】5x ≤且7x ≠-且8x ≠-【解析】由题意，可得：2153015560x x x -≥⎧⎨++≠⎩，解得：5x ≤且7x ≠-且8x ≠-．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．【例12】已知长方形面积为602cm ，长方形较长一边长为x 厘米，求另一边长y 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】(60y x x=≥．【解析】长方形面积=长×宽，可得60xy =，由此可得y 与x 关系式为60y x=，本题明确指出长短边，应确定x y ≥，即60x x≥，可得x ≥，即自变量x取值范围是x ≥ 【总结】根据相关公式进行求解即可，注意实际问题中自变量的取值范围．【例13】已知13()21xf x x -=+．（1）求(0)f ，(1)f ，1()3f ，1()()2f a a ≠-；（2）当x 为何值时，()f x 没有意义？（3）当x 为何值时，()2f x =-？【答案】（1）()01f =，()213f =-，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1321a f a a -=+；（2）12x =-；（3）3x =-．【解析】（1）()1301012011f -⨯===⨯+，()131********f -⨯-===-⨯+，11313013213f -⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭⨯+，()1321a f a a -=+；（2）()f x 没有意义，可知210x +=，即得12x =-；（3）()2f x =-，即13221xx -=-+，解得3x =-．【总结】()f a 表示x a =时的函数值，代值进行相应化简计算即可．班假暑级年八8/ 191．正比例函数的概念a) 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是yk x=，或表示为y kx =（x 不等于0），k 是不等于零的常数.b) 解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定知识精讲模块三：正比例函数的概念一个正比例函数的解析式.【例14】下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数．（1）2x y =；（2）12y x =；（3）2y x =+；(4)2y x =．【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为12和2；（2）（3）不是正比例函数．【解析】形如()0y kx k =≠的函数是正比例函数，其中k 即为其比例系数，可知（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为12、2；（2）（3）不是正比例函数．【总结】考查正比例函数和其相关比例系数的概念．【例15】（1）已知2()(3)f x m x =-是正比例函数，求m 的取值范围；（2）若函数2()(3)3f x m x m =-+-是正比例函数，那么m 的值是多少？【答案】（1）3m ≠±；（2）3m =．【解析】（1）函数是正比例函数，可知其自变量系数230m -≠，即取值范围是3m ≠±；（2）函数是正比例函数，则其常数项30m -=，解得3m =．【总结】考查正比例函数的概念理解，自变量系数不为0，常数项为0．【例16】已知y 是x 的正比例函数，且当3x =时，24y =，求y 与x 之间的比例系数，并写出函数解析式和函数定义域．例题解析【答案】8，8y x =，函数定义域为全体实数．【解析】y 是x 的正比例函数，可知其比例系数2483k ==，则函数解析式为8y x =，函数定义域为全体实数．【总结】考查比例系数的定义，怎样快速求出正比例函数比例系数．【例17】如果23(23)t y t x +=-是正比例函数，求出函数解析式，当x 取何值时，12y <？【答案】3y x =，4x <．【解析】函数是正比例函数，则231t +=，解得13t =-，函数解析式为12333y x x ⎡⎤⎛⎫=-⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，12y <，即312x <，解得4x <．【总结】根据正比例函数概念可知正比例函数自变量次数为1，代入求值即可．【例18】已知函数221(2)mm y m m x +-=+(m 是常数)，当m 是什么数时221(2)mm y m m x +-=+是正比例函数？并求出解析式．【答案】1m =，3y x =．【解析】函数是正比例函数，则有211m m +-=且220m m +≠，解得1m =，代入可得函数解析式为3y x =．【总结】函数为正比例函数，则其自变量次数为1，且其系数不为0．【例19】已知122y y y =-，1y 与3x 成正比例，2y 与()5x +成正比例，且1x =时，12y =，1x =-时2y =-，求y 与x 的函数解析式．【答案】75y x =+．【解析】设113y k x =⋅，()225y k x =+，(1200k k ≠≠，)，则()()121212226565y y y k x k x k k x k =-=-+=--，1x =时，12y =，1x =-时，2y =-；即得：12126612642k k k k -=⎧⎨--=-⎩，解得：1211k k =⎧⎨=-⎩．代入即得：y 与x 的函数解析式是：75y x =+．【总结】待定系数法转化为方程求函数解析式．【例20】点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm 的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm ．设蜡烛点燃x 分钟后，缩短y cm ，求y 的函数解析式和x 的取值范围．【答案】()0.6035y x x =≤≤．【解析】蜡烛点燃6分钟，缩短3.6cm ，可知蜡烛每燃烧一分钟缩短3.660.6cm ÷=，则蜡烛点燃x 分钟后缩短长度0.6y x =，蜡烛可燃烧的最长时间为210.635÷=分钟，可知蜡烛燃烧时间的取值范围是035x ≤≤．【总结】根据相关公式进行求解即可，注意实际问题中自变量的取值范围．【例21】已知21()(2)k k f x k x +-=+是正比例函数，求k 的值，写出这个正比例函数的解析式，并求出当变量x 分别取-3，0时的函数值．【答案】1k =，函数解析式为()3f x x =，分别取3-，0时函数值分别为9-，0，【解析】函数是正比例函数，则有211k k +-=且20k +≠，解得1k =，代入可求得函数解析式为()3f x x =，自变量分别取3-，0时可分别求得： ()()3339f -=⨯-=-，()0300f =⨯=，3f ==【总结】函数是正比例函数，则自变量次数为1，且自变量系数不为0．【例22】已知y 与2x 成正比例，并且25x =时，4y =．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当58x =-时，求y 的值；（3）当12y =-时，求x 的值．【答案】（1）10y x =；（2）254y =-；（3）65x =- 【解析】（1）设22y k x kx =⋅=，25x =时，4y =，班假暑级年八12/ 19可得2245k ⨯=，解得5k =，即y 与x 函数关系式为10y x =；（2）58x =-时，5251084y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭；（3）12y =-，即1012x =-，解得65x =-．【总结】待定系数法求函数解析式，根据函数解析式可对应求值．【习题1】在圆的面积公式2S r π=中，变量是_______，常量是_______．【答案】S 、r ；π【解析】根据变量与常量的概念，可知公式中的变量是S 、r ，常量是π．【总结】考查变量与常量的概念，变量即可以取不同数值的量，常量即保持数值不变的量．【习题2】东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是______________．【答案】0.4y x =．【解析】根据总价=单价×数量，可知y 与x 之间函数关系式是0.4y x =．【总结】根据实际问题中的等量关系即可确定函数关系式．随堂检测师生总结 1. 求正比例函数的解析式用什么方法？ 2. 一个正比例函数需要注意的地方有哪些？【习题3】平行四边形相邻的两边长为x 、y ，周长是30，则y 与x 的函数关系式是___________．【答案】15y x =-【解析】根据平行四边形的性质，可得()230x y +=，由此可得y 与x 之间函数关系式是 15y x =-．【总结】根据实际问题中的等量关系即可确定函数关系式．【习题4】函数y =中，自变量x 的取值范围是_________________．【答案】2x ≤．【解析】由题意，可得：202x x -≥≤，则．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【习题5】写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？（1）圆面积y （cm 2）与半径x （cm ）的关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km ，气温下降5℃，则气温y （℃）与高度x （km ）的关系；（3）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系．【答案】（1）2y x π=，不是正比例函数；（2）285y x =-，不是正比例函数；（3）0.1y x =，是正比例函数．【解析】（1）根据圆的面积公式可知2y x π=，（2）中随高度升高，降低的温度为5x ，则实际气温285y x =-，（3）中根据等量关系总价=单价×数量，可知0.1y x =，根据正比例函数定义，形如()0y kx k =≠的函数是正比例函数，可知（1）（2）不是正比例函数，（3）是正比例函数．【总结】根据实际问题等量关系可求出函数解析式，再根据正比例函数定义和特征相应判断．【习题6】函数y =的自变量x 的取值范围是__________________．【答案】3x ≥．【解析】由题意，可得：300x x -≥⎧⎨≠⎩，则3x ≥．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【习题7】在函数y 中，自变量x 的取值范围是__________．【答案】2x ≥且3x ≠．【解析】由题意，可得：2030x x -≥⎧⎨-≠⎩，则2x ≥且3x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【习题8】函数y =中，自变量x 的取值范围是___________________．【答案】52x >-【解析】由题意，可得：2500x +≥⎧⎪，则52x >-．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【习题9】已知函数1231x y x -=-，x =__________时，y 的值时0，x =______时，y 的值是1；x =_______时，函数没有意义．【答案】12，25，13．【解析】0y =，即12031x x -=-，得120x -=，解得12x =；1y =，即12131x x -=-，得1231x x -=-，解得25x =；函数无意义，则有310x -=，解得13x =．【总结】求对应值，则将题目所给条件代入即可进行求解计算．【习题10】出租车收费按路程计算，3km 内（包括3km ）收费8元；超过3km 每增加1km加收1元，则路程x ≥3km 时，车费y （元）与x (km )之间的函数关系式是_____________．【答案】5y x =+．【解析】x ≥3km 时，超过3km 部分里程数为()3x km -，前3km 部分收费8元，则两部分合计收费()()3853y x x x =-+=+≥．【总结】根据实际问题进行分段计算即可得出结果．【习题11】求下列各式的定义域：（1）y ；（2）0(1)y x =-．【答案】（1）46x ≤≤且5x ≠；（2）3x ≥-且1x ≠【解析】（1）由题意，可得：604010x x ⎧-≥⎪-≥⎨≠，则46x ≤≤且5x ≠；（2）由题意，可得：1030x x -≠⎧⎨+≥⎩，则3x ≥-且1x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义，满足三个条件：（1）根号内的式子不小于0；（2）分母不为0；（3）零没有零次方．【习题12】若x 、y 是变量，且函数2(1)k y k x =+是正比例函数，则k =_________．【答案】1．【解析】函数是正比例函数，则有21k =且10k +≠，解得1k =．【总结】正比例函数即其自变量次数是1，同时注意相关隐含条件即自变量系数不为0．【习题13】已知函数2(1)56y k x k k =++--是正比例函数，求k 的值．【答案】6．【解析】函数是正比例函数，可知2560k k --=，即()()610k k -+=，同时一次函数未知数系数不为0，可知10k +≠，由此60k -=，解得6k =．【总结】正比例函数常数项为0，注意自变量系数不为0的隐含条件．【作业1】设(1)(2)1x y +-=，写出y 关于x 的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________．【答案】231x y x +=+，1x ≠-．【解析】由(1)(2)1x y +-=，可得121y x -=+，由此123211x y x x +=+=++，函数有意义，则有10x +≠，即自变量x 的取值范围是1x ≠-．【总结】求函数解析式，通过相关变形把式子一边变成只有函数，另一边表示成相应自变量的式子化简即可，注意变形过程中相应条件，即其相应取值范围．【作业2】在函数22x y x x =+-中，自变量x 的取值范围是______________．【答案】0x ≥且1x ≠．【解析】由题意，得：2020x x x ≥⎧⎨+-≠⎩，则0x ≥且1x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【作业3】已知2244x y x x -=-+的定义域为______________，当函数值为0时，自变量x 的取值为______________．【答案】2x ≠，2x =-．【解析】函数有意义，可得()224420x x x -+=-≠，即得2x ≠；函数值为0，则有20x -=，根据2x ≠，可得2x =-．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【作业4】矩形的周长为20，矩形面积S 与其一边长x 之间的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________．【答案】210S x x =-+，010x <<．课后作业【解析】设矩形另一边长为y ，其周长为20，则有()220x y +=，可得10y x =-，则矩形面积()21010S xy x x x x ==-=-+，同时在实际问题中矩形的边长都大于0，由此可得自变量x 的取值范围是010x <<．【总结】运用相关公式即可进行求解计算，同时注意实际问题中自变量的取值范围．【作业5】等腰三角形中，底角的度数用x 表示，顶角的度数用y 表示，写出y 关于x 的函数解析式及函数的定义域．【答案】()1802090y x x =-<<．【解析】根据三角形内角和180︒，且等腰三角形两底角相等，可知2180x y +=，由此可得1802y x =-，同时在实际问题中角的度数都大于0，由此可得自变量x 的取值范围是 090x <<．【总结】运用三角形内角和即可进行求解计算，同时注意实际问题中自变量的取值范围．【作业6】已知23y -与45x +成正比例，且当1x =时，15y =，求y 与x 的函数关系式．【答案】69y x =+．【解析】23y -与45x +对应成比例，可设()2345y k x -=+(0k ≠)，当1x =时，15y =，即()2153415k ⨯-=⨯+，解得：3k =，则有()23345y x -=+，整理得69y x =+．【总结】式子对应成比例，依题意可按照待定系数法的方法进行求解．【作业7】函数()2(2)2k y k x -=-是正比例函数，求k 的值．【答案】3或1．【解析】函数是正比例函数，依题意有()221k -=且20k -≠，解得3k =或1k =．【总结】正比例函数即其自变量次数是1，同时注意相关隐含条件即自变量系数不为0．【作业8】已知()226y k x k k =-++-为正比例函数．（1）求k 的值及函数解析式；（2）当x ．【答案】（1）3k =-，5y x =-；（2）x =．【解析】（1）函数为正比例函数，则有260k k +-=且20k -≠，解得3k =-，代入计算得函数解析式为5y x =-；（2，即有5x -=x =．【总结】函数为正比例函数则其常数项为0，同时注意相关隐含条件即自变量系数不为0．。

3.1.1函数的概念课件(共23张PPT)

3
十八世纪
伯努利称其为变量与常量的组合欧拉认为其是某些变量依赖另一些变量的变化
4
十九世纪
柯西，傅里叶，狄利克雷提出“对应关系”，也就是我们初中学习到的函数的定义
5
一.知识回顾
初中学习的函数概念是什么？
设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，则称y是x的函数。x是自变量，y是因变量。
22
例题六：已知函数 f (x) x 3 1
x2
(1)求该函数的定义域 (2)求当x=-3时该函数的值
答案：1.{x|x≥-3且x≠-2}
2.f (-3)= -1
23
例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
21
注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
值域也就随之确定了.如果两个函数的这两个
完全相同就称
15
例题三：判断下列各组中两个函数是否为同一个函数
(1) f ( x) x 与g(x)= x 2;
(2)f ( x) x与g( x) 3 x3 ; (3) f ( x) x 1 x 1与g( x) x2 1; (4) f ( x) x2 2 x 1与g(t) t 2 2t 1.

北师大版八年级数学上册-第四章一次函数(同步+复习)精品讲义课件

① ② 一看式：y不能带平方或绝对值。二看图：左右走时不回头，上下看时不. 判断下列各量之间的关系是否函数关系
① ② ③ ④ 圆的半径r=2 , 圆的面积S与半径r的关系。长方形的宽一定时，其长与周长。王成的年龄与身高。汽车行驶过程中，路程一定，其速度与时间。
① ② 根据变化过程中变量的实际意义确定。根据纯代数关系式确定：一看分母不为0；二看根号内非负（开平方被开方数是非负数）；定义：对于自变量在可取值范围内每一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为“当自变量等于a的函数值“。函数值与自变量的取值是对应的、相互依赖的。求法：有表查表；有式代入；有图看图。
2.
函数值：
①
② ③
【例4】做一做
1. 求当x=-2时，函数 y=x2-√x2的函数值. 3x 2. 函数y= —— 中，求自变量 x的取值范围。 √x-2 3. 当x取（意义。）时，函数y= ————有
√x -2 4x
五．（补充）函数的图象
1. 定义：把一个函数的自变量的每一个值与对应的函数值分别做为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有对应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。作法：列表（选值计算画表）；描点（对应值为点的坐标）；连线（平滑的直线或曲线）。画出的是近似图象。作用（学会看图象）：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 一看对应：（变量互求：有关系式用关系式。）二看趋势：（如何变化）三看范围：（最大最小局部整体区别看）四看增减；（上坡下坡）五看快慢：（陡快缓慢平不变）六解方程：（组）不等式（交点-扫描-投影法）七比大小：（两函数，比大小，找交点，横分段，看变化，求得解）八出方案：（寻求生活中最优选择最佳方案）九取特值：（结合字母常量的几何意义确定常量之间的关系）。十设坐标：（设横表纵——永远不变的真理）。

初二数学《认识函数》知识点解读

初二数学《认识函数》知识点解读在初二数学教学中，《认识函数》是一个重要的知识点。

函数作为数学中的基本概念之一，对于同学们建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将对《认识函数》这一知识点进行解读，帮助同学们更好地理解和掌握相关概念和方法。

一、函数的定义与性质1. 函数的定义函数是互相关联的输入和输出量之间的对应关系。

在数学上，我们用字母表示函数，例如f(x)。

其中，x是自变量，表示输入量；而f(x)则是因变量，表示输出量。

函数可以用一个具体的规则或公式来表示，也可以通过给出一组输入输出的对应关系来定义。

2. 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，通常用D表示。

（2）值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域，通常用R表示。

（3）单调性：函数在定义域上的增减关系，可以分为递增和递减两种。

（4）奇偶性：函数在定义域上的对称性，可以分为奇函数和偶函数两种。

二、函数的表示方法1. 函数的显式表示法函数的显式表示法是指通过公式或规则直接给出函数表达式的表示方法。

例如，y = 2x + 1就是一个显式表示的函数，其中2x + 1就是函数的表达式。

2. 函数的隐式表示法函数的隐式表示法是指通过方程等式或条件来表示函数的方法。

例如，x^2 + y^2 = 1就是一个隐式表示的函数，其中方程x^2 + y^2 = 1表示了一个以x和y为变量的函数。

三、函数的图像与性质1. 函数的图像函数的图像是指将函数的输入和输出对应关系表示在直角坐标系中的一系列点的集合。

图像可以帮助我们更好地理解函数的性质和规律。

通常，我们使用折线图、曲线图等方式来表示函数的图像。

2. 奇偶性与图像函数的奇偶性与函数的图像存在一定的关系。

奇函数的图像关于原点对称，即满足f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即满足f(-x) = f(x)。

3. 单调性与图像函数的单调性与函数的图像上的斜率有关。

2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习05 函数的概念及正比例函数(考点讲解)(学生版)

专题05 函数的概念及正比例函数【考点剖析】 1.函数定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数. 函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值. 设()f x 为整式，则函数()y f x =的定义域：一切实数；函数1()y f x =的定义域：满足()0f x ≠的实数；函数y ()0f x ≥的实数.函数[]0()f x 的定义域：满足()0f x ≠的实数 2.正比例函数1）.正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x,y 成正比,就是yk x=或者y kx =,其中0k ≠。

2）.正比例函数：k>0k<03.注意点(1)正比例函数y kx =中, 0k ≠,但定义域是一切实数,两者不能混淆.(2)在实际问题中,正比例函数的图形往往是一条线段,一切要根据定义域来确定线段的所在范围。

(3)正比例函数与正比例是有区别的,正比例函数一定要满足y kx =,比如: 2(1)y x =+就不是正比例函数,是一次函数,但是y 与x+1成正比例。

【典例分析】【考点1】函数的概念1．下列各选项中分别有两个变量x 、y ，则y 不是x 的函数的是（）A ．B ．C ．y=-2x-1D ．在国内投寄到外埠质量为100g 以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量/x y 020x <≤2040x <≤ 4060x <≤ 6080x <≤ 80100x <≤邮资y /元 1.202.403.604.806.002．函数y 11-x 的自变量x 的取值范围是______3．在函数y =中，自变量x 的取值范围是_________．4．如果函数()11f x x =-，那么f =_____．【考点2】正比例函数的图像及性质 1．下列问题中两个变量成正比例的是（） A ．正方形面积和它的边长B ．一条边确定的长方形，其周长与另一边长C ．圆的面积与它的半径D ．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数2．已知函数223y x k =+-是正比例函数，则常数k 的值为（） A ．2- B ．0 C ．2 D ．2±3．下列函数中，正比例函数是（） A ．3x y = B ．21y x - C ．22y x = D ．3y x=4．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-5．在32y x a =+-中，若y 是x 的正比例函数，则常数=a ___________．6．若函数()2269y m x m =++-是关于x 的正比例函数，则m 的值为_____________．7．已知正比例函数m y mx =∣∣，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m 的值为____．8．已知y 是x 的正比例函数，当2x =-时，8y =．求y 关于x 的函数表达式，以及当3x =时的函数值．9．已知3y 与21x -成正比例，且当1x =时，6y =． (1)求y 与x 之间的函数解析式．(2)已知点(,)P m n 在该函数的图像上，且4m n -=，求点P 的坐标．10．已知正比例函数过点(42)-，A ，点P 在正比例函数图像上，又(04)B ，且10ABPS =，求点P 的坐标．【课后练习】1．下列各图象中，不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．函数()032x y x -=+-的自变量x 的取值范围是___________3．已知函数1()1f x x=+，则3)f ＝ .4．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（） A ．圆的面积S （cm 2）与它的半径r （cm ）之间的关系B ．某水池有水15m 3，现打开进水管进水，进水速度为5m 3/h ，xh 后这个水池有水y m 3C ．三角形面积一定时，它的底边a （cm ）和底边上的高h （cm ）之间的关系D ．汽车以60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y 与行驶时间x 之间的关系5．下列变化过程中，y 是x 的正比例函数是（）A ．某村共有5210m 耕地，该村人均占有耕地y （单位：2m ）随该村人数x （单位：人）的变化而变化B ．一天内，温岭市气温y （单位：℃）随时间x （单位：时）的变化而变化C ．汽车油箱内的存油y （单位：升）随行驶时间x （单位：时）的变化而变化D ．某人一年总收入y （单位：元）随年内平均月收入x （单位：元）的变化而变化6．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（） A ．正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化 B ．正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化C ．面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化D ．水箱以0.5L /min 的流量往外放水，水箱中的剩水量VL 随着放水时间t min 的变化而变化7．若()224y m x m =-+-是y 关于x 的正比例函数，求该正比例函数的解析式．8．正比例函数y=ax 中，y 随x 的增大而增大，则直线()1y a x =--经过（） A ．第一、三象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限9．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （3，m ）、B （n ，﹣2），那么一定有（） A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜010．已知正比例函数y =kx 的图象经过点（2，﹣4），（1，1y ），（﹣1，2y ），那么1y 与2y 的大小关系是（） A ．1y ＜2y B ．1y ＝2y C ．1y ＞2yD ．无法确定11．正比例函数(1)y k x =+图像经过点（1，-1），那么k =__________．12．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________．13．若正比例函数()1y m x =-的图象从左到右逐渐上升，则m 的取值范围是___________________14．已知正比例函数y=kx 图像经过点（2，-4），求： (1)这个函数的解析式；(2)判断点A （2，-1）是否在这个函数图像上；(3)图像上两点()11,B x y ，()22,C x y ，如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．15．已知y 与x-1成正比例，且当x= 3时，y= 4． (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)当x= -1时，求y 的值．16．如图，已知正比例函数y ＝kx 的图像经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，点A 的横坐标为4，且△AOH 的面积为8(1)求正比例函数的解析式．(2)在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为10？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知：如图，直线2y x =上有一点()2,P a ，直线()01y kx k =<<上有一点(),2Q b ．(1)求点P 和点Q 的坐标（其中点Q 的坐标用含k 的代数式表示）．(2)过点P 分别作PA y ⊥轴，PB x ⊥轴，过点Q 分别作QC x ⊥轴，如果OPQ △的面积等于BPQ 的面积的两倍，请求出k 的值．(3)在（2）的条件下，在直线OQ 上是否存在点D ，使12OCD S =△如果存在，请求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．。

2022-2023学年沪教版上海八年级数学上学期同步考点精讲精练18-1 函数的概念带讲解

18.1 函数的概念1、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y,如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。

要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 2、函数的定义域与函数值①定义域：函数的自变量的允许取值的范围（简称自变量的取值范围）。

常见函数的定义域：（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数；（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数（4）在实际生活中有意义。

②函数记号与函数值：函数记号：y 是x 的函数用记号y=f （x ）表示；函数值：在函数记号y=f （x ）表示时，f （a ）表示当x=a 时的函数值。

题型1：变量与常量1．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（）．A ．金额B ．单价C ．数量D ．金额和数量D【分析】根据常量与变量的定义即可判断．解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，故选：D ．【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．2．下列关于圆的周长C 与半径r 之间的关系式2C r π=中，说法正确的是（）A ．C 、r 是变量，π是常量B ．r 、π是变量，2是常量C ．C 、r 是变量，2是常量D ．C 、r 是变量，2π是常量D【分析】根据变量和常量的定义判断即可．解：关于圆的周长C 与半径r 之间的关系式2C r π=中，C 、r 是变量，2π是常量．故选：D ．【点睛】本题考查了变量和常量的定义，解题关键是明确变量和常量的定义，注意：π是常量．3．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是( )①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个C解：变量有：②行驶时间、③行驶路程、④汽车油箱中的剩余油量．共3个．故选C ．【点睛】本题考查变量的概念，变量是指变化的量．题型2：函数的定义（从1.变量之间的关系；2.函数解析式；3.函数图像判断）4．下列变量之间的关系不是函数关系的是（） A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积C ．等腰三角形的底边与面积D ．速度一定时，行驶的路程与时间C【分析】在一个变化过程中，存在两个变量,,x y 对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一的值与之对应，我们就说：y 是x 的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案. 解：长方形的宽一定，其长与面积，符合函数定义，故A 不符合题意；正方形的周长与面积，符合函数定义，故B 不符合题意；等腰三角形的底边与面积，在这个变化过程中，还有底边上的高是变量，所以不符合函数定义，故C 符合题意；速度一定时，行驶的路程与时间，符合函数定义，故D 不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键. 5．给出下列式子：①35y x =-；②1y x=；③y =x+z ；④2y x =；⑤2y x ．其中y 是x 的函数的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应． ①35y x =-，y 是x 的函数； ②1y x=，y 是x 的函数；③中有x ，y ，z 三个变量，因此不能说y 是x 的函数；④中当x 取任一正数值时，有两个y 值与之对应，故y 不是x 的函数． ⑤2yx ，y 是x 的函数.故选B ．【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 6．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有（）A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个B【分析】根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量，据此判断即可．解：属于函数的有故y 是x 的函数的个数有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了函数的定义，熟记定义是本题的关键．题型3：函数的解析式7．半径2的扇形，设圆心角为n ，则面积S 关于圆心角n 的函数解析式是 ___________________．8．某种货物的进价是每件5元，售出时的标价是每件5.8元，那么获得的利润y （元）与售出的数量x （件）之间的函数关系式是__________．0.8y x =【分析】根据获得的利润等于与每件的获得的利润乘以售出的数量，即可求解．解：获得的利润y （元）与售出的数量x （件）之间的函数关系式是()5.850.8y x x =-= ．故答案为：0.8y x =．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．9．在登山过程中，海拔每升高 1 千米气温下降 6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是 9℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高 x 千米时，所在位置的气温是 y ，那么y 关于x 的函数解析式是_______．69y x =-+【分析】根据登山队大本营所在地的气温是 9℃，海拔每升高 1 千米气温下降 6℃，可求出y 与x 的关系式．解：由题意得y 与x 之间的函数关系式为：69y x =-+；故答案为：69y x =-+．【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的低温=底面气温－降低的气温．题型4：函数的定义域10．函数()f x _________.【点睛】本题考查了函数的定义域问题、二次根式的被开方数大于或等于0的性质，掌握二次根式的被开方数大于或等于0是解答本题的关键． 11．函数y =的定义域是________． 5x >【分析】根据分母是二次根式，则要求被开方数为正数，即可求得函数的定义域．解：由题意知：50x -> ∴5x > 故答案为：5x >【点睛】本题考查了求函数的自变量的取值范围即函数的定义域，一般考虑两个方面：一是分母不为零；二是二次根式非负．12．下列函数的定义域为2x ≤的是（）A ．32y x =+ B ．5x y x =-C ．y =D ．y =13．函数y _____________1x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件，可列出关于x 的不等式组，解出x 即可．解不等式②可用整体010+≥①②，10610x ++≥变形为9610x +++≥中，14．已知函数26y x =-，当3x =时，y =_______；当19y =时，x =_______． 3 5±【分析】分别将3x =和19y =代入解析式，即可求解．解：当3x =时，2363=-=y ；当19y =时，2196x =- ，解得：5x =± ．故答案为：3；5± ．【点睛】本题主要考查了求函数的自变量和函数值，解题的关键是理解并掌握当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． 15．已知函数1my x =+，当2x =时，函数值为3，则m 的值是_________．已知函数故答案为：9．【点睛】本题考查了函数的表达式，代入求值是解题的关键． 16．x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．17．已知函数()f x =()3f =_______．函数【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键．18．已知()221f x x =-，则(f =______．19．已知3()21f x x =-，且f （a ）＝15，那么a 的值是________． 2【分析】将函数值代入解析式求出a 即可．解：由题意得：3()2115f a a =-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了已知函数值求自变量，是基础题，直接代入计算即可．题型7：函数的有关概念综合题20．下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（）A ．仅有一个，是时间（年份）B ．仅有一个，是人口数C ．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份）D ．一个也没有C【分析】根据变量的定义直接判断即可．解；观察表格，时间在变，人口在变，故C 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了变量的定义，解题关键是明确变量的定义，能够正确判断．21．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度()y cm 最长为20cm ，与所挂物体重量()x kg 间有下面的关系．下列说法不正确的是（）A ．x 与y 都是变量，x 是自变量，y 是因变量B ．所挂物体为6kg ，弹簧长度为11cmC ．物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cmD ．挂30kg 物体时一定比原长增加15cm D【分析】弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm ，可以计算当所挂物体为6kg 或30kg 时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为20cm ．解：A ．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x 是自变量，y 是因变量．故本选项正确； B ．当所挂物体为6kg 时，弹簧的长度为80.5611cm +⨯=．故本选项正确；C ．从表格数据中分析可知，物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm ．故本选项正确；D ．当所挂物体为30kg 时，弹簧长度为80.5302320cm cm +⨯=>．故本选项不正确．故选：D【点睛】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．题型8：从图像判断信息22．如图表示的是某种摩托车的油箱中剩余量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系．由图象可知，摩托车最多装__升油，可供摩托车行驶___千米，每行驶100千米耗油___升．10 500 2【分析】根据图象可知，当x=0时，对应y的数值就是摩托车最多装多少升油，当y=0时，x的值就是摩托车行驶的千米数；根据摩托车油箱可储油10升，可以行驶500km即可得出每行驶100千米消耗汽油升数．解：由图象可知，摩托车最多装10升油，可供摩托车行驶500千米，每行驶100千米耗油2升．故答案为：10，500，2．【点睛】此题主要考查了利用函数图象解决问题，从图象上获取正确的信息是解题关键．23．如图，甲，乙两人在一次赛跑中的路程（m）与时间（s）的关系图象，则：①甲，乙两人中先到达终点的是______；②乙在这次赛跑中的速度为______m/s．甲8【分析】①根据函数点的横纵坐标的含义可得答案；②由乙在这次赛跑中100米用时12.5秒可得答案．解：①根据图象可得甲跑完全程用12s，乙用12.5s，所以先到终点的是甲，故答案为：甲；②100÷12.5=8（m/s），故答案为：8．【点睛】本题考查了函数图象，正确理解坐标系的横纵坐标的意义是解决本题的关键．24．王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间t（分）和离家距离S（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分．100【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案．解：根据题意，0~15分的速度：160800153÷=；25分~35分的速度：(800500)1030-÷=；45分~50分的速度：5005100÷=；∵160301003<<，∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分；故答案为：100．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题．25．在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度h与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（）A．B．C．D．C【分析】根据图象得到高度随时间的增大，高度增加的速度，即可判断．根据图象可以得到：杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小．则杯子应该是越向上开口越大．故杯子的形状可能是C．故选：C．【点睛】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．题型9：分段函数26．已知函数2,0122,1x xyx x⎧≤<=⎨-≥⎩，若2y=，则x=_________．2【分析】根据y值可确定x的取值范围，根据x的取值范围结合函数关系式列方程求出x的值即可得答案．∵0≤x＜1时，0≤x2＜1，2,0122,1x xyx x⎧≤<=⎨-≥⎩，∴y=2时，x≥1，∴2x-2=2，解得：x=2，故答案为：2【点睛】本题考查函数值，根据y值结合各函数关系式得出对应的x的取值范围是解题关键．题型10：拓展-函数映射思想27．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（）A．B．C．D．D解：A、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；B、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；C、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；D、当3x=时，有两个y的值与其对应，所以y不是x的函数，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数）是解题关键．一、单选题1．设路程为s（km），速度为v（km/h），时间为t（h）．当50s=时50,tv=在这个函数关系式中（）A．路程是常量，t是s的函数B．路程是常量，t是v的函数C．时间是常量，v是t的函数D．速度是常量，t是v的函数B【分析】函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数，结合选项即可作出判断．在50,tv=中，速度和时间是变量，路程s是常量，t是v的函数故选：B．【点睛】本题考查了函数解析式的定义，掌握函数解析式的定义是解题的关键．2．以等腰三角形底角的度数x（单位：度）为自变量，顶角的度数y为因变量的函数关系式为（）A．y=180﹣2x（0＜x＜90）B．y=180﹣2x（0＜x≤90）C．y=180﹣2x（0≤x＜90）D．y=180﹣2x（0≤x≤90）A【分析】根据三角形内角和定理得2x+y=180，然后变形就可以求出y与x的函数解析式．解：y=180﹣2x，∵21800xx-+>⎧⎨>⎩，∵x为底角度数，∴0＜x＜90．故选A．【点睛】本题考查函数关系式，解决本题的关键是利用三角形内角和定理求一次函数的解析式．3．下列图像中表示y是x的函数的有几个（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x ，y ，当给定一个x 的值时，y 由唯一的值与之对应，则称y 是x 的函数，x 是自变量，注意“y 有唯一性”是判断函数的关键．解：根据函数的定义，每给定自变量x 一个值都有唯一的函数值y 与之相对应，故第2个图符合题意，其它均不符合，故选：A ．【点睛】本题考查函数图象的识别，判断方法：做垂直x 轴的直线在左右平移的过程中，与函数图象只会有一个交点．4．某商贩卖某种水果，出售时在进价的基础上加上一定的利润，其销售数量x 与售价y 的关系如下表，王阿姨想买这种水果6千克，她应付款（）销售数量x （千克）1 2 3 4 5 … 售价y （元）40.5+ 8 1.0+ 12 1.5+ 16 2.0+ 20 2.5+ …A ．27元B ．24元C ．7元D ．26.5元A【分析】根据表格，推导出y 与x 的关系式，然后将x=6代入关系式即可求出结论．解：∵40.5+=1410.5⨯+⨯8 1.0+=2420.5⨯+⨯12 1.5+=3430.5⨯+⨯16 2.0+=4440.5⨯+⨯ 20 2.5+=5450.5⨯+⨯∴y=40.5 4.5x x x +=将x=6代入，得y=4.5627⨯=故选A ．【点睛】此题考查的是函数的应用，根据表格数据，求出函数关系式是解题关键．5．甲、乙二人沿相同的路线由A 到B 匀速行进，A ，B 两地间的路程为20km ．他们行进的路程(km)s 与甲出发后的时间t （h ）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确．．．的是（）A ．甲的速度是5km/h ；B ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．从A 到B ，甲比乙多用了1h D 【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快．解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度分别为5km/h 和10km/h ，故A 、B 正确，D 错误；从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C 正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．6．设函数()()1f x x x =-，以下结论正确的是（）.A ．()()0f a f a +-=B ．若()f a a =，则0a =C ．()()1f a f a -=D ．()()1f a f a =- D【分析】()f x 中x 即自变量，把自变量的值代入解析式计算，然后进行判断即可．f (a )+f (−a )=a (a −1)−a (−a −1)=2a 2，A 不正确；f (a )=a ,即a (a −1)=a ，即a (a −2)=0，则a =0或2，B 不正确；f (a )f (-a )=a (a −1)×[−a (−a −1)]= a4- a2，C 不正确；f (a )= a (a −1),f (1−a )=(1-a )(1-a -1)=(1-a )(-a )= a (a −1)，D 正确，故选D.【点睛】本题考查求函数值，在本题中代入自变量时需注意当自变量为-a或1-a时需将-a或1-a看成一个整体，去替换关系式中的x.还需注意化简时的符号问题.7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是6和2，输出的y值相等，则b等于（）A．5B．10C．7D．10-D【分析】把x=6与x=2代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．当x6=时，y=-x6=-，当x2=时，y=2x+b22b4b=⨯+=+，由题意得：4b6+=-，解得：b10=-．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．8．若函数23(2)3(2)x xyx x⎧-≤=⎨>⎩，则当函数值9y=时，自变量的值是（）A．23±B．3 C．3± 3 D．23- 3D【分析】将y=9代入函数解析式中，求出x值，此题得解．解：当y=x2-3=9，解得：x=-23或x=23（舍去）；当y=3x=9，解得：x=3．故选D．【点睛】本题考查了函数值，将y=9代入函数中求出x值是解题的关键．9．如图，一只蚂蚁从О点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与О点的距离为,s 则s 关于t 的函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ． B【分析】根据蚂蚁在半径OA 、AB 和半径OB 上运动时，判断随着时间的变化s 的变化情况，即可得出结论．解：一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA 这一段，蚂蚁到O 点的距离随运动时间t 的增大而增大；到AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，图象是与x 轴平行的线段；走另一条半径OB 时，S 随t 的增大而减小；故选：B ．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，根据随着时间的变化，到AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，得到图象的特点是解决本题的关键．10．函数[]y x =叫做高斯函数，其中x 为任意实数，[]x 表示不超过x 的最大整数．定义{}[]x x x =-，则下列说法正确的个数为( )①[ 4.1]4-=-；②{3.5}0.5=；③高斯函数[]y x =中，当3y =-时，x 的取值范围是32x -≤<-；④函数{}y x =中，当2.5 3.5x <≤时，01y ≤<．A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，即可解答．解：①[ 4.1]5-=-，故原说法错误；②{3.5} 3.5[3.5] 3.530.5=-=-=，正确，符合题意；③高斯函数[]y x =中，当3y =-时，x 的取值范围是32x -≤<-，正确，符合题意；④函数{}y x =中，当2.5 3.5x <≤时，01y ≤<，正确，符合题意；所以，正确的结论有3个．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[]x 表示不超过x 的最大整数．二、填空题11．当圆的半径r 由小变大时，它的面积S 也越来越大，它们之间的变化关系为2πS r =，在这个变化过程中，自变量为______，因变量为______，常量为______.r S π【分析】根据常量、变量的概念，通过对圆的面积公式中的各个量进行分析，即可确定答案. ∵圆的半径r 由小变大时，它的面积S 也越来越大，∴自变量是圆的半径r ，因变量是圆的面积S ，常量是π.故答案为r ，S ，π. 【点睛】本题考查变量与常量. 常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量. 自变量就是本身发生变化的量,因变量就是由于自变量发生变化而引起变化的量.12．在面积为120m²的长方形中，它的长y （m ）与宽x （m ）的函数解析式是______.120xy ，进而变形即可得120xy， 120x=. 【点睛】本题考查用关系式法表示变量之间的关系. 能利用矩形的面积公式中的等量关系列出关系式是解决此题的关键.13．已知2()1x f x x -=- ，则f =_________．【点睛】本题主要考查求函数值的知识，关键是根据题意把自变量代入函数表达式求解即可．14．已知函数()f x =()3f =_______．函数【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得10,10x x ①②再解不等式组即可得到答案10,10x x ①②由由②得：1,x ≠所以函数1y =【点睛】本题考查的是二次函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握“分式与二次根式有意义的条件”是解本题的关键.16．油箱中有油60升，油从管道中匀速流出，一小时流完，则油箱中剩余油量Q （升）与流出时间t （分钟）之间的函数关系为________________________ ，定义域为_____________ ，当Q=10升时， t=___________60Q t =- 060t ≤≤ 50【分析】根据“剩余油量=总油量－用去的油量”建立函数关系式，再代入求值即可．由题意可得，油从管道中流出的流速是每分钟1升，∴60Q t =-，∵一小时流完，∴定义域为060t ≤≤，将Q=10代入60Q t =-得，10=60－t ，解得：t =50．故答案为：60Q t =-；060t ≤≤；50．【点睛】本题考查了函数关系式，掌握实际问题中关系式的求法是解题的关键．17．将231a b -=写成用a 的代数式表示b 的形式为______，那么______是______的函数，______是自变量. 2133b a =-b a a 【分析】根据等式的性质将等式表示成左边为b 右边为含a 的代数式的形式即可，根据函数的定义填写后面三个空.解：∵231a b -=移项可得：321b a -=-+将b 的系数化为1得：2133b a =-. 根据函数的定义b 是a 的函数，a 是自变量，b 是因变量故四个空依次填：2133b a =-，b ，a ，a. 【点睛】等式的性质和函数的定义.在用a 的代数式表示b 时可将a 看成已知数，b 看成未知数，解b 的方程即可，理解函数的定义也是解决本题的关键.18．用黑、白两种颜色的正六边形地板砖镶嵌成若干图案（如图），则第n 个图案中白色地板砖的总块数N （块）与n 之间的关系式是________，其中常量是________，变量是________． 42N n =+ 2，4 N ，n【分析】根据图形所呈现的规律得出白色地板砖的总块数N （块）与n 之间的关系式，再确定自变量、因变量．由图①可得：N =1×6－（1－1）×2＝6；由图②可得：N =2╳6-（2-1）╳2=10；由图③可得：N =3╳6-（3-1）╳2=14；由上可得图形规律为：N =6n -2（n -1）=4n +2，常量为4，2；变量为白色地板砖的总块数N 与n ，故答案为：N =4n +2；4，2；白色地板砖的总块数N 与n ．【点睛】考查常量与变量以及图形的变化类，解题关键是发现图形所呈现的规律．三、解答题19．下列式子中的y 是x 的函数吗？为什么？（1）35y x =-；（2）21x y x -=-；（3）y = 请再举出一些函数的例子．20．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式．（1）改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变．（2）每分向一水池注水30.1m ，注水量y （单位：3m ）随注水时间x （单位：min ）的变化而变化．（3）秀水村的耕地面积是6210m ，这个村人均占有耕地面积y （单位；2m ）随这个村人数n 的变化而变化．（4）水池中有水10L ，此后每小时漏水0.05L ，水池中的水量V （单位：L ）随时间t （单位：h ）的变化而变化．21．小明准备买a 本练习本，已知练习本的单价为3元.（1）写出小明所花的钱数y （元）与本数a （本）之间的表达式；（2）当6a =时，求y 的值. （1）3y a =；（2）18【分析】（1）根据每本练习本的价格及练习本的数量得出关系式即可；（2）再把a =6代入求出y 的值即可.(1)小明所花的钱数y (元)与本数a (本)之间的关系式y =3a ； (2)当a =6时，y=3×6=18.答：(1)小明所花的钱数y (元)与本数a (本)之间的关系式，y=3a ； (2)当a =6时，y 的值为18.【点睛】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的应用是解题的关键.在本题中一定要清楚总价=单价×数量.22．在烧开水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；（3）时间推移2分钟，水的温度增加14℃，到10分钟时恒定；（4）时间为23．已知x 与y 有如下关系：2x y =-. （1）把它改成()y f x =的形式；（2）求f的值.24．已知()()234,53f x x x g x x =+=-，求：（1）()()f x g x + （2）(1)(2)f g -+ （1）2483x x +-；（2）8【分析】（1）通过合并同类项，即可完成求解；（2）通过(1)f -和(2)g 分别计算后再相加，从而完成求解．（1）()22()3453483f x g x x x x x x +=++-=+-（2）2(1)3(1)4(1)341f -=⨯-+⨯-=-+= (2)5237g =⨯-=∴(1)(2)178f g -+=+=．【点睛】本题考查了求函数值、合并同类项的知识；求解的关键是函数值的方法和合并同类项的性质，从而完成求解．25．下图是某物体的抛射曲线图，其中s 表示物体与抛射点之间的水平距离，h 表示物体的高度．（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？（2）根据图象填表：/m s0 1 2 3 4 5 6 /m h（3）当距离s 取0~6m 之间的一个确定的值时，相应的高度h 确定吗？（4）高度h 可以看成距离s 的函数吗？（1）反映了拋射距离s 与高度h 之间的关系；（2）2.0，2.5，2.65，2.5，2.0，1.2，0；（3）确定；（4）可以【分析】（1）根据变量的定义，即可求解；（2）根据图象填表即可；（3）根据这一范围内对于任一个距离s ，对应的函数值高度h 是唯一的，即可得到相应的高度h 是确定的；（4）根据函数的定义，即可求解．解：（1）根据题意得：这个图象反映了高度h与拋射水平距离s之间的关系；（2）根据图象填表如下：/ms0 1 2 3 4 5 6/mh 2.0 2.5 2.65 2.5 2.0 1.2 0（3）当距离s取0~6m之间的一个确定的值时，相应的高度h是确定的，理由如下：因为这一范围内对于任一个距离s，对应的函数值高度h是唯一的，所以相应的高度h是确定的；（4）∵高度h随距离s的变化而变化，并且对于任一个距离s，对应的函数值高度h是唯一的，∴高度h可以看成距离s的函数．【点睛】本题主要考查了函数与变量，熟练掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量是解题的关键．26．如图是一辆慢车与一辆快车沿相同路线从A地到B地所行的路程与时间之间的函数图像. 请根据图像，回答下列问题：（1）慢车比快车早出发______h，快车追上慢车时行驶了______km，快车比慢车早______h到达B地；（2）求A、B两地的距离.（1）2、276、4；（2）A、B两地的距离为828km.【分析】(1)图像中横轴表示时间，纵轴表示路程，根据快、慢车的函数图象即可得出结果；(2)设快车与慢车相遇时，快车用了t小时，则慢车用了t+2小时，据此可用含t的代数式表示它们的速度，根据到达目的地时，快车的路程=慢车的路程列出方程，解方程可求出t，从而可求出快车的速度，进而求出A、B两地的距离.（1）慢车的图象是从原点开始的，快车的图象是从x=2开始的所以慢车比快车早出发2h；两图象相交时，y=276，故快车追上慢车时行驶了276km；当x=14时快车到达，当x=18时慢车到达，故快车比慢车早4h到达B地.所以填2、276、4.（2）设相遇时快车用了t h,速度为276tkm/h，则慢车用了()2t+h，速度为2762tkm/h，则。

初中数学函数(学生版)八年级数学上册同步精品讲义(苏科版)

第6章一次函数6.1 函数课程标准课标解读1、能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．2、认识变量中的自变量与函数等概念3、通过实例，确定函数关系式，并会求出函数值及确定自变量的取值范围1、对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．2、理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.3、确定自变量的取值范围4、领会函数的意义及列出函数式知识点01 变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.【微点拨】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t=，速度60千米/时是常量，时间t和里程s为变量.【即学即练1】1．结合学习函数的经验，小红在平面直角坐标系中画出了函数21(1)yx=+的图象，如图所示．根据图象，小红得到了该函数四条结论，其中正确的是（）目标导航知识精讲A ．y 随x 的增大而减小B ．当1x =-时，y 有最大值C ．当2x =与2x =-时，函数值相等D ．当0x >时，01y <<知识点02 函数的定义1、定义：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.2、常见函数定义域的求法（1）分式函数中分母不等于零．（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0.（3）一次函数、二次函数的定义域为R .（4）y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .（5）y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . （6）函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．【微点拨】对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.【即学即练2】2．在下列各图象中，y 不是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．知识点03 函数值y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.【微点拨】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2.【即学即练3】3．下面四个关系式：∈y x =；∈y x =；∈220x y -=；∈)0y x >．其中y 是x的函数的是（）A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈∈D ．∈∈∈知识点04 自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.【微点拨】自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.【即学即练4】4．已知等腰三角形的周长为20厘米，底边长为y 厘米，腰长为x 厘米，y 与x 的函数关系式为202y x =-，那么自变量x 的取值范围是（）A ．0x >B ．010x <<C ．05x <<D ．510x <<知识点05 函数的几种表达方式变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.【微点拨】函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.【即学即练5】5．变量x 与y 之间的关系是23y x =+，当自变量6x =时，因变量y 的值是( ) A ．1.5 B ．3 C ．4.5 D ．15知识点06 函数的图像对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.【微点拨】由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【即学即练6】6．小明早8点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离()m s 与小明离开家的时间()min t 之间的函数关系如图所示，下列说法：∈公园与家的距离为1200米；∈爸爸的速度为48m/min ；∈小明到家的时间为8：22；∈小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇．其中，正确的说法有（）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考法01 函数的概念1．函数的基本概念（1）函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A（2）函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．（3）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．（4）函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．【典例1】下列曲线中，不表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．考法02 函数解析式1．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．【典例2】把一个长为5，宽为2的长方形的长减少x (0≤x <5)，宽不变，所得长方形的面积y 关于x的函能力拓展数表达式为( )A ．y=10－xB ．y=5xC ．y=2xD ．y=－2x+ 10题组A 基础过关练1．下列各坐标表示的点中，在函数31y x =+的图象上的是（）A ．(1,2)--B ．(1,4)-C ．(1,2)D ．(1,4) 2．在圆周长计算公式2C r π=中，对半径不同的圆，变量有（）A ．,C rB ．,,C r π C ．,C r πD ．,2,C r π3．某个函数自变量的取值范围是1,x ≥-则这个函数的表达式为（）A ．1y x =+B ．21y x =+C ．1y x =+D ．11y x =+ 4．在ABC 中，它的底边为a ，底边上的高为h ，则面积12S ah =，若h 为定长，则此式中（）． A ．S ，a 是变量B ．S ，a ，h 是变量C ．a ，h 是变量D ．以上都不对 5．在函数15y x =+中，自变量x 的取值范围（） A ．5x >-B ．5x ≥-C ．0x >D ．0x ≥ 6．函数11y x =+中，自变量x 的取值范围是（） A ．1x ≠- B ．1x ≠ C ．1x > D ．1≥x7．在圆的面积计算公式S=2R π中，变量是（）A ．SB ．RC ．π，RD ．S ，R题组B 能力提升练1．某种商品的售价为每件100元，若按现售价的7折进行促销，设顾客购买x 件需要y 元，则y 与x 的函数解析式为（）A ．0.7y x =B ．0.3y x =C ．70y x =D ．100y x =分层提分2．函数y =x 的取值范围是（） A ．1x >B ．1≥xC ．1x ≥-D ．1x ≠3．函数y 中，自变量x 的取值范围是（） A ．x≥1 B ．x ＞1 C ．x≥1且x≠2 D ．x≠24．若函数22(2){22x x y x x +≤=> （），则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是（）A ．B ．4C ．或4D ．45．某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出的速度保持不变）．该仓库库存物资m （吨）与时间t （小时）之间的函数关系如图所示．则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是________小时．6．如图1，点P 从∈ABC 的顶点A 出发，沿A ﹣B ﹣C 匀速运动，到点C 停止运动．点P 运动时，线段AP 的长度y 与运动时间x 的函数关系如图2所示，其中D 为曲线部分的最低点，则∈ABC 的面积是______．7．小宁和弟弟小强分别从家和图书馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行．小宁先出发 5 分钟后，小强骑自行车匀速回家．小宁开始跑步中途改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，到达图书馆恰好用了35 分钟．两人之间的距离 y(m)与小宁离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示．则当弟弟到家时，小宁离图书馆的距离为___________米．题组C 培优拔尖练1．下列语句中，y 与x 是一次函数关系的有（）个．（1）汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y （千米）与行驶时间x （时）之间的关系；（2）圆的面积y （厘米2）与它的半径x （厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月平均长高2厘米，x 月后这棵树的高度是y 厘米，y 与x 的关系；（4）猪肉的单价是60元/千克，当购买x 千克猪肉时，花费y 元，y 与x 的关系．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →D 以1cm /s 的速度运动到点D ．设点P 的运动时间为（s ），∈P AB 的面积为y （cm 2）．表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为（）A B ．52 C ．2 D ．3．设函数()()1f x x x =-，以下结论正确的是（）.A ．()()0f a f a +-=B ．若()f a a =，则0a =C ．()()1f a f a -=D ．()()1f a f a =-4．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．如图描述了小明在散步过程中离家的距离s （米）与离家后所用时间t （分）之间的函数关系．则下列说法中错误的是（）A ．小明看报用时8分钟B ．小明离家最远的距离为400米C ．小明从家到公共阅报栏步行的速度为50米/分D ．小明从出发到回家共用时16分钟5．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，AB ＝2，BC ＝4，一动点P 从点B 出发，沿着B ﹣A ﹣D ﹣C 在矩形的边上运动，运动到点C 停止，点M 为图1中某一定点，设点P 运动的路程为x ，∈BPM 的面积为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示．则点M 的位置可能是图1中的（）A ．点CB ．点OC ．点ED ．点F6．如图,在R∈ABC 中,∈ACB=90°,D 为斜边AB 的中点,动点P 从点B 出发,沿B→C→A 运动,如图(1)所示,设DPB S y △,点P 运动的路程为x ,若y 与x 之间的函数图象如图(2)所示,则a 的值为A ．3B ．4C ．5D ．67．如图所示，向一个半径为R 、容积为V 的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y 与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）A．B．C．D．。

八年级函数知识点课件

八年级函数知识点课件八年级是初中数学学习的关键时期，这一阶段的知识点涵盖了很多重要的概念和原理，其中函数就是其中最为重要的一个。

在这个阶段，学生需要学习并掌握各种函数的概念和应用，以便在后续的学习中更好地理解和使用函数。

一、函数的基本概念在学习函数之前，我们先来了解一下函数的基本概念。

函数可理解为是一种映射，它将一个或多个数值映射到另一个数值。

在函数的定义中，“一个或多个数值”被称为自变量，“另一个数值”被称为因变量。

函数的公式通常写成f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。

二、函数的图像与特征函数不仅具备基本概念，还有着特定的图像和特征。

学生在学习函数时需要掌握这些特征，以方便更好地理解其应用。

1. 函数图像函数图像是函数在平面直角坐标系中的可视化表示。

对于每个自变量x，函数f(x)对应的因变量都可以在坐标系中标记出来，这些点依次连接就形成了函数的图像。

函数的图像有不同的形状和特征，通过对图像的观察可以更好地理解函数的特性。

2. 函数的增减性函数的增减性是指函数图像在横轴上的变化趋势。

当函数图像随着自变量的增大而逐渐升高时，我们称该函数具有单调递增性；当函数图像随着自变量的减小而逐渐升高时，我们称该函数具有单调递减性。

3. 函数的奇偶性函数的奇偶性与函数图像的对称性有关。

如果对于所有实数x，f(-x)=f(x)，则该函数具有偶函数性质。

如果对于所有实数x，f(-x)=-f(x)，则该函数具有奇函数性质。

了解函数的奇偶性可方便我们快速画出其图像。

三、一次函数在八年级的数学课程中，最先要学习的是一次函数。

一次函数是指只包含常数项和一次项的函数，其通式为y=kx+b。

其中k为斜率，表示函数图像在横轴上每增加1个单位时相应的纵向变化量；b为截距，代表函数图像与纵轴的交点。

在学习一次函数时，还需注意以下关键概念：- 斜率为常数：斜率k是一次函数中的重要指标，它是一个恒定的数值。

在一次函数中，斜率k是函数图像直线的倾斜程度，其绝对值决定了图像线的斜率大小。

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函数的概念【知识要点】1．你知道函数的定义吗？试举一个例子？2．你对函数的理解怎样？3．有关常量与变量，你的认识有多少？4．求解函数的表达式有哪些方法？【典型例题】掌握函数概念，判断两个变量间的关系是否可看成函数关系# 例1.下列各式中，能否说y 是x 的函数？（1）x y 8=；（2）12+=x y ；（3）x y =2# 例2-1.下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（）xx# 例2-2 求出下列各题中x 与y 之间的关系，并判断y 是否为x 的一次函数，是否为正比例函数：（1）某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数y 与种植面积)(2m x 之间的关系；（2）正方形周长x 与面积y 之间的关系；（3）假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后。

本息和元）(y 与所存月数x 之间的关系。

# 例2-3．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2m/s 。

（1）在这一变化过程中反映了哪两个变量之间的关系？（2）3.5时小球的速度为多少？（3）哪个变量是自变量？哪个变量是它的函数？# 例3．根据下列各题题意写出函数关系式，并指出其中的常量、自变量及取值范围：（1）圆的面积S 与半径r 的函数关系；（2）等腰直角三角形的周长l 与直角边长a 的函数关系；（3）多边形的内角和的度数M 与边数n 的函数关系；（4）汽车行驶路程为100km ，速度为vkm/h 与行驶时间t h 之间的函数关系。

了解构成函数的三个要素：自变量x 的取值范围，两个变量x 与y 之间的对应关系，函数y 的取值范围例４（1）已知函数，求自变量ｘ的取值范围，并求当时，函数ｙ的值。

（2）已知,2-=m mx y 若y 是x 的正比例函数，求m 的值。

用关系式法求函数表达式# 例５.某学校组织学生到距离学校6公里的光明科技馆去参观，学生王红因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下：（1）写出出租车行驶的里程数3≥x （公里）与费用y （元）之间关系式；（2）王红身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费不够？请说明理由.# 例６．有一风景区集体门票的收费标准是10人以内（包括10人），每人20元，超过10人的部分，每人15元，设游览人员为x 人，应收门票费y 元.（1）应收门票y （元）可以看成x （人）的函数吗？若可以，你能用一个式子表示这种函数关系式吗？若不可以请说明理由；（2）现八年级（3）班有55人去该风景区游览，那么门票费为多少元？例7.汽车由A 地驶往相距630千米的B 地，它的速度是70千米/时。

（1）写出汽车距B 地的路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数关系式，并求自变量他t 的取值范围；（2）当汽车还差210千米到达B 地时，它行驶了多少小时？* 例8 按国家1999年8月30日公布的有关个人所得税的规定，全月应纳税所得额不超过500元的税率为5%，超过500元至2000元部分的税率为10%（1）设全月应纳税所得额为x 元，且2000500≤<x 。

应纳个人所得税为y 元，求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围。

（2）小明妈妈的工资为每月2600元，小聪妈妈的工资为每月2800元。

问她俩每月应纳个人所得税多少元？* 例9 某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是每辆一次0.3次.(1)若设一般车停放的辆次数为x ，总的保管费收入为y 元，试写出y 关于x 的函数关系式；(2)若估计前来停放的3500辆次自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，求该保管站这个星期日收入的保管费的范围。

【大展身手】# １．如果等边三角形的边长为ｘ，那么它的面积ｙ与ｘ之间的关系是( )A.B.CD.# 2.一段导线，在时的电阻为2欧姆，温度每增加1，电阻增加0.008欧姆，那么电阻R （欧姆）表示为温度t （）的函数关系式为（） A ．R=0.008B.R=2+0.008tC.R=2.008D.R=2t+0.008# 3.点M(x,y)在第二象限，且|x|-=0，-4=0,则点M 的坐标是（） A ．()B.()C.()D.()# 4.在平面直角坐标系中，给出下面四个点，其中在直线y=2x-1上的点是（）A.(-1,-1)B.(-2,-5)C.(2,-3)D.(4,9)# 5.点M(3,y)在直线y=-x 上，则点M 关于x 轴的对称点为（）A ．（3，-3）B.（3,3）C.(-3,3)D.(-3,-3)# 6.判断题（1）在匀速运动中，速度v ，时间t ，路程s 的关系是vt s =，其中t 是自变量，s 是因变量（）（2）若23->x y ，则y 是x 的函数（）（3）一个矩形的周长为240，两邻边分别为x ，y ，则x y -=120，1200<<x .（）（4）当0≥x 时，1-±=x y 是x ，y 的函数关系.（）# 7.列函数关系式（1）汽车开始行驶时，油箱中有油40L ，如果每小时耗油6L ，求油箱中余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数关系式；（2）弹簧原长5cm,在4kg 挂重限度内，每加挂1kg ，弹簧伸长0.5cm,求弹簧的总长度l(cm)与所挂质量m(kg)之间的函数关系式。

# 8.设地面气温是c ︒16，如果每升高1千米，气温就下降c ︒6，则升高2千米后气温是 .函数表达式h(千米)与c t ︒ 之间的关系为 .#9.等腰三角形的顶角为y 度，底角为x 度，则y ，x 之间的函数关系式为 .# 10.在函数y=中，当0=x 时，=y .11.若点P （b ,4）在1-=x y 的图象上，则b = .12.一个圆的半径r 与圆的周长C 的关系是，与它的面积S 的关系是 .13.从A 地向B 地打长途电话，接通电话时间收费2.4元，每增加1分钟加收1元，求时间3≥t （分）时的电话费y （元）与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围14.已知函数34+=x y ，当3-=x 时，y 的值是 .当2=y 时，x 的值 . 15.某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后第n 天（n 是大于2的整数），应收租金元 16.气温随高度的升高而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km 处，每升高1km,气温下降6℃，高于11km 时，几乎不再变化，设地面的气温为20℃，高空中xkm 的气温为y ℃。

（1）当110≤≤x 时，求x 和y 的关系式。

（2）试求在离地面4.5km 及13km 的高空处，气温分别是多少度？17.某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气不超过60m3，按0.8元/m3收费；如果超过60m3，超过部分按1.2元/m3收费。

（1）设煤气用量为x m3（x>60），应交煤气费为y 元，写出y关于x的函数解析式，并画出函数的图像；（2）已知某用户一月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么一月份该用户应交煤气费共多少元？18．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指市内通话）。

若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1和y2元。

（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内使用话费200元，则应该选择哪种通讯方式较合适？* 19.某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6m，B种布料0.9m，可获利润45元，做一套N型号的时装需用A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利润50元，若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元。

（1）求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）该服装厂在生产这批时装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？* 20.某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期投资200万元，每生产1台这种新家电，后期还需其他投资0.3万元，已知每台新家电可实现产值0.5万元。

（1）分别求出总投资额y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式；（2）当新家电的总产量为900台时，该公司的盈亏情况如何？（3）请你利用（1）中y2与x的函数关系式，分析该公司的盈亏情况。

（注：总投资=前期投资＋后期其他投资，总利润=总产值－总投资）* 21.在双休日，某校准备组织48名教师到附近一水上公园坐船游园，学校先派一人到公园了解到了租金价格表如下：（严禁超载）范围。

（2）求出使租金最少的租船方案，并求出最少的租金。

* 22．南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：离为x千米。

（1）如果用W1，W2，W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求出W1，W2，W3与x间的函数关系式。

（2）应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小？。