中考数学复习 利用辅助圆求解动点最值问题

利用辅助圆求解动点最值问题
许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、结论，将某些最值问题通过圆中的几何模型求解.笔者经过研究，归纳为以下情况可考虑作辅助圆:
一、同一端点出发的等长线段
例1 如图1，在直角梯形ABCD 中，90,3,4,6DAB ABC AD AB BC ∠=∠=︒=== ，点E 是线段AB 上一动点，将EBC ∆沿CE 翻折到EB C '∆，连结,B D B A ''.当点E 在AB 上运动时，分别求,,B D B A B D B A ''''+的最小值.
解析 如图1，当点E 在点B 时，B '与B 重合;当点E 在点A 时，设点B '在点F 处，由翻折可知BC B C FC '==.所以，点B '在以C 为圆心，BC 为半径的圆上，运动轨迹为弧BF .
如图2，点D 在⊙C 内，延长CD 交⊙C 于点1B .当点B '在点1B 时B D '最小，最小值为11B C DC -=.
点A 在⊙C 外，设AC 交⊙C 于点2B ，当点B '在点2B 时B A '最小，最小值为22136AC B C -=-.
设AD 与⊙C 交点为3B ，当点B '在点3B 时B D B A ''+最小，最小值为3AD =. 点评 当条件中有同一端点出发的等长线段时，根据圆的定义，以该端点为圆心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.
模型1 如图3，点A 在⊙O 外，A 到⊙O 上各点连线段中AB 最短；如图4，点A 在⊙O 内，A 到⊙O 上各点连线段中AB 最短.
证明 在⊙O 上任取一点C ，不与点B 重合，连结,CA CO ，如图3.
,,OC CA OA OC OB CA AB +>=∴> ,得证. 如图4,
,,OC OA CA OC OB AB CA -<=∴<，得证. 二、动点对定线段所张的角为定值
模型2 如图5 , AB 为定线段，点C 为AB 外一动点，ACB ∠为定值，则点C 形成的轨迹是弧ACB 、弧AmB (不含点,A B ).
证明 设⊙O 为ABC ∆的外接圆，在AB 上方任取三点，点,,D E F 分别在⊙O 外、⊙O 上、⊙O 内.
,,D AGB C E C AFB H C ∠<∠=∠∠=∠∠>∠=∠,
∴当ACB ∠为定值时，点C 形成的轨迹是弧ACB 、弧ADB (不含点,A B ).
1.动点时定线段所张的角为直角
例2 如图6，正方形ABCD 边长为2，点E 是正方形ABCD 内一动点，90AEB ∠=︒，连结DE ，求DE 的最小值.
解析 90,AEB AB ∠=︒为定线段， 由模型2可知，点E 在以AB 为直径的圆上.连OD 交⊙O 于点F ，由模型1，当E 在点F 处时DE 51.
点评 当动点对定线段所张的角为直角时，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直径构造圆.
2.动点时定线段所张的角为锐角
例 3 如图7, 45XOY ∠=︒ ，一把直角三角形尺ABC 的两个顶点,A B 分别在,OX OY 上移动，10AB =，求点O 到AB 距离的最大值.
解析 如图8,⊙D 为ABO ∆的外接圆，由模型2知，点O 的运动轨迹是弧AOB (,A B 两点除外).过点D 作AB 的垂线，垂足为点E ,交弧AOB 于点F ，当点O 在点F 处时，O 到 AB 的距离最大，即为FE 长.
45,90XOY ADB ∠=︒∴∠=︒.
10,52,5AB FD AD DB DE =∴====,
525FE ∴=.
故O 到AB 距离的最大值为525.
点评 本题AB 是定长，XOY ∠为定值，利用模型2，找到点O 的运动轨迹是一段弧，
这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题.
模型3 如图9,AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点(不与,A B 重合)，过点O 作 DE AB ⊥，垂足为D ，交⊙O 于点(,E E D 在O 两侧).当点C 在点E 处时，点C 到AB 的距离最大，即为DE 长.
证明 如图9，作CF AB ⊥垂足为点F ,CF CD OC OD ED <<+=，得证.
3.动点对定线段所张的角为钝角
例4 如图10，正三角形ABC ∆边长为2，射线//AD BC ，点E 是射线AD 上一动点(不与点A 重合)，AEC ∆外接圆交EB 于点F ，求AF 的最小值.
解析 如图10 ,
60,120EFC EAC BFC ∠=∠=︒∴∠=︒ . BC 为定长，∴点F 的运动轨迹是弧BC (不与,B C 重合).
过点A 作AG BC ⊥垂足为G ，交弧BC 于点H ，当点F 在点H 时AF 最小，最小值为323333
AG HG -=-=. 点评 本题将动点E 转化到动点F ，且因为120BFC ∠=︒,BC 为定长，由模型2可知，点F 的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆.于是，AF 的最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1即可求解.
三、动点对定线段所张的角的最值
例5 如图11，四边形ABCD 中，均有//,,60,8,AD BC CD BC ABC AD ⊥∠=︒=
12BC =.在边AD 上，是否存在一点E ，使得cos BEC ∠的值最小?若存在，求出此时cos BEC ∠的值;若不存在，请说明理由.
解析 当BEC ∠为锐角时，cos BEC ∠随BEC ∠的增大而减小，求cos BEC ∠的值最小值，只要求BEC ∠最大值.
于是，作BC 中垂线交,BC AD 于点,F G .设三点,,B C G 确定⊙O ，则⊙O 切AD 于点G .此时AD 上的点(除点G )都在⊙O 外，BEC BGC ∠<∠，所以当点E 在点G 处时BEC ∠最大. 由题意，可知43,6GF BF ==.
设⊙O 半径为r , 则2226(43)r r +=， 解得73322
r OF ==，1cos cos 7BGC BOF ∠=∠=, 所以cos BEC ∠最小值为
17. 点评 求动点对定线段所张角的最大值时，以定线段为弦所作的圆与动点所在的直线相切，由同弧所对的圆周角大于圆外角知，动点运动至切点处时所张角最大.。