土木工程力学本第八章影响线
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《结构力学》第8章：影响线
（3）连续梁的最不利荷载位置
确定连续梁的最不利荷载位置时，首先用机动法做出其影响线的 轮廓，然后，将任意分布的均布活荷载作用在影响线的正区域， 便得到该量值的最大值的最不利荷载位置；将任意分布的均布活 荷载作用在影响线的负区域，便得到该量值的最小值的最不利荷 载位置。荷载的最不利位置确定后，便可求出某量值的最大值和 最小值。
建筑力学
结构力学
1. 简支梁的内力包络图
首先沿梁的轴线将梁分为若 干等分，计算出吊车移动时 各截面的最大弯矩值，并按 同一比例画在梁的轴线上， 然后连成光滑曲线，得到的 图形即为吊车梁的弯矩包络 图，如图8.9 (b)所示。同 样，可计算出梁上各截面的 最大和最小剪力值，画出剪 力包络图，如图8.9(c)。
（1） 任意布置的均布荷载作用时
工程中的人群、堆货等荷载 ，是可以按任意方式分布的 均布荷载。其最不利荷载的 位置为：将其布满对应影响 线所有纵标为正号的区域。
建筑力学
图8.6 最不利荷载位置时的均布荷载布置
结构力学
（2）系列移动集中荷载作用时
汽车、火车及吊车的轮压等移动荷载，可以简化为一系列彼此间 距不变的系列移动集中荷载。当荷载系列移动到最不利荷载位置 时，所求的量值S应为最大，因此，系列荷载由该位置无论再向 左或向右移动，量值S都会减小。据此，可以从讨论量值的增量 入手来确定最不利荷载位置。 现根据量值的增量 S的增减来分析量值S取得极值时的荷载位置：
剪力包络图的绘制方法和步骤与弯矩包络图相同。
建筑力学
结构力学
8.7 小 结
本章主要研究静定单跨梁和连续梁的影响线绘制，以及利用影 响线确定最不利荷载位置，进而求出该量值的绝对最大值作为结构 设计的依据；还介绍了简支梁及连续梁的内力包络图的绘制。 1.竖向单位集中荷载P＝1沿结构移动时，表示某量值变化规律的图 形，称为该量值的影响线。要注意内力影响线与内力图的根本区别 。内力影响线上的竖标值是当单位集中荷载移动到该位置时，指定 截面的内力值；而内力图中的竖标值是荷载位置固定不变时，该截 面上的内力值。 2.绘制影响线的方法有两种：静力法和机动法。静力法是绘制结构影 响线的最基本方法，应熟练掌握。用静力法或机动法都可以做出单跨 静定梁的影响线，而用机动法只可以做出连续梁影响线的轮廓。单跨 静定梁的支座反力和内力影响线是由直线段组成；连续梁的支座反力 和内力影响线是由曲线组成。
确定连续梁的最不利荷载位置时，首先用机动法做出其影响线的 轮廓，然后，将任意分布的均布活荷载作用在影响线的正区域， 便得到该量值的最大值的最不利荷载位置；将任意分布的均布活 荷载作用在影响线的负区域，便得到该量值的最小值的最不利荷 载位置。荷载的最不利位置确定后，便可求出某量值的最大值和 最小值。
建筑力学
结构力学
1. 简支梁的内力包络图
首先沿梁的轴线将梁分为若 干等分，计算出吊车移动时 各截面的最大弯矩值，并按 同一比例画在梁的轴线上， 然后连成光滑曲线，得到的 图形即为吊车梁的弯矩包络 图，如图8.9 (b)所示。同 样，可计算出梁上各截面的 最大和最小剪力值，画出剪 力包络图，如图8.9(c)。
（1） 任意布置的均布荷载作用时
工程中的人群、堆货等荷载 ，是可以按任意方式分布的 均布荷载。其最不利荷载的 位置为：将其布满对应影响 线所有纵标为正号的区域。
建筑力学
图8.6 最不利荷载位置时的均布荷载布置
结构力学
（2）系列移动集中荷载作用时
汽车、火车及吊车的轮压等移动荷载，可以简化为一系列彼此间 距不变的系列移动集中荷载。当荷载系列移动到最不利荷载位置 时，所求的量值S应为最大，因此，系列荷载由该位置无论再向 左或向右移动，量值S都会减小。据此，可以从讨论量值的增量 入手来确定最不利荷载位置。 现根据量值的增量 S的增减来分析量值S取得极值时的荷载位置：
剪力包络图的绘制方法和步骤与弯矩包络图相同。
建筑力学
结构力学
8.7 小 结
本章主要研究静定单跨梁和连续梁的影响线绘制，以及利用影 响线确定最不利荷载位置，进而求出该量值的绝对最大值作为结构 设计的依据；还介绍了简支梁及连续梁的内力包络图的绘制。 1.竖向单位集中荷载P＝1沿结构移动时，表示某量值变化规律的图 形，称为该量值的影响线。要注意内力影响线与内力图的根本区别 。内力影响线上的竖标值是当单位集中荷载移动到该位置时，指定 截面的内力值；而内力图中的竖标值是荷载位置固定不变时，该截 面上的内力值。 2.绘制影响线的方法有两种：静力法和机动法。静力法是绘制结构影 响线的最基本方法，应熟练掌握。用静力法或机动法都可以做出单跨 静定梁的影响线，而用机动法只可以做出连续梁影响线的轮廓。单跨 静定梁的支座反力和内力影响线是由直线段组成；连续梁的支座反力 和内力影响线是由曲线组成。
8 影响线的概念汇总
用静力法作出的影响线也可用机动法来校核。
刚体体系的虚功原理：
刚体体系在任意平衡力系作用下，体系上所 有主动力在任一与约束条件相符合的无限小 刚体位移上所作的虚功总和恒等于零。
注意：
平衡力系、 几何可能位 移是两种独 立的状态， 即位移状态 中的位移不 是力状态中 的力产生的。
§8.4.1 机动法作影响线的原理和步骤
移动荷载是移动荷载是一个一个集中荷载集中荷载移动荷载是移动荷载是一组一组间距不变的集中荷载间距不变的集中荷载荷载临界位置的特点及判定原则荷载临界位置的特点及判定原则crcr三角形影响线三角形影响线临界位置的必要临界位置的必要条件条件85超静定结构的影响线p472p472待待超静定结构解法超静定结构解法学习后继续学习后继续
1
l1 (+)
l
A
A
F
(－) C
QB左 IL
QB右 IL
B
l2
1
l
1
(+)
B
(+)
D
E
小结
静力法作影响线的关键是分段写出影响 线方程。由隔离体平衡条件求得该量值 关于x的函数式（直线或曲线方程）。
静定结构影响线均由直线段组成（关于x 的一次函数），而超静定结构则一般为 曲线。
可尽量利用现有的影响线作其它影响线。
证明：作M D 影响线
当P=1加在C点时，
MD =yC 当P=1加在E点时，
MD =yE 当P=1距C点为x时，
单位力
CE段为 x 的一次式。
反力
反力
叠加
● 直接荷载和结点荷载下影响线比较
● 桥梁结构体系影响线实例
RB IL MK IL QK IL
§8.3 静力法作桁架的影响线
刚体体系的虚功原理：
刚体体系在任意平衡力系作用下，体系上所 有主动力在任一与约束条件相符合的无限小 刚体位移上所作的虚功总和恒等于零。
注意：
平衡力系、 几何可能位 移是两种独 立的状态， 即位移状态 中的位移不 是力状态中 的力产生的。
§8.4.1 机动法作影响线的原理和步骤
移动荷载是移动荷载是一个一个集中荷载集中荷载移动荷载是移动荷载是一组一组间距不变的集中荷载间距不变的集中荷载荷载临界位置的特点及判定原则荷载临界位置的特点及判定原则crcr三角形影响线三角形影响线临界位置的必要临界位置的必要条件条件85超静定结构的影响线p472p472待待超静定结构解法超静定结构解法学习后继续学习后继续
1
l1 (+)
l
A
A
F
(－) C
QB左 IL
QB右 IL
B
l2
1
l
1
(+)
B
(+)
D
E
小结
静力法作影响线的关键是分段写出影响 线方程。由隔离体平衡条件求得该量值 关于x的函数式（直线或曲线方程）。
静定结构影响线均由直线段组成（关于x 的一次函数），而超静定结构则一般为 曲线。
可尽量利用现有的影响线作其它影响线。
证明：作M D 影响线
当P=1加在C点时，
MD =yC 当P=1加在E点时，
MD =yE 当P=1距C点为x时，
单位力
CE段为 x 的一次式。
反力
反力
叠加
● 直接荷载和结点荷载下影响线比较
● 桥梁结构体系影响线实例
RB IL MK IL QK IL
§8.3 静力法作桁架的影响线
0801影响线概念
MC
MC
B FBy
x a 取右部分作离体
FQC FQC
M
C
0
b
M C FByb bx / l
a
ab l
MC的影响线
b
x a 取左部分作隔离体 MC 0 x MC FAya a1 l
（1） 简支梁
FP=1
A
x FAy
MC
MC
B
FBy
x a 取右部分作隔离体
C
A D
l/4 l/4
FNE ME l/2
E
B
l/2
1 l/2
FNE
Y 0 M 0
E
FNE 1
M E ( x l / 2)
2. 静定刚架
3. MD , FQD影响线
1
C
A D
l/4 l/4
MD YA FQD
YA 1 x / l
E
B
l/2
Y 0 M 0
（1） 简支梁
作简支梁FAy , FBy , MC , FQC的影响线。 FP=1
A
x
C
B
a
l
b
（1） 简支梁
FP=1
A FAy 1
x
B FBy
x M B 0, FAy 1 l x M A 0, FBy l
FAy的影响线
1
FBy的影响线
（1） 简支梁
FP=1
A x FAy a
第八章 影响线
8.1 影响线的概念
工程中有些结构在承受位置不变的固定荷载的 同时还承受大小、方向不变但位置在改变的活荷载 作用。 结构在活荷载作用下位移和内力等物理量将随 荷载位置的变化和荷载分布区域的不同而变化，这 些量的变化范围和最大值是结构设计的依据。
力学与结构—影响线
如果移动荷载是均布荷载，而且可以按任意方式布置，则最不利荷载位置是在影响线正值 部分布满荷载(求最大正值)或在负值部分布满荷载(求最大负值)，再用式(8-8)计算相应的Z的最 大(最小)值。
【例8.2】 试求如图8.7所示两跨简支梁在吊车荷载作用下支座B的最大反力。 已知 P1=P2 =478.5kN， P3= P4 = 324.5kN。
8.5
第8章 影 响 线
影响线的概念
为简单方便，可先研究一个方向不变的单位集中荷载(即P=1) 沿着结构移动时结构上某一 量值的变化规律，然后根据叠加原理来研究同一方向的一系列平行移动荷载对该量值的共同影 响，从而可进一步解决各种移动荷载作用下该量值的变化规律。
影响线的定义是：当方向不变的单位荷载沿结构移动时，表示结构某指定处的某一量值(反 力、内力、位移等)变化规律的图形，称为该量值的影响线。
(1) 当P=l在C截面以左移动时绘制左直线。取C截面以右的BC段为脱离体，由平衡条
件 Y =0，得C截面的剪力影响线左直线方程为：
QC RB
(8-5)
由式(8-5)可知，它与 的影响线绝对值一样只是符号相反且只适用于AC区间。故可在右支 座B处取等于-1的竖标，将其与左支座A处的零点相连，并从截面C引竖线即可得到QC 影响线的 左直线。
反力、内力和位移。
1) 一组平行集中荷载作用下
设有一组平行集中荷载作用于简支梁的某已知位置，如图8.4所示。若要求截面C的剪力QC 可利用QC的影响线。图中， P1作用点处QC 影响线有竖标y1 表示当P=1作用在这点时QC 的数值， 故在P1 单独作用下QC 的数值为P1y1 ；同理，在P2 、 P3 分别单独作用下QC 的数值分别为P2 y2、 P3 y3 根据叠加原理，它们共同作用下QC 的值为：
【例8.2】 试求如图8.7所示两跨简支梁在吊车荷载作用下支座B的最大反力。 已知 P1=P2 =478.5kN， P3= P4 = 324.5kN。
8.5
第8章 影 响 线
影响线的概念
为简单方便，可先研究一个方向不变的单位集中荷载(即P=1) 沿着结构移动时结构上某一 量值的变化规律，然后根据叠加原理来研究同一方向的一系列平行移动荷载对该量值的共同影 响，从而可进一步解决各种移动荷载作用下该量值的变化规律。
影响线的定义是：当方向不变的单位荷载沿结构移动时，表示结构某指定处的某一量值(反 力、内力、位移等)变化规律的图形，称为该量值的影响线。
(1) 当P=l在C截面以左移动时绘制左直线。取C截面以右的BC段为脱离体，由平衡条
件 Y =0，得C截面的剪力影响线左直线方程为：
QC RB
(8-5)
由式(8-5)可知，它与 的影响线绝对值一样只是符号相反且只适用于AC区间。故可在右支 座B处取等于-1的竖标，将其与左支座A处的零点相连，并从截面C引竖线即可得到QC 影响线的 左直线。
反力、内力和位移。
1) 一组平行集中荷载作用下
设有一组平行集中荷载作用于简支梁的某已知位置，如图8.4所示。若要求截面C的剪力QC 可利用QC的影响线。图中， P1作用点处QC 影响线有竖标y1 表示当P=1作用在这点时QC 的数值， 故在P1 单独作用下QC 的数值为P1y1 ；同理，在P2 、 P3 分别单独作用下QC 的数值分别为P2 y2、 P3 y3 根据叠加原理，它们共同作用下QC 的值为：
第08章 影响线
C K d
D
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第八章 影响线
第四节 结点荷载下的影响线
建立CD节间中主梁 K 截面的弯矩影响方程 FP=1 设 yC，yD为直接 荷载作用时影响 线在C、D两点的 K C D 纵座标值。由叠 d 加原理，K点弯 x FP=1 矩为：
x FCy 1 d
FCy
FCy
可见CD间主梁影响线为直线型 FDy x M k FCy yC FDy y D FDy d x x (1 ) yC y D FDy d d
第一节 影响线的概念
1、移动荷载作用下内力计算特点：结构反力和内力随荷载 作用位置的移动而变化，为此需要研究反力和内力的变 化规律及最大值，和产生最大值的荷载位置（即荷载的 最不利位置）。 2、研究方法：利用分解和叠加的方法，将多个移动荷载视 为单位移动荷载的组合。先研究单位移动荷载作用下的 反力和内力变化规律，再根据叠加原理解决多个移动荷 载作用下的反力和内力计算问题，以及最不利荷载的位 置问题。
23 / 87
第八章 影响线
第三节 机动法作静定梁的影响线
FP=1 MC MC
(2) 简支梁弯矩影响线：变铰，沿力偶方向微小转动
A
B
C
C 1
P
ab l
I.L.MC
24 / 87
第八章 影响线
第三节 机动法作静定梁的影响线
FQC (3) 简支梁剪力影响线：变错动机构（剪力铰）
A
FP=1
B
C
d/2 d/2
E
F
5 d 8
15 d 16
l=4d
3 d 4
＋
主梁
B RB
MD.I.L
1/2
结构力学第八章 影 响 线
与其他截面上的弯矩无关。
(4) 绘制规定不同 MC的影响线中的正弯矩画在基线的上方， 负弯矩画在基线的下方，标明正负号。
★第三节
结点荷载作用下梁的影响线
(1)支座反力FRA和FRB的影响线
(2)MC的影响线 C点正好是结点。
(3) MD的影响线 (4) FQCE的影响线 力，以FQCE表示。 MD的影响线如图8-5c所示。 在结点荷载作用下，主梁在C、E两点之间
3.弯矩影响线作法 由此得简支梁作弯矩影响线简易作法：先作一基线，在基线对
应所作弯矩影响线截面处作一竖线，其值为ab/l，连接A、B两
端，即为此截面弯矩的影响线，如图8-2e所示。 弯矩影响系数其量纲为L，单位为m
3.弯矩影响线作法 【例8-1】试用静力法绘制图8-3所示外伸梁的FAy、FBy、FQC、 MC 、FQD、MD的影响线。 【解】(1)绘制反力FAy、FBy的影响线。取A点为坐标原点，横 坐标x向右为正。当荷载F＝1作用于梁上任一点x时，分别求得 反力FAy、FBy的影响线方程为
这就是FRB的影响线方程。由此方程知，FRB的影响线是一条
直线。在A点，x=0，FRA=0。在B点，x=1，FRB=1。利用这 两个竖距便可以画出FRB的影响线，如图8-2b所示。
(2) 支座反力FRA影响线作法 将FP=1放在任意位置，距A点为x。由平衡条件 解得 这就是FRA的影响线方程。由此方程知，FRA的影响线也是一
1.支座反力的影响线 (1) 支座反力FRB影响线作法 如图8-2a所示简支梁，将FP=1放 将FP=1放在任意位置，距A点为x。
在任意位置，距A点为x。
(2) 支座反力FRA影响线作法
(1) 支座反力FRB影响线作法 如图8-2a所示简支梁，将FP=1放在任意位置，距A点为x。 由平
结构力学教程——第8章 影响线
P1 P2 Pk
PN
C
a
b
dx dy1
y1 y2 yk h
yN
MC影响线
dyk+1 dx
MC (x) =P1y1 + P2y2 + Pkyk +…+ PNyN
dMC (x) =P1dy1 + P2dy2 + Pkdyk +…+ PNdyN
dMC (x) =dy1 (P1+ P2 +…+ Pk)+dyk+1 (Pk+1+ Pk+2 +…+ PN)
横坐标以 下的图形，影响线系数取负号。
例：机动法作简支梁C点弯矩和剪力的影响线。 x P=1
A
C
B
a
b
l
解：弯矩的影响线
ab/l
1
b
A
C
B
MC
x P=1
A
C
B
a
b
l
解：剪力的影响线
b/l
1
A
C
B
QC
a/l
小结
机动法作影响线的步骤
撤去与Z相应的约束，代以未知力Z。 使体系沿Z的正方向发生位移，作出δP图， 既为Z的影响线的轮廓。 令δz=1，可定出影响线的竖距。 横坐标以上的图形，影响线系数取正号；
P1
RL Pk RR
a
b
RL Pk RR
a
b
R L Pk 7 2 > R R 4.5
求QC
q
A
C
B
dx
b
l
QC
a
y
l
QC
影响线结构力学
MA =0
l
FRA
得
FRB
FRB
=
x l
+
1
(0 x l)
FRB 影响线
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第一节 移动荷载与影响线的概念 8
当一个指向不变的单位集中 荷载（通常竖直向下）沿结构移 动时，表示某一指定量值S变化规 律的图形，称该量值S的影响线。
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1
影响线及其应用
第一节 移动荷载与影响线的概念 2
◼荷载
恒载： 活载： 固定荷载
移动荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 3
•车辆荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 4
列车荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 5
• 结构的内力、位移随荷载作用位置而变化 • 求某截面内力最大值 Simax • 所有最大值中的绝对最大值
影响线（ Influence Lines），简记 I . L. 。
第一节 移动荷载与影响线的概念 6
简支梁反力FRA 影响线
x
FP=1
由平衡条件
MB =0
FRA 1+
l
FRA影响线
得
FRB
FRA
=
l
− l
x
(0 x l)
第一节 移动荷载与影响线的概念 7
简支梁反力 FR荷载与影响线的概念 9
• 绘制影响线的方法：静力法和机动法。 • 基线反映FP＝1的作用范围。 • 量值为正值的竖标画在基线的上方。 • 影响线中力无单位。
l
FRA
得
FRB
FRB
=
x l
+
1
(0 x l)
FRB 影响线
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第一节 移动荷载与影响线的概念 8
当一个指向不变的单位集中 荷载（通常竖直向下）沿结构移 动时，表示某一指定量值S变化规 律的图形，称该量值S的影响线。
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1
影响线及其应用
第一节 移动荷载与影响线的概念 2
◼荷载
恒载： 活载： 固定荷载
移动荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 3
•车辆荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 4
列车荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 5
• 结构的内力、位移随荷载作用位置而变化 • 求某截面内力最大值 Simax • 所有最大值中的绝对最大值
影响线（ Influence Lines），简记 I . L. 。
第一节 移动荷载与影响线的概念 6
简支梁反力FRA 影响线
x
FP=1
由平衡条件
MB =0
FRA 1+
l
FRA影响线
得
FRB
FRA
=
l
− l
x
(0 x l)
第一节 移动荷载与影响线的概念 7
简支梁反力 FR荷载与影响线的概念 9
• 绘制影响线的方法：静力法和机动法。 • 基线反映FP＝1的作用范围。 • 量值为正值的竖标画在基线的上方。 • 影响线中力无单位。
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土木工程力学（本）
第八章 影响线
学习要求
1. 理解影响线的概念，弄清影响线和内力图的区别。
2. 掌握静力法作静定梁的影响线。
3. 了解机动法作静定梁的影响线。
4. 会利用影响线求移动荷载作用下静定梁的最大内力。
学习重点
1. 影响线的概念。
2. 用静力法、机动法绘制静定梁影响线的理论依据和方法。
3. 间接荷载的传力特点和规律，间接荷载作用下影响线的作图原理和方法。
4. 最不利荷载位置的确定。
常见问题解答
1.什么是影响线？
单位移动荷载1P =F 在结构上移动时，用来表示结构中某一量值（如yA F ）变化规律的图形，称为这个量值（如yA F ）的影响线。
在影响线图形中，横标表示单位荷载的位置，纵标表示当单位荷载1P =F 作用在该处时，影响量的大小。
2.影响线与内力图有区别吗？
影响线反映的是移动荷载对某一指定位置内力的影响，而内力图反映的是固定荷载对杆件轴线上各个位置内力的影响。
3.静力法作影响线的一般步骤是什么？
静力法作影响线的一般步骤为：
（1）选取坐标原点，将单位移动荷载置于任意位置，其作用点坐标用x 表示，当结构较复杂时，应注意分段、灵活建立坐标系。
（2）选取隔离体，利用静力平衡条件确定所求量值S 与x 之间的关系函数，即影响线方程。
当单位移动荷载作用在结构不同部分上时，应注意分段写出影响线方程并明确方程中x 的变化范围。
（3）根据影响线方程绘出函数图形即为所求影响线。
4. 机动法作静定结构影响线的依据是是什么？
刚体体系的虚功原理。
5.影响线的应用主要是什么？
（1）求固定荷载作用下的量值
影响线是单位荷载的影响，根据叠加原理，可以利用影响线求固定荷载作用下的影响量
值。
（2）求荷载的最不利位置
荷载移动到某位置时，使某量值Z达到最大值，则此荷载的位置称为荷载的最不利位置，这也是影响线的最大用途。
典型题解
例1.作图示简支梁
C
M的影响线。
解：
例2．作图示伸臂梁
K
M的影响线。
K
A
2m2m
B
2m
C 解：
例3下图（a）所示为一伸臂梁，求
C
M的值。