车辆路径问题概念、模型与算法(五星推荐)
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精确算法主要有：
分枝定界法(Branch and Bound Approach) 割平面法(Cutting Planes Approach) 网络流算法(Network Flow Approach) 动态规划算法(Dynamic Programming Approach)
分枝定界法(Branch and Bound Approach)
3、 CVRP问题描述及其数学模型
CVRP的描述：设某中心车场有k辆车，每辆配送车 的最大载重量Q，需要对n个客户(节点)进行运输配 送，每辆车从中心车场出发给若干个客户送货，最 终回到中心车场，客户点i的货物需求量是qi (i=1,2,…,n)，且qi<Q。记配送中心编号为0，各客户 编号为i(i=1,2 ,…,n)， cij表示客户i到客户j的距离。 求满足车辆数最小，车辆行驶总路程最短的运送方 案。
2、VRP问题约束
(1) 容量约束：任意车辆路径的总重量不能超过该 车辆的能力负荷。引出带容量约束的车辆路径问题 (CapacitatedVehicle Routing Problem，CVRP)。
(2) 优先约束：引出优先约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with precedence Constraints，VRPPC)。
模拟退火算法(Simulated Annealing) 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，
再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状， 内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到 平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据 Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e(ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为 Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模 拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合 优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始， 对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃” 的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近 似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机 搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制， 包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次 数L和停止条件S。
以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果得 到的解不符合整数条件，就将原规划问题分成几支， 每支增加了约束条件，即缩小了可行解区域，可行解 范围也随之缩小了，因而整数规划的最优值不会优于 相应的线性规划最优值。
“定界”是指为目标函数定上下界，以便自动舍去那 些最优值较差的子问题，提高计算效率。当整数规划 问题的最优目标函数值的上下界相等时，该整数规划 最优解已求出。
目前有关VRP的研究已经可以表示（如图1）为： 给定一个或多个中心点（中心仓库，central depot）、一个车辆集合和一个顾客集合，车辆和 顾客各有自己的属性，每辆车都有容量，所装载货 物不能超过它的容量。起初车辆都在中心点，顾客
在空间任意分布，车把货物从车库运送到每一个顾 客（或从每个顾客处把货物运到车库），要求满足 顾客的需求，车辆最后返回车库，每个顾客只能被 服务一次，怎样才能使运输费用最小。而顾客的需 求或已知、或随机、或以时间规律变化。
构造算法(Constructive Algorithm)
这类方法的基本思想是：根据一些准则，每一次将一 个不在线路上的点增加进线路，直到所有点都被安排 进线路为止。该类算法的每一步把当前的线路构形(很 可能是不可行的)跟另外的构形(也可能是不可行的)进 行比较并加以改进，后者或是根据某个判别函数(例如 总费用)会产生最大限度的节约的构形，或是以最小代 价把一个不在当前构形上的需求对象插入进来的构形， 最后得到一个较好的可行构形。这类算法中中最著名 的是Clarke和Wright在1964年提出的节约算法。
一般第一阶段常用构造算法，在第二阶段常用的改 进技术有2-opt(Lin,1965)，3-opt(Lin Kernighan,1973)和Or-opt (Or,1976)交换法，这是一 种在解的邻域中搜索，对初始解进行某种程度优化 的算法，以改进初始解。
在两阶段法求解过程中，常常采用交互式优化技术， 把人的主观能动作用结合到问题的求解过程中，其 主要思想是：有经验的决策者具有对结果和参数的 某种判断能力，并且根据知识直感，把主观的估计 加到优化模型中去。这样做通常会增加模型最终实 现并被采用的可能性。
总的说来，精确性算法基于严格的数学手段，在可 以求解的情况下，其解通常要优于人工智能算法。
但由于引入严格的数学方法，计算量一般随问题规
模的增大呈指数增长，因而无法避开指数爆炸问题，
从而使该类算法只能有效求解中小规模的确定性 VRP，并且通常这些算法都是针对某一特定问题设 计的,适用能力较差,因此在实际中其应用范围很有 限。
车辆路径问题概念、模型及算法
1、定义
车辆路径问题(VRP)一般定义为：对一系列装货点 和卸货点，组织适当的行车线路，使车辆有序地通 过它们，在满足一定的约束条件(如货物需求量、 发送量、交发货时间、车辆容量限制、行驶里程限 制、时间限制等)下，达到一定问题的目标(如路程 最短、费用最少、时间尽量少、使用车辆数尽量少 等)。
动态规划算法(Dynamic Programming Approach) 动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术。 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，
在每一个阶段都需作出决策，一个阶段的决策确定以 后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定 了一个过程的活动路线，则称它为多阶段决策问题。
(3) 车型约束：引出多车型车辆路径问题 (Mixed/Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem，MFVRP/ HFVRP)。
(4) 时间窗约束：包括硬时间窗(Hard Time windows)和软时间窗(Soft Time windows) 约束。引 出带时间窗(包括硬时间窗和软时间窗)的车辆路径 问题(Vehicle Routing Problem withTime windows， VRPTW)。
启发式算法
由于车辆路径优化问题是NP难题，高效的精确算 法存在的可能性不大(除非P=NP)，所以寻找近似算 法是必要和现实的，为此专家主要把精力花在构造 高质量的启发式算法上。启发式算法是在状态空间 中的改进搜索算法，它对每一个搜索的位置进行评 价，得到最好的位置，再从这个位置进行搜索直到 目标。在启发式搜索中，对位置的估价十分重要， 采用不同的估价可以有不同的效果。目前已提出的 启发式算法较多，分类也相当多，主要的启发式算 法有以下几类：构造算法、两阶段法、智能化算法。
构造算法最早提出来解决旅行商问题，这些方法一般 速度快，也很灵活，但这类方法有时找到的解离最优 解差得很远。
两阶段法(Two-phase Algorithm)
学者们通过对构造算法的研究，认为由构造算法求 得的解可以被进一步改进，为此提出了两阶段法。 第一阶段得到一可行解，第二阶段通过对点的调整， 在始终保持解可行的情况下，力图向最优目标靠近， 每一步都产生另一个可行解以代替原来的解，使目 标函数值得以改进，一直继续到不能再改进目标函 数值为止。
各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。 每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而就有许多 策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效 果，这个效果可以用数量来确定。策略不同，效果也 不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策 略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到 最好的效果。
(10) 最后时间期限：引出带最后时间期限的车辆路径问 题(Vehicle Routing Problem with Time Deadlines)。
(11) 车速随时间变化：引出车速随时间变化的车辆路径 问题(Time-Dependent Vehicle Routing Problem)。
智能化启发式算法从本质上讲仍然属于启发式算法，
其基本思想是从一初始解开始，通过对当前的解进 行反复地局部扰乱(Perturbations)以达到较好的解。
目前，最常见的智能化启发式算法包括模拟退火算 法(Simulated Annealing)、禁忌搜索算法(Tabu Search)、遗传算法(Genetic Algorithm)、蚁群算法 (Ant Colony)和神经网络(Neutral Networks)、粒子 群算法（Particle Swarm Optimization,PSO）方法等。
智能化算法(Intelligent Algorithm)
这类算法以启发式准则来代替精确算法中的决策准 则，以缩小解搜索的空间。
总体来看，尽管启发式算法能够在有限的时间内求 出质量较高的解，但由于其搜索解空间的能力有所 限制，因此经常无法达到预期的要求。20世纪90年 代以来，由于人工智能方法在解决组合优化问题中 的强大功能，不少学者开始将人工智能引入车辆路 线问题的求解中，并构造了大量的基于人工智能的 启发式算法(智能化启发式算法)。
(5) 相容性约束：引出相容性约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Compatibility Constraints，VRPCC)。
(6) 随机需求：引出随机需求车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Stochastic Demand， VRPSD)。
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题 线性规划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是 整数解，则这个解就是整数规划的最优解。
如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是 整数，把线性规划的可行域切割成两部分，分别求 解两个线性规划的最优解。
如果这两个线性规划的最优解还不是整数解， 分别把每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做 “分支”。
Байду номын сангаас
定义变量如下:
建立此问题的数学模型：
4、车辆路径问题算法综述
目前，求解车辆路径问题的方法非常多，基本上可以 分为精确算法和启发式算法2大类。
精确算法是指可求出其最优解的算法，主要运用线性 规划、整数规划、非线性规划等数学规划技术来描述 物流系统的数量关系，以便求得最优决策。（运筹学 领域）
分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的 一个叫做整数规划目标函数值的“界”。分支过程 中非整数的线性规划的最优解，如果目标函数值劣 于或等于这个“界”，就停止继续分支。这个过程， 叫做“定界”。
割平面法(Cutting Planes Approach)
用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整 数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最 优解，即为所求，运算停止。如果所得到最优解不满 足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的 约束条件重新求解。这个新增加的约束条件的作用就 是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的 部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。而把所 有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割 平面。当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来 的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是 所求问题的整数最优解。即切割后所对应的松弛问题， 与原整数规划问题具有相同的最优解。
(7) 开路：引出开路车辆路径问题(Open Vehicle RoutingProblem)。
(8) 多运输中心：引出多运输中心的车辆路径问题 (Multi-Depot Vehicle Routing Problem)。
(9) 回程运输：引出带回程运输的车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Backhauls)。
网络流算法(Network Flow Approach)
图论中的一种理论与方法，研究网络上的一类最优化 问题 。1955年 ，T.E.哈里斯在研究铁路最大通量时首 先提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的 问题。1956年，L.R. 福特和 D.R. 富尔克森等人给出了 解决这类问题的算法，从而建立了网络流理论。所谓 网络或容量网络指的是一个连通的赋权有向图 D= （V、 E、C） ， 其中V 是该图的顶点集，E是有向边(即弧)集， C是弧上的容量。此外顶点集中包括一个起点和一个终 点。网络上的流就是由起点流向终点的可行流，这是 定义在网络上的非负函数，它一方面受到容量的限制， 另一方面除去起点和终点以外，在所有中途点要求保 持流入量和流出量是平衡的。
分枝定界法(Branch and Bound Approach) 割平面法(Cutting Planes Approach) 网络流算法(Network Flow Approach) 动态规划算法(Dynamic Programming Approach)
分枝定界法(Branch and Bound Approach)
3、 CVRP问题描述及其数学模型
CVRP的描述：设某中心车场有k辆车，每辆配送车 的最大载重量Q，需要对n个客户(节点)进行运输配 送，每辆车从中心车场出发给若干个客户送货，最 终回到中心车场，客户点i的货物需求量是qi (i=1,2,…,n)，且qi<Q。记配送中心编号为0，各客户 编号为i(i=1,2 ,…,n)， cij表示客户i到客户j的距离。 求满足车辆数最小，车辆行驶总路程最短的运送方 案。
2、VRP问题约束
(1) 容量约束：任意车辆路径的总重量不能超过该 车辆的能力负荷。引出带容量约束的车辆路径问题 (CapacitatedVehicle Routing Problem，CVRP)。
(2) 优先约束：引出优先约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with precedence Constraints，VRPPC)。
模拟退火算法(Simulated Annealing) 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，
再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状， 内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到 平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据 Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e(ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为 Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模 拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合 优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始， 对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃” 的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近 似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机 搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制， 包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次 数L和停止条件S。
以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果得 到的解不符合整数条件，就将原规划问题分成几支， 每支增加了约束条件，即缩小了可行解区域，可行解 范围也随之缩小了，因而整数规划的最优值不会优于 相应的线性规划最优值。
“定界”是指为目标函数定上下界，以便自动舍去那 些最优值较差的子问题，提高计算效率。当整数规划 问题的最优目标函数值的上下界相等时，该整数规划 最优解已求出。
目前有关VRP的研究已经可以表示（如图1）为： 给定一个或多个中心点（中心仓库，central depot）、一个车辆集合和一个顾客集合，车辆和 顾客各有自己的属性，每辆车都有容量，所装载货 物不能超过它的容量。起初车辆都在中心点，顾客
在空间任意分布，车把货物从车库运送到每一个顾 客（或从每个顾客处把货物运到车库），要求满足 顾客的需求，车辆最后返回车库，每个顾客只能被 服务一次，怎样才能使运输费用最小。而顾客的需 求或已知、或随机、或以时间规律变化。
构造算法(Constructive Algorithm)
这类方法的基本思想是：根据一些准则，每一次将一 个不在线路上的点增加进线路，直到所有点都被安排 进线路为止。该类算法的每一步把当前的线路构形(很 可能是不可行的)跟另外的构形(也可能是不可行的)进 行比较并加以改进，后者或是根据某个判别函数(例如 总费用)会产生最大限度的节约的构形，或是以最小代 价把一个不在当前构形上的需求对象插入进来的构形， 最后得到一个较好的可行构形。这类算法中中最著名 的是Clarke和Wright在1964年提出的节约算法。
一般第一阶段常用构造算法，在第二阶段常用的改 进技术有2-opt(Lin,1965)，3-opt(Lin Kernighan,1973)和Or-opt (Or,1976)交换法，这是一 种在解的邻域中搜索，对初始解进行某种程度优化 的算法，以改进初始解。
在两阶段法求解过程中，常常采用交互式优化技术， 把人的主观能动作用结合到问题的求解过程中，其 主要思想是：有经验的决策者具有对结果和参数的 某种判断能力，并且根据知识直感，把主观的估计 加到优化模型中去。这样做通常会增加模型最终实 现并被采用的可能性。
总的说来，精确性算法基于严格的数学手段，在可 以求解的情况下，其解通常要优于人工智能算法。
但由于引入严格的数学方法，计算量一般随问题规
模的增大呈指数增长，因而无法避开指数爆炸问题，
从而使该类算法只能有效求解中小规模的确定性 VRP，并且通常这些算法都是针对某一特定问题设 计的,适用能力较差,因此在实际中其应用范围很有 限。
车辆路径问题概念、模型及算法
1、定义
车辆路径问题(VRP)一般定义为：对一系列装货点 和卸货点，组织适当的行车线路，使车辆有序地通 过它们，在满足一定的约束条件(如货物需求量、 发送量、交发货时间、车辆容量限制、行驶里程限 制、时间限制等)下，达到一定问题的目标(如路程 最短、费用最少、时间尽量少、使用车辆数尽量少 等)。
动态规划算法(Dynamic Programming Approach) 动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术。 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，
在每一个阶段都需作出决策，一个阶段的决策确定以 后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定 了一个过程的活动路线，则称它为多阶段决策问题。
(3) 车型约束：引出多车型车辆路径问题 (Mixed/Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem，MFVRP/ HFVRP)。
(4) 时间窗约束：包括硬时间窗(Hard Time windows)和软时间窗(Soft Time windows) 约束。引 出带时间窗(包括硬时间窗和软时间窗)的车辆路径 问题(Vehicle Routing Problem withTime windows， VRPTW)。
启发式算法
由于车辆路径优化问题是NP难题，高效的精确算 法存在的可能性不大(除非P=NP)，所以寻找近似算 法是必要和现实的，为此专家主要把精力花在构造 高质量的启发式算法上。启发式算法是在状态空间 中的改进搜索算法，它对每一个搜索的位置进行评 价，得到最好的位置，再从这个位置进行搜索直到 目标。在启发式搜索中，对位置的估价十分重要， 采用不同的估价可以有不同的效果。目前已提出的 启发式算法较多，分类也相当多，主要的启发式算 法有以下几类：构造算法、两阶段法、智能化算法。
构造算法最早提出来解决旅行商问题，这些方法一般 速度快，也很灵活，但这类方法有时找到的解离最优 解差得很远。
两阶段法(Two-phase Algorithm)
学者们通过对构造算法的研究，认为由构造算法求 得的解可以被进一步改进，为此提出了两阶段法。 第一阶段得到一可行解，第二阶段通过对点的调整， 在始终保持解可行的情况下，力图向最优目标靠近， 每一步都产生另一个可行解以代替原来的解，使目 标函数值得以改进，一直继续到不能再改进目标函 数值为止。
各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。 每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而就有许多 策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效 果，这个效果可以用数量来确定。策略不同，效果也 不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策 略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到 最好的效果。
(10) 最后时间期限：引出带最后时间期限的车辆路径问 题(Vehicle Routing Problem with Time Deadlines)。
(11) 车速随时间变化：引出车速随时间变化的车辆路径 问题(Time-Dependent Vehicle Routing Problem)。
智能化启发式算法从本质上讲仍然属于启发式算法，
其基本思想是从一初始解开始，通过对当前的解进 行反复地局部扰乱(Perturbations)以达到较好的解。
目前，最常见的智能化启发式算法包括模拟退火算 法(Simulated Annealing)、禁忌搜索算法(Tabu Search)、遗传算法(Genetic Algorithm)、蚁群算法 (Ant Colony)和神经网络(Neutral Networks)、粒子 群算法（Particle Swarm Optimization,PSO）方法等。
智能化算法(Intelligent Algorithm)
这类算法以启发式准则来代替精确算法中的决策准 则，以缩小解搜索的空间。
总体来看，尽管启发式算法能够在有限的时间内求 出质量较高的解，但由于其搜索解空间的能力有所 限制，因此经常无法达到预期的要求。20世纪90年 代以来，由于人工智能方法在解决组合优化问题中 的强大功能，不少学者开始将人工智能引入车辆路 线问题的求解中，并构造了大量的基于人工智能的 启发式算法(智能化启发式算法)。
(5) 相容性约束：引出相容性约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Compatibility Constraints，VRPCC)。
(6) 随机需求：引出随机需求车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Stochastic Demand， VRPSD)。
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题 线性规划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是 整数解，则这个解就是整数规划的最优解。
如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是 整数，把线性规划的可行域切割成两部分，分别求 解两个线性规划的最优解。
如果这两个线性规划的最优解还不是整数解， 分别把每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做 “分支”。
Байду номын сангаас
定义变量如下:
建立此问题的数学模型：
4、车辆路径问题算法综述
目前，求解车辆路径问题的方法非常多，基本上可以 分为精确算法和启发式算法2大类。
精确算法是指可求出其最优解的算法，主要运用线性 规划、整数规划、非线性规划等数学规划技术来描述 物流系统的数量关系，以便求得最优决策。（运筹学 领域）
分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的 一个叫做整数规划目标函数值的“界”。分支过程 中非整数的线性规划的最优解，如果目标函数值劣 于或等于这个“界”，就停止继续分支。这个过程， 叫做“定界”。
割平面法(Cutting Planes Approach)
用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整 数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最 优解，即为所求，运算停止。如果所得到最优解不满 足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的 约束条件重新求解。这个新增加的约束条件的作用就 是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的 部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。而把所 有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割 平面。当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来 的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是 所求问题的整数最优解。即切割后所对应的松弛问题， 与原整数规划问题具有相同的最优解。
(7) 开路：引出开路车辆路径问题(Open Vehicle RoutingProblem)。
(8) 多运输中心：引出多运输中心的车辆路径问题 (Multi-Depot Vehicle Routing Problem)。
(9) 回程运输：引出带回程运输的车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Backhauls)。
网络流算法(Network Flow Approach)
图论中的一种理论与方法，研究网络上的一类最优化 问题 。1955年 ，T.E.哈里斯在研究铁路最大通量时首 先提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的 问题。1956年，L.R. 福特和 D.R. 富尔克森等人给出了 解决这类问题的算法，从而建立了网络流理论。所谓 网络或容量网络指的是一个连通的赋权有向图 D= （V、 E、C） ， 其中V 是该图的顶点集，E是有向边(即弧)集， C是弧上的容量。此外顶点集中包括一个起点和一个终 点。网络上的流就是由起点流向终点的可行流，这是 定义在网络上的非负函数，它一方面受到容量的限制， 另一方面除去起点和终点以外，在所有中途点要求保 持流入量和流出量是平衡的。