湖南四大名校联考数学试题
湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第二次联考 数学试题(含解析)
2025届湖南省名校联考联合体高三上学期第二次联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合{}2,1,4A =-，{}250B x x x =+<，则A B = （）A．{}1,4B．{}5,2--C．{}2-D．{}12．若复数5i2i+在复平面内对应的点的坐标为（）A．()2,2B．()0,2C．()1,2D．()2,2-3．已知向量a ，b满足23a b += ，a b -=r r ，则()2a a b ⋅+= （）A．3B．3-C．1D．1-4．5(21)x -的展开式中3x 的系数为（）A．80-B．40-C．40D．805．函数()sin cos f x x x =在()0,α（0α>）内没有最小值，且存在()00,x α∈，使得()00f x <，则α的取值范围是（）A．π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B．5ππ,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若α为锐角，且sin 29cos sin cos 15αααα=++-，则cos α=（）A．45B．35C．725D．35-7．已知()222log 41log 40a a a a +<<，则（）A．104a <<B．1142a <<C．122a <<D．12a <<8．已知函数()3213f x x x ax =-+，若()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得()f x 的图象在A ，B 处的切线互相垂直，且过点()0,P a -只能作1条切线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是（）A．()0,1B．()1,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C．()1,0,13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D．()1,01,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共3小题）9．下图为2024年中国大学生使用APP 偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP 的结论正确的是（）A．超过14的大学生更爱使用购物类APP B．超过半数的大学生使用APP 是为了学习与生活需要C．使用APP 偏好情况中7个占比数字的极差是23%D．APP 使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%10．已知函数()f x 满足对任意x ∈R ，都有()()()()221f f x f x f x =+-，且()01f =，则（）A．()12f =B．()26f =C．()()22f x f x ⎡⎤=⎣⎦D．()f x 是偶函数11．已知数列{}n a 满足对任意s ，*t ∈N ，都有s t s t a a a +=，且12a =，j ia a -（1i j n ≤<≤）的所有不同的值按照从小到大构成数列{}mb ，则下列结论正确的是（）A．()2112n n n n a a a a ++=+B．510b =C．{}n a 中任意3项不成等差数列D．{}m b 的前15项的和为402三、填空题（本大题共3小题）12．命题“()2,x ∞∀∈+，<.13．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了()*40n n ∈N 个人，得到如下列联表：是社交电商用户不是社交电商用户合计男性8n12n20n 女性12n8n20n合计20n 20n 40n已知0.05 3.841x =，若根据0.05α=的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n 的最小值为.14．已知函数()()2e 0xf x ax x x =-≠有3个极值点1x ，2x ，3x （123x x x <<），则a 的取值范围是；若存在{},1,2,3i j ∈，使得3j ix x >，则i x 的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A ，B ，C 三点，其中40m AC =，点B 为AC 中点，兴趣小组组长小王在A ，B ，C 三点上方5m 处的1A ，1B ，1C 观察已建建筑物最高点E 的仰角分别为α，β，γ，其中tan 1α=，tan 2β=，tan 3γ=，点D 为点E 在地面上的正投影，点1D 为DE 上与1A ，1B ，1C 位于同一高度的点.(1)求建造中的建筑物已经到达的高度DE ；(2)求111111sin sin A D B B D C ∠∠的值.16．已知函数()fx 是定义域为R 的奇函数，且0x ≥时，()f x x =.(1)求0x <时()f x 的解析式；(2)若方程()f x a =有3个不同的实根1x ，2x ，3x ，求a的取值范围及+17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12n n n n b a a S +=-.(1)求证：数列{}1n n b b +-是等差数列；(2)若10a >，23a a ≠，且{}n b 是等差数列，求证：11123341211n n a a a a a a a a a a ++++<- .18．已知*n∈N ，且1n >，()ln f x x =.(1)求()f x 的最小值；(2)求证：()121e1n n nf x n +-++≥.（参考数据231.9e 2<<）19．若数列（1n k ≤≤）满足{}0,1n a ∈，则称数列为k 项01-数列，由所有k 项01-数列组成集合k M .(1)若是100项01-数列，当且仅当32n k =-（*k ∈N ，34k ≤）时，0n a =，求数列(){}2nna -的所有项的和；(2)从集合k M 中任意取出两个数列，，记1ki i i X a b ==-∑.①求X 的分布列，并证明()2k E X >；②若用某软件产生()2k k ≥项01-数列，记事件A =“第一次产生数字1”，B =“第二次产生数字1”，若()()P B A P B A <，比较()P A B 与()P A B 的大小.参考答案1．【答案】C【详解】由250x x +<，得到5x 0-<<，所以{}50B x x =-<<，又{}2,1,4A =-，所以{}2A B =-I ，故选：C.2．【答案】C 【详解】因为5i 5i(2i)12i 2i (2i)(2i)-==+++-，其对应的坐标为()1,2，故选：C.3．【答案】D【详解】因为向量a ，b 满足23a b +=，a b -= 所以229a b += ，212a b -= ，即22449a a b b +⋅+= ，①22212a a b b -⋅+= ，②所以，-①②得：2363a a b +⋅=-，即221a a b +⋅=- ，所以()2221a a b a a b ⋅+=+⋅=-.故选：D 4．【答案】D【详解】5(21)x -展开式中含3x 的项为()()32235C 2180x x -=，所以3x 的系数为80，故选：D 5．【答案】B【详解】当πα=时，此时()1πsin 2,0,221πsin 2,,π22x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩(]π0,,20,π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()π,π,2π,2π2x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，1()0,2f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不满足存在()00,x α∈，使得()00f x <，故排除A,D当5π4α=时，此时()1πsin 2,0,221πsin 2,,π2215πsin 2,π,24x x f x x x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎤=-∈⎨ ⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，(]π0,,20,π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(]π,π,2π,2π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π5ππ,22π,42x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(),02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时不满足题意，故排除C综上所述B 正确故选：B 6．【答案】B 【详解】因为sin 29cos sin cos 15αααα=++-，所以()()()2sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1αααααααααα+-+++-=+-+-9sin cos 1cos 5ααα=++=+，所以4sin 5α=，因为α为锐角，故3cos 5α=.故选：B 7．【答案】B【详解】因为对数的定义域，得021a <<或21a >，又因为()22414210a a a +-=->,所以2414a a +>,因为()222log 41log 40a a a a +<<，所以可得021a <<,因为22log 40log 1a a a <=，可得41a >,所以1142a <<.故选：B.8．【答案】C【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为()3213f x x x ax =-+，所以()22f x x x a =-+'，由题有221122(2)(2)1x x a x x a -+-+=-有解，又222(1)11x x a x a a -+=-+-≥-，所以10a -<，即1a <，。
湖南省名校2025届高三下学期联考数学试题含解析
湖南省名校2025届高三下学期联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B 82C ．32π3D 6424．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．565．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B ．31- C ．221-D ．326．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞7． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．1858．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．119．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1210．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知函数()12x f x e -=，()ln 12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．0 B ．4C ．132e -D ．5+ln 6212．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
长沙四大名校招生数学试卷
精心整理数学试卷 1一．填空题：（每题 4 分，此题满分 32 分）1．若 ab>0，则ab ab的值等于 ____________.abab2．已知实数 a ，b 知足 a 2+4b 2-a+4b+ 5=0, 那么 -ab 的平方根是43．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分红12cm 和 21cm 两部分 ,则这个等腰三角形的底边长是 _______________.4．计算： 15 (1 1 )235．已知实数 x 、y 知足 x 2＋ 2 y ＝ 3 ，y 2＋ 2 x ＝ 3 ，且 x ≠ y ，则： x ＋ y的值是yx6．小华有若干个苹果向若干只篮子里散发，若每只篮子分 4 个苹果，还剩 20 个未分完；若每只 篮子里分放 8 个苹果，则还有一只篮子没有放够，那么小华本来共有苹果个 7．若 y ＝— 2x － 3＋ 4x 13 ，则 y 的最大值是8．已知对于 的方程：（22 3) 3( 2)4有独一解，则 m 的取值范围x mm x xm为话二．选择题：（每题 4分，此题满分 32分）电 别9．已知 a ＝355,b ＝ 444,c ＝533, 则有 ()姓名 A ．a ＜b ＜cB ．c ＜ b ＜ aC ．c ＜a ＜bD ． a ＜ c ＜ b姓 10. 假如方程 x 2校 px 1 0 p0 的两根之差是 1，那么 p 的值为（）学（Ａ） 2（Ｂ） 4（Ｃ） 3（Ｄ） 511. 假如不等式组9 x a 0的整数解仅为 1， 2， 3，那么合适这个不等式组的整数8x b 0数对（ a 、b ）共有（）（Ａ） 17 个（Ｂ） 64 个（Ｃ） 72 个（Ｄ） 81 个12. 若正整数 x,y 知足 x 2 y 2 64 , 则这样的正整数对 (x,y) A1B2C3D4SAPB2 13. 如图 ,P 是 □ABCD 内的一点 ( 不在线段 BD 上),, 则SABCD51 13 3(A) (B)(C)10(D)510514. 每面标有 1 至 6 点的三颗骰子堆成一串，如右图所示， 此中可见精心整理a 、b 的有序的个数是 ()SCPD()SABCD七个面，而精心整理十一个面是看不到的 ( 反面、底面之间的面 ) ，试问看不见的面其点数总和是 () (A)37(B)38(C)39 (D)4115. 方程 7x 2(k13) xk 2 k20 (k是实数 ) 有两个实根 、，且0＜＜ ， ＜1 1＜2，那么 k 的取值范围是 ()（A ）3＜k ＜4；（B ）－ 2＜k ＜－ 1； （C ）3＜k ＜4 或－ 2＜k ＜－ 1 （ D ）无解。
湖南省名校联考联合体2023-2024学年高三上学期第三次联考数学试题
为 an ，数列bn满足： bn n2an ，则数列bn中的取值最大的项为（ ）
A．第 3 项
B．第 4 项
C．第 5 项
D．第 6 项
二、多选题 9．下列说法正确的是（ ）
A．若a b 0 ，则 a c b c
B．若a b 0 ，则 a c b c
C．若 a
b
0 ，则 b b c2 a a c2
11．已知平面向量
a,
b,
c
满足：
|
b
|
2
|
a
|
4
，且
a
a
b
，
c
b
3 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．与向量 a 共线的单位向量为 1 a 4
B．平面向量
a,
b
的夹角为
π
3
rr C． a b 2 3
D．
c
a
的取值范围是
3,3
3
12．已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域为 R ，若 f 2 8 ，函数 f 2x 1 和
. ．
15．国庆节期间，四位游客自驾游来到张家界，入住某民宿，该民宿老板随机将标有数
字1, 2,3, 4,5, 6, 7 的 7 张门卡中的 4 张分给这四位游客，每人发一张，则至多有一位游客
拿到的门卡标有偶数数字的分配方案一共有
种.（用数字作答）
16．已知正实数
a,b
满足： 3a
27b
log 3
b a
附：
2
a
n(ad bc)2
bc da cb
d
，其中
n
a
b
c
d
.
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
湖南长沙四大高校初升高数学测试卷
湖南长沙四大高校初升高数学测试卷一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 若函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，则 f(1) 的值为（）。
- A. -2- B. 0- C. 2- D. 42. 已知等差数列 {an} 的通项公式为 an = 2n - 1，求该数列的第10 项的值为（）。
- A. 10- B. 12- C. 18- D. 193. 在等差数列 {bn} 中，已知 b1 = 2，d = 3，若 b5 = 14，则该数列的公差 d 为（）。
- A. 2- B. 3- C. 4- D. 54. 若函数 g(x) = 3x^2 - 4x + 1，则 g(2) 的值为（）。
- A. 8- B. 9- C. 10- D. 115. 若函数 h(x) = |x| + 2，则 h(-3) 的值为（）。
- A. 1- B. 2- C. 3- D. 46. 在等比数列 {cn} 中，已知 c1 = 2，q = 3，若 c4 = 162，则该数列的公比 q 为（）。
- A. 2- B. 3- C. 4- D. 57. 若函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，则 f(-1) 的值为（）。
- A. -8- B. -3- C. 0- D. 28. 已知函数 g(x) = -x^2 + 4x - 3，则 g(2) 的值为（）。
- A. -5- B. -3- C. 1- D. 59. 若函数 h(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1，则 h(0) 的值为（）。
- A. -1- B. 0- C. 1- D. 210. 若函数 f(x) = x^2 + 4x + 4，则 f(-2) 的值为（）。
- A. 0- B. 2- C. 4- D. 8二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若 (3x^2 - 5x + 2) ÷ (x - 2) = 3x - 1，则 x = __。
湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考(暨入学检测)数学试题含答案
名校联考联合体2025届高三第一次联考（暨入学检测）数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6,4,3,6,{3}A B x x x =--=-<∣，则A B = （）A.{}3,6 B.{}4,3- C.{}6- D.{}6【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的解法化简集合B ，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为{}36,4,3,6,{3}2A B xx x x x ⎧⎫=--=-<=>⎨⎩⎭∣，所以{}3,6A B ⋂=.故选：A.2.已知复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则2z =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数的几何意义，复数的乘法运算及模的求法即得.【详解】复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则222i,(2i)34i 5z z =-=-=-=.故选：D.3.已知等差数列中，23a =，前5项和510S =，则数列的公差为（）A.−2B.52-C.1-D.4-【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可求得32a =，进而根据等差数列定义求公差d .【详解】设等差数列的公差为53,510d S a == ，322a a d ∴=+=，又23,1a d =∴=- .故选C.4.马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（）A.1176π平方英寸B.294π平方英寸C.245π平方英寸D.196π平方英寸【答案】B 【解析】【分析】两个半球的表面积之和为球的表面积和两个以球半径为半径的圆面积.【详解】由题意可知球的半径7r =，则两个半球的表面积之和为224π2π294πr r +=平方英寸.故选：B.5.已知向量()()1,2,1,1a b ==-，若(),c x y = 满足()c a + ∥b ，则x y +=（）A.-3B.2C.-5D.4【答案】A 【解析】【分析】根据向量运算，即可求得正确答案.【详解】设向量(),c x y = ，则()1,2c a x y +=++，因为()c a +∥b ，所以12x y +=--，故3x y +=-.故选：A .6.已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A.3a >-B.49103a -<<-C.4933a -<<- D.103a -<<-【答案】D 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，再求出()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的a 值范围.【详解】函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+，求导得226(1)2()61x a x f x x a x x+--'=-+-=，由2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，得()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令()()()2612,020h x x a x h =+--=-<，则()h x 在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，因此2Δ(1)4620(1)6120(2)642(1)20a h a h a ⎧=-+⨯⨯>⎪=+--<⎨⎪=⨯+-->⎩，解得103a -<<-，所以实数a 的取值范围是103a -<<-.故选：D7.已知1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，Q 为双曲线C左支上一点，11π,23OF Q QF ∠==，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2C.D.13+【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的性质及余弦定理计算可得.【详解】设2F 为双曲线的右焦点，由余弦定理可得2222222121121π111132cos42234224QF F F QF F F QF c c c c c =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以22QF c =，由双曲线的定义可得212QF QF a -=，即1222c c a -=，故双曲线C 的离心率132c e a +===.故选：D.8.若5π,,2π,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos sin cos 2cos cos 02222βγβγβγβγαα+-+--=-=，则()sin αβ-=（）A.12±B.12C.32±D.2-【答案】D 【解析】【分析】观察可知22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+，因此运用角的变换及两角和的正弦、余弦公式即可化简题目所给条件，变形后再平方，两式相加即可得到()1cos 2αβ-=，再根据同角三角函数的基本关系求解即可，要注意角的范围.【详解】因为22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+所以sin sin sin cos cos sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭①，sin sin sin cos cos sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即sin sincos cos sin 2222γββγγββγγ+-+-=-②，①-②得2cos sin sin sin 22βγβγβγ+-=-，所以sin 2cos sin sin sin sin 022βγβγααβγ+--=-+=，同理cos cos cos cos sin sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=-⎪⎝⎭③，cos cos cos cos sin sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即cos cos cos cos sin sin 222222γββγγββγγββγγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭④，③+④得2coscos cos cos 22γββγβγ+-=+所以cos 2cos cos cos cos cos 022βγβγααβγ+--=--=，所以sin sin sin ,cos cos cos αβγαβγ-=--=，两式平方相加得()22cos 1αβ--=，所以()1cos 2αβ-=，因为sin sin sin 0αβγ-=-<，且sin y x =在5π2π,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以5ππ2π,022αβαβ<<<-<-<，所以()sin 2αβ-=-.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.中国作为全球最大的产茶国和茶叶消势市场，茶叶行业长期保持平稳问好发展的趋势，下表为2014年—2023年中国茶叶产量（单位：万吨），根据该表，则（）年份2014201520162017201820192020202120222023产量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中国茶叶产量年增长率大于10%B.2014年—2023年中国茶叶产量的极差是150.1C.2014年—2023年中国茶叶产量的60%分位数是277.7D.2019年—2023年中国茶叶产量的平均数大于310【答案】ABD 【解析】【分析】对于AB ，计算出增长率或极差后可求判断AB 的正误，对于C ，计算出60%分位数后可判断其正误，对于D ，计算出平均数后可判断其正误.【详解】对于A ，2015年中国茶叶产量年增长率为227.7204.922.811.1%10%204.9204.9-=≈>，故A 正确；对于B ，2014年—2023年中国茶叶产量的极差是355.0204.9150.1-=，B 正确；对于C ,1060%6⨯=，所以60%分位数是2019年与2020年茶叶产量的平均数，即277.7293.2285.452+=，C 错误；对于D ，2019年-2023年中国茶叶产量的平均数为：277.7293.2318.0335.0355.0315.783105++++=>，D 正确.故选：ABD.10.已知2m n >，且222log ,log 1,2log 2m x m y n z n ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，则（）A.若x y =，则12n >B.若x y =，则m n +C.若x y z ==，则422410m m m +-+=D.若x y z ==，则23204n n -+>【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，根据条件得到()22log log 2m n =，利用2log y x =的性质，即可求解；选项B ，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项C ，根据条件，得到2log 02m n ⎛⎫+>⎪⎝⎭，从而有22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求解；选项D ，利用y z =，得22221322424m m n n n n ⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】对于选项A ，由x y =得，()222log log 1log 2m n n =+=，又2m n <，可得21m n ⋅=，所以12n m =，又01m <<，所以12n >，故选项A 正确；对于选项B ，易知，0,0m n >>，所以m n +≥=2m n ==时取等号，所以选项B 错误；对于选项C ，由选项A 知1122n m =>，所以11222m m n m +=+>，得到2log 02m n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得422410m m m +-+=，所以选项C 正确；对于选项D ，由y z =得到，22221322424m m n n n n⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，得23204n n -+>，所以选项D 正确.故选：ACD.11.已知首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130n n S S +-=，设数列{}n n S a -的前n 项和为n T ，则（）A.{}n S 为等比数列B.19n n a -=C.1819n n T -+= D.()182n n a S n -= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用等差等比数列的性质，即可求得答案.【详解】由题意可得130n n S S +-=，即0===，0==，则1n n S S +=，则10n a +=，这与0n a >矛盾，所以不成立；=，则1119,1n n S S S a +===，所以数列{}n S 是首项为1，公比为9的等比数列，即19n n S -=，故A 正确；由19n n S S +=，可得()192n n S S n -=≥，两式相减得，19n n a a +=，且1n =时，219S S =，即1219a a a +=，得28a =，那么2189a a =≠，故21,1,89,2,n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩故B 错误；当1n =时，110S a -=，当2n ≥时，()()()()()11221212n n n n n T S a S a S a S S S a a a =-+-++-=+++-+++ ()118191991119198n n n --⎡⎤⨯---⎢⎥=-+=--⎢⎥⎣⎦，当1n =时，10T =符合上式，故1918n n T --=，即1819n n T -+=，故C 正确；易得2n ≥时，18n n a S -=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.7()x y -的展开式中52x y 的系数为__________.【答案】21【解析】【分析】根据二项式7()x y -的展开式的通项717C (1)r r rr r T x y -+=-，求解问题.【详解】二项式7()x y -的展开式的通项77177C ()C (1),0,1,2,,7rrr rr r r r T xy x y r --+=⋅⋅-=-= ，所以7()x y -的展开式中52x y 项的系数为227C (1)21⨯-=.故答案为：21.13.设抛物线212y x =的焦点为F ，经过点()4,1P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则AF BF +=__________.【答案】14【解析】【分析】设1,1,2,2，根据抛物线的定义，得123,3AF x BF x =+=+，又根据中点坐标公式，可得128x x +=，代入即可得到()126AF BF x x +=++的值．【详解】由题意可得()3,0F ，设1,1,2,2，抛物线的准线：3x =-，过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,C D ，根据抛物线的定义，得123,3AF AC x BF BD x ==+==+，故()126AF BF x x +=++，因为AB 的中点为()4,1P ，所以()12142x x +=，可得128x x +=，所以()12614AF BF x x +=++=.故答案为：14.14.在三棱锥P ABC -中，2,AB BC CA PA PB ====，二面角P AB C --的大小为π3，则222PA PB PC ++最小时，三棱锥P ABC -的体积为__________.【答案】12【解析】【分析】本题主要利用余弦定理、二面角以及直角三角形的性质，即可求得一元二次函数的最小值，进而求得三棱锥P ABC -的体积.【详解】如图，取AB 的中点D ，连接,PD CD ，设PD a =，则2221PA PB a ==+，CD =PDC ∠是二面角P AB C --的平面角，所以π3PDC ∠=，在PDC △中，由余弦定理可得223PC a =+-，所以2222231919353644PA PB PC a a ⎛++=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当36a =时取等号，此时三棱锥P ABC -的体积1π1sin 3336212ABC V PD S =⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：12.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()::5:7:6a b b c c a +++=.（1）求cos A ；（2）若点D 为AB 的中点，且CD =ABC V 的面积.【答案】（1）78（2）【解析】【分析】（1）根据比例，设出5(0)a b t t +=>，联立解得,,a b c 关于t 的表达式，再利用余弦定理求值即可；（2）结合已知条件与（1）中结论，在ACD 中利用余弦定理可得t 的值以及sin A 的值，进而可知ABC V 中边,b c 的值，再由三角形面积公式求值即可.【小问1详解】因为()()()::5:7:6a b b c c a +++=，设5(0)a b t t +=>，则7b c t +=，6c a t +=，联立解得2a t =，3b t =，4c t =，所以由余弦定理得222222291647cos 2248b c a t t t A bc t +-+-===.【小问2详解】在ACD 中，7cos 8A =，CD =，3AC b t ==，122AD c t ==，由余弦定理得22710942328t t t t =+-⨯⋅⋅，解得2t =（负值舍去），所以36b t ==，48c t ==，因为0πA <<，所以sin 8A ==，所以11sin 68228ABC S bc A ==⨯⨯⨯= 16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()2P k χ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.841 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）认为是否喜欢游泳与性别无关（3）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.【小问1详解】喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100【小问2详解】零假设0H :假设是否喜欢游泳与性别无关，()2100251525356040505025<10.8286χ⨯-⨯=⨯=⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.【小问3详解】X 的可能取值为0，1，2，3，3(3,).5X B 3213283236(0),(1)C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23233254327(2)C ,(3)551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列为X 0123P 812536125541252712539()355E X =⨯=.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为，且C 的离心率为2.（1）求C 的标准方程；（2）若()30A -,，直线:1(0)l x ty t =+>交椭圆C 于,E F 两点，且AEF △，求t 的值.【答案】（1）22142x y +=（2）t=【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解；（2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解.【小问1详解】由题意得：22cc ea===，即2c a==，则2222b a c=-=，所以C的标准方程为：22142x y+=.【小问2详解】由题意设()()1122,,,E x yF x y，联立221142x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得：()222230t y ty++-=，则()222Δ412216240t t t=++=+>，则12122223,22ty y y yt t+=-=-++，可得1222y yt-=+，设直线l与x轴的交点为()1,0D，且()3,0A-，则()134AD=--=，故1221246222AEFS AD y yt=⋅-=⨯=+t=.18.已知正四棱柱1111ABCD A B C D-底面ABCD为边长为3的正方形，16AA=，点,,E F G分别在线段11111,,A D AAB C上，且1122A F A E==，132C G=，点H在线段1BB上且EF GH∥.（1）求锐二面角1A FH E --的余弦值；（2）求平面EFHG 将四棱柱分割成两个多面体的体积比.【答案】（1）34623（2）111119719D EFAD C GHBCA EFB GHV V --=【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，利用EF GH ∥可求得点()3,3,3H ，再求出平面11A B HF 与平面EFHG 的法向量，利用向量夹角的坐标表示求出二面角1A FH E --的余弦值；（2）利用1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，可求得11A EF B GH V -的体积，再利用正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积可求得剩余部分的体积，作比即可.【小问1详解】如图，以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，依题意可得，()13,0,6A ，()13,3,6B ，()3,0,4F ，()2,0,6E ，3,3,62G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()3,3,H a ，则()1,0,2EF =- ，3,0,62GH a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，EF GH ∥，∴EF GH ∥，∴36212a -=-，解得3a =，即()3,3,3H ，易知平面11A B HF 的一个法向量()11,0,0n = ，且()0,3,1FH =- ，设平面EFHG 的一个法向量2 =s s ，由2200n FH n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得3020b c a c -=⎧⎨-=⎩，令1b =，可得6a =，3c =，则()26,1,3n = ，∴121212cos ,23n n n n n n ⋅== ，故锐二面角1A FH E --的余弦值为34623.【小问2详解】易知1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，则()1111111113A EF B GH K B GH K A EF B GH A EF V V V S B K S A K ---=-=⋅-⋅ ，111123A A K K EB B G == ，16A K ∴=，19B K =，∴111131193912632224A EFB GH V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，111111111919733644ABCD A BCD A EF B G D EFA H D C GHBC V V V ---=-=⨯⨯-=，体积比111119719D EFAD C GHB A EF B CGH V V --==.19.若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，使得对任意x ∈R ，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，则称()f x 是类周期为T 的“类周期函数”.（1）若函数()f x 是类周期为1的“类周期函数”，证明：()f x 是周期函数；（2）已知()2sin (0)f x x x ωω=->是“类周期函数”，求ω的值及()f x 的类周期；（3）若奇函数()f x 是类周期为(0)T T >的“类周期函数”，且()()31f T f T =，求T 的值，并给出符合条件的一个()f x .【答案】（1）证明见解析（2）()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2（3）T =()2πsin 8=f x x 【解析】【分析】（1）利用“类周期函数”的定义，即可证明；（2）利用已知条件()()2sin 0f x x x ωω=->是“类周期函数”以及奇函数的性质，即可证明；（3）利用已知条件，求出()()3,f T f T 的关系，进而求出T 的值，进行作答.【小问1详解】证明：因为()f x 是类周期为1的“类周期函数”，所以()()()11f x f x f x -++=，①用1x +代换x 得()()()21f x f x f x ++=+，②①+②得()()21f x f x +=--，所以()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为6的周期函数.【小问2详解】因为()f x 是“类周期函数”，所以存在非零常数T ，使得对任意x R ∈，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，即()()()()2sin 2sin 2sin x T x T x T x T Tx T x ωωωωω---++-+=-，整理得42sin cos 2sin x x T Tx T x ωωω-=-，所以42,2cos T T Tω=⎧⎨=⎩所以2,cos21T ω==，所以()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2.【小问3详解】因为奇函数()f x 是类周期为T 的“类周期函数”，所以()00f =，且()()()f x T f x T Tf x -++=，取x T =，得()()()02f f T Tf T +=，所以()()2f T Tf T =，取2x T =，得()()()()232f T f T Tf T T f T +==，所以()()()231f T T f T =-，因为()()()31,0f T f T f T =≠，所以211,T T -==，所以((()f x f x x -++=，设()sin f x ax =，则()()sin sin ax ax ax ++=，整理得2sin ax ax =，所以2=，取(),sin 88a f x x ==.【点睛】关键点点睛:此题重点在于把握理解新定义“类周期函数”，并结合周期函数、三角函数的性质解题.。
湖南名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题(解析版)
名校联考联合体2024年秋季高二第二次联考数学时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 图中的U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，则表示()()UUA B ∩ ）的阴影部分是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解. 【详解】对于A ，图中阴影部分表示A B ∩，故A 错误； 对于B ，图中阴影部分表示()A B A B ，故B 错误； 对于C ，图中阴影部分表示()()U U A B ∩ ，故C 正确； 对于D ，图中阴影部分表示A B ，故D 错误. 故选：C. 2. 若复数z 满足12i1i z+=−，则z =（ ） A. 13i2−+ B.13i2− C.13i2−− D. 13i 2+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算法则求出复数z ，再求其共轭复数即得. 【详解】因为12i1i z+=−，所以()()()()12i 1i 12i 13i1i1i 1i 2z +++−+==−−+， 所以13i2z −−=.故选:C ．3. 某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm 、168cm 、171cm ，估计该校学生的平均身高是（ ）A. 166.4cmB. 168.2cmC. 169.1cmD. 170.0cm【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数，计算平均数即可. 【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人， 用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本， 则高一、高二及高三年级分别抽10人，8人，12人，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm 、168cm 、171cm ， 所以该校学生的平均身高为10165816812171168.230×+×+×=()cm .故选：B4. 已知直线1l ：()2220a x y a −+−=，直线2l ：220x y −−=，若12//l l ，则（ ） A. 1或1− B. 2或−2 C. 2 D. −2【答案】C 【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为直线1l ：()2220a x y a −+−=，直线2l ：220x y −−=， 若12l l ∥，则()()222042a a −−−×=≠−− ，解得22a a =± ≠− ，所以2a =，故选：C5. 若a ，b ，c是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（ ）A. a b − ，b c + ，c a +B. a c −+ ，−− b c ，a b +C. a b + ，b c − ，a c +D. a b + ，a b − ，c【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案.【详解】A 选项：()a b b c c a −++=+，所以a b − ，b c + ，c a + 是共面向量；B 选项：()()a cbc a b a b −++−−=−−=−+，所以a c −+ ，−− b c ，a b + 是共面向量； C 选项：()a b b c a c +−−=+， 所以a b + ，b c − ，a c + 是共面向量；D 选项：令a b +=()x a b −+ yc ，显然,x y 无解，故不是共面向量. 故选：D6. 已知0m >，0n >464m n+，则n 的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】【分析】两边同乘m ，得到644nm n+，令t =326440t n t n −+=在(0,)+∞有解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为0,0m n >>464m n +，两边同乘m ，可得644n m n +，令t =，则0t >，可得22644n t t n=+，即326440t n t n −+=， 所以关于t 的二次方程326440t n t n −+=在(0,)+∞有解，令()23644f t t n t n =−+，可知其图象开口向上，对称轴为30128n t =>，原题意等价于6Δ46440n n −××>，解得4n ≥，当4n =时，方程2161640t t −+=，即24(21)0t −=， 解得12t =，此时14m =，满足题意，所以n 的最小值为4.故选：C.7. 圆1C ：()()22121x y +++=与圆2C ：()()22224x y −+−=的内公切线长为（ ）A. 3B. 5C.D. 4【答案】D 【解析】【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为y 轴，求公切线的长即可. 【详解】如图：由图可知圆1C 与圆2C 的内公切线有一条为y 轴， 则公切线的长为|AAAA |=4， 方法二：125C C =，4故选：D8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()21f x f x +=，若()()01,2f ∈，则()2026f 的取值范围为（ ）A. ()2,1−−B. []1,4C. 1,12D. 11,42【答案】C 【解析】【分析】由已知可得()4()f x f x +=，即()f x 的周期为4，可得()()012026f f =，即可求范围. 【详解】解：()2()1f x f x +=， 1(2)()f x f x ∴+=，即11(4)()1(2)()f x f x f x f x +===+， 即()4()f x f x +=， 所以4上函数()f x 的一个周期，()0(1,2)f ∈ ，()11(2026)2,1(0)2f f f∴==∈.故选：C.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下是方程πtan 23x+的解的为（ ） A. 0B.π3C.π2D. π【答案】ACD 【解析】分析】解正切型方程判断即可.【详解】因为πtan 23x +，所以ππ2π33x k +=+，Z k ∈， 所以π2k x =，Z k ∈，所以π0,,π2是方程的解，故选：ACD10. 已知直线l ：()1kx y k −+−，圆C ：()()22121x y ++−=，以下正确的是（ ）A. l 与圆C 不一定存在公共点B. 圆心C 到lC. 当l 与圆C 相交时，304k −<< D. 当1k =−时，圆C 上有三个点到l【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据直线与圆的位置关系，求圆心C 到直线l 的距离判断；对于B ，由于直线恒过定点()1,1P ，所以当时CP l ⊥，圆心C 到直线l 的距离最大，从而可求出其最大值；对C ，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D ，求出圆心到直线的距离，进而判断.【【详解】对于A ，圆心C 到直线l的距离为d当1d r >=1，解得0k >或43k <−，此时直线l 与圆相离，没有公共点，故A 正确；对于B ，因为直线():10l kx y k −+−=，即()11k x y −=−，所以直线l 过定点()1,1P ， 当时CP l ⊥，圆心C 到直线l 的距离最大，最大值为CP =，故B 正确；对于C ，当直线l 1，解得403k −<<，故C 错误；对于D ，当1k =−时，直线:20+−=l x y ，圆心C 到直线l，所以圆上有三个点到直线l的距离为1−，故D 正确. 故选：ABD.11. 当[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 时，记()n f x =，()lg a g x =，若0x >，0y >，则（ ） A. ()()()f xy f x f y =+B. ()()x f f x f y y=−C. ()()()()(){},1g xy g x g y g x g y ∈++− D. ()()()(){},1x g g x g y g x g y y∈−−+【答案】CD 【解析】【分析】先明确题意，[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 表示一个数的科学计数法，()n f x =，()lg a g x =，然后找一个数[)10,1,10,my b b m =×∈∈Z ，然后利用科学计数法表示,xxy y，然后分别写出对应的函数值,判断每一个选项即可.【详解】我们先理解题意，[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 表示了一个数科学计数法；其中()n f x =，()lg a g x =不妨令另一个数为[)10,1,10,my b b m =×∈∈Z ，则()f y m =，()lg b g y = [)10,1,100m n xy ab ab +=×∈的所以当[)1,10ab ∈时，得()()()f xy m n f x f y =+=+，()()()lg lg lg g xy ab a b g x g b ==+=+当[)10,100ab ∈时，得[)110,1,1001010m n ab abxy ++=×∈， 此时()()()11f xy m n f x f y =++=++，()()()lg lg lg 1110abg xy a b g x g b ==+−=+−， 故选项A 错误；选项C 正确；110,,1010n m x a a y b b − =×∈， 所以当1,110a b ∈时，()1101010,1,10n m x a a y b b −−=×∈， 此时()()11x f n m f x f y y =−−=−−，()()10lg lg lg 11x ag a b g x g y y b ==−+=−+ ， 当[)1,10ab ∈时，10n m x a y b −=×，此时()()()f xy n m f x f y =−=−， ()()lg lg lg x ag a b g x g y y b ==−=−，故选项B 错误，选项D 正确； 故选:CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 直线240x y −−=的截距式方程为________. 【答案】142x y−= 【解析】【分析】直接化简计算即可.【详解】直线240x y −−=的截距式方程为：142x y−=. 故答案为：142x y−= 13. 已知空间中,,A B C 三点的坐标分别为(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)−−，则点C 到直线AB 的距离为________.【解析】【分析】根据题意，求得(1,1,2),(2,0,1)AB AC =−−=−，结合点到直线的向量公式，即可求解.【详解】由点(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)A B C −−，可得(1,1,2),(2,0,1)AB AC =−−=−，所以点C 到直线AB的距离为d ==， 所以点C 到直线AB.14. 从球O 外一点P 作球O 表面的三条不同的切线，切点分别为,,A B C ，令APB α∠=，BPC β∠=，CPA γ∠=.若2PA =，π3αβ==，π2γ=，则球O 的表面积为________. 【答案】16π 【解析】【分析】根据题意，得到222AB BC AC +=，得到ABC 为直角三角形，取AC 的中点E ，由截面圆的性质，可得OE ⊥平面ABC ，再由PE ⊥平面ABC ，得到,,,A P C O 四点共面，结合四边形APCO 为正方形，求得2OA =，得到球O 的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，从球O 外一点P 作球O 表面的三条不同的切线， 且2PA =，π3APB BPC ∠∠==，π2CPA ∠=， 可得2PA PB PC AB BC =====，AC =则222AB BC AC +=，可得AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形， 取AC 的中点E ，连接,OE BE ，由截面圆的性质，可得OE ⊥平面ABC ， 在PAC 中，PA PC =，且AC 的中点E ，可得PE AC ⊥，又由2PE BE PB ===，所以222PE BE PB +=，所以PE BE ⊥，因为AC BE E = ，且,AC BE ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ， 所以OE 与PE 重合，所以,,,A P C O 四点共面，连接,,,OA OB OC OP ，则,,OA PA OA PB OA PC ⊥⊥⊥，所以四边形APCO 为正方形，所以2OA =，即外接球的半径为2R =， 所以球的表面积为24π16πS R ==. 故答案为：16π.四、解答题：本题共.5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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湖南省耀祥中学高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：（本大题8小题，每小题4分，共32分）
1、为了得到函数的图象，可将函数的图象（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位
2、若，则的值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
3、函数的最小正周期是（）
A. B. C. D.
4、已知向量=(x ,y), =( -1,2 )，且+=（1，3），则等于（）
A 2
B 3
C 5
D 10
5、已知向量等于（）
A． B．1 C． D．2
6、如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为
（）
A．B． C． D．
7、如图所示，已知则下列等式中成立的是
（A）（B）（C）（D）
8、定义在R上的偶函数满足且在上是减函数，又
是锐角三角形的两个内角，则（）
A、 B、C、 D、
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分．
9.求值:sin630°= ．
10、如图所示，在平面直角坐标系，角α的终边与单位圆交于点A，已
知点A的纵坐标为，则= 。
11、已知=(－2，5)，||=||，且与互相垂直，则的坐标是___________。
12、已知,这的值为
13、若向量e1与e2满足：|e1|=2|e2|=2，（e1+2e2)2=4，则e1与e2所夹的角为．
14、右图是的图象，
则其解析式是；
15、已知上有两个不同的零点，则m的取值范围为___________
三、解答题：本大题6小题，每小题10分,共60分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
16. 已知 ,.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
17. 一个扇形的周长为，试问：当扇形的半径和圆心角各取何值时，此扇形的面积最大？
18.已知，求的值。
19、设，对于任意都有, 求的范围。
20. 设、是两个不共线的非零向量（）
（1）记那么当实数t为何值时，
A、B、C三点共线？
（2）若，那么实数x为何值时的值最小？
21. 已知向量，且，
求：（1）和的取值范围；
（2）函数的最小值。