深圳市2018届高三四校联考理科数学(含答案)
广东省深圳市南山区2018届高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题 Word版含解析
高三教学质量监测数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合，，则A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】，选C.2. 复数z满足z(1﹣i)＝|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，所以复数z的共轭复数在复平面内的对应点为，位于第四象限，选D.3. 若是真命题，是假命题，则A. 是真命题B. 是假命题C. 是真命题D. 是真命题【答案】D【解析】试题分析：因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.考点：真值表的应用.4. 在中，若，则A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理得，选A.5. 下列函数为偶函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：是奇函数，，则，，故函数是奇函数，是非奇非偶函数，，是偶函数，故答案为D.考点：函数奇偶性的判断.6. 函数y=sin(2x+)•cos(x﹣)+cos(2x+)•sin(﹣x)的图象的一条对称轴方程是A. x=B. x=C. x=πD. x=【答案】C【解析】y=sin(2x+)•cos(x﹣)+cos(2x+)•sin(﹣x) =sin(2x+)•cos(﹣x)+cos(2x+)•sin(﹣x)，所以x=π是其一条对称轴方程，选C.7. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=A. 9B. 10C. 12D. 13【答案】D【解析】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13．考点：分层抽样方法视频8. 设满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】先作可行域，而表示两点P（x,y）与A（-6,-4）连线的斜率，所以的取值范围是，选D.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9. 已知F1（﹣3，0）、F2（3，0）是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，当时，△F1PF2的面积最大，则有A. m=12，n=3B. m=24，n=6C. m=6，n=D. m=12，n=6【答案】A【解析】 P为短轴端点B时△F1PF2的面积最大，此时，因此，选A.10. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为5，2，则输出的n=A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，，继续循环；结束输出.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.11. 在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为A. 11πB.C.D.【答案】D【解析】∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC=，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．则有该三棱锥的外接球的半径R=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=．选D.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．12. 设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是A. （﹣∞，l n2﹣1）B. （﹣∞，l n2﹣1]C. （1﹣l n2，+∞）D. [1﹣l n2，+∞）【答案】C【解析】∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即在（0，+∞）上有两根，即y=t和g（x）=﹣lnx在（0，+∞）有2个交点，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，故选C：．点睛：由于函数y＝f x的零点就是方程f x＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
广东省深圳市2018届高三年级第二次调研考试 数学(理科)答案 打印版
深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案1．解析：2{|10}{|1},{|4}{|22}A x x x x B x x x x =-<=<=<=-<<，所以(2,1)A B =-2i 2==，所以22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z -==-∴=+++-． 3．解析：甲、乙均被选中的概率为1335310C P C ==．4．解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1313333a S a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =-，所以41434436(2)02S a d ⨯=+=⨯+⨯-= 5．解析：因为点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，所以22131,44m m +>∴>，圆心(0,0)到直线20mx y -=的距离1d r =<=<=6其体积11152122112323V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．7．解析：执行程序框图，1,122i S i S i==→=→→=→→=是否4251052101216i S i S i →=→→=⨯=→→=→→=⨯+=→→=→是否否否是2214272421858285170S i S i S →=⨯=→→=→→=⨯+=→→=→→=⨯=否否否是 921701341i S →→=→→=⨯+=→否否输出341S =．8．解析：知识点：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，根据题意，222242m m a b b ⎧+-=+⎪⎨=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2c ==，离心率2c e a==．9． 解析：由(4)(4)f x f x -=+，可知函数()f x 是一个周期函数，周期为8，因为()f x 是偶函数，所以当40x -≤≤时，22()()()2()2f x f x x x x x =-=--⋅-=+，当1x =-时，()f x 有最小值，区间[4,0]-与区PADM N间[12,16]刚好相差2个周期，11615-+=，所以在区间[12,16]上，()f x 有最小值(15)f ．10．解析：()()cos f x x x x x x ωωωωωϕ⎫=-==-⎪⎪⎭，其中sin ϕ=，cos ϕ=()cos()f x x ωϕ'=-，设1122(,0),(,0)P x P x ，不妨设 120,x x ωϕωϕπ-=-=，则11()cos(f x x ωϕ'=-，22()cos()=f x x ωϕ'=--，因为该曲线在点12,P P 处的切线互相垂直，所以212()()31f x f x ω''⋅=-=-，又因0ω>，所以ω=． 11． 解析：将二面角A PO D --展开成一个平面，则当AN MN +取得最小值时，A N M 、、三点共线，且AM PD ⊥，由题可知，此时M 为PD 的中点，所以2PA AD ==，PO =，不妨设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，球心为O '．显然O '在线段PO 上，注意到BOO '△中，有222O B O O BO ''++，即22)1R R =+，解得R =P ABCD -的 外接球的表面积为21643R ππ=． 12．解析：对n N *∀∈，函数()n f x 都不单调，即函数()n f x 存 在极值点，故必存在0(,1)x n n ∈+，使得0001()10,1nn n a f x x a x -'=+=∴=-， 经检验，已知当11n n a n <-<+时，01n x a =-为函数()n f x 的极值点．即12,n n a n +<<+<<，,n b = 所以数列{}n b 的前100项依次为：33336383-21943371,1,,1,2,2,,2,3,3,,3,4,4,,4=-=个个个个，10016219337438307S ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．13．解析：345a b t a ⋅=+==，解得12t =．14．解析：作可行域如图所示，由2z x y =+可得1122y x z =-+表示斜率为12-，纵截距为12z 的直线，作直线12y x =-并平移，当直线过点(1,1)A a --时，直线在y 轴上的截距最大，此时 max 12(1)125z a a =-+⨯-=-=，解得2a =-．15．解析：当1x =时，得各项系数和为(3)81n-=，所以4n =，则展开式中的常数项为2224496C x x ⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭．2x y --O10+=x y a ++16易知(A 下求TC 设线段TC TB -17又因为B ⎛∈ ⎝ (A ∈ （2且AC S ∴△即(2n n 在△可得223m n mn ++=，…② ………………………………10分 联立①②可解得1m n ==，即1BD =．……………………………12分18. 解：（1）ABD △为等腰直角三角形，且90,BAD AB AD ∠=︒∴=，连接AF ，因为点F 是BD 的中点，AF BD ∴⊥，因为侧面ABD ⊥底面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =，AF ∴⊥平面BDC ，…………………………………………………………………………………………1分 BC ⊂ 平面,BDC BC AF ∴⊥，…………………………………………………………………………2分设BC 中点为N ，连接DN ，由4BC BG =可知点G 是BN 的中点，又点F 是BD 的中点， 于是//FG DN ，……………………………………………………………………………………………3分,,CD BD BC DN BC FG =∴⊥∴⊥ ，………………………………………………………………4分 ,,,BC AF BC FG AF FG F BC ⊥⊥=∴⊥ 平面AFG ，又MF ⊂平面AFG ，BC MF ∴⊥．……………………………………………………………………5分 （2）连接MN ，FN 是BDC △的中位线，//FN CD ∴，CD ⊂ 平面,ACD FN ⊄平面,//ACD FN ∴平面ACD ，…………………………………………6分 //MF 平面,//ACD FN 平面,ACD MF FN F = ，且MF ⊂平面MNF ，FN ⊂平面MNF ，∴平面//MNF 平面ACD ，又平面MNF 平面AGC MN =，平面ACD 平面AGC AC =，//MN AC ∴，且13GM GN GA GC ==，…………………………………………………………7分 BDC △为等腰直角三角形，且CD BD =，CD BD ∴⊥，//FN CD ，FN BD ∴⊥， 又AF ⊥平面BDC ，FN FD FA ∴、、两两垂直，以F 为坐标原点，以FN FD FA 、、所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设1FD =，从而(0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)F D C A B N -，G 是BN 的中点，111111111,,0,,,1,,,,222233663GM G GA GM GA GA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-∴=-=∴==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，易知111,,333M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵E 是AC 的中点，111,,22E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，11111,,,1,,33322FM FE ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………8分设平面EMF 的法向量为(,,)n a b c = ，则111033311022n FM a b c n FE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩，……………………9分解得21,33a cbc =-=，令3c =，(2,1,3)n ∴=- ，…………………………………………10分由（1）可知BC ⊥平面AFG ，即平面MFG 的一个法向量为(2,2,0)BC =，………………11分Bcos ,n BC n BC n BC⋅∴==⋅，易知二面角G MF E --所以二面角G MF E --的余弦值为．19．解：（1）易知123450.50.613, 1.0455t y +++++++====，……………………1分 5152221518.853 1.04ˆ0.3255535i ii ii t y t ybtt ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，…………………………………………………2分 ˆˆ 1.040.3230.08ay bt =-=-⨯=，…………………………………………………………3分 则y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.320.08yt =+，………………………………………………4分 当6t =时，ˆ 2.00y=，即2018年4月份参与竞拍的人数估计为2万人．………………5分 （2）（i ）依题意可得这200人报价的平均值x 和样本方差2s 分别为：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………6分222222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15(5.5 3.5)0.1s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ 2(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯=，…………………………………………………………………………8分（ii ）2018年4月份实际发放车牌数量为3174，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为3174100%15.87%20000⨯=，………………………………………………………………………………9分根据假设，报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且23.5, 1.7μσ==， 1.3σ∴=≈， 又1()()0.1587,( 4.8)0.15872P x P x P x μσμσμσ--<<++==∴=≥≥，………………11分所以可预测2018年4月份竞拍的最低成交价为4.8万．………………………………………………12分 20．（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线l 的方程为2y kx p =-（易知l 的斜率必存在），由222x py y kx p ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2331212220,2,2x kpx p x x kp x x p -+=∴+==，…① …………………2分 1212121,1y y k k x x =∴= ，即1212x x y y =，………………………………………………………………3分 又221212()()y y kx p kx p =--，即2241212(1)()0k x x kp x x p --++=，…②将①代入②，整理得4320p p -=，又0p >，解得2p =．…………………………5分亦可由2212121222x x x x y y p p==⋅，得2124x x p =，2342,2p p p ∴=∴=． （2）设切点2111,2x T x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22x py =，得22x y p =，得x y p '=，所以切线斜率11x k p =，切线方程为 2111()2x x y x x p p -=-，将2(0,)M p -代入，得2312x p =，所以22112x y p p==，由对称性易知直线12TT 的方程为2y p =，…………………………………………………………………7分设直线l 的方程为2y kx p =-，设33(,)N x y ，因为点N 为直线12TT 与弦AB 的交点，由22y p y kx p⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得232p x k =，… ③ …………………………………8分 因为,MA MN MB MN λμ==，显然0,0λμ>>，331211MN MNx x x x MA MB λμ∴+=+=+，……………………………………………………………………10分 又123,,x x x 显然同号，33123121211x x x xx x x x x λμ+∴+=+=⋅，…………………………………………11分 由①、③可知，21233122222x x p kpx x x k p+⋅=⋅=，11+2λμ∴=，即11+λμ为定值2．………………………………………………………………12分21．解：（1）由()ax f x xe =，求导得()(1)ax f x ax e '=+，……………………………………1分①当0a =时，()0ax f x e '=>，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，因此函数()f x 无极值；…2分 ②若0a >，令()(1)0ax f x ax e '=+=，得1x a=-， 当1x a <-时，()0f x '<，当1x a>-时，()0f x '>， 函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减；函数()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以函数()f x 存在极小值，极小值为11f a ea ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极大值．…………………………3分③若0a <，令()(1)0ax f x ax e '=+=，得1x a=-， 当1x a <-时，()0f x '>，当1x a>-时，()0f x '<， 函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递增；函数()f x '在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；所以函数()f x 存在极大值，极大值为11f a ea ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极小值．…………………………4分 （2）由题意有ln 1xxe x bx --≥恒成立，即ln 1xx b e x x--≤恒成立，……………………5分 设ln 1()(0)xx g x e x x x =-->，则22221ln 1ln ()x xx x e x g x e x x x-+'=-+=，………………6分 设2()ln x h x x e x =+，下面证明()0h x =有唯一解．易知()h x 单调递增，且(1)0h e =>，所以若()h x 有零点x ，则01x <<， 令()0h x =，可得ln xxxe x=-，(01)x << （※） 注意到ln ln ln (ln ),(01)x xxe f x x x--=-=-<<， 所以方程（※）等价于()(ln )f x f x =-，(01)x <<……………………………………………………8分 又由（1）可知，当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，又当01x <<时，ln (0,)x -∈+∞， 所以方程()(ln )f x f x =-等价于方程ln (01)x x x =-<<，………………………………9分 设函数()ln (01)m x x x x =+<<，则()m x 单调递增，又1110,(1)10m m e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0m x =， 即方程ln x x =-有唯一解0x ，即00ln x x =-，或01x ex =，……………………………………10分 因此方程()(ln )f x f x =-有唯一解0x ，代入得：200ln 0x x +=，所以()0h x =有唯一解0x ， 且当0(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；……………………………………11分 所以()g x 的最小值为000000000ln ()111()1xx x g x e x x x x x -=--=--=， 所以1b ≤．………………………………………………………………………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=，2222sin 3ρρθ∴+=， 又22222cos ,sin ,,33x y x y x y ρθρθρ===+∴+=，即2213x y +=，………………2分所以曲线C 的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．……………………………………4分（2）不妨设,sin )M ϕϕ，易知121ρρ==，即(0,1),(0,1)A B -，……………………5分010a -=-，解得a =，同理可得b =，……………7分a b ∴+9分显然当0ϕ=或π，即M 或(M 时，a b +=，即a b +的最小值为．23．解：（1）证明：111()()2f x x a x a x a x a a a a a ⎛⎫=-+++++--=+ ⎪⎝⎭≥，…………2分又1122()a a f x x a +=+∴≥≥．……………………………………4分 （2）若(2)3f ≤，即1223a a a-+++≤，又21(1)2a a a a +++=．……………………6分故可如下分类：①若0a <，则1223a a a ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭≤，即1230a a ++≥，即22310a a ++≤， 即1(21)(1)0,12a a a ++∴--≤≤≤，…………………………………………………………7分 ②若02a <<，则1223a a a ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤，即11a -≤，所以此时a 无解，………………8分 ③若2a ≥，即1223a a a ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤，即123a a +≤，即22310a a -+≤， 即(21)(1)0a a --≤，112a ∴≤≤，所以此时a 亦无解，………………………………9分 综上，112a --≤≤，即11,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦．……………………………………………………10分。
2018深中、华附、省实、广雅四校联考理科数学答案(最终成稿)
P( B) P( A1B 1) P( A 2 B 2) P( A 3 B 3) P( A1) P( B 1) P( A 2) P( B 2) P( A 3) P( B 3)
0.65 0.10 0.30 0.20 0.05 0.60 0.155 .
当 n 2 ， an Sn Sn1 2n 2
3 ，………………………… ， a1 ，……………………………………………………………………………7 分 因为， an1 an 2 ， 所以，若数列 {an } 为等差数列，则有 a2 a1 2
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分. 17． （本小题满分 12 分） ［解析］ （I）因为 an1 Sn1 Sn ，代入 an 1 2 Sn 1 可得： Sn1 Sn 2 Sn 1 ， ………………………………………………………………………………………2 分
………………………………………………………………………………………12 分
18． （本小题满分 12 分） ［解析］ （I）依据甲图,记该河流 8 月份“水位小于 40 米”为事件 A 1 , “水位在 40 米至 50 米之间” 为事件 A 2 , “水位大于 50 米” 为事件 A 3 ，它们发生的概率分别为：
2 整理可得 Sn1 ( Sn 1) ，因为 Sn 0 ，所以 Sn1 Sn 1 ，……………………3 分
所以数列 { Sn } 是首项为 ，公差为 1 的等差数列，……………………………………4 分 所以 Sn
广东省深圳市2018届高三第二次(4月)调研考试理数试题 (解析版)
2018年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2018•深圳二模）设集合A＝{x|x﹣1＜0}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）2．（5分）（2018•深圳二模）已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．2+2i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．（5分）（2018•深圳二模）某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•东莞市模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为（）A．﹣3B．0C．3D．65．（5分）（2018•深圳二模）已知点P（1，m）在椭圆的外部，则直线与圆x2+y2＝1的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切6．（5分）（2018•深圳二模）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．1C．D．7．（5分）（2018•深圳二模）九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图1：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图2所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）A．170B．256C．341D．6828．（5分）（2018•深圳二模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．9．（5分）（2018•深圳二模）已知定义在R上的偶函数f（x）对任意实数x都有f（x﹣4）＝f（x+4），当0≤x ≤4时，f（x）＝x2﹣2x，则f（x）在区间[12，16]上（）A．有最小值f（16）B．有最小值f（15）C．有最小值f（13）D．有最小值f（12）10．（5分）（2018•深圳二模）已知点P1，P2为曲线y＝sinωx﹣cosωx（x∈R）（常数ω＞0）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，则ω的值为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•深圳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M、N分别为线段PD、PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．12．（5分）（2018•深圳二模）已知对∀n∈N*，关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，其中a n（n＝1，2，…，k，…）为常数，定义[x]为不超过实数x的最大整数，如[0.8]＝0，[π]＝3，设，记常数{b n}的前n项和为S n，则S100的值为（）A．310B．309C．308D．307二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2018•深圳二模）已知向量，，若，则实数t＝．14．（5分）（2018•深圳二模）已知a＜0，实数x，y满足，若z＝x+2y的最大值为5，则a＝．15．（5分）（2018•深圳二模）若的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为．16．（5分）（2018•深圳二模）已知A、B、C为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A、B相距600公里，且B在A的正东方向；A、C相距公里，且C在A的东偏北30°方向．现欲选址兴建该信号的发射塔T，若在T站发射信号时，A站总比B站要迟200秒才能接收到信号，则C站比A站最多迟秒可接收到该信号．（A、B、C、T站均可视为同一平面上的点）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（2018•三明模拟）在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且a cos B+b sin B ＝c．（1）求角C；（2）若B＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．18．（2018•深圳二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BDC均为等腰直角三角形，且∠BAD＝∠BDC＝90°，已知侧面ABD 与底面BDC 垂直，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，点G 在棱BC 上，且BC ＝4BG ，点M 是AG 上的动点． （1）证明：BC ⊥MF ；（2）当MF ∥平面ACD 时，求二面角G ﹣MF ﹣E 的余弦值．19．（2018•深圳二模）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均值和样本方差s 2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）； （ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N （μ，σ2），且μ与σ2可分别由（i ）中所求的样本平均数及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．20．（2018•深圳二模）已知实数p＞0，且过点M（0，﹣p2）的直线l与曲线C：x2＝2py交于A、B两点．（1）设O为坐标原点，直线OA、OB的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝1，求p的值；（2）设直线MT1、MT2与曲线C分别相切于点T1、T2，点N为直线T1T2与弦AB的交点，且，，证明：为定值．21．（2018•深圳二模）已知函数f（x）＝xe ax．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＝1时，若f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2018•深圳二模）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点，，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）在直角坐标系中，求曲线C的参数方程；（2）若点A、B在曲线C上，且点M（异于A、B两点）为曲线C上的动点．在直角坐标系中，设直线MA，MB 在x轴上的截距分别为a，b，求|a+b|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018•深圳二模）已知函数（a≠0）．（1）证明：；（2）若f（2）≤3，求实数a的取值范围．2018年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2018•深圳二模）设集合A＝{x|x﹣1＜0}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，集合B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}＝（﹣2，1）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）（2018•深圳二模）已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．2+2i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i【考点】A5：复数的运算．【分析】求出分子的模，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵＝，∴．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2018•深圳二模）某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n＝＝10，则甲、乙均被选中包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出甲、乙均被选中的概率．【解答】解：某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，基本事件总数n＝＝10，则甲、乙均被选中包含的基本事件个数m＝＝3，∴甲、乙均被选中的概率为p＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）（2018•东莞市模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为（）A．﹣3B．0C．3D．6【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝S3＝3，可得3×3+3d＝3，解得d．再利用求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝S3＝3，∴3×3+3d＝3，解得d＝﹣2．则S4＝4×3+×（﹣2）＝0，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2018•深圳二模）已知点P（1，m）在椭圆的外部，则直线与圆x2+y2＝1的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切【考点】K4：椭圆的性质．【分析】由P在椭圆的内部，求得m2＞，根据点到直线距离公式，即可判断直线与圆的位置关系．【解答】解：由点P（1，m）在椭圆的外部，则m2＞，则圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线y﹣2mx﹣＝0的距离d＝＜＜1，∴直线y﹣2mx﹣＝0与圆x2+y2＝1相交，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查转化思想，属于基础题．6．（5分）（2018•深圳二模）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．1C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱和一个四棱锥的组合体，进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱 和一个四棱锥的组合体，V 三棱柱＝×2×1×1＝1，V 四棱锥＝×2×1×1＝，∴该几何体的体积为1+＝． 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 7．（5分）（2018•深圳二模）九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图1：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图2所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（ ）A．170B．256C．341D．682【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1i＝2，满足条件i为偶数，S＝2不满足条件i＞8，执行循环体，i＝3，不满足i为偶数，S＝5不满足条件i＞8，执行循环体，i＝4，满足i为偶数，S＝10不满足条件i＞8，执行循环体，i＝5，不满足i为偶数，S＝21不满足条件i＞8，执行循环体，i＝6，满足i为偶数，S＝42不满足条件i＞8，执行循环体，i＝7，不满足i为偶数，S＝85不满足条件i＞8，执行循环体，i＝8，满足i为偶数，S＝170不满足条件i＞8，执行循环体，i＝9，不满足i为偶数，S＝341此时，满足条件i＞8，退出循环，输出S的值为341．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．（5分）（2018•深圳二模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【分析】由题意求出c＝2，再根据焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，求出b＝，即可求出a＝1，根据离心率公式计算即可【解答】解：∵椭圆与双曲线有共同的焦点，∴4+m2﹣m2＝a2+b2，∴双曲线的焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）设F＝（2，0）其渐近线方程为y＝±x，∵焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，∴2×＝2，∴＝，∴b＝，∴a2＝c2﹣b2＝1，∴e＝＝2，故选：A．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及椭圆的简单性质，考查了运算能力，属于基础题9．（5分）（2018•深圳二模）已知定义在R上的偶函数f（x）对任意实数x都有f（x﹣4）＝f（x+4），当0≤x ≤4时，f（x）＝x2﹣2x，则f（x）在区间[12，16]上（）A．有最小值f（16）B．有最小值f（15）C．有最小值f（13）D．有最小值f（12）【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据f（x﹣4）＝f（x+4）即可得出f（x）＝f（x+8），从而求出f（x）的周期为8，从而得出x∈[12，16]时，f（x）＝f（x﹣16），而根据x∈[12，16]即可得出x﹣16∈[﹣4，0]，据题意可得出f（x）在[﹣4，0]上的最小值为f（﹣1），这样x＝﹣1向右平移16个单位即可得出f（x）在[12，16]上的最小值．【解答】解：f（x﹣4）＝f（x+4）；∴f（x）＝f（x+8）；即f（x）的周期为8；∴x∈[12，16]时，f（x）＝f（x﹣16）；∵x∈[12，16]，∴x﹣16∈[﹣4，0]；当0≤x≤4时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，即x＝1时，f（x）取最小值；根据f（x）是偶函数，x＝﹣1时，f（x）在[﹣4，0]上取最小值；将x＝﹣1向右平移16个单位，即得到f（x）在[12，16]上的最小值f（15）．故选：B．【点评】考查周期函数的定义，偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及图象的平移概念．10．（5分）（2018•深圳二模）已知点P1，P2为曲线y＝sinωx﹣cosωx（x∈R）（常数ω＞0）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，则ω的值为（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用辅助角公式化简，求解相邻两个对称中心以及切线，根据切线互相垂直建立关系即可求解ω的值．【解答】解：曲线y＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣θ），tanθ＝；y′＝ωcosωx+ωsinωx．令ωx﹣θ＝kπ，k∈Z．由k＝0，可得一个对称中心为P1（，0），k＝1时，可得相邻的对称中心为P2（，0），曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，即斜率k的乘积为﹣1，∴（ωcosθ+ωsinθ）[cos（π+θ）+ωsin（θ+π）]＝﹣1，∴（ωcosθ+ωsinθ）2＝1，2ω2cos2θ+2ω2sinθcosθ+ω2sin2θ＝1，即2ω2+2ω2×tanθ+ω2tan2θ＝tan2θ+1，解得：ω＝，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，即斜率k的乘积为﹣1是解决本题的关键．属于中档题．11．（5分）（2018•深圳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M、N分别为线段PD、PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】在PC上取对应的点M′，显然当M′为PC的中点时，AM′⊥PC，计算棱锥的高，利用勾股定理计算球的半径，从而得出球的表面积．【解答】解：在PC上取点M′，使得PM′＝PM，则MN＝M′N，当AM′⊥PC时，AM′取得最小值，即AN+NM′的最小值为AM′，∵M为PD的中点，故而M′为PC的中点，∴PA＝AC＝2，∴PO＝＝，设外接球的半径为r，则r2＝（﹣r）2+1，解得：r＝．∴外接球的表面积为4πr2＝．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，球的表面积计算，属于中档题．12．（5分）（2018•深圳二模）已知对∀n∈N*，关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，其中a n（n＝1，2，…，k，…）为常数，定义[x]为不超过实数x的最大整数，如[0.8]＝0，[π]＝3，设，记常数{b n}的前n项和为S n，则S100的值为（）A．310B．309C．308D．307【考点】8E：数列的求和．【分析】根据关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，其f n′（x）＝0（n＜x＜n+1）有解．可得a n的范围，根据定义[x]为不超过实数x的最大整数，设，可得b1，b2，……b n的整数，即可求解数列{b n}的前100项和S100的值．【解答】解：根据关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，∴f n′（x）＝＝0在（n＜x＜n+1）有解．可得：x＝a n﹣1，∴n＜a n﹣1＜n+1∴n+1＜a n＜n+2当n＝1时，可得2＜a1＜3，当n＝2时，可得3＜a2＜4，……101＜a100＜102，设，可得：b1＝b2＝…＝b6＝1，b7＝b8＝…＝b25＝2．b26＝b27＝…＝b62＝3，b63＝b64＝……＝b100＝4．数列{b n}的前100项和为S100＝b1+b2+……+b100＝1×6+2×19+3×37+38×4＝307．故选：D．【点评】本题考查了导数的运用：求单调性，考查新定义的理解和运用，以及数列的求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2018•深圳二模）已知向量，，若，则实数t＝．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【分析】根据向量的数量积和向量的模即可求出．【解答】解：∵向量，，∴•＝3+4t，||＝＝5，∵，∴3+4t＝5，解得t＝，故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模，属于基础题14．（5分）（2018•深圳二模）已知a＜0，实数x，y满足，若z＝x+2y的最大值为5，则a＝﹣2．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由图象可知z＝x+2y在点A（﹣1，1﹣a）处取得最大值，此时﹣1+2（1﹣a）＝5，解得a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．（5分）（2018•深圳二模）若的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为96．【考点】DA：二项式定理．【分析】由已知可得n的值，写出二项式的通项，令x的指数为0，可得r的值，则答案可求．【解答】解：在中，令x＝1可得，其展开式中各项系数和为（﹣3）n，结合题意可得（﹣3）n＝81，解得n＝4．∴的展开式的通项公式为：T r+1＝＝（﹣4）r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项为＝96．故答案为：96．【点评】本题考查二项展开式的通项公式的运用．解决二项展开式的特定项问题，二项展开式的通项公式是常用工具，是基础题．16．（5分）（2018•深圳二模）已知A、B、C为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A、B相距600公里，且B在A的正东方向；A、C相距公里，且C在A的东偏北30°方向．现欲选址兴建该信号的发射塔T，若在T站发射信号时，A站总比B站要迟200秒才能接收到信号，则C站比A站最多迟400秒可接收到该信号．（A、B、C、T站均可视为同一平面上的点）【考点】J3：轨迹方程．【分析】求出T的轨迹方程，计算|BC|，从而当T，B，C三点共线时|TC|﹣|TA|取得最大值，求出此最大值即可得出答案．【解答】解：由题意可知|TA|﹣|TB|＝200，∴T点轨迹为以A，B为焦点的双曲线的靠近B点的一支，由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos30°＝360000，∴BC＝600，∵|TC|﹣|TA|＝|TC|﹣（|TB|+200）＝|TC|﹣|TB|﹣200≤|BC|﹣200＝400，∴当T，B，C三点共线时，|TC|﹣|TA|取得最大值400，故而C站比A站最多迟400秒可接收到该信号．故答案为：400．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（2018•三明模拟）在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且a cos B+b sin B ＝c．（1）求角C；（2）若B＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，结合三角形内角和定理求得C的值；（2）根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理和三角形的面积公式求得线段BD的值．【解答】解：（1）△ABC中，且a cos B+b sin B＝c，由正弦定理得，sin A cos B+sin B sin B＝sin C，∴sin A cos B+sin2B＝sin（A+B），∴sin A cos B+sin2B＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin2B＝cos A sin B，B为锐角，∴sin B＞0，∴sin B＝cos A，∴A+B＝，∴C＝；（2）若B＝，则A＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，如图所示，∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos，设AD＝x，由AC＝b，∴3＝b2+x2﹣2×b×x×…①，△ACD的面积为•b•x•sin＝，∴bx＝3…②，由①②解得b＝，x＝3或b＝3，x＝；当b＝，x＝3时，AB＝2，BD＝1；当b＝3，x＝时，不满足题意；综上，线段BD＝1．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换与三角形内角和定理，是综合题．18．（2018•深圳二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BDC均为等腰直角三角形，且∠BAD＝∠BDC＝90°，已知侧面ABD与底面BDC垂直，点E是AC的中点，点F是BD的中点，点G在棱BC上，且BC＝4BG，点M是AG上的动点．（1）证明：BC⊥MF；（2）当MF∥平面ACD时，求二面角G﹣MF﹣E的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【分析】（1）证明BC⊥平面AGF即可得出BC⊥MF；（2）建立空间坐标系，设＝λ，根据MF∥平面ACD求出M的位置，求出平面MEF和平面GMF的法向量，从而得出二面角G﹣MF﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点N，连接DN，则DN⊥BC，G是BN的中点，∵F是BD的中点，∴FG∥DN，∴FG⊥BC，∵△ABD是等腰直角三角形，F是BD的中点，∴AF⊥BD，又侧面ABD⊥底面BDC，侧面ABD∩底面BDC＝BD，∴AF⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，∴AF⊥BC，又FG∩AF＝F，∴BC⊥平面AFG，∵MF⊂平面AGF，∴BC⊥MF．（2）解：以D为原点，以DB，DC为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BD＝CD＝2，则A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），F（1，0，0），E（，1，），G（，，0），∴＝（0，2，0），＝（1，0，1），＝（﹣，﹣，1），＝（，，0），＝（﹣，1，），设平面ACD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1可得＝（1，0，﹣1），设＝λ＝（﹣，﹣，λ），则＝＝（，，λ），∵MF∥平面ACD，∴，∴＝0，解得λ＝，∴＝（，，），设平面MFE的法向量为＝（x 1，y 1，z 1），则，即，令z 1＝6，可得＝（﹣2，﹣4，6）， 又BC ⊥平面AFG，∴＝（﹣2，2，0）是平面GFM 的一个法向量，∵cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角G ﹣MF ﹣E的余弦值为﹣．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．19．（2018•深圳二模）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：（i）求这200位竞拍人员报价X的平均值和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N（μ，σ2），且μ与σ2可分别由（i）中所求的样本平均数及s2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据（1）求出P．根据表中数据求解平均值和样本方差s2，由正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，由此可得3.5﹣1.7＜Z＜5.2．P（Z＞5.2）＝＝0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．【解答】解：（1）由题意求出＝3，＝1.04．由，，＝＝那么＝1.04﹣0.32×3＝0.08从而得到回归直线方程为y ＝0.32x +0.08． 当t ＝6时，可得y ＝0.32×6+0.08＝2（万）（2）（i ）根据表中数据求解平均值＝＝3.5．样本方差s 2＝（﹣2）2×+（﹣12）×+0+12×+22×＝1.7．（ii ）P ＝．正态分布N （μ，σ2），可得（3.5，1.72） ∴P （μ﹣σ＜Z ＜μ+σ）＝0.6826， 即3.5﹣1.3＜Z ＜4.8．P （Z ＞1.8）＝＝0.1587，∴2018年4月份竞拍的最低成交价为4.8万元．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的正态分布N （μ，σ2），平均数及s 2估值．是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式的合理运用．20．（2018•深圳二模）已知实数p ＞0，且过点M （0，﹣p 2）的直线l 与曲线C ：x 2＝2py 交于A 、B 两点． （1）设O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2＝1，求p 的值；（2）设直线MT 1、MT 2与曲线C 分别相切于点T 1、T 2，点N 为直线T 1T 2与弦AB 的交点，且，，证明：为定值．【考点】K8：抛物线的性质．【分析】（1）设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣p 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组，根据韦达定理和斜率公式即可求出，（2）分别求出T 1、T 2的坐标，可得直线T 1T 2的方程为y ＝4，即可求出N 的坐标，再根据向量的运算即可证明． 【解答】解：（1）设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣p 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程组，消y 可得x 2﹣2pkx +2p 3＝0，∴x 1x 2＝2p 3，x 1+x 2＝2pk ，∴y 1y 2＝k 2x 1x 2﹣kp 2（x 1+x 2）+p 4＝p 4，∵直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，k 1k 2＝1，∴＝1，即＝1，解得p＝2，证明（2）由（1）可知x2＝4y，M（0，﹣1），可设直线y＝kx﹣4，由（1）可得y1y2＝16设过点M与x2＝4y的相切的切线的坐标为（x0，x02），∵y′＝x，∴k＝x0＝，解得x0＝±4，∴T1（﹣4，4），T2（4，4），∴直线T1T2的方程为y＝4，由，解得x＝，y＝4，∴N（，4），∵＝（x1，y1+4），＝（，8），＝（x2，y2+4），∵，，∴（x1，y1+4）＝λ（，8），（x2，y2+4）＝μ（，8），∴，，∴y1y2＝（8λ﹣4）（8μ﹣4）＝64λμ+32λ﹣32μ+16＝16∴2λμ﹣λ﹣μ＝0，∴+＝2，故：为定值．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，根与系数的关系，斜率公式，向量的坐标运算，属于中档题21．（2018•深圳二模）已知函数f（x）＝xe ax．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＝1时，若f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【分析】（1）f′（x）＝e ax+axe ax＝e ax（1+ax），对a分类讨论即可得出单调性．（2）当a＝1时，f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，化为：bx+1≤xe x﹣lnx．令g（x）＝xe x﹣lnx．g′（x）＝e x+xe x﹣＝u（x），在（0，+∞）上单调递增，u（）＝﹣4＜0，u（）＝﹣2＞0，存在x0使得u（x0）＝0．函数g（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．令直线l，y＝bx+1，假设直线l与曲线g（x）相切于点P（x1，y1）．g′（x1）＝﹣＝b，﹣lnx1＝bx1+1，x1满足+lnx1＝0，x1∈．可得b＝1时，直线l与曲线相切于点P（x1，y1）．g″（x）＞0，因此直线l与曲线相切于唯一切点点P（x1，y1）．即可得出结论．【解答】解：（1）f′（x）＝e ax+axe ax＝e ax（1+ax），①a＝0时，f（x）＝x在R上单调递增．②a＞0时，f′（x）＝e ax（1+ax）＝ae ax（x﹣），∴函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．③a＜0时，f′（x）＝e ax（1+ax）＝ae ax（x﹣），∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）当a＝1时，f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，∴b≤，（x＞0）．化为：bx+1≤xe x﹣lnx．令g（x）＝xe x﹣lnx．g′（x）＝e x+xe x﹣＝u（x），在（0，+∞）上单调递增，u（）＝﹣4＜0，u（）＝﹣2＞0，∴存在x0使得u（x0）＝0．∴函数g（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．令直线l，y＝bx+1，假设直线l与曲线g（x）相切于点P（x1，y1）．则g′（x1）＝﹣＝b，﹣lnx1＝bx1+1，x1满足+lnx1＝0，x1∈．则b＝1时，直线l与曲线相切于点P（x1，y1）．g″（x）＝e x（2+x）+＞0，因此直线l与曲线相切于唯一切点点P（x1，y1）．∴b＜1时，bx+1＜xe x﹣lnx＝g（x）．可得b≤1．∴b的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、研究切线方程、函数极值点存在问题、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2018•深圳二模）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点，，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）在直角坐标系中，求曲线C的参数方程；（2）若点A、B在曲线C上，且点M（异于A、B两点）为曲线C上的动点．在直角坐标系中，设直线MA，MB 在x轴上的截距分别为a，b，求|a+b|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为，化为：ρ2（1+2sin2θ）＝3，利用极坐标与直角坐标方程的互化可得直角坐标方程与参数方程．（2）点，，可得：A（0，1），B（0，﹣1）．设M（m，n），则+n2＝1.．m≠0．直线AM，BM的方程分别为：y＝x+1，y＝x﹣1．（m≠0，n≠±1）．可得a＝，b＝．可得：|a+b|的最小值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为，化为：ρ2（1+2sin2θ）＝3，可得x2+y2+2y2＝3，可得：+y2＝1，于是曲线C的参数方程为：（θ为参数）．（2）点，，可得：A（0，1），B（0，﹣1）．设M（m，n），则+n2＝1.．m≠0．直线AM，BM的方程分别为：y＝x+1，y＝x﹣1．（m≠0，n≠±1）．可得a＝，b＝．∴|a+b|＝|+|＝＝≥2．综上可得：|a+b|的最小值为2．【点评】本题考查椭圆极坐标方程与直角坐标方程的互化及其参数方程、直线方程、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018•深圳二模）已知函数（a≠0）．（1）证明：；（2）若f（2）≤3，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，根据基本不等式的性质证明即可；（2）得到关于a的不等式，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣a|+|x+a+|≥|x﹣a﹣x﹣a﹣|＝|2a+|，a＞0时，f（x）＝2a+≥2＝2，a＜0时，f（x）＝﹣2a﹣≥2＝2，故f（x）≥2；（2）若f（2）≤3，则|2﹣a|+|2+a+|≤3，故或或，解得：≤a≤1或﹣1≤a≤﹣．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2018届四省高三第三次大联考数学(理)试题(解析版)
2018届四省高三第三次大联考数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由已知等式变形得，再利用复数的四则运算法则求出z的代数形式，再写出虚部。
点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题。
若复数，则复数的虚部为。
2. 某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为144，则（）A. 14B. 13C. 12D. 11【答案】C【解析】分析：先根据已知的三视图还原得到直观图，再根据几何体的体积，利用体积计算公式，求出侧视图中一直角边的长。
详解：根据已知的三视图，作出直观图如下：由已知有平面BCD，且，且，由三棱锥的体积计算公式，求出，故选C.点睛：本题主要考查了三视图成直观图、三棱锥的体积计算公式，属于基础题。
解答本题的关键是由三视图还原成直观图。
3. 设集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先由不等式求出的范围，写成集合即为N，再得出集合M，N之间的关系，最后得到正确的选项。
详解：由有，即，所以，根据全称命题的特点和子集的定义，得出正确选项为B.点睛：本题主要考查了集合之间的包含关系以及全称命题和特称命题的特征等，属于易错题。
错误的主要原因是没有弄懂全称命题和特称命题的定义。
4. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为（其中）；则由，得所以，最小的1分为．故选A．考点：等差数列的性质5. 对任意实数，有，若，则（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】分析：由题意分别求得的值，然后两者作差得到关于a的方程，求解方程即可求得最终结果. 详解：令可得：，即，展开式的通项公式为：，令可得：，令可得：，则，结合题意有：，解得：.本题选择B选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．6. 双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是1:2的两部分，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】分析：结合圆的方程首先确定渐近线方程，然后结合双曲线的方程求得b的值，之后求解离心率即可.详解：圆的方程的标准方程为：，圆的圆心坐标为，且经过坐标原点，双曲线的渐近线经过坐标原点，若双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是的两部分,则双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其斜率，据此可得：，双曲线的离心率为.本题选择C选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7. 阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先确定程序的功能，然后结合题意确定a的取值范围即可.详解：由程序语句可知程序运行程序过程中数据变化如下：S=11，i=9；S=20，i=8；S=28，i=7；S=35，i=6，此时结束循环，故6<a≤7.即程序中的取值范围是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查程序语句是识别与应用，当型循环与直到型循环的区别于联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由求出的表达式，先比较的大小和范围，再求出的范围，根据它们不同的范围，得出它们的大小。
(完整版)2018届深圳四大名校联考试题.doc
绝密★启用前深圳市 2018 届高三年级四校联考语文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（ 35 分）（一）论述类文本阅读（9 分，每小题 3 分）阅读下面的文字，完成1～3 题。
先秦儒家已形成比较立体、丰富的生态伦理思想。
这种思想首先体现为“乐”。
孔子非常擅长在观察自然现象时对自身社会经验进行审视和升华，自然之道和其处世之道在某个合适的时间节点产生共鸣，从而引发孔子深层的思考，其生态情怀也在类似的体悟中逐渐浓厚。
认知自然、体验自然、进而体悟人生哲理，让孔子得出“知者乐水，仁者乐山”这样的结论。
由“乐”而生“畏”。
孔子说：“天何言哉？四时行焉，百物生焉。
天何言哉！”在孔子看来，四季的轮回、万物的生长都有其运行轨迹和规律，这种力量非人力所能干涉，孔子对自然的敬畏之情也在这种感慨中毕现。
荀子则认为：“天行有常，不为尧存，不为桀亡。
”既然这种“常”的力量如此强大，非人力所能改变，聪明的做法就是顺应这种力量并对之合理利用，即荀子所讲的“制天命而用之”。
那么，该如何“制”呢？荀子较为强调见微知著、因循借力、顺时守天、因地制宜。
这种总结比起孔子体验式思维多了些理性，已试图对联系自然与人类社会的“道”进行理性阐释和总结。
在此基上，“推人及物”的思想就生了。
“人皆有不忍人之心”是孟子生道德的基，“不忍心”推广于自然万物就成了推人及物的生道德。
如果“老吾老以及人之老，幼吾幼以及人之幼，⋯⋯故推恩足以保四海，不推恩无以保妻子”是适用于人社会的推恩思，是的位思考、推己及人，那么，孟子的“ 而仁民，仁民而物” 已拓展推人及物了。
荀子也：“物也者，大共名也⋯⋯推而之，有，至于无然后至。
2018年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题
绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2018年高三年级第二次调研考试数 学（理科） 2018.4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{}|10A x x =-<，集合{}2|4B x x =<，则A B =（A ）(2,1)- （B ）(,2)-∞ （C ）(,2)-∞- （D ）(,1)(2,)-∞+∞（2）已知i 为虚数单位，则复数z =的共轭复数z 为（A ）22i + （B ）22i - （C ）1i + （D ）1i -（3）某学校拟从甲、乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（A ）35 （B ）12 （C ）25 （D ）310（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知133a S ==，则4S 的值为（A ）3- （B ）0 （C ）3 （D ） 6（5）已知点()1,P m 在椭圆2214x y +=的外部，则直线2y mx =221x y +=的位置关系为（A ）相离 （B ）相交 （C ）相切（D）相交或相切（6）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）23 （B ）1（C ）43 （D ）53 （7）九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如下图:玩九连环就是要将九个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是哪种情形，都需遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由右图所示的程序框图得到.执行该程序框图，则输出结果为（A ）170 （B ）256（C ）341 （D ）682 （8）已知椭圆222214x y a a +=+与双曲线22221x y a b-=有共同的焦点，且其中的一个焦点F 到双曲线的两条渐近线的距离之和为（A ）2 （B ）3 （C ）3（D （9）已知定义在R 上的偶函数()f x 对任意实数x 都有(4)(4)f x f x -=+，当04x ≤≤时，2()2f x x x =-，则()f x 在区间[]12,16上（A ）有最小值(16)f （B ）有最小值(15)f第（6）题图第（7）题图（C ）有最小值(13)f （D ）有最小值(12)f （10）已知点1P ，2P为曲线()cos y x x x ωω=-∈R （常数0ω>）的两个相邻的对称中心. 若该曲线在点1P ，2P 处的切线互相垂直，则ω的值为（A（B（C（D（11）如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心，且AB =. 设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点. 已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（A ）92π （B ）163π（C ）254π （D ）649π （12）已知对*n ∀∈N ，关于x 的函数()()1ln n n f x x a x =+-(1)n x n <<+都不单调，其中(1,2,,,)n a n k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅为常数.定义[]x 为不超过实数x 的最大整数，如[]0.80=，[]π3=.设n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则100S 的值为 （A ）310 （B ）309 （C ）308 （D ）307第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知向量(3,4)=-a ，(1,)t =-b ，若⋅=a b a ，则t =______.第（11）题图（14）已知0a <,实数,x y 满足10020x x y a x y +≥⎧⎪++≤⎨⎪--≤⎩，若2z x y =+的最大值为5，则a =______.（15）若4n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为_____________． （16）已知A B C 、、为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A B、相距600公里，且B 在A 的正东方向；A C 、相距C 在A 的东偏北30o 方向. 现欲选址兴建该信号的发射站T ，使得当在T 站发射信号时，A 站总比B 站要晚200秒才能接收到信号. 若A C 、站的接收时间须有一定间隔，则C 站比A 站最多晚_____秒可接收到该信号．（A B C T 、、、站均可视为同一平面上的点）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知B 为锐角，且cos sin a B b B c +=.（1）求角C 的大小；（2）若30A =，延长线段AB 至点D，使得CD =，且ACD ∆的面积为，求线段BD 的长度.（18）（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，ABD ∆和BDC ∆均为等腰直角三角形，且90BAD BDC ∠=∠=.已知侧面ABD 与底面BDC 垂直，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，点G 在棱BC 上，且4BC BG =，点M 是AG 上的动点.（1）证明：BC MF ⊥；（2）当//MF 平面ACD 时，求二面角G MF E --的余弦值.第（18）题图为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数(见下表)∶（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy bt a =+，并预测2018年4月份参与竞拍的人数．（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均值x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及2s 估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价. 参考公式及数据：①回归方程ˆˆˆy bx a =+，其ˆˆa=-； ②521=55i i t=∑，51=18.8i i i t y =∑， 1.3≈； ③若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.已知实数0p >，且过点2(0,)M p -的直线l 与曲线2:2C x py =交于A 、B 两点.（1）设O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率分别为1k 、2k ，若121k k =，求p 的值；（2）设直线1MT 、2MT 与曲线C 分别相切于点1T 、2T ，点N 为直线12TT 与弦AB 的交点，且MA MN λ=，MB MN μ=，证明:11λμ+为定值.（21）（本小题满分12分）已知函数()e ax f x x =.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的极值；（2）当1a =时，若()ln 1f x x bx --≥恒成立，求实数b 的取值范围.（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=点1,2A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2B πρ⎛⎫- ⎪⎝⎭，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）在直角坐标系中，求曲线C 的参数方程；（2）若点A B 、在曲线C 上，且点M （异于A B 、两点）为曲线C 上的动点. 在直角坐标系中，设直线MA ，MB 在x 轴上的截距分别为a ，b ，求a b +的最小值.（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()1f x x a x a a =-+++()0a ≠.（1）证明：()f x ≥（2）若()23f ≤，求实数a 的取值范围.。
广东省深圳市2018届高三第二次(4月)调研考试理数试题 (解析版)
2018年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2018•深圳二模）设集合A＝{x|x﹣1＜0}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）2．（5分）（2018•深圳二模）已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．2+2i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．（5分）（2018•深圳二模）某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•东莞市模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为（）A．﹣3B．0C．3D．65．（5分）（2018•深圳二模）已知点P（1，m）在椭圆的外部，则直线与圆x2+y2＝1的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切6．（5分）（2018•深圳二模）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．1C．D．7．（5分）（2018•深圳二模）九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图1：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图2所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）A．170B．256C．341D．6828．（5分）（2018•深圳二模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．9．（5分）（2018•深圳二模）已知定义在R上的偶函数f（x）对任意实数x都有f（x﹣4）＝f（x+4），当0≤x≤4时，f（x）＝x2﹣2x，则f（x）在区间[12，16]上（）A．有最小值f（16）B．有最小值f（15）C．有最小值f（13）D．有最小值f（12）10．（5分）（2018•深圳二模）已知点P1，P2为曲线y＝sinωx﹣cosωx（x∈R）（常数ω＞0）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，则ω的值为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•深圳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M、N分别为线段PD、PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．12．（5分）（2018•深圳二模）已知对∀n∈N*，关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，其中a n（n＝1，2，…，k，…）为常数，定义[x]为不超过实数x的最大整数，如[0.8]＝0，[π]＝3，设，记常数{b n}的前n项和为S n，则S100的值为（）A．310B．309C．308D．307二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2018•深圳二模）已知向量，，若，则实数t＝．14．（5分）（2018•深圳二模）已知a＜0，实数x，y满足，若z＝x+2y的最大值为5，则a＝．15．（5分）（2018•深圳二模）若的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为．16．（5分）（2018•深圳二模）已知A、B、C为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A、B相距600公里，且B在A的正东方向；A、C相距公里，且C在A的东偏北30°方向．现欲选址兴建该信号的发射塔T，若在T站发射信号时，A站总比B站要迟200秒才能接收到信号，则C站比A站最多迟秒可接收到该信号．（A、B、C、T站均可视为同一平面上的点）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（2018•三明模拟）在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且a cos B+b sin B＝c．（1）求角C；（2）若B＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．18．（2018•深圳二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BDC均为等腰直角三角形，且∠BAD＝∠BDC＝90°，已知侧面ABD与底面BDC垂直，点E是AC的中点，点F是BD的中点，点G在棱BC上，且BC＝4BG，点M 是AG上的动点．（1）证明：BC ⊥MF ；（2）当MF ∥平面ACD 时，求二面角G ﹣MF ﹣E 的余弦值．19．（2018•深圳二模）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均值和样本方差s 2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）； （ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N （μ，σ2），且μ与σ2可分别由（i ）中所求的样本平均数及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．20．（2018•深圳二模）已知实数p＞0，且过点M（0，﹣p2）的直线l与曲线C：x2＝2py交于A、B两点．（1）设O为坐标原点，直线OA、OB的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝1，求p的值；（2）设直线MT1、MT2与曲线C分别相切于点T1、T2，点N为直线T1T2与弦AB的交点，且，，证明：为定值．21．（2018•深圳二模）已知函数f（x）＝xe ax．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＝1时，若f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2018•深圳二模）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点，，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）在直角坐标系中，求曲线C的参数方程；（2）若点A、B在曲线C上，且点M（异于A、B两点）为曲线C上的动点．在直角坐标系中，设直线MA，MB在x轴上的截距分别为a，b，求|a+b|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018•深圳二模）已知函数（a≠0）．（1）证明：；（2）若f（2）≤3，求实数a的取值范围．2018年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2018•深圳二模）设集合A＝{x|x﹣1＜0}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，集合B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}＝（﹣2，1）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）（2018•深圳二模）已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．2+2i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i【考点】A5：复数的运算．【分析】求出分子的模，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵＝，∴．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2018•深圳二模）某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n＝＝10，则甲、乙均被选中包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出甲、乙均被选中的概率．【解答】解：某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，基本事件总数n＝＝10，则甲、乙均被选中包含的基本事件个数m＝＝3，∴甲、乙均被选中的概率为p＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）（2018•东莞市模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为（）A．﹣3B．0C．3D．6【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝S3＝3，可得3×3+3d＝3，解得d．再利用求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝S3＝3，∴3×3+3d＝3，解得d＝﹣2．则S4＝4×3+×（﹣2）＝0，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2018•深圳二模）已知点P（1，m）在椭圆的外部，则直线与圆x2+y2＝1的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切【考点】K4：椭圆的性质．【分析】由P在椭圆的内部，求得m2＞，根据点到直线距离公式，即可判断直线与圆的位置关系．【解答】解：由点P（1，m）在椭圆的外部，则m2＞，则圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线y﹣2mx﹣＝0的距离d＝＜＜1，∴直线y﹣2mx﹣＝0与圆x2+y2＝1相交，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查转化思想，属于基础题．6．（5分）（2018•深圳二模）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．B ．1C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱和一个四棱锥的组合体，进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱 和一个四棱锥的组合体，V 三棱柱＝×2×1×1＝1，V 四棱锥＝×2×1×1＝，∴该几何体的体积为1+＝． 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 7．（5分）（2018•深圳二模）九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图1：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图2所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（ ）A．170B．256C．341D．682【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1i＝2，满足条件i为偶数，S＝2不满足条件i＞8，执行循环体，i＝3，不满足i为偶数，S＝5不满足条件i＞8，执行循环体，i＝4，满足i为偶数，S＝10不满足条件i＞8，执行循环体，i＝5，不满足i为偶数，S＝21不满足条件i＞8，执行循环体，i＝6，满足i为偶数，S＝42不满足条件i＞8，执行循环体，i＝7，不满足i为偶数，S＝85不满足条件i＞8，执行循环体，i＝8，满足i为偶数，S＝170不满足条件i＞8，执行循环体，i＝9，不满足i为偶数，S＝341此时，满足条件i＞8，退出循环，输出S的值为341．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．（5分）（2018•深圳二模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【分析】由题意求出c＝2，再根据焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，求出b＝，即可求出a＝1，根据离心率公式计算即可【解答】解：∵椭圆与双曲线有共同的焦点，∴4+m2﹣m2＝a2+b2，∴双曲线的焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）设F＝（2，0）其渐近线方程为y＝±x，∵焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，∴2×＝2，∴＝，∴b＝，∴a2＝c2﹣b2＝1，∴e＝＝2，故选：A．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及椭圆的简单性质，考查了运算能力，属于基础题9．（5分）（2018•深圳二模）已知定义在R上的偶函数f（x）对任意实数x都有f（x﹣4）＝f（x+4），当0≤x≤4时，f（x）＝x2﹣2x，则f（x）在区间[12，16]上（）A．有最小值f（16）B．有最小值f（15）C．有最小值f（13）D．有最小值f（12）【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据f（x﹣4）＝f（x+4）即可得出f（x）＝f（x+8），从而求出f（x）的周期为8，从而得出x∈[12，16]时，f（x）＝f（x﹣16），而根据x∈[12，16]即可得出x﹣16∈[﹣4，0]，据题意可得出f（x）在[﹣4，0]上的最小值为f（﹣1），这样x＝﹣1向右平移16个单位即可得出f（x）在[12，16]上的最小值．【解答】解：f（x﹣4）＝f（x+4）；∴f（x）＝f（x+8）；即f（x）的周期为8；∴x∈[12，16]时，f（x）＝f（x﹣16）；∵x∈[12，16]，∴x﹣16∈[﹣4，0]；当0≤x≤4时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，即x＝1时，f（x）取最小值；根据f（x）是偶函数，x＝﹣1时，f（x）在[﹣4，0]上取最小值；将x＝﹣1向右平移16个单位，即得到f（x）在[12，16]上的最小值f（15）．故选：B．【点评】考查周期函数的定义，偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及图象的平移概念．10．（5分）（2018•深圳二模）已知点P1，P2为曲线y＝sinωx﹣cosωx（x∈R）（常数ω＞0）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，则ω的值为（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用辅助角公式化简，求解相邻两个对称中心以及切线，根据切线互相垂直建立关系即可求解ω的值．【解答】解：曲线y＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣θ），tanθ＝；y′＝ωcosωx+ωsinωx．令ωx﹣θ＝kπ，k∈Z．由k＝0，可得一个对称中心为P1（，0），k＝1时，可得相邻的对称中心为P2（，0），曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，即斜率k的乘积为﹣1，∴（ωcosθ+ωsinθ）[cos（π+θ）+ωsin（θ+π）]＝﹣1，∴（ωcosθ+ωsinθ）2＝1，2ω2cos2θ+2ω2sinθcosθ+ω2sin2θ＝1，即2ω2+2ω2×tanθ+ω2tan2θ＝tan2θ+1，解得：ω＝，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，即斜率k的乘积为﹣1是解决本题的关键．属于中档题．11．（5分）（2018•深圳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M、N分别为线段PD、PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】在PC上取对应的点M′，显然当M′为PC的中点时，AM′⊥PC，计算棱锥的高，利用勾股定理计算球的半径，从而得出球的表面积．【解答】解：在PC上取点M′，使得PM′＝PM，则MN＝M′N，当AM′⊥PC时，AM′取得最小值，即AN+NM′的最小值为AM′，∵M为PD的中点，故而M′为PC的中点，∴PA＝AC＝2，∴PO＝＝，设外接球的半径为r，则r2＝（﹣r）2+1，解得：r＝．∴外接球的表面积为4πr2＝．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，球的表面积计算，属于中档题．12．（5分）（2018•深圳二模）已知对∀n∈N*，关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，其中a n（n＝1，2，…，k，…）为常数，定义[x]为不超过实数x的最大整数，如[0.8]＝0，[π]＝3，设，记常数{b n}的前n项和为S n，则S100的值为（）A．310B．309C．308D．307【考点】8E：数列的求和．【分析】根据关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，其f n′（x）＝0（n＜x＜n+1）有解．可得a n的范围，根据定义[x]为不超过实数x的最大整数，设，可得b1，b2，……b n的整数，即可求解数列{b n}的前100项和S100的值．【解答】解：根据关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，∴f n′（x）＝＝0在（n＜x＜n+1）有解．可得：x＝a n﹣1，∴n＜a n﹣1＜n+1∴n+1＜a n＜n+2当n＝1时，可得2＜a1＜3，当n＝2时，可得3＜a2＜4，……101＜a100＜102，设，可得：b1＝b2＝…＝b6＝1，b7＝b8＝…＝b25＝2．b 26＝b 27＝…＝b 62＝3， b 63＝b 64＝……＝b 100＝4．数列{b n }的前100项和为S 100＝b 1+b 2+……+b 100＝1×6+2×19+3×37+38×4＝307． 故选：D ．【点评】本题考查了导数的运用：求单调性，考查新定义的理解和运用，以及数列的求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2018•深圳二模）已知向量，，若，则实数t ＝．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算． 【分析】根据向量的数量积和向量的模即可求出．【解答】解：∵向量，，∴•＝3+4t ，||＝＝5，∵，∴3+4t ＝5，解得t ＝，故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模，属于基础题14．（5分）（2018•深圳二模）已知a ＜0，实数x ，y 满足，若z ＝x +2y 的最大值为5，则a ＝ ﹣2 ．【考点】7C ：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出实数x ，y 满足对应的平面区域如图：由图象可知z ＝x +2y 在点A （﹣1，1﹣a ）处取得最大值， 此时﹣1+2（1﹣a ）＝5， 解得a ＝﹣2， 故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．（5分）（2018•深圳二模）若的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为96．【考点】DA：二项式定理．【分析】由已知可得n的值，写出二项式的通项，令x的指数为0，可得r的值，则答案可求．【解答】解：在中，令x＝1可得，其展开式中各项系数和为（﹣3）n，结合题意可得（﹣3）n＝81，解得n ＝4．∴的展开式的通项公式为：T r+1＝＝（﹣4）r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项为＝96．故答案为：96．【点评】本题考查二项展开式的通项公式的运用．解决二项展开式的特定项问题，二项展开式的通项公式是常用工具，是基础题．16．（5分）（2018•深圳二模）已知A、B、C为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A、B相距600公里，且B在A的正东方向；A、C相距公里，且C在A的东偏北30°方向．现欲选址兴建该信号的发射塔T，若在T站发射信号时，A站总比B站要迟200秒才能接收到信号，则C站比A站最多迟400秒可接收到该信号．（A、B、C、T站均可视为同一平面上的点）【考点】J3：轨迹方程．【分析】求出T的轨迹方程，计算|BC|，从而当T，B，C三点共线时|TC|﹣|TA|取得最大值，求出此最大值即可得出答案．【解答】解：由题意可知|TA|﹣|TB|＝200，∴T点轨迹为以A，B为焦点的双曲线的靠近B点的一支，由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos30°＝360000，∴BC＝600，∵|TC|﹣|TA|＝|TC|﹣（|TB|+200）＝|TC|﹣|TB|﹣200≤|BC|﹣200＝400，∴当T，B，C三点共线时，|TC|﹣|TA|取得最大值400，故而C站比A站最多迟400秒可接收到该信号．故答案为：400．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（2018•三明模拟）在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且a cos B+b sin B＝c．（1）求角C；（2）若B＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，结合三角形内角和定理求得C的值；（2）根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理和三角形的面积公式求得线段BD的值．【解答】解：（1）△ABC中，且a cos B+b sin B＝c，由正弦定理得，sin A cos B+sin B sin B＝sin C，∴sin A cos B+sin2B＝sin（A+B），∴sin A cos B+sin2B＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin2B＝cos A sin B，B为锐角，∴sin B＞0，∴sin B＝cos A，∴A+B＝，∴C＝；（2）若B＝，则A＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，如图所示，∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos，设AD＝x，由AC＝b，∴3＝b2+x2﹣2×b×x×…①，△ACD的面积为•b•x•sin＝，∴bx＝3…②，由①②解得b＝，x＝3或b＝3，x＝；当b＝，x＝3时，AB＝2，BD＝1；当b＝3，x＝时，不满足题意；综上，线段BD＝1．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换与三角形内角和定理，是综合题．18．（2018•深圳二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BDC均为等腰直角三角形，且∠BAD＝∠BDC＝90°，已知侧面ABD与底面BDC垂直，点E是AC的中点，点F是BD的中点，点G在棱BC上，且BC＝4BG，点M 是AG上的动点．（1）证明：BC⊥MF；（2）当MF∥平面ACD时，求二面角G﹣MF﹣E的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【分析】（1）证明BC⊥平面AGF即可得出BC⊥MF；（2）建立空间坐标系，设＝λ，根据MF∥平面ACD求出M的位置，求出平面MEF和平面GMF的法向量，从而得出二面角G﹣MF﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点N，连接DN，则DN⊥BC，G是BN的中点，∵F是BD的中点，∴FG∥DN，∴FG⊥BC，∵△ABD是等腰直角三角形，F是BD的中点，∴AF⊥BD，又侧面ABD⊥底面BDC，侧面ABD∩底面BDC＝BD，∴AF⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，∴AF⊥BC，又FG∩AF＝F，∴BC⊥平面AFG，∵MF⊂平面AGF，∴BC⊥MF．（2）解：以D为原点，以DB，DC为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BD＝CD＝2，则A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），F（1，0，0），E（，1，），G（，，0），∴＝（0，2，0），＝（1，0，1），＝（﹣，﹣，1），＝（，，0），＝（﹣，1，），设平面ACD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1可得＝（1，0，﹣1），设＝λ＝（﹣，﹣，λ），则＝＝（，，λ），∵MF∥平面ACD，∴，∴＝0，解得λ＝，∴＝（，，），设平面MFE的法向量为＝（x 1，y 1，z 1），则，即，令z 1＝6，可得＝（﹣2，﹣4，6）， 又BC ⊥平面AFG，∴＝（﹣2，2，0）是平面GFM 的一个法向量，∵cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角G ﹣MF ﹣E的余弦值为﹣．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．19．（2018•深圳二模）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：（i）求这200位竞拍人员报价X的平均值和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N（μ，σ2），且μ与σ2可分别由（i）中所求的样本平均数及s2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据（1）求出P．根据表中数据求解平均值和样本方差s2，由正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，由此可得3.5﹣1.7＜Z＜5.2．P（Z＞5.2）＝＝0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．【解答】解：（1）由题意求出＝3，＝1.04．由，，＝＝那么＝1.04﹣0.32×3＝0.08从而得到回归直线方程为y＝0.32x+0.08．当t＝6时，可得y＝0.32×6+0.08＝2（万）（2）（i）根据表中数据求解平均值＝＝3.5．样本方差s2＝（﹣2）2×+（﹣12）×+0+12×+22×＝1.7．（ii）P＝．正态分布N（μ，σ2），可得（3.5，1.72）∴P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，即3.5﹣1.3＜Z＜4.8．P（Z＞1.8）＝＝0.1587，∴2018年4月份竞拍的最低成交价为4.8万元．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的正态分布N（μ，σ2），平均数及s2估值．是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式的合理运用．20．（2018•深圳二模）已知实数p＞0，且过点M（0，﹣p2）的直线l与曲线C：x2＝2py交于A、B两点．（1）设O为坐标原点，直线OA、OB的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝1，求p的值；（2）设直线MT1、MT2与曲线C分别相切于点T1、T2，点N为直线T1T2与弦AB的交点，且，，证明：为定值．【考点】K8：抛物线的性质．【分析】（1）设直线AB的方程为y＝kx﹣p2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，根据韦达定理和斜率公式即可求出，（2）分别求出T1、T2的坐标，可得直线T1T2的方程为y＝4，即可求出N的坐标，再根据向量的运算即可证明．【解答】解：（1）设直线AB的方程为y＝kx﹣p2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消y可得x2﹣2pkx+2p3＝0，∴x1x2＝2p3，x1+x2＝2pk，∴y1y2＝k2x1x2﹣kp2（x1+x2）+p4＝p4，∵直线OA、OB的斜率分别为k1、k2，k1k2＝1，∴＝1，即＝1，解得p＝2，证明（2）由（1）可知x2＝4y，M（0，﹣1），可设直线y＝kx﹣4，由（1）可得y1y2＝16设过点M与x2＝4y的相切的切线的坐标为（x0，x02），∵y′＝x，∴k＝x0＝，解得x0＝±4，∴T1（﹣4，4），T2（4，4），∴直线T1T2的方程为y＝4，由，解得x＝，y＝4，∴N（，4），∵＝（x1，y1+4），＝（，8），＝（x2，y2+4），∵，，∴（x1，y1+4）＝λ（，8），（x2，y2+4）＝μ（，8），∴，，∴y1y2＝（8λ﹣4）（8μ﹣4）＝64λμ+32λ﹣32μ+16＝16∴2λμ﹣λ﹣μ＝0，∴+＝2，故：为定值．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，根与系数的关系，斜率公式，向量的坐标运算，属于中档题21．（2018•深圳二模）已知函数f（x）＝xe ax．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＝1时，若f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【分析】（1）f′（x）＝e ax+axe ax＝e ax（1+ax），对a分类讨论即可得出单调性．（2）当a＝1时，f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，化为：bx+1≤xe x﹣lnx．令g（x）＝xe x﹣lnx．g′（x）＝e x+xe x﹣＝u（x），在（0，+∞）上单调递增，u（）＝﹣4＜0，u（）＝﹣2＞0，存在x0使得u（x0）＝0．函数g（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．令直线l，y＝bx+1，假设直线l与曲线g（x）相切于点P（x1，y1）．g′（x1）＝﹣＝b，﹣lnx1＝bx1+1，x1满足+lnx1＝0，x1∈．可得b＝1时，直线l与曲线相切于点P（x1，y1）．g″（x）＞0，因此直线l与曲线相切于唯一切点点P（x1，y1）．即可得出结论．【解答】解：（1）f′（x）＝e ax+axe ax＝e ax（1+ax），①a＝0时，f（x）＝x在R上单调递增．②a＞0时，f′（x）＝e ax（1+ax）＝ae ax（x﹣），∴函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．③a＜0时，f′（x）＝e ax（1+ax）＝ae ax（x﹣），∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）当a＝1时，f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，∴b≤，（x＞0）．化为：bx+1≤xe x﹣lnx．令g（x）＝xe x﹣lnx．g′（x）＝e x+xe x﹣＝u（x），在（0，+∞）上单调递增，u（）＝﹣4＜0，u（）＝﹣2＞0，∴存在x0使得u（x0）＝0．∴函数g（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．令直线l，y＝bx+1，假设直线l与曲线g（x）相切于点P（x1，y1）．则g′（x1）＝﹣＝b，﹣lnx1＝bx1+1，x1满足+lnx1＝0，x1∈．则b＝1时，直线l与曲线相切于点P（x1，y1）．g″（x）＝e x（2+x）+＞0，因此直线l与曲线相切于唯一切点点P（x1，y1）．∴b＜1时，bx+1＜xe x﹣lnx＝g（x）．可得b≤1．∴b的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、研究切线方程、函数极值点存在问题、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2018•深圳二模）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点，，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）在直角坐标系中，求曲线C的参数方程；（2）若点A、B在曲线C上，且点M（异于A、B两点）为曲线C上的动点．在直角坐标系中，设直线MA，MB在x轴上的截距分别为a，b，求|a+b|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为，化为：ρ2（1+2sin2θ）＝3，利用极坐标与直角坐标方程的互化可得直角坐标方程与参数方程．（2）点，，可得：A（0，1），B（0，﹣1）．设M（m，n），则+n2＝1.．m≠0．直线AM，BM的方程分别为：y＝x+1，y＝x﹣1．（m≠0，n≠±1）．可得a＝，b＝．可得：|a+b|的最小值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为，化为：ρ2（1+2sin2θ）＝3，可得x2+y2+2y2＝3，可得：+y2＝1，于是曲线C的参数方程为：（θ为参数）．（2）点，，可得：A（0，1），B（0，﹣1）．设M（m，n），则+n2＝1.．m≠0．直线AM，BM的方程分别为：y＝x+1，y＝x﹣1．（m≠0，n≠±1）．可得a＝，b＝．∴|a+b|＝|+|＝＝≥2．综上可得：|a+b|的最小值为2．【点评】本题考查椭圆极坐标方程与直角坐标方程的互化及其参数方程、直线方程、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018•深圳二模）已知函数（a≠0）．（1）证明：；（2）若f（2）≤3，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，根据基本不等式的性质证明即可；（2）得到关于a的不等式，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣a|+|x+a+|≥|x﹣a﹣x﹣a﹣|＝|2a+|，a＞0时，f（x）＝2a+≥2＝2，a＜0时，f（x）＝﹣2a﹣≥2＝2，故f（x）≥2；（2）若f（2）≤3，则|2﹣a|+|2+a+|≤3，故或或，解得：≤a≤1或﹣1≤a≤﹣．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
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试卷类型：A
深圳市 2018 届高三四校联考
理科数学
本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项：
2017.10
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上. 用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、 多涂的，答案无效. 5．考生必须保持答题卡的整洁.
(B) 0
(C) 1
(D) 0,1
1 的定义域为 log 1 2 x 1
2
(A) (
1 ,0) 2
2
(B) (
2
1 , ) 2
(C) (
1 ,0) 0, 2
(D) (
1 , 2) 2
3．设 x, y R , 则“ x y 2 ”是“ x 1 ，且 y 1 ”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
sin 2 A 的取值范围是____________． sin( B A)
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17． （本小题满分 10 分）
已知三个集合： A x R log 2 ( x 5 x 8) 1 ， B x R 2 x
11 ．已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意 x R 满足： f ( x) f (2 x) ，当 x 1 时，
f ( x) e x 1 ，则方程 f ( x) | x 1| 1 0 的实根个数为
第 2 页 共 13 页
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(B)
(C)
(D)
2
1 在区间 4a
2
, a 2 上为减函数，则 a 的取值范围是
(C)
(A)
2 ,1 2
(B)
3 2 ,1
1,
π
3
4
(D) 1, 2
9．已知函数 f x cos x 3 sin x ，其中 x m, ，若 f ( x) 的值域是 1, 2 ，则实数 3
（ D） (
ln 2 1 , ) e2 e
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若定义在区间 [ 3 m, m 2 m] 上的函数 f ( x ) x 2 m 是奇函数，则 f (m) 14． （sin πx x 1)dx
m 的取值范围是
(A) , 0 3
e
π
(B) , 2 3
π π
π
π
(C) , 2 3
2π
π
(D) π, 3
π
10．已知 a π ， b 3 , c e ，则它们的大小关系是 (A) a b c (B) c b a (C) b c a (D) c a b
(A) [
5 7 , ] 6 6
(B) [
7 19 , ] 6 6
(C) [
2 4 , ] 3 3
(D) [
17 5 , ] 6 6
7．函数 f ( x )
ln( x 2 4 x 4) 的图象可能是 ( x 2)3
(A) 8．若函数 f x log a 8 x ax
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求． 1. 已知全集 U R , 集合 A x N | x 2 x 0 , B 2,3 , 则 A (ð U B )
2
(A) 2．函数 f x
2
(D) a 14, b 16, A 45
(A)
3 5
(B)
3 5
(C) 或 1
3 5
(D) 1
6．把函数 f ( x)
2 sin(2 x ) 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 4 倍，再向左平移 4
Байду номын сангаас
个单位，得到函数 g ( x ) 的图象，则函数 g ( x ) 的一个单调递减区间为 3
4．根据下列条件,能确定 ABC 有两解的是 (A) a 18, b 20, A 120 (B) a 3, c 48, B 60
第 1 页 共 13 页
(C) a 3, b 6, A 30 5．已知 tan 2 ，则 sin 2 cos
12．已知函数 f ( x) ae x x ln x ，存在 n N ，使得函数 f ( x ) 在区间 ( n, n 2) 上有两个 极值点，则实数 a 的取值范围是 （ A） (
ln 3e 1 ln 2e 1 , ) （B） ( 2 , ) 3 e e e e
（C） (
ln 3 ln 2 , ) e3 e2
0
.
2
.
2 ax (a 1) x 3a , x 1， 15． 设函数 f ( x ) x 的最小值为 2 ， 则实数 a 的取值范围是_____． 2 , x 1，
16 ． 已 知 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 角 A,B ,C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , 若 b 2 a (a c ) ， 则