变化电磁场习题课资料
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电磁学第五章习题课
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
18
a
电磁学
习题课 作业: 5-40 预习:§6.1, §6.2
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
19
电磁学
习题课
第五章 习题课
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
1
电磁学
习题课
一、本章重要内容回顾
1.电磁感应
d Φm 电磁感应定律 dt 楞次定律
感应电流的方向总是反抗引起感应电流的原因 2.动生电动势 3.感生电动势
(v B) d l
L
B E k d l d S L S t
磁场能量 7.位移电流 位移电流密度 E jD 0 t
位移电流 E ID 0 d S S t
4
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
电磁学
习题课
8.真空中的麦克斯韦方程组 电磁场的普遍规律,它预言了电磁波的存在.
1) 1 E d S
2)
3)
4)
E CB dl 0 I C 0 0 S t d S （全电流定律）
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
5
B E d l S t d S （法拉第电磁感应定律） B d S 0 （磁场的高斯定理）
I R IR
得
8
电磁学
习题课 例2(习题5-21)两根足够长的平行直导线，横截面 的半径都是a=10mm，中心相距为d=20cm，载有 大小相等方向相反的电流I =20A，设两导线内部 磁通量可忽略不计。计算每单位长度的自感系数。
解
18
a
电磁学
习题课 作业: 5-40 预习:§6.1, §6.2
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
19
电磁学
习题课
第五章 习题课
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
1
电磁学
习题课
一、本章重要内容回顾
1.电磁感应
d Φm 电磁感应定律 dt 楞次定律
感应电流的方向总是反抗引起感应电流的原因 2.动生电动势 3.感生电动势
(v B) d l
L
B E k d l d S L S t
磁场能量 7.位移电流 位移电流密度 E jD 0 t
位移电流 E ID 0 d S S t
4
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
电磁学
习题课
8.真空中的麦克斯韦方程组 电磁场的普遍规律,它预言了电磁波的存在.
1) 1 E d S
2)
3)
4)
E CB dl 0 I C 0 0 S t d S （全电流定律）
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
5
B E d l S t d S （法拉第电磁感应定律） B d S 0 （磁场的高斯定理）
I R IR
得
8
电磁学
习题课 例2(习题5-21)两根足够长的平行直导线，横截面 的半径都是a=10mm，中心相距为d=20cm，载有 大小相等方向相反的电流I =20A，设两导线内部 磁通量可忽略不计。计算每单位长度的自感系数。
解
大学物理变化的电磁场理论及习题
(D)三者中 E和 H可以是任意方向的，但都必须
与 u垂直。
填空题1：一根直导线在磁感应强度为的均匀磁场 中以速度运动切割磁力线，导线中对应于非静电
力的场强（又称非静电场场强）vB .
Ek
F vB q
填空题2：载有恒定电流 I 的长直导线旁有一半圆环 导线cd，半圆环半径为b，环面与直导线垂直，且半 圆环两端点连线的延长线与直导线相交，如图所示。
a
b
R
R 2R
2R (rR)0I dr
R
2r
0IR(1ln2) 2
ab b点电势髙
计算题2：将等边三角形平面回路ACDA放在磁感应强度大小 为 B = B0t（式中B0为常量）的均匀磁场中，回路平面垂直于 磁场方向，如图所示。回路中CD段为滑动导线，设 t = 0 时， CD段从A端出发，以匀速 v 远离A端运动，且始终保持回路为 等边三角形。求回路ACDA中的感应电动势与时间 t 的关系。
动生电动势: 在稳恒磁场中运动着的导体内产生的感应 电动势.
感生电动势: 导体不动, 因磁场的变化产生的感应电动势.
动生电动势
感生电动势
恒定磁场中运动的导体
B B r
导体不动B , 磁B 场r发,t生变化
磁通量发生变化的原因
d dt
• 动生电动势
导线运动时,内部 自由电子受到向下洛
感应电流的效果总是反抗 引起感应电流I
a
d
楞次定律符合能量守恒和 转换定律.
• 法拉第电磁感应定律
当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时,回路中产生
的感应电动势的大小与穿过回路的磁通量对时间的变化率
成正比.
i
d
变化的电磁场习题课
1 H 2
2
1 BH 2
1
B
H
2
1
Wm
V
B 2
HdV
四、几个特殊的结论
无限长螺线管的自感
L n2V
同轴电缆的自感
L l ln R2 2 R1
圆柱形空间内均匀变化的均匀磁场产生的感应电场：
r B E感 内 2 t
E感 外
R2 2r
B t
(C)只适用于一个匝数很多,且密绕的螺线管. (D)适用于自感系数 L 一定的任意线圈.
4. 在真空中一个通有电流的线圈a 所产生的磁场内有另一个线圈 b，a和b相对位置固定，若线圈b中没有电流通过，则线圈b与a间 的互感系数:
(A)一定为零 (B)一定不为零 (C)可以不为零 (D)不可确定
5、一导体棒ab在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁 场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁 导率为常数，则达到稳定后在电容器的M 极板上：
三、计算类型
1、 感应电动势的计算：
求 方法小结：
（1）法 拉 第 电 磁 感 应 定 律 （闭 合 ） ： d
dt
（2）动 生（ 一 段 ） ： ab ( 闭 合） ：
b a
(v (v
B) dl B) dl
（3）感 生（ 一 段 ） ：
d
l
H
d
l
L1
L2
(B)
H
d
l
H
d
l
L1
L2
变化的电磁场-习题课
LdI
dt
I
O
t
(a)
O
( A)
tO
(B)
tO
(C )
O
t
t
(D)
Ñ 2.在感应电场中电磁感应定律可写成 A感）应闭电合场曲的线电场L 上强度处Er。i处此相式等表. 明：
L
r Ei
r dl
,
式dd中Φt
为
r Ei
B）感应电场是保守力场.
C）感应电场的电力线不是闭合曲线.
D）在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念.
(A)一定为零 (B)一定不为零 (C)可以不为零 (D)不可确定
5、一导体棒ab在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁 场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁 导率为常数，则达到稳定后在电容器的M 极板上：
A）带有一定量的正电荷。 B）带有一定量的负电荷。
C）带有越来越多的的正电荷。D）带有越来越多的负电荷。
(D)把线圈的角速度增大到原来的两倍.
O
8、对位移电流，有下列四种说法，请指出哪一种说法正确? A ) 位移电流是由变化的电场产生的。 B ) 位移电流是由线性变化的磁场产生的。 C ) 位移电流的热效应服从焦耳—楞次定律。 D ) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理。
9.长为L=40cm的直导线，在均匀线圈磁场中以v=5 m/s的速度 沿垂直于磁感线的方向运动时，导线两端的电动势为0.3V， 则该磁场的磁感应强度B= 0.15 T
b a
(v (v
B) dl B) dl
（3）感 生（ 一 段 ） ：
(闭 合 ） ：
b
ab E感 dl
a
E感 dl
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。
滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。
设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
故回路中的感应电动势为式中故则有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。
讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为而环形线圈的电感为L，故电压方程为当U=U0时，电流i也为直流，。
故此时导线内的切向电场为当U=U（t）时，，故即求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。
设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为可见由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于，可取，则得即得泊松方程试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。
解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中（3）在球坐标系中已知在空气中，求和。
大学物理电磁场复习课含习题
电通量 ?e 高斯面所包围的总电荷
解题步骤：
① 分析对称性，作高斯面；
② 写出高斯定理；
③ 求积分，计算场强
例
可以直接拿来用的电场强度结论：
? 均匀带电球面 r ? R
? E?
1
4?? 0
Q r2
r? r
r? R
E?0
? 无限长均匀带电直导线 ? 无限大带电平行板
E? ? 2?? 0 x0
E? ? 2? 0
?? ?
? U P ?
E ?dl
P
R? ? ?? ?
? ? ? r E 1 ?dl ? R E 2 ?dl
（三）补偿法 习题6-7，求空腔中任意点的场强。
21、一半径为 R 的带有一缺口的细圆环，
q
缺口长度为 d (d<<R) 环上均匀带有正电，电
R
O
d
荷为q，如图所示．则圆心 O处的场强大小 E
? ?0a
2? ? 0 a
??0a
要求：1、求电场强度E； 2、求电势
求电场强度的两种方法：
例 （一）用电场的叠加原理
一个电荷：
? E
?
1 4?? 0
q r2
r? r
?? ?
?
E ? E1 ? E2 ? ? ? En
? 点电荷组：
? E?
1
4?? 0
n qi r2
i?1 i
? ri ri
线： dq ? ? dl
? 电荷连续分布体： E
?
?
?dE
?
1
?4?? 0
dq ? r3 r
面： dq ? ? dS
体： dq ? ?dV
变化的磁场部分课堂例题
M
解： 由安培环路定律
B = µ0µr nI
M
Ψ = NΦ= NBS = Nµ0µr nIS dΨ dI ∴εi = − = −Nµ0µr nS dt dt 代入数值可得 εi = 0.75 V
通过线圈M 通过线圈M的全磁通
0.75 = 0.38A ∴Ii = = R 2
2秒内通过线圈Mdl = −vBdl= −ωlBdl
OA上各线元的动生电动势指向相同 OA上各线元的动生电动势指向相同
1 2 ∴εi = ∫ dεi = ∫ −ωlBdl = − ωBL o o 2 v× 的方向由A指向O 负号表示 ε i 的方向由A指向O ×
L
L
即A端积累负电荷(负极)，O端积 端积累负电荷(负极) × O 累正电荷(正极) 累正电荷(正极)
r dB 得 EK = ----方向沿逆时针方向 ----方向沿逆时针方向 2 dt 当 r >R：因管外 B = 0 × × R × dB × 0 × 2 ∴EK ⋅ 2πr = πR × × dt 2 Ek 1 R dB 得 E = K 2 r dt
方向沿逆时针方向
R
r
A
×
1 2 U0 −UA = ωBL 2
[法2]任设一个回路 2]任设一个回路 任设一个回路OAA’O OA在dt时间转过角度 时间转过角度d 设 OA在 dt时间转过角度dθ， 对 dθ 扇形 A' 面积的磁通量为 × 1 2 × × Aω dΦ = BdS= BL dθ
再假设回路中磁通量随时间而减小，由 再假设回路中磁通量随时间而减小， 的方向由A指向O 楞次定律知ε i的方向由A指向O
dx上的动生电动势为 dx上的动生电动势为
x
a
l
解： 由安培环路定律
B = µ0µr nI
M
Ψ = NΦ= NBS = Nµ0µr nIS dΨ dI ∴εi = − = −Nµ0µr nS dt dt 代入数值可得 εi = 0.75 V
通过线圈M 通过线圈M的全磁通
0.75 = 0.38A ∴Ii = = R 2
2秒内通过线圈Mdl = −vBdl= −ωlBdl
OA上各线元的动生电动势指向相同 OA上各线元的动生电动势指向相同
1 2 ∴εi = ∫ dεi = ∫ −ωlBdl = − ωBL o o 2 v× 的方向由A指向O 负号表示 ε i 的方向由A指向O ×
L
L
即A端积累负电荷(负极)，O端积 端积累负电荷(负极) × O 累正电荷(正极) 累正电荷(正极)
r dB 得 EK = ----方向沿逆时针方向 ----方向沿逆时针方向 2 dt 当 r >R：因管外 B = 0 × × R × dB × 0 × 2 ∴EK ⋅ 2πr = πR × × dt 2 Ek 1 R dB 得 E = K 2 r dt
方向沿逆时针方向
R
r
A
×
1 2 U0 −UA = ωBL 2
[法2]任设一个回路 2]任设一个回路 任设一个回路OAA’O OA在dt时间转过角度 时间转过角度d 设 OA在 dt时间转过角度dθ， 对 dθ 扇形 A' 面积的磁通量为 × 1 2 × × Aω dΦ = BdS= BL dθ
再假设回路中磁通量随时间而减小，由 再假设回路中磁通量随时间而减小， 的方向由A指向O 楞次定律知ε i的方向由A指向O
dx上的动生电动势为 dx上的动生电动势为
x
a
l
(精选)大学物理电磁感应习题课
I2
I1
Wm m dV
V D jD t
Wm
1 LI 2 2
Harbin Engineering University
四、典型例题：
Ⅰ动生电动势的计算
b
ab a Ek dl
b
(v
B)
dl
a
1.规定导线的正方向ab
2.选坐标
3.找微元dl
孙秋华
I
a
A
v
l
B
Harbin Engineering University
解：
AB
B (v B) dl
alvt cos
vBdxsin
A
avt cos
alvt cos
v
0I
dx sin
0Iv sin
ln
a
l
vt cos
L I
b.互感电动势： 12
M
dI 2 dt
M 12 I1
孙秋华
电 磁 感 应
孙秋华
Harbin Engineering University
定律 电动势
i
d m
dt
楞次定律
麦氏方程组
B
AB (v
B)
D
s
B
s dl
ds
Harbin Engineering University
教学要求
1.掌握电流密度矢量和电动势的概念 2.熟练掌握法拉第电磁感应定律，能根据定律解决实际问
题。 3.能熟练掌握动生电动势的计算。 4.正确理解自感和互感现象，会计算自感和互感及自感电
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两导线间距由d2d 的过程中,过导线间所围面积 的磁通增加了,所以两导线中都将出现 与原电流 方向相反的感应电动势。因而为保持导线中电流 不变，外接电源需要反抗感应电动势做功而消耗 电能,一部分转化为磁场能量,另一部分通过磁场 力做功转换为其它形式的能量。
OM
L
0
0 Idr 0 I a a L cos r (L ln ) 2 ( r cos a) 2 cos cos a7
3.半径为a的细长螺线管中有随时间变化的均 dB 匀磁场 ( 0), 一段导线弯成等腰梯形的闭合回路 dt ACDEA，上底长为a，下底长为2a，总电阻R，如 图6所示放置，等腰梯形所在平面与螺线管横截面 在同一平面上。求： (1) AE段、CD段和闭合回路中的感生电动势各 为多大？并指出方向.
O
B
A C
a 2a
E D
11
dB dB 0 3. 解: (1) 的方向与 B 同为 dt dt 感生电场为逆时针方向
O
B
a
E
D
AE OA AE EO AEO
dB 3 2 dB dS a dt AEO 4 dt
方向:AE
(三) 课堂讨论题
1.半径为R的无限长圆柱形空间内存在均匀磁 场B。a‚b为空间任意两点,cd为一导体棒,如图所示。 当B随时间变化时,试分析下列三个等式两边的物 理意义。并判断这三个等式哪个正确，哪个不正 确？
(1) ( 2) ( 3)
ab U ab U a U b 不正确,积分与路径有关.
cd
不正确,积分与路径有关 E E d l d l K K cd b a ced cd E K dl U dc 正确
c
e
2
d
2 .均匀磁场B充满在截面半径为R的圆柱形体 积内。两根长为2R的导体细棒AB与CD，如图放 置。AB在圆柱体直径位置上，另一根在圆柱体外。 两导体棒分别与电流计相连。当磁场变化时，讨 论AB、CD中的电动势及各回路中的电流。
(2)当两导线中保持 20A方向相反的恒定电流时，将 导线间距增至 40cm,求磁场对单位长度导线所做的功；
(3)分别计算导线分开前后单位长度导线的自感磁能， 并说明其能量关系（忽略导线内的磁场能量）。
13
4.解：已知
d 20cm , a 0.1cm .
d
(1)求两导线单位长度自感
两导线间单位长度所围面积的磁通量
C
A
2a
CD CDO
闭合回路
dB 2 dB S扇 形AOE a dt 6 dt
方向:CD
ACDEA CD AE
3 2 dB ( )a 6 4 dt
为逆时针方向
12
4.两根足够长的共面平行导线轴线间的距离为 20cm，导线半径为0.1cm。 (1)求两导线间每单位长度上的自感系数；
ba
a
0 d a 2.12 10 6 H 单位长度上的自感 L ln m a (2)两导线间距由d2d. 磁力为排斥力,磁力做正功.
0 I 0 I 0 I d a I ( )dr ln 2r 2 ( d r ) a a
I
(I = 20A不变) 则磁场对单位长度导线做功
习题课 电磁感应
(一) 教学要求
1 .掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律的物理意义， 能熟练应用法拉第电磁感应定律计算回路的感生电动 势并正确判断其方向. 2 .掌握动生电动势公式及其应用. 3 .理解感生电场的基本性质.理解当无限长圆柱形空 间内的均匀磁场随时间变化时，感生电场的分布特点， 会用感生电场的场强公式计算感生电动势. 4 . 理解自感、互感的定义及其物理意义.能计算规 则的典型回路的自感和互感系数. 5.理解磁场贮存能量的概念，会应用磁能密度计算 1 具有简单对称分布磁场的磁场能量.
Φ12 Φ21 ; Φ12 Φ21 ; Φ12 Φ21 ;
错 错
对
(4)
无法比较 Φ12 与 Φ21 的大小。
错
5
课堂计算题
例 1.一无限长直导线中通有稳恒电流 I.导线旁有L的 金属棒绕其一端O点以 匀角速度 在一平面内转动,O点到 导线的垂直距离为a（a >L）。设长直导线与金属棒的旋 转平面共面，求： (1)当金属棒转到与长直导线垂直，即ON位置时，棒 内的感应电动势 ON的大小和方向，哪一点电位高； (2)当金属棒转到图中OM位置时,MON= ,棒内的感 应电动势 OM 的大小和方向。
(2)H仅与传导电流有关；
错
错
(3)对各向同性的非铁磁质,不论抗磁质与顺磁质,
B总与H同向。
对
4
4. 两任意形状的导体回路1与2，通有相同的稳恒电流， Φ12表示回路2中的电流产生的磁场穿过回路1的磁 若以 Φ21表示回路1中的电流产生的磁场穿过回路2的磁 通， 通。是判断以下结论是否正确：
(1) ( 2) ( 3)
6
解：长直电流产生的磁场 0 I B 2 ( x a) (1)金属棒转到 ON 位置时 ON ( v B) dl
L
I
M
o
rdr
dl
N
x
(2)金属棒转到OM位置时 OM 方向：OM,M点电势高.其大小为
L a 0 I r dx 0 2 ( a x ) 0 I aL ( L a ln ) 方向：ON,N点电势高 2 a
A
d
2d
0I 0I 2 5 J Idr ln 2 5.55 10 14 m 2r 2
(3)间距由d2d单位长度自感磁能的改变
1 1 2 2 W L' I LI 2 2 1 2 0 2d a d a I (ln ln ) 5.55 10 5 J m 2 a a
G1
(1) ( 2)
AB 0
CD 0
I i1 0 Ii 2 0
R
A
B
D
G2
3
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3. 讨论下列说法是否正确？试说明理由。
(1)有人认为，磁场强度H的安培环路定理 L H dl I内
表明：若闭合回路L内没有包围传导电流，则回路L上各 点H必为零，也表明若闭合回路上各点H为零，则该回 路所包围的传导电流的代数和一定为零；