专题二函数概念与基本初等函数 第六讲函数综合及其应用答案 十年高考数学(理科)真题题型分类汇编

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲 函数综合及其应用答案部分1．A 【解析】解法一 根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示x当1x ≤时，若要()||2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需23()2x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21()4(3)02a ∆=--+≤，解得4716a -≥；当1x >时，若要()||2xf x a +≥恒成立，结合图象，只需22x x a x ++≥，即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当22x x=，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47[,2]16-．选A ． 解法二 由题意()f x 的最小值为114，此时12x =．不等式()||2xf x a +≥在R 上恒成立等价于11||24x a +≤在R 上恒成立． 当a =-12x =，11||28x -=>，不符合，排除C 、D ； 当3916a =时，令12x =，394311||||216168x +=>，不符合，排除B ．选A ． 2．D 【解析】 “燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时． 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D ．3．B 【解析】由题意可知2p at bt c =++过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入2p at bt c =++中可解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，∴20.2 1.52p t t =-+-= 20.2( 3.75)0.8125t --+，∴当 3.75t =分钟时，可食用率最大．4．D 【解析】设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则2(1)(1)(1)p q a a x ++=+，解得1x =，故选D ．5．①④【解析】①()2()2xxxx ee f x e -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质；②()3()3xxx x ee f x e -=⋅=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3()xxe f x e x =⋅，令3()xg x e x =⋅，则322()3(2)xxxg x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴3()x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2()(2)x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则22()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++⋅=++>，∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．6．8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．7．OE 交AC 于G ，由题意OE AC ⊥，设等边三角形ABC 的边长为x （05x <<），则OG x =，5GE x =-． G ODFECBA由题意可知三棱锥的高h ===底面24ABC S x ∆=，三棱锥的体积为213V x ==设45()5h x x x =，则34()20h x x x '=-（05x <<）， 令()0h x '=，解得x =(0,x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以x =()h x取得最大值4h =所以2max V === 8．2，(,1)-∞-.【解析】①若0a =，则33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤，当0x >时，20x -<；当0x …时，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0]- 上单调递减，所以函数()f x 在(,0]-∞上的最大值为(1)2f -=． 综上函数()f x 的最大值为2．②函数33y x x =-与2y x =-的大致图象如图所示若()f x 无最大值，由图象可知22a ->，即1a <-．9．24【解析】由题意得2219248bk b e e +⎧=⎨=⎩，即1119212b ke e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以该食品在33℃的保鲜时间是 3311331()()193242k b k b y e e e +==⋅=⨯=．10．)+∞【解析】函数()g x 的定义域为[1,2]-，根据已知得()()()2h x g xf x +=，所以()=2()()62h x f x g x x b -=+()()hx g x >恒成立， 即62x b +，令3y x b =+，y =，则只要直线3y x b =+在半圆224(0)xy y +=≥2>，解得b >，故实数b 的取值范围是)+∞．11．160【解析】设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长x m ，因为无盖长方体的容积为34m ，高为1m ，所以长方体的底面矩形的宽为4m x，依题意，得24420410(2)8020()8020160y x x x x ⨯=⨯++=+++⨯=≥ 12．①③④【解析】对于①，根据题中定义，()A f x ∈⇔函数()y f x =，x D ∈的值域为R ，由函数值域的概念知，函数()y f x =，x D ∈的值域为,R b R a D ⇔∀∈∃∈()f a b =，所以①正确；对于②，例如函数||1()()2x f x =的值域(0,1]包含于区间[1,1]-，所以()f x B ∈，但()f x 有最大值l ，没有最小值，所以②错误；对于③，若()()f x g x B +∈，则存在一个正数1M ，使得函数()()f x g x B +∈的值域包含于区间11[,]M M -，所以1M -≤()f x 1()g x M +≤，由()g x B ∈知，存在一个正数2M ，使得函数()g x 的值域包含于区间22[,]M M -，所以22()M g x M -≤≤，亦有22()M g x M -≤-≤，两式相加得12()M M -+≤()f x ≤12M M +，于是()f x B ∈，与已知“.()f x A ∈”矛盾，故()()f x g x B +∉，即③正确；对于④，如果0a >， 那么,()x f x →+∞→+∞，如果0a <，那么2,()x f x →-→+∞，所以()f x 有最大值，必须0a =，此时2()1x f x x =+在区间(2,)-+∞上，有11()22f x -≤≤， 所以()f x B ∈，即④正确，故填①③④．13．【解析】(1)当030x <≤时，()3040f x =<恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间； 当30100x <<时，若40()f x <，即180029040x x+->，解得20x <（舍）或45x >； ∴当45100x <<时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为%n x ⋅，乘公交人数为(1%)n x ⋅-．因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100n x n x x ng x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪⎩≤，整理得：240,0010()1(32.5)36.875,3010050x x g x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3，则当(0,30](30,32.5]x ∈，即(0,32.5]x ∈时，()g x 单调递减；当(32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增．实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短． 适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．14．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．θHE KGNM PO ABC D过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=， 故40cos OE θ=，40sin EC θ=，则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，CDP ∆的面积为1240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2θθθθθ⨯⨯-=-．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6πθ∈． 当0[,)2πθθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是1[,1)4．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1[,1)4．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >， 则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯-8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2πθθ∈．设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,)2πθθ∈，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+． 令()0f θ'=，得π6θ=， 当0(,)6πθθ∈时，()>0f θ′，所以()f θ为增函数； 当(,)62ππθ∈时，()<0f θ′，所以()f θ为减函数， 因此，当π6θ=时，()f θ取到最大值．答：当π6θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．15．【解析】（1）由21log 50x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭．（2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意． 当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．16．【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2ay x b =+，得4025 2.5400ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x '=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫B ⎪⎝⎭． 故()f t ==，[]5,20t ∈． ②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为千米．17．【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为1002200rh rh ππ⋅=元，底面的总成本为2160r π元，所以蓄水池的总成本为（2200160rh r ππ+）元.又题意据220016012000rh r πππ+=，所以21(3004)5h r r=-， 从而23()(3004)5V r r h r r ππ==-．因0r >，又由0h >可得r <故函数()V r的定义域为. （Ⅱ）因3()(3004)5V r r r π=-，故2()(30012)5V r r π'=-．令()0V r '=，解得125,5r r ==-（因25r =-不在定义域内，舍去）. 当(0,5)r ∈时，()0V r '>，故()V r 在(0,5)上为增函数；当r ∈时，()0V r '<，故()V r在上为减函数. 由此可知，()V r 在5r =处取得最大值，此时8h =． 即当5r =，8h =时，该蓄水池的体积最大．18．【解析】（1）当1,1,2b c n ==-…时，()1nf x x x =+-．∵111()(1)()10222n f f =-⨯<，∴()f x 在1(,1)2内存在零点．又当1(,1)2x ∈时，1()10n f x nx -'=+>，∴()f x 在1(,1)2上是单调递增的，∴()f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点；（2）解法一 由题意知1(1)1,1(1)1,f f --⎧⎨-⎩剟剟即02,20,b c b c -⎧⎨-+⎩剟剟由图像知，3b c +在点(0,2)-取得最小值6-，在点(0,0)取得最大值0．b解法二 由题意知1(1)11f b c-=++剟，即20b c -+剟．…①1(1)11f b c --=-+剟，即20b c --+?-?．…② ①2⨯+②得62()()30b c b c b c -++-+=+?-?当0,2b c ==-时，36b c +=-；当0b c ==时，30b c += 所以3b c +的最小值6-，最大值0．解法三 由题意知(1)1,(1)1,f b c f b c -=-+⎧⎨=++⎩,解得(1)(1)(1)(1)2,22f f f f b c --+--==32(1)(1)3b c f f +=+--．又∵1(1)1,1(1)1,f f --⎧⎨-⎩剟剟, ∴630b c -+??当0,2b c ==-时，36b c +=-；当0b c ==时，30b c += 所以3b c +的最小值6-，最大值0． (3)当2n =时,2()f x x bx c =++．对任意12,x x [1,1]∈-都有有12()()4f x f x -…等价于()f x 在[-1,1]上的最大值与最小值之差4M …．据此分类讨论如下: (ⅰ)当12b>,即2b >时, (1)(1)24M f f b =--=>,与题设矛盾． (ⅱ)当102b --<…,即02b <…时, 2(1)()(1)422b bM f f =--=+…恒成立． (ⅲ) 当012b -<…,即20b -剟时, 2(1)()(1)422b b M f f =---=-…恒成立．综上可知,22b -剟．19．【解析】设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得.300),30(22260,2<<-=-==x x xh x a（1）,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S所以当15=x 时，S 取得最大值．（2）).20(26),30(22222x x V x x h a V -='+-==由00=='x V 得（舍）或x =20．当)20,0(∈x 时，0;(20,30)0V x V ''>∈<当时．所以当x =20时，V 取得极大值，也是最小值． 此时1122h a =即装盒的高与底面边长的比值为12．。