4.1.2圆的一般方程.ppt共21页文档
合集下载
4.1.2圆的一般方程
例题分析
例1、求过三O(0,0),M1(1,1), M2(4,2)的圆的方程，并求这个 圆的半径和圆心坐标.
例2、已知线段AB的端点B的坐标是 1
(4,3),2 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动， 求线段AB的中点M的轨迹方程，
1、求下列各圆的一般方程： (1)过点A(5，1)， 圆心在点C(8，-3)； (2)过三点A(-1，5)、 B(5，5)、C(6，-2)．
2、求圆心在直线 l：x+y=且过
两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和 C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的 圆的方程．
小结
（1）任何一个圆的方程都可以写
X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是
方程X2+y2+Dx+Ey+F=( D0,的E) 曲线不
22
一r 定1 是D2 圆E2 ，4F 只有在D2+E2-4F>0时，
能不能说方程X2+y2+Dx+Ey+F=0所表示 的曲线一定是圆呢？
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径
（1）x2+y2-2x+4y-4=0
圆心（1，-2）半径3
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 圆心（3，-1）半径 10
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 （4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
§4.1.2 圆的一般方程
引入新课
将圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，
必修二4.1.2圆的一般方程课件
(1). x 2 y 2 0
原点
(2). x 2 y 2 2 x 4 y 6 圆心(1,2) ，半径 r 11 当a 0时，以(a,0)为圆心， a 为半径 (3). x 2 y 2 ２ax 0 当a 0时，表示原点 3. x 2 y 2 4mx 2 y 4m2 m 0表示圆时，则 m (,1)
（1）当_______________时，方程表示一个圆，圆 心为________,半径为______________. （2）当_______________时，方程表示一个点_________ （3）当_______________时，方程无解，不表示任何曲线
3.圆的一般方程： _____________________________________
预习自测
1．求下列各圆的圆心坐标和半径(先配成标准方程)： 方程 x2 y 2 6x 0 圆心 (3,0) (0,1)
(1,2)
x2 y 2 2 y 0
3x2 3 y 2 6x 12y 9 0
半径 r 3 r 1
r 2
2．下列方程分别表示什么图形，若是圆，需指出圆心坐标和半径：
例3.已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，
端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4上运动，求线段
AB的中点M的轨迹方程．
课堂小结
1.圆的一般方程为：________________________ 该圆的圆心坐标是 ，半径 是 。一般方程化标准方程的方 法是 配方法 。 2.求圆的方程： （ 1 ）几何法：直接算出圆心坐标和半径（根据 圆的几何性质）； （2）待定系数法：①设标准方程； ②设一般方程（过已知三点时最好用） 3.坐标转移法求点的轨迹方程的基本步骤: （设、转、代、求、答）
原点
(2). x 2 y 2 2 x 4 y 6 圆心(1,2) ，半径 r 11 当a 0时，以(a,0)为圆心， a 为半径 (3). x 2 y 2 ２ax 0 当a 0时，表示原点 3. x 2 y 2 4mx 2 y 4m2 m 0表示圆时，则 m (,1)
（1）当_______________时，方程表示一个圆，圆 心为________,半径为______________. （2）当_______________时，方程表示一个点_________ （3）当_______________时，方程无解，不表示任何曲线
3.圆的一般方程： _____________________________________
预习自测
1．求下列各圆的圆心坐标和半径(先配成标准方程)： 方程 x2 y 2 6x 0 圆心 (3,0) (0,1)
(1,2)
x2 y 2 2 y 0
3x2 3 y 2 6x 12y 9 0
半径 r 3 r 1
r 2
2．下列方程分别表示什么图形，若是圆，需指出圆心坐标和半径：
例3.已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，
端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4上运动，求线段
AB的中点M的轨迹方程．
课堂小结
1.圆的一般方程为：________________________ 该圆的圆心坐标是 ，半径 是 。一般方程化标准方程的方 法是 配方法 。 2.求圆的方程： （ 1 ）几何法：直接算出圆心坐标和半径（根据 圆的几何性质）； （2）待定系数法：①设标准方程； ②设一般方程（过已知三点时最好用） 3.坐标转移法求点的轨迹方程的基本步骤: （设、转、代、求、答）
课件8：4.1.2 圆的一般方程
跟踪训练 3 (1)已知一曲线是与两个定点 O(0,0)，A(3,0) 距离的比为21的点的轨迹，求出曲线的方程； (2)已知点 A(－1,1)，B(3,3)是圆 C 的一条直径的两个端点， 又点 M 在圆 C 上运动，点 N(4，－2)，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程．
解：(1)设点 M(x，y)是曲线上任意一点，则由题意知||MMOA||＝12. 由两点间的距离公式知，上式用坐标表示为 (x－x23＋)2y＋2 y2＝12， 两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0， 将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.
解：方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，
1＋16＋D＋4E＋F＝0
∴4＋9－2D＋3E＋F＝0 16＋25＋4D－5E＋F＝0，
D＝－2
∴E＝2 F＝－23，
∴△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为 5.
3．若 l 是经过点 P(－1,0)和圆 x2＋y2＋4x－2y＋3＝0 的 圆心的直线，则 l 在 y 轴上的截距是________． 【解析】圆心 C(－2,1)，则直线 l 的斜率 k＝－12－＋01＝－1， 所以直线 l 的方程是 y－0＝－(x＋1)，即 y＝－x－1， 所以 l 在 y 轴上的截距是－1. 【答案】－1
25
4
C. 3
D.3
【解析】设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
1＋D＋F＝0，
则3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2， 解得E＝－4 3 3，
F＝1.
∴△ABC
4.1.2 圆的一般方程PPT名师课件
4．1.2 圆的一般方程PPT名师课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
4．1.2 圆的一般方程PPT名师课件
【变式 3】 已知一动点 P 到两个定点 A(0,0)，B(3,0)的距离之 比为12，求动点 P 的轨迹方程，并说明轨迹的图形． 解 设动点 P 的坐标为(x，y)， 则点 P(x，y)满足||PPAB||＝12， 即 x－x23＋2y＋2 y2＝12，化简得 x2＋y2＋2x－3＝0. 即(x＋1)2＋y2＝4，所以动点 P 的轨迹是以点(－1,0)为圆心，以 2 为半径的圆．
4．1.2 圆的一般方程PPT名师课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
4．1.2 圆的一般方程PPT名师课件
[正解] ∵点 A 在圆外，
∴a－2＋24a－2＋2a－2－33×2－24＋aa2＋2＋aa＞＞00，，
a＞2， ∴a＜94，
即 2＜a＜94，∴a 的取值范围是 2＜a＜94.
4．1.2 圆的一般方程PPT名师课件
题型三 求动点的轨迹方程 【例 3】 已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(8,6)，端点 A 在圆 C： (x＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程，并说 明它的轨迹是什么？ 审题指导
4．1.2 圆的一般方程PPT名师课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
[规范解答] 设点 P 的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x ，y )，由 4．1.2圆的一般方程PPT名师课件
4．1.2 圆的一般方程PPT名师课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
4．1.2 圆的一般方程PPT名师课件
名师点睛 1．圆的一般方程的概念及判定 形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程，判定其是否表示 圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程定义判断 D2＋E2－4F 是否为正，若 D2＋E2 －4F＞0，则方程表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方变形成标准形式后，根据圆的标准方程的特征， 观察是否可以表示圆．
4.1.2 圆的一般方程PPT课件
例2:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4, 2)的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F = 0
D = -8
D
+
E
+
F
+
2
=
0
E
=
6
பைடு நூலகம்
4D + 2E + F + 20 = 0 F = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
思考
一般式有那些特点 ？
(1) x2和y2 的系数相同，且不等于零；
(2) 没有 xy 项； (3) D2 + E2 - 4F>0
圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
方法一： 几何方法
数学4.1.2《圆的一般方程》课件
与 x2 y2 2x 4 y 6 0 表示的图形
都是圆吗？为什1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y2 Dx Ey F 0 的形式，但方程 x2 y2 Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当 D2 E2 4F 0 时，方程表示圆心为 ( D , E ) ，半径 为 1 D2 E2 4F 的圆. 2 2
思考1:圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2 展开可得到一个什么式子?
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业：
P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
都是圆吗？为什1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y2 Dx Ey F 0 的形式，但方程 x2 y2 Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当 D2 E2 4F 0 时，方程表示圆心为 ( D , E ) ，半径 为 1 D2 E2 4F 的圆. 2 2
思考1:圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2 展开可得到一个什么式子?
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业：
P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
课件1 ：4.1.2 圆的一般方程
的半径．
跟 踪 训 练
(1)解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
+ (−) + + − + =
(−) +(−) + − + − + =
− −∙ −
−=
= ,
∴ቐ = ,
= −,
∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形.
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
(− , − )
表示一个点____________
F＝0
D2＋E2－4F>0
(− , − )
表示以____________为圆心，以
第四章
圆与方程
§4.1.2 圆的一般方程
高中数学必修2·精品课件
学习目标
1．正确理解圆的一般方程及其特点．
2．会求圆的一般方程．
3．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．
预习导学
基 础 梳 理
1．圆的一般方程的定义．
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_________________________
它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
跟 踪 训 练
2．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心
在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
(2)求过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)的圆的方程．
4.1.2 圆的一般方程(共25张PPT)
【解析】 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
－D＝－E，
则圆心是(－D2 ，－E2)，由题意知，
22 2－D＋E＋F＝0，
10＋3D－E＋F＝0，
解得 D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
【答案】 x2＋y2－4x－4y－2＝0
栏目 导引
第四章 圆与方程
栏目 导引
第四章 圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、B、C 为三角形的三个顶点，所以 A、B、C 三点不共 线．即点 B、C 不能重合且 B、C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)．
栏目 导引
第四章 圆与Байду номын сангаас程
栏目 导引
第四章 圆与方程
解：(1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项，
∴它不能表示圆．
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
F＝－ 4.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
法二：直线 AB 的垂直平分线的方程为 y＝2(x－1)，令 y＝
0，得 x＝1，即圆心坐标是(1,0)，半径 r＝ 5，故所求圆的
方程为(x－1)2＋y2＝5.即一般方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
栏目 导引
第四章 圆与方程
题型三 有关圆的轨迹问题
(3)当 _D_2_＋__E_2_－__4_F__>_0_时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐 标