圆孔夫琅和费衍射光强分析
圆孔的夫朗和费衍射
圆孔的夫朗和费衍射1、圆孔的夫朗和费衍射：根据几何光学，平行光经过球面凸透镜后将会聚于透镜焦平面上一点。
但实际上，由于光的波动性，平行光经过小圆孔后也会产生衍射现象，称为圆孔的夫朗和费衍射。
圆孔的夫朗和费衍射图样为一个圆形的亮斑（称为爱里斑），在爱里斑的周围还有一组明暗相间的同心圆环。
由于光学仪器中所用的孔径光阑、透镜的边框等都相当于一个透光的圆孔，所以圆孔的夫朗和费衍射对光学系统的成像质量有直接影响。
爱里斑光强约占总光强的84% 。
而其1级暗环的角宽度（即爱里斑半角宽度）满足D 22.1R610.0sin 1λλθ==式中R 、D 为小圆孔的半径和直径。
2、光学仪器的分辨本领：由于圆孔衍射现象的限制，光学仪器的分辨能力有一个最高的极限。
下面通过光学仪器分辨本领的讨论，说明为什么有一个分辨极限，并给出分辨极限的大小。
当两个物点S 1、S 2很靠近时（设S 1、S 2光强相等），两个爱里斑将互相重叠而无法分辨。
对一个光学仪器来说，若一个点光源产生的爱里斑的中央刚好与另一个点光源产生的爱里斑瑞的1级暗环相重合，这时两个爱里斑重合部分的光强约为单个爱里斑中央光强的80%左右，一般人眼刚好能分辨出这是两个光点的像。
因此，满足上述条件的两个点光源恰好能被该光学仪器所分辨。
这一条件称为瑞利分辨判据。
（见下图）恰能分辨时两光源发出的光线对透镜光心的夹角Δθ 称为最小分辨角，用δθ表示。
由上讨论可知，最小分辨角δθ等于爱里斑的半角宽度θ1：)D 22.1arcsin(1λθδθ==尤其当θ1 ~ 0D 22.1λδθ≈（或称分辨率），用R 表示：λδθ22.1D 1R ==讨论：⑴ 增大透镜的直径D 可提高镜头的分辨率。
光学天文望远镜的镜头孔径可达数米！ ⑵ 设r 、d 为爱里斑的半径和直径，则：f 2d f r D 22.1===λδθ即：D f44.2d λ=f D称为镜头的相对孔径（越大越好）。
如照相机镜头上所标示的502:1字样，即表示镜头的焦距mm 50f =，而镜头的孔径mm 25D =。
不同形状孔的弗朗禾费衍射
−ⅈ
̃0 () ⅆ （2）
∬
0
(0 )
现在假设一个坐标系，如图（1）
把坐标系带入到方程（2），则可以得到
图（1）
∞
2
( 2 + 2)
(
)
2
(, ) =
× ∬ (0 , 0 ) − 0 +0 ⅆ0 ⅆ0
ⅈ
−∞
其中(0 , 0 )为衍射屏后的复振幅，为光波的波长， =
6. 正 N 变形
到此处，我们可以设想任意 N 边形衍射孔形成的衍射强度分布。
思路是这样的：将一个任意正 N 边形孔分割成 N 个分别全等的等腰三角形，然后
使每个等腰三角形所形成的衍射场相干叠加所
形成的衍射场就是这个正 N 边形所形成的衍射
场（如图（15））。
有计算机所绘制的图像和导出公式可以看出：
B(j)=pi*a*y(j)/(lmda*z);
I(i,j)=((sin(A(i)))/(A(i)+eps))^2*((sin(B(j)))/(B(j)+eps))^2;
end
end
>> figure(1)
>> imshow(I*225)
>> figure(2)
>> mesh(I)
8
图（8） 正方形孔的夫琅禾费衍射振动分布
并且用 matlab 和 mathematical 绘制出衍射强度分布的图像。由此，我们可以推
广出任意正 N 边形的夫琅禾费衍射公式。同时，我们假设任意不规则形状的夫琅
禾费衍射的计算思路。
关键字：夫琅禾费衍射，等腰三角形，正 N 变形
1. 引言
夫琅禾费圆孔衍射公式
夫琅禾费圆孔衍射公式夫琅禾费圆孔衍射公式是描述光线通过一个圆孔时的衍射现象的数学公式。
它可以用来计算衍射光的强度分布情况，进一步揭示光的波动性质。
本文将介绍夫琅禾费圆孔衍射公式的基本原理和应用。
夫琅禾费圆孔衍射公式的原理是基于惠更斯-菲涅尔原理和赫兹积分定理。
根据这两个原理，我们可以将一个圆孔近似看作无数个点光源的叠加，每个点光源都是由圆孔上的每一点发出的球面波。
当这些球面波在远离圆孔时相互叠加时，形成了一种干涉现象，即衍射现象。
夫琅禾费圆孔衍射公式的表达形式为：I(θ) = I_0 * (J1(α) / α)^2其中，I(θ)表示在θ方向上的光强分布，I_0表示中央峰的光强，J1(α)表示第一类贝塞尔函数，α表示无量纲的衍射角，其定义为α = (π * a * sin(θ)) / λ，其中a为圆孔半径，λ为入射光的波长。
夫琅禾费圆孔衍射公式告诉我们，光强的分布与衍射角有关。
当衍射角较小时，即光线以近似平行的方式射向圆孔时，衍射现象不明显，光强分布呈现出一个中央峰和一些弱的旁边峰。
随着衍射角的增大，中央峰逐渐减弱，旁边峰逐渐增强，最终形成一系列的衍射环。
夫琅禾费圆孔衍射公式的应用非常广泛。
首先，它可以用来解释和预测光通过圆孔时的衍射现象。
例如，在天文学中，我们可以利用夫琅禾费圆孔衍射公式来研究星光经过望远镜的衍射效应，从而探测和测量天体的角直径。
其次，夫琅禾费圆孔衍射公式也可以应用于光学元件的设计和优化。
例如，在激光技术中，我们可以根据夫琅禾费圆孔衍射公式来设计和调整光束的直径和光强分布，以满足实际应用需求。
此外，夫琅禾费圆孔衍射公式还可以应用于其他领域，如光学信息处理、光学显微镜等。
除了夫琅禾费圆孔衍射公式，还有其他一些相关的衍射公式和现象，如多孔衍射、狭缝衍射等。
这些公式和现象都是研究光的波动性质和光与物质相互作用的重要工具。
通过深入研究这些公式和现象，我们可以更好地理解和应用光学原理，推动光学科学和技术的发展。
夫琅禾费单缝衍射光强分布的研究
夫琅禾费单缝衍射光强分布的研究（Research Of Fraunhofer Single Slot Diffraction Of LightIntensity Distribution）摘要：我们在光学中学习了有关夫琅禾费单缝衍射和圆孔衍射的内容，本文主要是对夫琅禾费单缝衍射光强的计算公式进行数学推导以及拓展，并且根据推导的数学公式对夫琅禾费单缝衍射光强分布情况进行讨论，对夫琅禾费单缝衍射的特点进行分析介绍。
关键词：夫琅禾费单缝衍射（Fraunhofer single slot diffraction）、光强（Light intensity）、光强分布（Light intensity distribution）、最大值（Maximum）引言：光的衍射是光的波动性的重要现象之一。
衍射现象即波在传播过程中不沿直线传播，而是向各方向绕射的现象。
而光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象，称为光的衍射。
在衍射现象中，把平行光束的衍射现象，称为夫琅禾费衍射。
夫琅禾费衍射在光学研究中有着重要意义，它主要包括单缝衍射、圆孔衍射。
这里我重点介绍夫琅禾费单缝衍射的光强分布特点。
一、夫琅禾费单缝衍射实验装置与衍射图样的特点。
所谓夫琅禾费衍射是指光源、衍射屏和观察屏三者之间都是相距无限远的衍射情况。
即相当于入射光和衍射光都是平行的情况。
在这种情况下计算衍射花样中光强的分布时，数学运算就比较简单。
所谓光源在无限远，实际上就是把光源置于第一个透镜的焦平面上，使之成为平行光束；所谓观察角在无限远，实际上是在第二个透镜的焦平面上观察衍射花样。
由于透镜的会聚，衍射花样的光强将比菲涅耳衍射花样的光强大大增加。
夫琅禾费单缝衍射包含着衍射现象的许多主要特征。
夫琅禾费单缝衍射光路图如下图所示：夫琅禾费单缝衍射图样的主要特点如下：（1）中央有一条特别明亮的亮条纹，其宽度是其他亮条纹的两倍；其他亮条纹的宽度相等，亮度逐渐下降。
夫琅禾费衍射
夫琅禾费衍射摘要：运用数学方法推导了不同孔径夫琅禾费衍射的振幅和光强分布，并作出计算机模拟图，定性定量的研究夫朗禾费衍射的光强分布和图样。
引言光学中的衍射分为近场衍射和远场衍射，而我们在实验室见到的多是远场衍射，即夫琅禾费衍射，所以本文对其进行了进一步研究。
夫琅禾费衍射是平行光入射，所以可以较容易的用数学方法对其研究论证。
本文对不同孔径的夫琅禾费衍射进行了研究，掌握了他们的成像规律才能将其更好的应用在实际生活中。
关键词:夫朗禾费衍射 光强分布 计算机模拟 惠更斯-菲涅耳原理 傅里叶变换 1夫琅禾费单缝衍射光强及分布的研究衍射花样的光强分布B'M Bx FP 0PI/I 0光强振幅－3π-2π-ππ2π3π－3π-2π-ππ2π3πy=tguuuy图1 图2当光屏放置在透镜2L 的焦平面上时，屏上出现衍射花样，光强的分布可由u c I I 20sin =式决定，不同的衍射角θ对应于光屏上不同的观察点，首先来决定衍射花样中光强最大值和最小值的位置，即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：()2222sin cos sin sin 0u u u u d u du u u -⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由此得sin 0,u u tgu ==分别解以上两式，可得出所有的极值点。
1）单缝衍射中央最大值的位置：由sin 0u =，解得满足()00sin /u b πθλ=的那个方向，即0sin θ=0 (中央最大值的位置) （1）也就是在焦点0P 处，200p I =A ，光强为最大。
这里，叠加的各个次波位相差为零，所以振幅叠加相互加强。
2）单缝衍射最小值的位置由sin u =0 ，解得满足 2(s i n )/2k k u b k πθλπ== 的一些衍射方向，即sin k kbλθ=（最小值位置）()1,2,3,k =±±± （2）时，p A 为零，屏上这些点是暗的。
3）单缝衍射次最大的位置在每两个相邻最小值之间有一最大值，这些最大值的位置可由u tgu =这一超越方程解得，我们可以用图解法求得u 的值，作直线y u =和正切曲线y tgu =（图3的下半部），它们的诸交点就是这个超越方程的解：12340, 1.43, 2.463.47, 4.48,u u u u u ππππ==±=±=±=±由此可得分列于中央主最大两边的其他最大值（称为次最大）的位置为()1020300003sin 1.4325sin 2.4627sin 3.4721sin 21,2,k bb bbbbk b k λλθλλθλλθλθ=±≈±=±≈±=±≈±⎛⎫≈±+ ⎪⎝⎭=3) 把这些θ值代入u c I I 20sin =式，可得各最大值光强的比值，若以中央最大的光强20A 为1，即使振幅归一化，则对于10θ,20θ,30θ…处，次最大光强依次为2221230.0472,0.0165,0.0083,A =A =A = 衍射花样最大值与最小值位置沿着垂直于缝长的方向分S(图 3)布，（图3），并由（1）、（2）和（3）三式决定，在居间位置，光强也介乎最大值与最小值之间。
圆孔夫琅禾费衍射光强分布
圆孔夫琅禾费衍射光强分布
圆孔夫琅禾费衍射是一种描述光波通过圆孔时产生衍射现象的物理现象。
它可以用来解释圆孔表面附近的光强分布。
下面是对圆孔夫琅禾费衍射光强分布的简要描述：
当光波通过一个很小的圆孔时，它会发生衍射现象，也就是光波沿着圆孔边缘会向各个方向弯曲。
这个现象可以用夫琅禾费衍射公式来描述。
在圆孔的正常衍射中，光波从圆孔中心向外辐射，并形成一系列明暗相间的同心圆环，这些圆环被称为夫琅禾费环。
光强分布遵循以下规律：
1.中央亮斑：在衍射图案的中心，有一个明亮的中央亮斑，
代表着光波的最大强度。
2.夫琅禾费环：在中央亮斑周围，有一系列明暗相间的环形
区域。
最亮的环位于中央亮斑的外侧，而远离中央亮斑的环则逐渐变暗。
3.同心圆环：夫琅禾费环由一系列同心圆环构成，每个环的
宽度越来越窄，光强越来越弱。
4.光强衰减：随着距离中央亮斑的距离增加，光强呈指数衰
减，这意味着离中央亮斑越远，光强越低。
总结来说，圆孔夫琅禾费衍射的光强分布在中央呈峰值，然后逐渐减弱形成一系列明暗相间的夫琅禾费环。
这种现象是衍射光学中经典的示例，也是光波在通过小孔时产生的典型干涉现
象。
夫琅禾费圆孔衍射课件
目录
• 夫琅禾费圆孔衍射概述 • 衍射现象与波动理论 • 实验操作与结果分析 • 误差来源与实验改进 • 结论与展望
01
CATALOGUE
夫琅禾费圆孔衍射概述
定义与特点
定义
夫琅禾费圆孔衍射是指光通过一 个有限大小的圆孔后，在远场产 生的衍射现象。
特点
圆孔衍射的强度分布具有明暗相 间的干涉条纹，且随着孔径的减 小，条纹变得越明显。
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衍射现象与衍射系数
衍射现象
当光波遇到障碍物时，会绕过障碍物边缘继续传播的现象。
衍射系数
描述光波在衍射过程中各方向上强度分布的系数，与障碍物的形状、大小和波长 有关。
衍射的数学描述
惠更斯-菲涅尔原理
光波在传播过程中，每一个波前都可 以被视为新的子波源，子波的包络面 形成新的波前。
基尔霍夫衍射公式
描述了衍射光强分布的数学公式，是 求解衍射问题的重要工具。
研究展望与未步深入研究夫琅禾费圆孔衍射的 物理机制和数学模型，探索更精确的 理论预测方法，以提高实验结果的预 测精度。
加强与其他学科的交叉研究，如物理 学、数学、工程学等，以促进多学科 的融合与创新，推动光学技术的进步 与发展。
展望二
拓展夫琅禾费圆孔衍射的应用领域， 如光学成像、光束整形、光学微操纵 等，发掘其在现代光学技术中的潜在 应用价值。
01
02
03
04
使用高精度仪器
采用高精度测量仪器，如高精 度显微镜和测角仪，以提高测
量精度。
控制环境因素
在实验过程中，尽量减小环境 因素的影响，如保持室内恒温
、减少气流扰动等。
优化测量方法
采用更精确的测量方法，如使 用计算机辅助测量技术，以提
圆孔衍射相对光强分布实验报告完整版
[实验数据处理与分析]
1.菲涅尔圆孔衍射实验数据与分析
表1实验中所测数据
序号
1
2
3
亮斑位置
90cm
32cm
18cm
暗斑位置
45cm25Leabharlann m16cm图1半波带法
表2亮暗斑的理论计算区间
K
5
[实验思考题]
1.在满足远场条件下，本实验中，并没有使用透镜而获得夫琅禾费衍射图样。请简述远场条件。
答：本实验中，采用激光作为光源，因激光束的发散角很小（ ），单缝的宽度a也很小，所以采用激光束直接照射狭缝，可认为是平行光入射。[1]
图2远场条件图示
参考文献：
[1]刘希，任天航，白翠琴，马世红.夫琅禾费衍射光强的反常分布和Matlab模拟[J],物理实验Vol.33,No.8,2013
8.5
根据艾里斑直径计算公式： ，得到艾里斑直径的理论值：
表4艾里斑直径的理论值
f=74cm
孔径（mm）
0.5
0.3
0.15
艾里斑直径（mm）
2.28
3.8
7.6
f=92cm
孔径（mm）
0.5
0.3
0.15
艾里斑直径（mm）
2.8
4.8
9.4
表5相对误差分析
f=74cm
孔径（mm）
0.5
0.3
0.15
基础物理实验（Ⅱ）课程实验报告
实验2.9圆孔衍射相对光强分布
（2）实验步骤
1.参照图沿平台放置个光学元件，如果没有透镜，也可以不用透镜，调节共轴，获得衍射图样。注意检查扩束后是否为平行光。
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第２ ８卷
第 ３期
太
原
科
技
大
学
学
报
Ｖ １２ Ｎ ． ｏ．８ ｏ３
Ｊｎ ２０ ｕ ．０７
２０ ０ ７年 ６月
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ａ Ｙ Ａ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ Ｏ Ｃ Ｅ Ｃ Ｎ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ Ｙ Ｏ Ｒ Ａ ＦＴ Ｉ Ｕ Ｎ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｆ Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ Ａ Ｄ Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ
１ 夫琅和费衍射的 实验装置
通常按光源 、 衍射屏 、 接收场三者之 间的位 置
收稿 日期 ：０６ １－８ ２０ ． ０ ０ 作者简介 ： 王青狮 （９ ７一） 男 ， １５ ， 副教授 ， 研究方 向为光纤 光学。
２ 基尔霍夫衍射公式
１７ 年惠更斯 为了描述波 的传播过程提 出了 ６８
接收 点 Ｐ的复振 幅 和子 波源 的面积 成 正 比 ， 和
距离成反比， 和波阵面的法线与Ｐ点的夹角 相 （ ）
关 ，８２年基 尔霍 夫 利 用 格 林 定 理 这一 数学 工 具 ， １８
ｒ
其 ＝ ＝ 中 笔 半 毛 ＝
上式 为夫琅 和费衍 射积 分 的标 准形式 ， 的特 它
ｊｈ
ｕＰ （ ）＝Ｃ ｕ Ｐ ） 一ｓ Ｉ（。 （） ｄ
圭 ｒ
（） １
征是被积函数 由两个因子组成， 反映衍射屏透射率
函 数 ｔ Ｙ ， 和 线 性 因 子 ｅｐ （ ） ， ｘ ［一－ ｋｉ０ ＋ 『 ｓ ， （ ｎ ｋｉ０Ｙ ］ 以后只 要接收 屏 处 的函数 能 表示 为 上式 ｓｎ：） ， 的形 式 ， 称 这种 装 置 为 夫 琅 和 费 衍 射 装置 ， 应 则 对 的衍 射 为夫琅 和费衍 射 。 从夫 琅 和费 衍射 的数 学形
中 ， 光源 通 过 透镜 将 光 线 变 为平 行 光 ， 当 于 光 点 相
光波传播过程 中由于波前受到限制， 光波的空 间复 振幅和位相受到了调制 ， 从而改变 了光复振幅的空
间分 布 。从 近代工 程 光 学 的 观点 来 看 ， 以把 光 学 可
系统看作是收集和传递光信息的系统 ， 它的作用和
通信 系 统 在 本 质 上 是 相 同 的 ， 不 过 在 通 信 系 统 只 中 ， 息是 时 间性 的 ， 随 时 间 变 化 的 电流 和 电 压 信 如
来自 无穷远 ， 过衍射屏后 ， 通 以通 过一个透镜 将各 种角度 的平行衍射光线汇聚在透镜 的后焦面上， 即 焦平面上的每一个点 ， 均代表一组衍射角为 ０的平
— — — — — —
（定 义装置 ａ ）
一
—
▲
ｐ ０
上恰好是衍射屏的傅里叶变换 ， 空域 函数通过傅里 叶变换得到空间频 率分布 函数 ， 通过对频谱 信息 的 加工 、 处理 可 以完 成 空间滤 波 、 图像 处理 、 学全 光 息、 干涉计量等一 系列重要 的光信 息处理课 题 ， 形 成了近代光学中最重要的分支傅里叶变换光学 。
的光强 分 布 及 所 携 带 信 息 的 变 化 有 重 要 的 意 义 。
关系是有 限远还是无 限远将衍射分 为菲涅 耳衍射 和夫琅和费衍 射两大类， 射屏 距光源 、 收屏均 衍 接 为无限远者为夫琅和费衍射 ， 有多种装置可 以实现 夫琅和费衍射 ， ｌ为夫 琅和费衍射装 置图， ｌ 图 图 （） ａ 中为夫琅和费衍射的定义装置 ， ｌ ｂ 则是实 图 （） 现夫琅和费衍射的最 常见 的物理装置。在图 １ ｂ （）
文章 编号 ：６ ３— ０ ７ ２０ ０ ０ １ ０ １７ ２ ５ （０７）３－ ２７－ ３
圆孔夫 琅 和 费 衍射 光 强 分 析
王青狮
（ 太原科技 大学应用科学学院 ， 太原 ００ ２ ） ３０ ４
摘 要： 利用傅里叶 变换方 法得 出了圆孔 夫琅 和 费衍 射光 强分布 的解析表 达 式， 分析 了光 强分布
；
—
—
—
—
■： ： ； 三；；
焦
＿ — —
Ｆ （） 面 接 收 ｂ焦
平
＝ ：
图 １ 夫琅和费衍射装置图
Ｆ ｇ １ Ｉｌ ｓ ｒ ｃ ｉ ｎ ｏ ｒ ｕ ｈ ｆ ｒ ｄ ｆｒ ｃ ｉ ｎ ｉ ． ｌ ｔ ｕ ｔｏ ｆ Ｆ ａ ｎ ｏ ｅ ｉ ａ ｔｏ ｕ
行光 ， 当于接 收屏 位于无 穷 远处 。 相
Ｓ ＝＝＝＝＝＝
信号 ， 而在光学系统 中， 信息是空 间性 的， 如光复振
幅或光 强 的空 间分 布 。 傅 里 叶 变 换 是 研 究 光 学 传 播 的 主 要 数 学 工
远
Байду номын сангаас
具 ， 』在光学系统 中， 由于光波传递 满足惠更斯 一 菲涅耳原理， 光波衍射的夫 琅和费衍射形式在数学
的特点 并讨论 了它的物理 应用。
关键词 ： 里叶 变换 ； 夫琅 和费衍射 ； 强分布 傅 圆孔 光
中图分类号 ： ４ ８ ２ ０ ３ ． 文献标识码 ： Ａ
圆孔衍射是衍射光学 中极其重要的一项课题 ， 圆形透镜是大部分光学仪器的必要组成部分 ， 如照 相机 、 望远镜等。研究光波通过光 阑及各种透镜后
包络 面决 定 。 ｌｌ 菲 涅耳 引入 干 涉 概 念 补 充 了 ８８年
惠更斯 原理 ， 考虑 到子 波源 是 相 干 的 ， 间 光 场 应 空
或
ｕＬ ）＝Ｃ。 Ｉ（， ｅｐ （ Ａ Ｊ Ｙ ｘ ｃ ）
［ ．（ ＋ ）ｘ ｙ 一 ７ ｄｄ ｒ （） ８
是子波 干 涉 的结 果 。对 于 在 真 空 中传 播 的单 色 光 波， 惠更斯 一菲涅 耳原理 的数学表 达 式是 ：
维普资讯
２８ ｌ
太
原
科
技
大
学
学
报 ［ ｋｉ０ ＋ｋｉ０Ｙ ｄｄ 一 （ｓ ｌ ｎ ｓｎ２）ｘ ｙ
２０ ０ ７年 （） ７
关 于子波 的设 想 ， 即波 面上 每 一点 可 看 作 次级 球 面
子波的波源 ， 下一时刻新的波前形状 由次级子波的