范畴中的自等价群
代数K理论
K1函子性质
K1为函子。 森田不变性
K2函子性质
K2函子定义
设R为幺环，St(R)为施坦贝格群。则K2(R)=ker(St(R)→E(R))。K2为函子。
K2函子性质
森田不变性。对任意正整数n，都有自然同构。
学科发展
学科发展
代数K理论主要介绍K0,K1,K2函子及相关的内容。对，，现已有多种定义，其中最著名的是奎伦（Quillen, D. G.)于1970年定义的。更进一步地，对i为任意整数，研究函子，这些内容可查阅有关文献。下面，凡提到模 （即环模）均指左环模，塞尔（Serre，J. P.)于1955年证明：一个仿射簇上的向量丛范畴与这个仿射簇之坐标 环上的有限生成投射模范畴等价。斯万（Swan，R. G.)于1962年又将此结果推广到紧致的豪斯多夫空间，从而给 出了拓扑K理论与代数K理论的一个紧密的，大大推动了代数K理论的发展。
设R为幺环，ProjR为R上有限生成投射模同构类的半群，则K0(R)为ProjR的格罗滕迪克群。K0为函子。
K0函子性质
1.K0为连续函子，即保持归纳极限。 2.若R为除环，则ProjR同构于，而K0(R)同构于。 3.若R为交换幺环，则K0(R)对于张量积而言是交换幺环。 4.R上可数生成投射模同构类的交换幺半群的格罗滕迪克群平凡。 5.森田不变性。对任意正整数n，都有自然同构。 6.对任意环R，ProjR相当于幂等矩阵的集合Idem(R)上GL(R)的共轭轨道。
相对K0群
切除定理：设I为环R的双边理想，则。
K1函子
K1函子定义
K1函子性质
K1函子定义
设R为幺环，E(R)为n维初等矩阵(对角元为1，且最多一个非对角元非零的矩阵)生成的GL(R)的子群。则 K1(R)=GL(R)/E(R)。
关于有限群模范畴的商范畴及其等价函子
关于有限群模范畴的商范畴及其等价函子黄文林【期刊名称】《《浙江大学学报（理学版）》》【年(卷),期】2019(046)006【总页数】6页(P651-655,665)【关键词】p-可除模; 模范畴; 商范畴; 等价【作者】黄文林【作者单位】中国人民大学数学学院北京 100872【正文语种】中文【中图分类】O152.60 引言表示范畴是有限群表示论的重要研究对象，有限群模表示论中的表示范畴有模范畴、稳定模范畴、相对稳定模范畴、导出范畴等。
这些范畴是有限群及其表示上的同调方法的主要对象，也是代数表示论中极为重要的代数表示范畴例子。
该研究领域的问题和成果不胜枚举[1-4]。
对于有限群G，可除kG-模是一类较大的模类，它包含所有的投射kG-模和相对投射kG-模，并被用于研究Green环中的幂零元素[5]、张量积的直和分解以及有限群表示中的几乎可裂序列[6]。
基于稳定模范畴的工作思路，笔者证明了所有能被可除kG-模分解的态射做成有限生成kG-模的模范畴mod(kG)的一个理想，利用HAPPEL[4]的方法，构造了与稳定模范畴(相对稳定模范畴)相似的商范畴，分析了该商范畴中的零对象，并证明了该范畴上的3个等价函子(定理1～定理3)。
文中设定p为素数，G为阶含有素因子p的有限群，k为特征为p的代数封闭域；所有的模都是有限生成的左幺模，所有的映射都是左模上的映射；具体记号和术语可参见文献[7]。
1 有限群 GG的商范畴定义1 设V是kG-模，p是素数；如果V的任意不可分解直因子的维数能被p整除，则称V为可除kG-模[5]。
注1 限制到特征为素数p的代数封闭域k，任何不可分解kG-模是绝对不可分解的。
由此，本质上，可除kG-模是由p控制的，并且，文献[5]中的绝对可除kG-模即是本文中的可除kG-模。
引理1 设U和V都为可除kG-模，X为U的直因子；那么，U*,X,U⊕V都是可除kG-模。
证明引理1易证，此略。
对于任意的kG-模V和W，以及任意的g∈G，v∈V，w∈W，f∈Homk(V，W)；按 G-作用：g(v⊗kw):=gv⊗kgw，它们的k-张量积V⊗W做成一个 kG-模；同时，令g ·f:=gfg-1，它们的k-同态Hom(V，W)也做成一个kG-模；不难证明Hom(V，W)≅V*⊗W。
群的七个等价定义及证明
群的七个等价定义及证明群是数学抽象概念的典型之一，在代数数论、几何学、拓扑学等领域有着广泛的应用。
把群的定义、相关的概念全面而深入地理解以及熟练掌握群的性质，对于理解和研究其他抽象数学概念和结构有着重要的作用。
定义一个群的时候，我们会规定它的元素、运算。
但给定一个群G，还可以用七种不同的定义来确定它是否是一个群，而这七种定义就是群的七等价定义，它们之间彼此等价，即只要一个非空集合满足其中的任何一种定义，就是一个群。
这七种定义包括：（1）结合律：对于任意的a、b、c∈G，有a（bc）＝（ab）c （2）可逆性：G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，对于任意的a∈G，G中存在一个元素a^(-1)，使得aa^(-1) = a^(-1)a = e（3）封闭性：对于任意a、b∈G，有ab∈G（4）分配律：对于任意的a、b、c∈G，有（ab）c = a（bc）（5）单位元：G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，其中a∈G（6）可消性：对于任意的a、b∈G，如果ab = e，则a = b = e （7）交换律：对于任意的a、b∈G，有ab = ba现在我们来证明这七等价定义。
首先，由定义（1）中的结合律可知有ab∈G，所以定义（3）封闭性得证。
其次，由定义（3）封闭性可知a、b∈G，有ab∈G。
由定义（2）可知存在a^(-1)∈G，使得aa^(-1) = a^(-1)a = e，从而aba^(-1) = ae = a，即b = aa^(-1) = a^(-1)，所以定义（2）可逆性得证。
同理，由定义（3）封闭性可知有ab、c∈G，由定义（4）可知（ab）c = a（bc），所以定义（4）分配律得证。
根据定义（1）、（2）、（3），群G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，所以定义（5）单位元得证。
此外，由定义（5）单位元可知存在单位元e∈G，使得ae = ea = a，若ab = e，有a = ae = ab，所以a = b，即ab = e时，必有a = b = e，所以定义（6）可消性得证。
高等代数合同的定义
高等代数合同的定义高等代数合同是指代数结构中的一种等价关系，通过此等价关系可以定义代数结构中元素的相等性。
在抽象代数中，代数结构是一种特定的集合与一系列满足特定性质的运算符号的组合。
代数结构可以包括各种各样的数学对象，例如集合、群、环、域等。
通过高等代数合同的定义，我们可以研究代数结构中元素之间的相等关系，进而探讨代数结构的性质与结构。
1. 代数结构的定义在开始讨论高等代数合同的定义之前，首先需要明确代数结构的概念。
代数结构是指一个集合，连同在此集合上定义的一个或多个运算。
常见的代数结构包括群、环、域等。
例如，群是一个代数结构，其具有一个二元运算（通常称为群乘法），满足封闭性、结合律、单位元与逆元等性质。
2. 代数结构中的等价关系在代数结构中，我们通常关心元素之间的相等性。
例如，在一个群中，我们关心两个元素是否相等。
一般来说，我们会使用等价关系来定义元素的相等性。
在集合论中，等价关系具有自反性、对称性、传递性等性质。
通过等价关系，我们可以将集合中的元素划分成不同的等价类，从而定义等价关系下的相等性。
3. 高等代数合同的定义高等代数合同是一种用来定义代数结构中元素相等性的方法。
具体来说，设A是一个代数结构（例如群、环、域），其上定义了一个或多个运算。
如果在A上存在一个等价关系∼，满足以下性质，那么我们称此等价关系为A上的合同。
（1）自反性：对于A中的任意元素a，都有a∼a。
（2）对称性：对于A中的任意元素a和b，如果a∼b，则b∼a。
（3）传递性：对于A中的任意元素a、b和c，如果a∼b且b∼c，则a∼c。
根据这个定义，高等代数合同可以帮助我们刻画代数结构中元素相等的特点。
其基本思想是通过等价关系划分出等价类，这些等价类中的元素在代数结构中具有相同的性质。
因此，高等代数合同可以帮助我们更深入地研究代数结构中元素的关系，探讨代数结构的性质与结构。
4. 高等代数合同的性质在代数结构中，高等代数合同具有一些重要的性质，这些性质对于我们理解代数结构中的等价关系至关重要。
数学专业术语
数学
量
假设
定理
逆否命题
猜想
验证
充要条件
论证
恒等式
公式
小于
不等方程
常数
复合
完全的
肯定的
离散的
周期
族
子集
并
直积集
差集
n元组
值域
逆映射
恒同映射
映入
同构
对称性
超穷基数
幺拟群
连通代数群
代数群的有理表示
左函数平移
代数群的李代数
典范态射
半单元
抽象根系
幂幺根
抛物子群
代数群的外尔群
布吕阿分解
谢瓦莱群
算术子群
拓扑群的直积
左一致结构
局部紧群
零化子的互反性
紧阿贝尔群
紧群的群环
局部单连通
泛覆叠群
可数无穷的
数理逻辑
形式语言
合式的
矢列式
论题
命题演算
联结词
逻辑加法
否定词
析取范式
真值
重言式
谓词变元
个体变元
非标准量词
前束词
闭公式
全域
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
对象的余积
终对象
自由对象
对偶函子
忠实函子
常数函子
自然等价
泛性质
表示函子
推出
群的几种等价定义
收 稿 日期 ：２０１０一Ｏ１—１８ 作 者 简介 ：贾 正 华 （１９６３一），男 ，安 徽 含 山县 人 。巢 湖 学 院 教 学 系 副教 授 ，研 究 方 向 ：代 数 学 。
群的七个等价定义及证明
使 aa −1 = e, a −1a ' = e
(a −1a)e = (a −1a )(a−1a' ) = a−1(aa −1)a' = a −1(ea' ) = a −1a ' = e = e ⋅ e 由定义 4 的 V 有 a−1a = e 所以 a−1 是 a 的左逆元
III ∀a ∈ G ae = a(a −1a) = (aa −1 )a = ea = a e 是 G 的右单位元
集宁师专学报 JOURNAL OF JINING TEACHERS COLLEGE 2004，26(4) 0次
参考文献(1条) 1.张禾瑞 近世代数基础 1978
相似文献(10条)
1.学位论文 梁常建 格值正则语言及其截集性质研究 2007
自动机性质的研究是自动机理论的中的一个重要课题。文献[6,7,8]在广泛的代数系统一格半群的意义下给出了一个新的自动机模型，即格值有限自动机 ，在格半群上研究了自动机及其接受的语言的性质，给出了格值自动机比模糊自动机和经典自动机具有更强的计算能力。因此，对格值自动机及其接受语言 的性质的研究就显得更为重要。
III ∀a ∈ G ae = a(a −1a) = (aa −1 )a = ea = a e 是 G 中单位元
定 义 7 ⇒ 定 义 1 显然成立
参考文献 [1] 张禾瑞 近世代数基础[M] 北京高等教育出版社 1978
(上接第 １０ 页)
以上 s 从 2 取遍 l 即可得 第 2 个直至第 l 个 K m,n 的各项顶点标号可以验证 形 lK m,n 的 K 优美标号
定 义 5 群 G 是一个非空集合 具有一个叫乘法的代数运算 且满足 I II 同上 III 右
基本群
平凡群在数学里，平凡群是指一个只包含单一元素e的群，其群运算只有e + e = e，单位元素平凡是e，且为阿贝尔群；这些结果都是平凡的，因此以此命名。
平凡群通常被写做Z1，或尽标示为0。
不可把平凡群和空集相混淆，空集中没有任何元素，因此缺少一个单位元而无法形成一个群，虽然这两者在其各自的范畴中扮演着极相近的角色。
每一个群都包含着一个平凡群。
直观诠释：二维环面的情形二维环面上由p点出发的环路首先，让我们考虑二维环面（或甜甜圈面）的例子作为热身，固定其上一点。
从此点出发，则可以建构环路（即：从出发的并回到的闭曲线）。
设想环路如橡皮筋可自由变形与拉长，只要起点与终点仍是且环路仍处在环面上即可。
这种变形叫做同伦，若一环路可以从另一环路借此变形而得到，则称两者同伦等价。
我们只探讨环路的同伦类。
二维环面的基本群由环路的同伦类组成。
a与b非同伦等价在上图中，与并非同伦等价：无法连续地从一者变换到另一者而不将环路“扯断”，它们代表基本群中的不同元素。
借着增加环绕圈数，可以获得更多的同伦类。
a、b两条环路的衔接顾名思义，基本群不只是一个集合，它带还有群结构：二元运算由环路的衔接给出，即先走完第一条环路，再走第二条环路，使得两段环路上的速率相同。
基本群中的单位元素由静止在点的环路代表，逆元由环路的逆行代表之，即：若一元素由环路代表，则其逆元由代表，其中。
形式定义设为拓扑空间，为其中定点。
一条连续道路是一个连续映射，而一个以为基点的环路是一条满足的连续道路。
以下若不另外说明，则环路皆以为基点。
对两条环路，如果存在一个连续函数（保持基点的同伦）使得•••则称两者同伦等价。
不难验证此关系确为等价关系。
因此我们可考虑环路对此关系的等价类，以表一环路隶属的等价类，亦称同伦类。
现在定两条环路的衔接为：直观地说，此环路是先走再走，每一段都将速度加倍，以在单位时间内走完全程。
可证明决定于，因此可在环路的同伦类上定义二元运算“*”。
群的等价定义及其证明
群的等价定义及其证明1 引言群是具有一种代数运算的代数系，是代数结构中重要的一种．群的系统研究起源于19世纪初Galois 研究多项式方程根式解的问题．这是数学史中一块众所周知的里程碑．随后人们在理解了Galois 的思想之后，于19世纪中叶给出了抽象群的概念，开始以公理化的方式研究群．群论是近世代数的重要内容，近世代数又在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而群论是现代科学技术的数学基础之一．时至今日，群论的发展已日趋完善，在各个学科领域得到广泛的应用．为了便于学习、掌握群的知识和全面、深刻理解群的概念，以下给出了群的近十种定义，并通过证明，阐明群的各个定义间的等价关系．2 预备知识代数系[]1(23)P - 设A 、B 是两个非空集合，映射σ:A B C ⨯→称为A B ⨯到C 的一个代数运算．称(),,A B C σ⨯是一个代数系，特别地，当B C =时，称σ是A 左乘B 的代数运算，当A C=时，称σ为B 右乘A 的代数运算，当A B C ==时，称σ为A 的一个二元运算，此时代数系统记作()σ,A 或简记作A ．半群[]1(5)P 设() ,A 是一个代数系统，定义A 的一个二元运算“ ”，我们称它为乘法运算，如果“ ”满足结合律，则称() ,A 是一个半群．幺半群[]1(7)P () ,A 是半群，如果有e G ∈，恒有a ae ea ==，则称e 是A 的单位元，又称幺元，() ,A 就称为幺半群．为简便其间，在以下群的定义当中所定义的二元运算，即乘法运算“ ”不再书写．3 群的定义定义 1[]1(24)P 若幺半群() ,G 中每个元都有逆元，则称() ,G 是一个群．定义 2 设G 是半群，G 中存在左幺元素e （即对a G ∈，均有ea a =），并且G 中每个元素a均有左逆元素1-a ( 即1a a e -=)， 则称G 是一个群．定义 3[]2(33)P 一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于的G 任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea a =，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a1-，能让1a a e -=． 定义 4[]3(21)P 设G 是半群，对于任意元素a 、b ∈G ，方程ax =b 和xa =b 在G 都可解，则称G 为群．定义 5[]2(31)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的 ;Ⅱ．结合律: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元素a 、b 、c 都对;Ⅲ．对于G 的任意两个元a 、b 来说ax =b 和ya =b 都在G 里有解．定义 6[]2(35)P G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: ∀a 、b ∈G ，∃c G ∈，使ab =c ;Ⅱ．结合律: ∀a 、b 、c G ∈， ()bc a =()c ab ;Ⅲ．右单位元: ∃e G ∈，∀a ∈G ，a ea =;Ⅳ．右逆元: ∀a ∈G ， ∃1-a ∈G ，e a a =-1．定义 7[]3(21)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个单位元e ，使a ea ae ==，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ， G 里至少存在一个逆元1-a ，使 a a 1-=a 1-a =e ．定义 8 设一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: a ∀、b G ∈，ab ∈G ;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c G ∈，()bc a =()cab 成立; Ⅲ．存在右单位元，即对∀a ∈G ae =a ;Ⅳ．存在左逆元，即对a ∀∈G ∈∃-1a G 使得e a a =-1;Ⅴ．左商不变性: 对a ∀、b ∈G ， 都有11--=bb aa．4 群的等价证明(为了简便只对定义间的不同条件做等价证明)定义1⇒定义2 由定义1可知G 中有单位元e ，对∈∀a G 使得a ae ea ==，且每个元都有逆元．显然，G 中存在左幺元e 使a ae =．并且G 中每个元素均有左逆元1-a ，使得1a a e -=．定义2⇒定义3 显然成立．定义3⇒定义4 从定义3的条件可知G 中存在左单位元e ，并且对a ∀、b G ∈，G 中1a -∃、1b -使得1a a e -=，1b b e -=，ea a =，由封闭性1ba G -∈，显然1ba a b -=，即xa b =在G 中有解，再由ax b =，可得11a ax a b --=．显然易得1ex x a b -==，且有1a b G -∈，因而ax b =在G 中也有解．定义4⇒定义5 显然成立．定义5⇒定义6 由定义5可知，在G 里对a G ∀∈ ，ax a =有解，设x e G =∈即ae a =．对b G ∀∈， ya b =在G 里有解，则be yae ya b ===，所以e 为右单位元．且有ax e =在G 中有解，设1x a -= 即1aae -=．由a 的任意性可得，对于G 里的每个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，使1aa e -=．定义6⇒定义7 由定义6可知，G 里面存在右单位元e ，对于a G ∀∈，都有右逆元即1ae a aa e -==，．设元1a -的右逆元为11a -，即111a a e --=，又111111a ea a a e ----=，可得1111a aa a e ---=，得1a a e -=．显然1a -同为a 的左逆元，又由于1ae aa a ea a -===，e 同时为左单位元，所以G 里面至少存在一个单位元e ，能让ae ea a ==．同样G 里面至少存在一个逆元1a-能使11aa a a e --==，其中a G ∀∈．定义7⇒定义8 由定义7可知，在G 里存在右单位元e ，使得a G ∀∈，ae a = ，存在逆元，即对于a G ∀∈，1a G -∃∈使得11a a aa e --==．显然G 的每一个元a 存在左逆元1a G -∈，使得1a a e -=．且对a b G ∀∈，，即11a b G --∃∈，，使得11aa bb --=．定义8⇒定义1 设G 为一个非空集合，根据定义8可知，G 中存在右单位元e ，使得对a G ∀∈，都有ae a =．且每个元都有左逆元．则有1e G -∈，使得11e e e e --==．且可知1ee ee e -==．对1a G -∈使得1a a e -=，11aa ee e --==．由a 的任意性可知，G 里每个元素都有右逆元．又由1ae aa a a -==，可得ea a =，即e 同时为左单位元．显然(),G 为幺半群，且每个元都有逆元．5 有限群定义[]2(3840)P -设 G 是一个有限非空集合，对于一个叫做乘法的代数运算， 称G 是一个群，假如满足: Ⅰ．封闭性: a b G ∀∈、，bc G ∈;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c ∈ G ，()bc a =()c ab 成立;Ⅲ．左消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若zy zx =，则y x =，右消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若yz xz =，则y x =．证明 （此处用定义１的各个条件证明G 是一个群）集合G 是代数运算封闭且满足结合律．则首先是个半群．因G 为限集，不妨设G n =，对于a G ∀∈，设'121{,,,,}n n G a a a a+=⋅⋅⋅，显然'G 中元素的个数有1n +个．又有'G G ⊂，所以'G 中至少有两个元素相等．在此不妨,(11)i ja a j i n =≤≤≤+．再设G 存在元素1e ，使得1j j a e a =，那么i j a a =等价于1j i j j a a a e -=，由左消去律得1i j a e G -=∈，显然同样有1j i j j i j e a a a a a -===，有i j a a =得1i j i j j aa a aa ---=，由右消去律可得i j a a a -=，即1e a a =，易知1ae a =．对∀b G ∈，同理有2e G ∈，使得22e b be b ==．由等式1212ae be e ae b =，变形整理得12ae b ae b =，由消去律可得12e e =．不妨设12e e e ==，由,a b 的任意性，可知对c G ∀∈，有ec ce c ==，即G 存在单位元e ．由以上可知对于a G ∀∈，显然有m a e =，(m 为整数)．令11m aa --=，则11a a aa e --==，所以G 里每个元素都有逆元．6 群与对称性以及几种特殊群6.1 对称和群的关系这里所讲的对称概括的说是：若考虑的对象A 是一个带有若干关系的集合M （数学中的对象大致都具有这种形式）时，我们就把所有保持这些关系不变的，集合M 的一一变换的全体所购成的群看作是这个对A 的对称，即为集合M 的对称群[]4(11)P ． 在此补充以下几个定义．1) 置换：一个有限集合的一一变换叫作一个置换[]()250P ．2) 置换群：一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群[]()250P ．3) n 次对称群:若一包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫作n 次对称群，这个群通常用n S 来表示[]()250P ．下面通过一个例子阐述对称群的意义和实质．我们把以数域F 中的数作系数的n 元多项式的全体记作[]12,,,n F x x x ⋅⋅⋅(或简记作[]F x )，每一n 元多项式可以唯一地表示为不同类单项式的有限线性和:()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅1212nn a x x x ααααα=⋅⋅⋅∑．其中()12,,,n αααα=⋅⋅⋅，{}0i Z α+∈而a F α∈．令{}12,,n M x x x =⋅⋅⋅，则M 的n 次对称群n S 中的元素就是{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅的一个置换，略去字母x 的下标，这时一一变换可记作1212n n i i i σ⋅⋅⋅⎛⎫= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭, 其中()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,n ⋅⋅⋅的一个排列，而()j j i σ=．利用变换群n S 中的元素∑去定义集合[]F x 到[]F x 的一个映射． [][]:F x F x σφ→,()()1212,,,,,n n i i i f x x x f x x x ⋅⋅⋅→⋅⋅⋅,其中()12,,n i i i f x x x ⋅⋅⋅是在多项式()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅中将1x 换成1i x ，2x 换成2i x ，⋅⋅⋅后所得到的多项式，显然σφ是集合[]F x 的一个变换．令{}|n n T S σφσ=∈，n T 是[]F x 的一些(n !个)变换组成的集合．定义“ ”为变换之间的乘法运算．证明代数系(),n T 为[]F x 的置换群．证明 任取,n S σθ∈，令12121212,n n n n i i i i i i j j j σθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭. 则有σθφφ：()()()121212,,,,,,,,n n n i i i j j j f x x x f x x x f x x x →→, σθφ： ()()1212,,,,,n n j j j f x x x f x x x →. 显然有θσθφσφφ=即运算满足封闭性．对,,n S σθϕ∀∈，则有对应的,,n T σθϕφφφ∈，可得等式：()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==，()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==， 所以()()σθϕσθϕφφφφφφ= 即运算满足结合律．对单位元n I S ∈，则有I n T φ∈ 显然有I Iσσφφωφφ== I I σσσφφφφ==． 令()11σσφφ--=，显然()n T ∈-1σφ， 可得:()()111I σσσσσσφφφφφφ---===． 显然由σφ的任意性可知n T 中每个元都有逆元．进而可知()n T 为[]F x 的置换群．令()12,,,n f x x x 是一个n 元多项式，令(){}|f n S T f f σσφφ=∈=，同理可证(),f S 满足群的各个条件，即f S 为群．则称()f S 为n 元多项式()12,,n f x x x 的对称群[]()289P -.6.2 几种特殊群 例1 设()n SL Q 是有理数域Q 上所有其行列式为1的n 阶矩阵的全体，()n SL Q 关于矩阵的乘法“”作成的代数系()(),n SL Q 为一个群，称之为特殊线性群[]()252P .证明 任取三个元(),,n A B C SL Q ∈，则考虑AB 其行列式的值:||||||1AB A B =⨯=，所以()n AB SL Q ∈，运算满足封闭．由矩阵的运算性质显然有:()()AB C A BC =既满足结合律．又有单位矩阵I ，||1I =即()n I SL Q ∈，显然I 为()n SL Q 里的单位元．再有()n SL Q 里每个矩阵的行列式的值为1，显然每个元都可逆，设1A -为A 的逆矩阵，则1AA I -=．由此可得11||||||1AA A A --=⨯=，易得1||1A -=，即()1n A SL Q -∈．由A 的任意性可知()n SL Q 中每个元都有逆元．所以()(),n SL Q 是一个群．例 2 设n Z 为对于模n 的剩余类，定义n Z 中的加法运算“⊕”．即对任n Z 中意元素[][](),01i j i j n ≤≤≤- [][][]i j i j ⊕=+．则()n Z ⊕构成群，称之为剩余类加群[]1(4951)P -．证明 由剩余类的性质，显然易知“⊕”满足封闭性，结合律．同样不难证明[]0为n Z 的单位元．对[]n i Z ∀∈，易得[]n i -为其逆元．很显然()n Z ⊕是一个群．例 3 假如A 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面绕一个定点的所有旋转组成的集合G ，用θτ表示旋转θ角的旋转．定义运算“”:1212θθθθτττ+=，则(),G 是一个群，也称为平面运动群[]2(48)P ．证明 1212G θθθθτττ+=∈封闭，结合律显然成立，单位元0e G τ=∈，再有对G θτ∈，其逆元，显1G θθττ--=∈然G 是一个群．例 4 若p 为素数，p N 表示关于模p 所有余数构成的集合，即小于p 的非负整数集合．定义pN中的运算“p ⋅”．对任意,p a b N ∈ 则 ()p b a b a p mod ⋅=⋅ 即代数系统{}p p N ⋅-,0是群，并称为模p 乘群，或模p 剩余乘群[]3(23)P .证明 任取{},,0P a b c N ∈-，(){}0mod -∈⋅=⋅p p N p b a b a 运算满足封闭性． 同样不难得知，运算满足结合律．很显然{}10p N ∈-，不难验证1为{}0p N -中的单位元．验证{}0p N -中元素有逆元，任取{}0p a N ∈-，则0a p <<，(),1a p =．因此有整数,c d 使得1c a d p ⋅+⋅=，从而得(),1c p =．当记mod p c c p =时，显然有1p c p ≤<，这表明{}0p p c N ∈-，进而可得等式：()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p a c p a c a c p p p()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p c a p c a c a p p p所以p c 是关于p ⋅的逆元．由a 的任意性可知{}0p N -中元素有逆元．所以说{}p p N ⋅-,0是群．参考文献：[1] 华中师范大学数学系《抽象代数》编写组.抽象代数[M].华中师范大学出版社.2000[2] 张禾瑞.近世代数基础[M].高等教育出版社.1978[3] 王兵山，李舟军.抽象代数[M].国防科技大学出版社.2001[4] 刘绍学.近世代数基础[M].高等教育出版社.1999[5] 吴品三.近世代数[M].北京：人民教育出版社.1979[6] 谢邦杰.抽象代数学[M].上海：上海科学技术出版社.1982[7] 姚慕生.抽象代数学[M].上海：复旦大学出版社.1998[8] N Jacobson.Basic Algebra [M]. W H Freeman and Company .1985。
群的七个等价定义及证明
群的七个等价定义及证明首先，让我们来回顾一下什么是群的定义。
群是一类数学中的抽象概念，是一组具有特定结构的元素。
群的基本元素必须满足特殊的性质，即群必须满足结合律、可逆性、存在单位元以及存在可逆元。
这里，我们将介绍群的七个等价定义及证明。
首先，群的第一个等价定义是正交定义。
正交定义的依据是，对于任意的元素a、b、c，如果a、b、c满足a*b=b*a，那么a*b*c=a*(b*c)。
可以这样证明：由于a*b=b*a，因此a*b*c=a*b*c=a*(b*c)=b*(a*c)，从而证明了正交定义。
其次，群的第二个等价定义是可逆性定义。
其中，满足以下关系的元素都被认为是可逆元：存在一个元素e，使得对于任意的元素a，有a*e=e*a。
可以这样证明：由于存在元素e，使得a*e=e*a，从而有a*(e*e)=(a*e)*e=e*(a*e)=e*(e*a)=(e*e)*a。
也就是说，e的正负号的存在是可逆性的必要条件。
第三个等价定义是存在单位元定义。
存在单位元的定义指的是，存在一个叫做单位元的元素，使得对于任意的元素a，有a*e=e*a=a。
可以这样证明：由于存在一个元素e，使得a*e=e*a=a，从而有a*(e*e)=(a*e)*e=e*(a*e)=e*(e*a)=(e*e)*a=e=a。
也就是说，单位元的存在是存在单位元的必要条件。
第四个等价定义是结合律定义。
结合律定义的依据是，对于任意的元素a、b、c，如果a*(b*c)=(a*b)*c，那么就满足结合律。
可以这样证明：由于a*(b*c)=(a*b)*c，因此a*((b*c)*c)=(a*(b*c))*c=(a*b)*(c*c)=(a*b)*c=a*(b*c)，从而证明了结合律。
第五个等价定义是交换定义。
交换定义指，对于任意的元素a、b，如果满足a*b=b*a，那么就满足交换性质。
可以这样证明：由于a*b=b*a，因此a*(b*b)=(a*b)*b=b*(a*b)=b*(b*a)=(b*b)*a=b*a=a*b，从而证明了交换定义。
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Ｍ Ｒ（ ２ ０ ０ ０ ）主题分 类： ５ ５ Ｐ １ ０ 中图分类号 ： Ｏ１ ８ ９ ． ２ ３ 文献标识码 ： Ａ 文章编号：１ ０ ０ ３ — ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ２ ０ １ — ０ ５
１ 引言
对于拓 扑 范畴 ＴＯＰ， 其对象 为任意 拓扑 空 间而态为 空 间之 间的连 续映射 ． 在文 献 ［ ３ ］ 中， Ｊ ａ ｍｅ ｓ 给 出 了纤 维 式范 畴 ＴＯＰ ｓ的定 义． ＴＯＰ ｓ的对 象 是任 意连 续映射 。 厂 ： — Ｂ， 其 中 Ｂ 是 固定 的 ．从 对象 ／ １ ： ＸＩ — Ｂ 到 ， ２ ： Ｘ２ — Ｂ 的态 为一个 连续 映射 西 ： ｘ１ — ２ ， 满 足 ｆ ｌ ＝， ２ ｏ ． 我们定 义一个 范畴 ８ ， 其对 象在 ＴＯＰ ｓ中且 为一个 点标纤 维化 ．范 畴 ８ 的态 与范 畴 ＴＯＰ ｓ中 的态是 一样 的 ．由此 可 知 召 Ｂ是 ＴＯＰ ｓ的一个满 子范 畴．文献 『 ２ １ 给 出了 范 畴 Ｐ 的概 念 ．范 畴 Ｍ 一 ４ Ｐ 的对 象 为 任意 连续 映射 且从 对 象 Ｏ Ｌ ： Ｘ１— Ｘ２到 ： ｙ ｌ 一 的态为 一对 映射 （ ． 厂 １ ， ， ２ ） 满足 。 １ １ ＝， ２ ｏ Ｏ Ｌ ， 其中 ｆ １ ： Ｘ１ — 与． 厂 ２ ： Ｘ２ 一 ｙ ２ ． 易知 范 畴 ＴＯＰ 是 ＴＯ Ｐ ｓ 的满子 范 畴而 ＴＯＰ ｓ是 Ｍ Ｐ 的 满子 范 畴 ．在本 文 中我 们将 研 究上述 不 同范 畴 中对 象 的 自等价 群之 间的关 系 ． 往 下 我 们假 设所 有 的空 间均 是 点标 的且 所 有 的映射 都 是 点标连 续 映射 ．给定 点标 空 间
ＴＯ Ｐ ｓ的对象的 自 等价群．给定一个对象 ｐ ： Ｘ — Ｂ ， 定义集合 Ａ ｕ ｔ （ ｐ ） 由如下给出
Ａ ｕ ｔ ） ＝｛ ［ 仆 Ｘ — ｘＩ ｐ 。 ｆ ＝Ｐ且 Ｉ 厂 是一个 同伦等价 ）
收稿 日 期： ２ ０ １ １ — １ １ — ２ １ ； 修订 日期： ２ ０ １ ２ — １ ２ ． ２ ８
Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ：ｚ ｈａ ｏ ｈａ ｏ ＠ｓ ｃ ｎｕ． ｅ ｄｕ． ｃ ｎ；ｙｕ ｈａ ｉ ｂｏ ＠ｓ ｃ ｎ ｕ． ｅ ｄｕ． ｃ ｎ；ｓ ｈｅ ｎ ｎ￣ｓ ｃ ｎ ｕ． ｅ ｄｕ． ｃ ａ
基金项 目： 国家 自 然科学基金青年科学基 金 （ １ １ １ ０ １ １ ６ １ ） 、 教育部博士点基金新教师类项 目 （ ２ ０ １ １ ４ ４ ０ ７ １ ２ ０ ０ １ １ ） 和 广东 省 自 然科学基金博士启动项 目 （ ￥ ２ ０ １ ２ ０ ４ ０ ０ ０ ７ ８ ４ ４ ）资助
＋ ￥通讯作者
２ ０ ２
数
学 物
理
学
报
Ｖ Ｏ ｌ １ ． ３ ３ Ａ
给集合 Ａ ｕ ｔ （ ｐ ） 一个 运算 由同伦类 的复合 给 出，则 Ａ ｕ ｔ （ ｐ ） 在 此运 算下 成为 一个 群，称 为对象 ｐ ： — Ｂ 的 自等价 群 ． 在文献 ｆ ４ ］ 中Ｌ ｅ ｅ研究了范畴 Ｍ Ａ Ｐ 的对象的 自等价群．由前所述，范畴 Ｍ 一 ４ Ｐ的 对象 为 任意 点 标 映射 ： Ｘ１— ２而从 对 象 Ｏ Ｌ ： Ｘ１一 ２到 ： — ｙ ２的态 为 一对 点 标 映射 （ ， ｌ ， ）使得 。 ｆ ｌ＝ ｌ ， ２ 。 ， 其中 ｆ ｌ ： Ｘ 一 与 ： — ｙ ２ ． 态之 间 的 同伦 由一组 ＴＯＰ 中的 同伦 （ ＾ｔ ， ） 给 出且 其满 足 。ｆ ｔ＝ ， ２ ｔ 。Ｏ Ｌ ， 其 中 ＾ｔ ： Ｘ１一 ｙ １ 与 ｔ ： 一 ｙ ２（ ｔ∈ 【 ０ ， １ ］ ） ． 如果 态 （ ， １ ， ， ２ ）与 （ ｇ １ ， ９ ２ ）通 过 （ ， １ ｔ ， ． 厂 ２ ｔ ）同伦 ，则 我 们表 示为 （ ＾ｔ ， ， ２ ｔ ） ： （ ｆ ｌ ， ｆ ２ ） （ ｇ ｌ ， ９ 。 ） ． 我 们称 态 （ ． 厂 ， ， ２ ） ： — 为等 价 态 ，如 果存 在 一个 态 （ ｇ ｌ ， ９ ＿ ２ ） ： — 使得 （ ９ １ ， ９ ２ ） 。 （ ＾， ｆ ２ ） （ ｉ ｄ ｘ ， ｄ ） 与（ ＾， ， ２ ） 。 （ ｇ １ ， ｇ ２ ） （ ｉ ｄ ｘ 。 ， ｉ ｄ ｙ ２ ） ． 我｛ 门 用符 号 ［ ． 厂 １ ， ， ２ 】 来表示 态 （ １ ， １ ， ｆ ２ ） ： Ｏ Ｌ — 的同伦类 而用 Ⅱ（ ， ） 来表 示从对 象 Ｏ Ｌ 到 的所 有 同伦类 的集合 ．给定对 象 ， 定义 集合 （ ）由
程 黝
数学物理学报
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
范畴 中的 自等价群
赵 浩 俞 海波 沈 文淮
（ 华 南师 范大 学数学科 学学院 广州 ５ １ ０ ６ ３ １ ）
摘要：研 究了范畴 Ｍ Ｐ 与纤维式范畴 ＴＯＰｓ 中对象的 自等价群 ，并 证明了这两类群可以 通过 一条在一定情况下 可裂 的正合序列来 联系． 关键词 ：自等价群；范畴 Ｍ ＡＰ； 纤维式范畴 ＴＯＰｓ ．
Ｘ ∈Ｔ Ｏ Ｐ ， 令Ａ ｕ ｔ （ Ｘ） 为 的 自同伦等价类的集合． Ａ ｕ ｔ （ Ｘ） 上的一个运算 由同伦类的复 合给出．则在此运算下集合 Ａ ｕ ｔ （ Ｘ） 成为一个群，称为 自同伦等价群．许多代数拓扑学家研 究过 自同伦等价群， 如Ａ ｒ ［ 引 ， Ｏ ｋ ａ ［ 引 ， Ｒ ｕ ｔ ｔ ｅ ｒ ［ 引 ， ｓ ａ ｗ ａ ｓ ｈ ｉ ｔ ａ ［ ９ 】 ． Ｓ ｉ ｅ ｒ ａ ｄ ｓ ｋ ｉ ［ １ ０ 】 ， Ｔ ｓ ｕ ｋ ｉ ｙ ａ ｍａ ［ ｎ１ 以及 Ｙ ｕ — Ｓ ｈ ｅ ｎ ［ １ ２ ］ 等 ．作 为 自同伦等 价 群的 一个 推 广 ， Ｐ ａ ｃ ｅ ｓ ｉ ｃ ［ １ 研 究了 范畴