4.1.2平面向量的概念及加减法
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也扮演着重要的角色。
平面向量的加法和减法是其中最基本的运算，本文将对这两个运算进行详细的解析和说明。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在平面直角坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的和向量c的坐标为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的和向量c的坐标为(2+4, 3+(-1))，即c(6, 2)。
这意味着向量a和向量b的和向量c的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。
通过向量的加法，我们可以得到两个向量的合力向量。
合力向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
这在物理学中有着重要的应用，例如计算物体在斜面上的合力。
二、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
在平面直角坐标系中，向量的减法可以通过向量的加法和取负得到。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的差向量d可以表示为d = a - b = a+ (-b)，其中(-b)表示向量b的负向量，即(-b) = (-b₁, -b₂)。
例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的差向量d可以表示为d = a - b = (2, 3) + (-4, 1) = (-2, 4)。
这意味着向量d的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。
通过向量的减法，我们可以计算两个向量之间的距离和方向。
例如，若向量a表示一个物体的位移，向量b表示一个参考点的位置，那么向量d就表示物体相对于参考点的位移。
三、应用举例1. 平面向量的加法应用举例假设有一个飞机从A地飞往B地，然后从B地飞往C地。
4.1.2平面向量的概念及加减法
A
E
B
A
E
B
2、填空： 填空：
AB + BC = CB + BA = OE + ED =
AB + BE + ED =
AE + FC + EF =
AB + BC + CD + DE + EF =
3、如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD 相交于点O，设 OA = a ， = b ，试用 a ，b 表 OB 示下列向量。
方向相同， 方向相同，长度相等的两个向量 相等向量： 相等向量： 方向相反， 方向相反，长度相等的两个向量 相反向量： 相反向量：
平行向量： 平行向量： 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量
D C
D E C F B
A
B
A
区别与联系
长度 相等向量 互为相反向量 平行向量 相等 相等 无关 向量相等或相反 方向 相同 相反 相同或相反 向量平行 向量平行
不平行向量相加
OB = a + b
b a
A
a
O
b
B
a+b
平行向量相加： 已知： 平行向量相加： 已知： a b
a b
O
求： a + b
A
a
b
B
a+b a b
O
a + b = OA + AB = OB
B
a
A
a+b
a + b = OA + AB = OB
零向量： 零向量： 长度为零的向量
记作： 记作： 0 方向： 方向： 任意的 大小： 大小： a = 0
平面向量知识点
平面向量知识点一、什么是平面向量？平面向量是指具有大小和方向的量。
在坐标系中，平面向量可以用有序数对表示。
一个二维平面向量a可以表示为a = (x,y)，其中x代表x轴上的分量，y代表y轴上的分量。
二、平面向量的加法和减法平面向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有两个向量a = (a1,a2) 和 b = (b1,b2)，则它们的和为a + b =(a1+b1,a2+b2)。
平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
即a - b = a + (-b)，其中-a = (-a1,-a2)。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积（也称点积或内积）在数学和物理中有广泛的应用。
设有两个向量a = (a1,a2) 和 b = (b1,b2)，它们的数量积为a·b =a1b1 + a2b2。
平面向量的数量积有几个重要性质：1. a·b = b·a，即交换律；2. a·(b+c) = a·b + a·c，即分配律；3. k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为常数。
四、平面向量的模长与单位向量平面向量的模长表示向量的大小，它的计算公式为|a| = √(a1^2 +a2^2)，其中a1和a2分别为向量a在x轴和y轴上的分量。
单位向量是模长为1的向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
如果向量a的模长为|a|，则它的单位向量为a/|a|。
五、平面向量的投影平面向量的投影表示一个向量在另一个向量上的映射。
设有向量a 和b，向量a在向量b上的投影记为projba。
向量a在向量b上的投影可以通过数量积进行计算。
设b的单位向量为b'，则a在b上的投影为projba = a·b'。
六、平面向量的夹角平面向量的夹角表示两个向量之间的夹角。
设有向量a和b，它们之间的夹角记为θ。
平面向量的夹角可以通过数量积进行计算。
平面向量的基本概念和运算
平面向量的基本概念和运算平面向量是指具有大小和方向的矢量，它在平面内进行运算和表示。
平面向量的概念和运算是数学中的重要内容，在几何、物理等学科中都有广泛的应用。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算方法。
一、平面向量的表示方法平面向量可以用一个有序对表示，即(A, B)，其中A和B分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
另一种表示方法是使用向量符号，如→AB，表示从点A指向点B的向量。
向量符号上方的箭头表示向量的方向，向量的长度表示向量的大小。
二、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量。
设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A与向量B的和为向量→AC，即：→AB + →CD = →AC向量的加法满足交换律和结合律，即不论加法的顺序如何，结果都是相同的。
三、平面向量的减法平面向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A减去向量B的差为向量→AD，即：→AB - →CD = →AD减法可以看作是加法的逆运算，即将被减去的向量取相反数后再进行加法运算。
四、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积，表示两个向量之间的乘积。
设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A与向量B的数量积为：→AB · →CD = |→AB| |→CD| cosθ其中，|→AB|和|→CD|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积具有交换律和分配律，即对于两个向量A、B和一个实数k，有以下性质：1. →AB · →CD = →CD · →AB2. (k→AB) · →CD = k(→AB · →CD)3. (→AB + →CD) · →EF = →AB · →EF + →CD · →EF五、平面向量的向量积平面向量的向量积也称为叉积，表示两个向量之间的向量乘积。
平面向量的加法与减法运算
平面向量的加法与减法运算在平面向量的运算中，加法与减法是最基本的运算法则。
平面向量加法与减法的定义及运算规则如下：一、平面向量的定义在平面上，向量是由大小和方向确定的箭头表示，具有大小和方向的量。
平面向量用字母加箭头表示，如AB→，表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的加法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→放置在平面上的A点，使得它们有相同的起点，然后从A点指向D点，得到一个新的向量AD→。
AD→就是AB→与CD→的和，表示为AB→+CD→。
2. 运算规则：a) 加法的交换律：AB→ + CD→ = CD→ + AB→b) 加法的结合律：(AB→ + CD→) + EF→ = AB→ + (CD→ + EF→)c) 零向量的定义：零向量是指大小为0的向量，用0→表示，对于任意向量AB→，有AB→ + 0→ = AB→d) 反向向量的定义：对于任意向量AB→，存在一个与之方向相反但大小相等的向量，称为其反向向量，用-AB→表示，有AB→ + (-AB→) = 0→三、平面向量的减法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→取反，然后按照向量加法的规则，得到AB→ + (-CD→)，表示为AB→ - CD→。
2. 减法的运算规则：a) 减法的定义：AB→ - CD→ = AB→ + (-CD→)b) 减法的性质：AB→ - CD→ ≠ CD→ - AB→，减法不满足交换律。
四、示例分析1. 平面向量加法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ + CD→ = (3i + 4j) + (-2i + 5j) = (3 - 2)i + (4 + 5)j = i + 9j2. 平面向量减法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ - CD→ = (3i + 4j) - (-2i + 5j) = (3 + 2)i + (4 - 5)j = 5i - j五、平面向量的运算性质1. 平面向量加法满足交换律和结合律，即满足整个群论的要求。
平面向量的加法与减法
平面向量的加法与减法在数学中，平面向量是用来描述平面上的位移和力的工具。
平面向量具有大小和方向两个特征，可以通过数学运算来完成加法和减法操作。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法运算，并探讨其应用。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加箭头来表示，如AB→表示从点A到点B的位移向量。
平面向量还可以用坐标表示，如向量→AB的坐标表示为(ABx , ABy)。
其中，ABx表示向量在x轴上的分量，ABy表示向量在y轴上的分量。
二、平面向量的加法两个平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加的操作。
设有两个向量→AB和→CD，其坐标分别为(ABx , ABy)和(CDx , CDy)。
那么，向量→AB与→CD的和为→AB + →CD，其坐标为(ABx + CDx , ABy + CDy)，即两个向量的横坐标分量相加得到新向量的横坐标，纵坐标分量相加得到新向量的纵坐标。
三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量的操作。
设有两个向量→AB和→CD，其坐标分别为(ABx , ABy)和(CDx , CDy)。
那么，向量→AB减去向量→CD的差为→AB - →CD，其坐标为(ABx - CDx , ABy - CDy)，即两个向量的横坐标分量相减得到新向量的横坐标，纵坐标分量相减得到新向量的纵坐标。
四、平面向量的应用平面向量的加法与减法在数学中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 位移问题：平面向量的加法可用于求解物体在空间中的位移问题。
通过将各个位移向量进行加法运算，可以得到物体的总位移向量。
2. 力的合成：力的合成是指多个力的作用下，合成后产生的力。
通过将各个力向量进行加法运算，可以得到合成力的大小和方向。
3. 航空航天：在航空航天领域中，平面向量的加法与减法被广泛运用于导航和控制系统中，用以计算飞行器的位置和速度。
4. 平面几何：平面向量的加法与减法在平面几何中也有重要应用。
平面向量的概念和运算
平面向量的概念和运算一、概念介绍平面向量是指在平面内用有向线段表示的量，具有大小和方向。
平面向量常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的表示方法平面向量可以用两点表示，如果两点分别为A和B，那么向量AB通常用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。
向量的大小记为|→AB|。
三、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设向量→AB和→CD，可以将向量→AB和向量→CD的起点放在一起，将向量→CD的终点放在向量→AB的终点，这样得到的向量就是→AB + →CD。
2. 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设向量→AB和→CD，可以将向量→AB的起点放在→CD的终点，将向量→AB的终点放在→CD的起点，这样得到的向量就是→AB - →CD。
3. 数乘运算数乘运算是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设向量→AB，实数k，那么k→AB的大小为|k|×|→AB|，方向与→AB相同（当k > 0）或相反（当k < 0）。
4. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积（又称点积、内积）定义为|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。
5. 平面向量的向量积平面向量→AB和→CD的向量积（又称叉积、外积）定义为一个新的向量→E，其大小等于|→AB|×|→CD|×sinθ，方向垂直于→AB和→CD所在的平面，符合右手法则。
四、平面向量的应用平面向量的概念和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，用平面向量可以表示力的大小和方向；在几何学中，可以用平面向量表示线段的长度和方向。
总结：平面向量是用有向线段表示的量，具有大小和方向。
平面向量的运算包括向量加法、向量减法、数乘运算、数量积和向量积。
平面向量的应用涉及数学和物理学的各个领域。
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法平面向量是数学中一个重要的概念，它可以表示平面上的位置和方向。
在进行平面向量的运算时，加法和减法是两个最基本的操作。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法的定义、性质和运算规则。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的箭头，它可以表示平面上的位移或者方向。
平面向量通常用有向线段来表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量常用小写字母加上有向线段的箭头来表示，例如：AB →。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有平面向量AB → 和CD →，它们的加法定义为：AB → + CD → = AD →。
即将向量AB → 的起点和向量CD → 的终点相连得到的向量AD → 就是它们的和向量。
三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有平面向量AB → 和CD →，它们的减法定义为：AB → - CD → = AD →。
即将向量AB → 的起点和向量CD → 的终点相连得到的向量AD → 就是它们的差向量。
四、平面向量的运算规则1. 平面向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意两个向量AB→ 和CD →，有AB → + CD → = CD → + AB → 和(AB → + CD →) + EF → = AB → + (CD → + EF →)。
2. 零向量是一个特殊的向量，它表示大小为0的向量。
对于任意向量AB →，有AB → + 0 → = AB →。
3. 平面向量的减法可以转化为加法，即AB → - CD → = AB → + (-CD →)，其中-CD → 表示向量CD → 的反向大小相等的向量。
4. 如果两个向量的大小相等，并且方向相反，则它们相互抵消，和向量为零向量。
即如果AB → = -CD →，则AB → + CD → = 0 →。
5. 平面向量的加法和减法可以通过图形法或坐标法进行计算。
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方向相同， 方向相同，长度相等的两个向量 相等向量： 相等向量： 方向相反， 方向相反，长度相等的两个向量 相反向量： 相反向量：
平行向量： 平行向量： 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量
D C
D E C F B
A
B
A
区别与联系
长度 相等向量 互为相反向量 平行向量 相等 相等 无关 向量相等或相反 方向 相同 相反 相同或相反 向量平行 向量平行
d
D
a
b
c
O A B
C
向量加法的运算律： 向量加法的运算律：
交换律： 交换律：
a+b =b+a
a+0 = 0+a = a
结合律： 结合律：
(a + b) + c = a + (b + c)
a - b = a + - b） （
向量的加减： 向量的加减：
两个向量相减： 三角形法则） 两个向量相减：（三角形法则） 取一个点，以这点为公共点作两个向量， 取一个点，以这点为公共点作两个向量，那么他 们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量 们的差向量是以减向量的终点为起点， 的终点为终点的向量。 的终点为终点的向量。
a
−a
a + (−a) = 0
几个向量相加： 多边形法则） 几个向量相加：（多边形法则） 个向量顺次首尾相接， 把n个向量顺次首尾相接，以第一个向量的起点 个向量顺次首尾相接 为起点， 为起点，最后一个向量的终点为终点的向量就是 n个向量的和向量。 个向量的和向量。 个向量的和向量
OD = a + b + c + d
• 我们把北京、上海、广州三个地名分别用A、B、C 我们把北京、上海、广州三个地名分别用A 表示。一架飞机， A(北京 起飞抵达B(上海）， 北京） B(上海 表示。一架飞机，从A(北京）起飞抵达B(上海）， 然后从B 上海）飞往C 广州）。 ）。那么两次飞行 然后从B（上海）飞往C（广州）。那么两次飞行 的位移 和 ，记作
向量： 向量：
1、定义：既有大小又有方向的量叫向量。 、定义：既有大小又有方向的量叫向量。 大小又有方向的量叫向量 2、向量的大小：也叫向量的长度或向量的模 、向量的大小：也叫向量的长度或 向量的长度 3、向量的表示法： 、向量的表示法：
几何表示法： 几何表示法： 用有向线段 表示 。 如果有向线段 AB 表示一个向量， 表示一个向量，通常就直接说向 这个有向线段的长度记做| |，它是一个 量 。这个有向线段的长度记做| |，AB AB 数量。 数量。 字母表示法： 字母表示法： AB 或 a , b , c 向量 的长度记作| |． 的长度记作| |． a a
不平行向量相加
OB = a + b
b a
A
a
O
b
B
a+b
平行向量相加： 已知： 平行向量相加： 已知： a b
a b
O
求： a + b
A
a
b
B
a+b a b
O
a + b = OA + AB = OB
B
a
A
a+b
a + b = OA + AB = OB
零向量： 零向量： 长度为零的向量
记作： 记作： 0 方向： 方向： 任意的 大小： 大小： a = 0
a
b
c
C
B
BC = b − c + a
a
A O
c b
向量加减法的平行四边形法则： 向量加减法的平行四边形法则：
a
b
B
C
OC = a + b BA = a − b
b
O
a
A
练习： 练习：
1、已知梯形ABCD中，AB//DC，点E在AB上， 、已知梯形ABCD中，AB//DC，点E AB上， EC//AD，在图中指出下列几个向量的和向量： EC//AD，在图中指出下列几个向量的和向量： （1） AE + EC + CD + BE （2） AB + BC + CE + AD
OC OD AB BC CD DA
D C
O
A B
D C D C
A
E
B
A
E
B
2、填空： 填空：
AB + BC = CB + BA = OE + ED =
AB + BE + ED =
AE + FC + EF =
AB + BC + CD + DE + EF =
3、如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD 相交于点O，设 OA = a ， = b ，试用 a ，b 表 OB 示下列向量。
b a
A
ห้องสมุดไป่ตู้
a
O
a −b b
BA = OA − OB = a − b B
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
a − b = a + (−b)
B
b −b −b
A
a
a −b a
O
OB = OA + AB = a + ( − b ) = a − b
几个向量相减： 多边形法则） 几个向量相减：（多边形法则） 已知： 已知：a b c 求作： 求作： − c + a b
AB
BC
AB + BC = AC
A北京 北京
B上海 上海
C广州 广州
向量的加减： 向量的加减：
两个向量相加： 三角形法则） 两个向量相加：（三角形法则） 把第二个向量和第一个向量首尾相接， 把第二个向量和第一个向量首尾相接，那么以第 一个向量的起点为起点， 一个向量的起点为起点，第二个向量为终点的向 量就是和向量。 量就是和向量。 和向量
平面向量概念及加减法
概念： 概念：
规定了方向的线段叫做有向线段． 规定了方向的线段叫做有向线段． 有向线段： 有向线段： 终点） B(终点） 起点） A(起点） 有向线段的方向是从一点（A）到另一点（B） 有向线段的方向是从一点（ ）到另一点（ ） 的指向，这时线段的两个端点有顺序， 的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点 叫起点，另一点叫终点。 叫起点，另一点叫终点。