初中数学人教版九年级上册：第13讲 相似同步讲义
数学人教版九年级上册相似专题1 PPT课件
构造相似图形间接求
学会从复杂图形中分解出基本图形
• 规律与方法总结:
• 证明等积式或者比例式的一般方法为: 把等积式 或者比例式中的四条线段分别看做两个三角形的 对应边．然后, 通过证明这两个三角形相似, 从 而得到所要证明的等积式或比例式．特别地, 当 等积式中的线段的对应关系不容易看出时, 也可 以把等积式转化为比例式.
C. (1)求证：AD 平分∠BAC； (2)求 AC 的长．
变式 2.如图，BD 是⊙O 的直径，A，C 是⊙O 上的两点，且 AB＝AC，AD 与 BC 的延 长线交于点 E.
(1)求证：△ABD∽△AEB； (2)若 AD＝1，DE＝3，求 BD 的长．
变式3. 如图, 已知⊙O的弦CD垂直于直径 AB, 点E在CD上, 且EC = EB .
求证PC ＝PA·PB
C 证明: 连结AC, BC
∵AB是直径 ∴∠ACB＝90°
A
∴ ∠A + ∠B = 90°
又 ∵CD⊥AB
∴∠CPB＝90° ∠PCB＋∠B＝90°
∴∠A＝∠PCB 又∵ ∠CPB＝∠ APC ＝ 90°
O· P
B
D
∴△APC∽△CPB
AP PC PC PB
PC2 AP PB
例 5 如图 27－17 所示，⊙O 中，弦 AB、CD 相交于 AB 的 中点 E，连接 AD 并延长至点 F，使 DF＝AD，连接 BC、BF.
(1)求证：△CBE∽△AFB； (2)当BFBE＝85时，求ACDB的值．
相似基本图形的运 用
方程思想 整体思想 转化思想 分类思想
已知相似图形直接求
2.如图, 已知⊙O的两条弦AB、CD
交于E,9AE=BE=6,ED=4, 则CE=____. C
数学九年级上相似三角形的应用ppt课件
相似
B’
C’
AA’BB’=
BC B’C’
=
AC A’C’
△ABC∽ △A’B’C’
回顾：相似三角形的性质？
1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等
2.相似三角形的对应高、对应角平分线、 对应中线的比等于相似比 3.相似三角形的周长比等于相似比
4.相似三角形的面积比等于相似比的平方
2.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,
解：∵ OA:OC=OB:OD=n 且∠AOB=∠COD ∴△AOB∽△COD
∵ OA:OC=AB:CD=n 又∵CD=b
∵AB=CD ·n = nb
又∵x = ( a － AB )÷2 = ( a － nb )÷2
D bC
x
Ox
AB． A
B
D
C
E
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到
了一点C,使AC⊥AB,在AC上找到一点D,
在BC上找到一点E,使ED⊥AC,测出
AD=35m，DC=35m,DE=30m,那么你
能算出池塘的宽AB吗?
A
B
D
E
C
如图,屋架跨度的一半OP=5m,高度
OQ=2.25m,现要在屋顶上开一个天窗,
天窗高度AC=1.20m,AB在水平位置.求
AB的长度（结果保留3个有效数字）。
解：由题意得，AB∥PO ∴∠ABC=∠OPQ
Q
∵∠CAB=∠POQ=Rt∠ ∴△ABC∽△OPQ ∴AB/OP=AC/OQ
AB
∴AB=OP×AC/OQ=5×1.2/2.25≈2.67m 答：AB的长约为2.67m。
C
P O
１４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风
人教版九年级数学上册相似三角形的性质课件
相似三角形周长的比等于相似比。
三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
高线，角平分线， 中线
高线
角平分线
中线
相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么 关系？
例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D，
A / D / B / C /于D / ， A
求证： AD AB k
A/
A'D' A'B'
那么它的三边也扩大为原来的9倍。 （×）
3.如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC = (2)S △ADE: S 梯形DBCE =
1:4 1:3 A
D B
E C
4.如图,在△ABC中,D、F是AB的三等分点， DE∥FG ∥ BC，则:
(1)S △ADE: S △AFG : S △ABC = 1:4:9
（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ， 面积之比为 4：9 。
（2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4， 则周长之比为 3： 2，相似比 3：2 ，对应边上的 高线之比 3：2 。
例1.如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE， AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24， 面积是48，求ΔDEF的周长和面积。
B
D
C B/
D/ C/
相似三角形的对应高线之比等于相似比。
角平分线 中线
角平分 线
中线
相似三角形的 对应角平分线之 比，中线之比， 都等于相似比。
（1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们 的面积比是多少？
九年级数学上册 第1章 图形的相似 1.3 相似三角形的性质课件 级上册数学课件
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第二页，共二十页。
（1）相似三角形有哪些判定方法？ （2）相似三角形有什么性质(xìngzhì)？根据是什么？
相似多边形呢？
根据(gēnjù)定义对应：角相等，对应边的比相等；
（3）相似三角形的对应边的比叫什么？
相似比
（4）ΔABC与ΔA′B′C′ 的相似比为k,则
No 线段：。相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么关系。根据判定定理1，△ADE∽△ABC.。（2）
如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那。⑵△ADE∽△ABC。2.如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥BC，则:
Image
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高线
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角平分线
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中线
相似三角形的相似比与对应边上(biān shànɡ)高线比有什么 关系？
例如(lìrú)：ΔABC∽ΔA′B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥ B′C′于D′，
求证：
A
A′
B
D C B′ D ′C ′
①相似三角形的对应高线之比等于相似比.
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相似(xiānɡ sì)三角形的性质:
中线
（1）相似三角形对应(duìyìng) 高线 的比等于相似比.
角平分线
（2）相似三角形的周长的比等于相似比.
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
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例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=3:1, △ABC的面积(miàn jī)为48. 求△ADE的面积.
中考数学思维方法讲义【第13讲】直线和圆的位置关系(含答案)
状元廊学校数学思维方法讲义之十三 年级：九年级第13讲 直线和圆的位置关系圆的知识在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何知识的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，在几何证明与计算中，将起到重要的作用，是中考必考查点。
【知识纵横】§Ⅰ直线和圆的位置关系：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ．⑴直线与圆相交⇔d __ ____ r ； ⑵直线与圆相切⇔d __ ____ r ； ⑶直线与圆相离⇔d __ ____r 。
§Ⅱ圆的切线：1．一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的__ ___；这个公共点叫做__ ___； 2．两种判定：⑴若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；⑵经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；3．判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”：一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；二“算”：算算圆心到直线的距离d 和圆的半径为r 之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断；三“证明”： 证明直线是否经过直径的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直。
4．四条性质：切线有许多重要性质 ⑴圆心到切线的距离等于圆的_ ____； ⑵过切点的半径垂直于_ ____；⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过___ __； ⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过____ _。
5．弦切角定义 ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角； 定理 ：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论 ：a )两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等；b )弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。
【典例精析】考点1: 直线和圆的位置关系【例1】1、如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点, 设OP x =，则x 的取值范围是__________．2、射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值 （单位：秒）．变式一：1、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =43D在线段AC 上（不与点A 、C 重合），过点D 作DE ⊥AC 交AB 边于点E ． （1）当点D 运动到线段AC 中点时，DE = ；（2）点A 关于点D 的对称点为点F ，以FC 为半径作⊙C ，当DE = 时，⊙C 与直线AB 相切．2、如图，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠C =90°，且AB >AD+ BC ，AB 是⊙O 直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系为_____ _．考点2: 圆的切线的性质基本运用【例2】已知直线PD 垂直平分⊙O 的半径OA 于点B ，PD 交⊙O 于点C 、D ，PE 是⊙O 的切线，E 为切点，连结AE ，交CD 于点F ． （1）若⊙O 的半径为8，求CD 的长； （2）证明：PE =PF ；（3）若PF =13，sinA =513，求EF 的长．O AD变式二：如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．考点3:切线的判定定理运用【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=45，求BF的长．【例5】如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=14，求BN的长．变式三：如图，Rt ABC△中，90ABC∠=°，以AB为直径作O⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是O⊙的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF CF=，求tan ACO∠的值．EDOAB C12NGEOBMCEBAOFD【思维拓展】【例6】如图，P A为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F，过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=12，求cos∠ACB的值．【例7】已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA．（1）当OC=22，求证：CD是⊙O的切线；（2）当OC＞22CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．①当D为CE中点时，求△ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．变式四：如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作AC，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．（1）求证：EF是AC所在⊙D的切线；（2）当MA=34时，求MF的长；（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．ACM【课后测控】1、如图1，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．2、如图2，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点F ．已知BD =2，设AD =x ，CF =y ，则y 关于x 的函数解析式是 ．图1 图2 图33、如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ．4、如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过ΔABC 的内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上。
九年级数学上册第三章 相似图形(同步+复习)串讲精品课件
第二单元：黄金分割
人 体 中 的 黄 金 分 割
人的肚脐是一个黄金分 割点。人体还有几个黄金分 割点：肚脐上部分的黄金分 割点在咽喉，肚脐以下部分 的黄金分割点在膝盖，上肢 的黄金点在肘关节。上肢与 下肢长度之比均近似 0.618.
2
2.
3. 4. 5.
AC：AB= ≈0.618=61.8%. 黄金矩形:若矩形宽与长的比为黄金比,则该 矩形称黄金矩形. 黄金分割：是一种分割线段的方法.
5 1 2
•
续上页——
6. 说明：
① 黄金分割的本质就是一种分割线段的方法。一条 线段的黄金分割点有两个。 ② 若一点把一条线段（全）分为大、小两部分，则 满足：大：全=小：大或大2=小· 全，点就把线段 黄金分割。 ③ 黄金分割：大的部分约占全部的61.8%.这是生活 与几何学中能与对称美(中点美)媲美(PK)的又一种 美. 5 1 ④ 记住两个数据:0.618与
a b c abc abc 3. 已知： 求 及 的值。 3 4 5 c a bc
【练习1】
a b c 【练习2】中考训练 若 t bc ac ab
则一次函数y=tx+t2的图象必定经过的象限 为（ A ）
A. 第一、二象限。 B. 第三、四象限。 C. 第一、二、三象限。 D. 第二、三、四象限。
如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为
a m ,n .那么两条线段的比 a∶b = m∶n 或 b
2. 3.
线段a,b分别叫比的前项和比的后项. 注意:
① ② ③ ④ ⑤
求比时两线段的长度单位要统一.结果不带单位. 线段长度的比与所选用的长度单位无关. b 如果把两线段的比表示成k.则— =k或a=bk等。 a 线段的比是一个没有单位的正实数。 线段可以任意线段，选择相同的单位求比。
全等图形PPT课件
△ABC≌△FDE
对应的位置上.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 全等三角形的有关概念及性质
例 如图，已知△ABD≌△CDB，∠ABD＝∠CDB，写出其对应边和对应角．
解：BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边； ∠A与∠C，∠ABD与∠CDB，∠ADB与 ∠CBD是对应角．
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
角形的定义.
A
D
B
CE
F
定义：能够完全重合的两个三角形,叫作全等三角形.重合的点 叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
全等三角形的有关概念及性质
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
A
F
B
CD
E 记两个三角形全等
时，通常把表示对
应顶点的字母写在
全等三角形的有关概念及性质
对应元素 确定方法
对应边
长对长，短对短，中对中 公共边一定是对应边
大角对大角，小角对小角 对应角 公共角一定是对应角
对顶角一定是对应角
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
全等三角形的有关概念及性质
练一练：如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角 形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.
那么BC的长是( A ) A.7cm
C
D
B.5cm
C.4cm
D.无法确定
A
B
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
3.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°， 则∠EAC的度数为( B ) A.40° B.35° C.30° D.25°
人教版九年级数学相似教案资料
相似形图形的相似教学目标通过一些相似的实例，让生观察相似图形的特点，感受形状相同的意义，理解相似图形的概念．能通过观察识别出相似的图形．能根据直觉在格点图中画出已知图形的相似图形．在获得知识的过程中培养学习的自信心．教学重点引导学生通过观察识别相似的图形，培养学生的观察分析及归纳能力．教学难点理解相似图形的概念．教学过程一、观察课本第42页图24.1.1、图24.1.2，每组图形中的两图之间有什么关系？二、归纳：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同．具有相同形状的图形叫相似图形．师可结合实例说明：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．三、你还见过哪些相似的图形？请举出一些例子与同学们交流．四、观察课本第43页图24.1.3中的三组图形，它们是否相似形？为什么？五、想一想：放大镜下的图形与原来的图形相似吗？放大镜下的角与原来图形中的角是什么关系？可让学生动手实验，然后讨论得出结论．六、观察课本第43页图24.1.4中的三组图形，它们是否相似形？为什么？让学生通过比较图24.1.3与图24.1.4，体会相似图形与不相似图形的“形状”特点．七、课本第43页“试一试”．让生各自独立完成作图，再展示评析．八、巩固：⒈课本第43页练习．⒉课本第44页习题24.1．对于第2题，学生的判断是对相似图形的一种直观认识，最好让学生充分交流彼此的看法．九、小结：你通过这节课的学习，有哪些收获？十、作业：略．相似三角形教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质教学重点：相似三角形的判定与性质 教学过程： 一 知识要点：1、相似形、成比例线段、黄金分割相似形：形状相同、大小不一定相同的图形。
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第十三讲相似
1．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A ．任意两个四边形
B ．任意两个正三角形
C ．两个等腰三角形
D ．两个矩形
3．若如图所示的两个四边形相似，则∠ 的度数是 ．
4．下列命题中正确的是（ ）
A ．相似多边形一定全等
B ．全等多边形一定相似
C ．不全等的多边形不相似
D ．不相似的多边形可能全等
1
1．通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比 2．掌握平行线分线段成比例定理 3．掌握相似三角形的性质以及判定定理
1．从全等迁移到相似，思维上既有共通也有提升，深刻理解相似的概念及其判定 2．灵活选择适当的方法判定相似三角形
ABCD 和四边形中，
A
B
C
D
E F
G H
2
【例1】⑴如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，求∠α，∠β的大小和EH 的长度x ．
⑵如图，矩形草坪长20m ，宽10m ，沿草坪四周有1m 宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由．
⑶已知△ABC ∽△DEF ，求它们的相似比k 和未知边x ，y 的长度．
⑴ ⑵ ⑶
l 1 l 2
l 3 l 4 l 5
A
B C
D E F
l 1 l 3 l 4 l 5
A B
C
D E
l 2 l 1
l 2 l 3 l 4 l 5
A B
C D
E
3
【例2】 ⑴如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，
n 与直线a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，4AC =， 63CE BD ==，，则BF =________．
⑵如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，249AO DO BC CO ====，，，则 ． ⑶如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，2AD =cm ，3BD =cm ，1.6DE =cm ，则BC = cm ．
⑴ ⑵ ⑶
中，
与△A 1B 1C ．
与△A 1B 1C A B C B 1
A 1
C 1
A B
C B 1 A 1 C 1
4
与△A B C
【例3】⑴如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ．
⑵如图，BC ∥FG ∥ED ，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
⑴ ⑵
【例4】如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
⑴填空：AC = ，DE = ，
⑵判断：△ABC 与△DEF 是否相似？并说明理由．
【例5】⑴如图，AC 和BD 相交于点
O ，33BO OC AO OD ==，，求证：△AOB ∽△DOC ．
A B C B 1
A 1
C 1
5
⑵如图，已知四边形ABCD 是正方形，E 是AD 中点，3BF AF =．求证：△AEF ∽△DCE ．
【例6】⑴如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，E 为AC 上一点，ED ⊥AB ，垂足为D ．
求证：△AED ∽△ABC ．
⑵如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高．在图中找出一组相似三角形并给予证明．
A B
C
D
E
F
6
【例7】如图，在△ABC 中，8AB =cm ，16BC =cm ，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2cm/s ；
动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4cm/s ；如果P ，Q 两动点同时运动，那么何时△QBP 与△ABC 相似？
【练1】 下面的图形中，形状相似的一组是（ ）
【练2】 两个多边形相似，它们的最短边分别是3cm 和9cm ，那么它们的相似比是 ．
【练3】如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 交CD 于D ，BE 交CD 于C ，AF 与BE 相交于点G ，且23AD DF ==，，BC BE
= ．
【练4】如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似
三角形（ ） A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
练3 练4
【练5】如图，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E ．⑴写出图中的相似三角形；⑵求证：
AD DO
AB CO
=．
7
1．如图，矩形ABCD ∽矩形ADFE ，AE ＝1，AB ＝4，则AD ＝（ ） A ．2
B ．2.4
C ．2.5
D ．3
2．如图，点F 是平行四边形ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线与点E ，则下列结论错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第1题 第2题 3．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，且
，求证：△ADC ∽△BDA ．
=EA AB ED DF =BC FB DE EF =DE BE BC BF =BE AE
BF
BC
=
BD AD
AD
CD
8。