不等式应用题分类整理好的
不等式的应用练习题运用不等式解决实际问题
不等式的应用练习题运用不等式解决实际问题不等式是数学中一种重要的关系式，用来表示不同数值之间的大小关系。
不等式的应用十分广泛，尤其在解决实际问题时能发挥重要作用。
下面将通过一些实际问题来展示如何运用不等式解决相关问题。
问题一：某公司生产的某种产品A的每个单位成本为c元，销售价格为p元。
现有一批产品A，最多可生产n个单位，并且销售数量不少于m个单位。
问该公司最少需要以多少价格出售每个单位产品A，能够保证不亏本？解答：设x为每个单位产品A的出售价格，由题目可知不等式关系：nx ≥ mc。
根据题意，还需满足销售数量不少于m个单位，即p ≥ m。
根据不等式nx ≥ mc和p ≥ m，我们可以得到以下关系式：nx ≥ mcp ≥ m为了保证不亏本，我们需要求解x的最小值。
首先，根据nx ≥ mc，我们可以将c除以n，得到：x ≥ c/n然后，我们再考虑p ≥ m，可以选择最小的p值来保证不亏本。
因此，最小的x值为c/n，当且仅当p = m时，不等式达到最小值。
综上所述，公司最少需要以c/n元的价格出售每个单位产品A，才能保证不亏本。
问题二：某商品的原价为p1元，现在正在打折促销，降价至p2元。
已知促销期间每天能销售的商品数量不能超过n个，如果该店至少想要保持每天的销售额不低于m元，问降价后的最低售价是多少？解答：设x为商品降价后的售价。
根据题意，我们知道不等式关系：nx ≤ m。
根据不等式nx ≤ m，我们可以得到以下关系式：nx ≤ m为了保证每天的销售额不低于m元，我们需要求解x的最小值。
由于降价后的售价p2必须小于原价p1，所以我们可以选择最小的p2值作为降价后的售价。
根据nx ≤ m，我们可以将m除以n，得到：x ≤ m/n然后，我们再考虑p2 ≤ x，可以选择最小的x值来保证每天的销售额不低于m元。
因此，降价后的最低售价为m/n元，当且仅当p2 =m/n时，不等式达到最小值。
综上所述，降价后的最低售价为m/n元，才能保证每天的销售额不低于m元。
(完整word版)不等式应用题大全附答案,推荐文档
1.一家游泳馆每年6～8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元：⑴什么情况下，购会员证与不购会员证付一样的钱？⑵什么情况下，购会员证比不购会员证更合算？⑶什么情况下，不够会员证比购会员证更合算？注意：解题过程完整，分步骤，能用方程解的用方程解80+X=3x80=2XX=40X=40，购会员证与不购会员证付一样的钱X>40购会员证比不购会员证更合算X<40不够会员证比购会员证更合算2.下列是3家公司的广告：甲公司：招聘1人，年薪3万，一年后，每年加薪2000元乙公司：招聘1人，半年薪1万，半年后按每半年20％递增．丙公司：招聘1人，月薪2000元，一年后每月加薪100元你如果应聘，打算选择哪家公司？（合同期为2年）甲:3+3.2=6.2万乙:1+1.2+1.2*1.2+1.2*1.2*1.2=1+1.2+1.44+1.728=5.368万丙:0.2*24+0.01+0.02+0.03+0.04+……0.12=4.8+0.78=5.58万甲工资最高,去甲3.某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人）。
每人25元，超过20人的，超过的部分每人10元，某班51名学生该风景区浏览，购买门票要话多少钱？20*25+(51-20)*10=810(元)4.某公司推销某种产品，付给推销员每月的工资有两种方案：方案一：不计推销多少都有600元底薪，每推销一件产品加付推销费2元；方案二：不付底薪，每推销一件产品，付给推销费5元；若小明一个月推销产品300件，那么他应选择哪一种工资方案比较合算？为什么？方案一：600+2×300=1200（元）方案二：300×5=1500（元）所以方案二合算。
5.某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？设其中一件衣服原价是X无，另一件是Y元，那么X（1+25%）=60，得X=40Y（1-25%）=60，得Y=80总的情况是售价-原价，40+80-60*2=0所以是不盈不亏6小明在第一次数学测验中得了82分，在第二次测验中得了96分，在第三次测验中至少得多少分。
不等式的各类题型归纳总结
不等式不等式的解法一、知识导学1. 一元一次不等式ax>b (1)当a>0时，解为a b x >； (2)当a ＜0时，解为abx <；(3)当a ＝0，b ≥0时无解；当a ＝0，b ＜0时，解为R ．2. 一元二次不等式：(如下表)其中a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两实根，且x 1＜x 23.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是： ①将f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.4.分式不等式：先整理成)()(x g x f ＞0或)()(x g x f ≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：)()(x g x f ＞0⇔f(x)·g(x)＞0 )()(x g x f ≥0⇔0)x (g )x (f 0)x (g 0)x (f ＞或⋅⎩⎨⎧≠= 然后用“根轴法”或化为不等式组求解.二、疑难知识导析1.不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.类型解集 ax 2+bx+c ＞0ax 2+bx+c≥0ax 2+bx+c ＜0ax 2+bx+c≤0Δ＞0{x ｜x ＜x 1或x ＞x 2} {x ｜x≤x 1或x≥x 2} {x ｜x 1＜x ＜x 2} ｛x ｜x 1≤x≤x 2｝ Δ＝0 {x ｜x≠-ab 2，x ∈R } R Ф ｛x ｜x=-ab 2｝ Δ＜0RRΦΦ2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类.三、经典例题导讲[例1] 如果kx 2+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿.A. －1≤k ≤0 B. －1≤k<0 C. －1<k ≤0 D. －1<k<0错解：由题意：⎩⎨⎧<+-⋅-<0)]2([4)2(02k k k k 解得：－1<k<0错因：将kx 2+2kx －(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k ＝0的情况.正解：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴ k ＝0符合题意.当k ≠0时，由题意：⎩⎨⎧<+-⋅-<0)]2([4)2(02k k k k 解得：－1<k<0∴ 01≤<-k ，故选C.[例2] 命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿A.(4,)+∞B.[)4,+∞C.(,4)-∞-D.(],4-∞-错解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4，又由（x ＋2）(x ＋a)=0得x=－2或x ＝－a,A 是B 的充分不必要条件,∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a }∴－a>4故选D.错因：忽略了a ＝－4时，{x|－2＜x ＜4}＝{x|－2＜x ＜－a }，此时A 是B 的充要条件，不是充分不必要条件.正解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4，又由（x ＋2）(x ＋a)=0得x=－2或x ＝－a,A 是B 的充分不必要条件,∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a }∴－a>4故选C.[例3]已知f(x) = a x + x b，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围.错解： 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③①×2－②得 32338-≤≤-b ④③+④得.343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正解： 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f ,解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337)3(316≤≤f [例4] 解不等式（x+2）2(x+3)(x －2)0≥错解： （x+2）2≥∴原不等式可化为：(x+3)(x －2)0≥∴原不等式的解集为｛x| x ≤ －3或x 2≥｝错因:忽视了“≥”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x －2)0= ①或（x+2）2(x+3)(x －2)0>②，解①得：x=－3或x ＝－2或x ＝2解②得：x ＜ －3或x ＞2∴原不等式的解集为｛x| x ≤ －3或x 2≥或x 2-=｝[例5] 解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>-解：将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>- 讨论：当b a >时，ba b a ab x -+>)(当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时Rx ∈当b a <时，ba b a ab x -+<)(点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.[例6]关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集．解：由题设知 0<a ，且21,2=-=x x 是方程02=++c bx ax 的两根∴25-=-a b ， 1=ac 从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-acx a b x 即：01252<+-x x ∴221<<x 点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用.[例7]不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 解：∵3)61(log 2≤++x x ，∴0＜168x x ++≤，∴ 12160x xx x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<--=<0x 2232231,0或或x x x 解得{}(322,322)1x ∈---+⋃反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.四、典型习题导练1.解不等式0322322<--+-x x x x 2. 解不等式 62323+>+x x x 3.解不等式 0)2)(54(22<++--x x x x 4. 解不等式 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x 5.解不等式1116-<-x x 6.k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x kkx x 7. 解不等式0343>---x x 8. 解不等式24622+<+-x x x §5.2简单的线性规划一、知识导学1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．3. 平 移 直 线 ｙ＝－k ｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.三、经典例题导讲[例1] ．画出不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.[例2] 已知1≤x －y ≤2,且2≤x+y ≤4,求4x －2y 的范围. 错解：由于 1≤x －y ≤2 ①,2≤x+y ≤4 ②,①+② 得3≤2x ≤6 ③①×(－1)+② 得：0≤2y ≤3 ④. ③×2+④×(－1)得. 3≤4x －2y ≤12错因：可行域范围扩大了.正解：线性约束条件是：⎩⎨⎧≤+≤≤≤4y x 22y -x 1令z ＝4x －2y ，画出可行域如右图所示， 由⎩⎨⎧=+=2y x 1y -x 得A 点坐标（1.5，0.5）此时z ＝4×1.5－2×0.5＝5.由⎩⎨⎧=+=4y x 2y -x 得B 点坐标（3，1）此时z ＝4×3－2×1＝10.∴ 5≤4x －2y ≤10[例3] 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x ,求x 2+y 2的最值.错解：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 表示的平面区域如右图所示∆ABC 的内部（包括边界），令z= x 2+y 2由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得A 点坐标（4，1），此时z ＝x 2+y 2＝42+12＝17， 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得B 点坐标（－1，－6），此时z ＝x 2+y 2＝（－1）2+(－6)2＝37， 由⎩⎨⎧≥++≤-+01040117y x y x 得C 点坐标（－3，2），此时z ＝x 2+y 2＝（－3）2+22＝13，∴ 当⎩⎨⎧-=-=61y x 时x 2+y 2取得最大值37，当⎩⎨⎧=-=23y x 时x 2+y 2取得最小值13.错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A 、B 、C 到原点的距离的平方的最值.正解：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 表示的平面区域如图所示∆ABC 的内部（包括边界），令z= x 2+y 2,则z 即为点（x ，y ）到原点的距离的平方. 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得A 点坐标（4，1），此时z ＝x 2+y 2＝42+12＝17， 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得B 点坐标（－1，－6），此时z ＝x 2+y 2＝（－1）2+(－6)2＝37，由⎩⎨⎧≥++≤-+01040117y x y x 得C 点坐标（－3，2），此时z ＝x 2+y 2＝（－3）2+22＝13， 而在原点处，⎩⎨⎧==00y x ，此时z ＝x 2+y 2＝02+02＝0，∴ 当⎩⎨⎧-=-=61y x 时x 2+y 2取得最大值37，当⎩⎨⎧==00y x 时x 2+y 2取得最小值0.[例4]某家具厂有方木料90m 3，五合板600m 2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2m 2，生产每个书橱需要方木料0.2m 3，五合板1m 2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？ 分析： 数据分析列表书桌 书橱 资源限制 木料（m 3） 0．1 0．2 90 五合板（m 2） 2 1 600 利润（元/张） 80 120 计划生产（张）xy设生产书桌x 张，书橱y 张，利润z 元，则约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≤+≤+N y N x 600y 2x 902.01.0y x目标函数z=80x+120y作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A （100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为z max =80×100+400×120=56000(元)若只生产书桌，得0<x ≤300，即最多生产300张书桌，利润为z=80×300=24000（元）若只生产书橱，得0<y ≤450，即最多生产450张书橱，利润为z=120×450=54000（元） 答：略[例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：A 规格B 规格C 规格 第一种钢板 1 2 1 第二种钢板 1 1 3 需求121527每张钢板的面积，第一种为1m 2，第二种为2 m 2，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？解：设需要截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z m 2，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+≥+≥+Ny x y x y x y x ,27315212目标函数z=x+2y作出可行域如图2x+y-600=0 A(100,400) x+2y-900=0 2x+3y=0作一组平行直线x+2y=t ，由⎩⎨⎧=+=+27312y x y x可得交点⎪⎭⎫⎝⎛215,29，但点⎪⎭⎫⎝⎛215,29不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z 有最小值，且z min =4+2×8=20 或z min =6+2×7=20若只截第一种钢板，由上可知x ≥27，所用钢板面积最少为z=27(m 2);若只截第二种钢板，则y ≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m 2).它们都比z min 大，因此都不行. 答：略[例6]设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值.解：由引例可知：直线0l 与AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个， 当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =⨯+⨯=． 说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.四、典型习题导练1．画出不等式－x +2y －4＜0表示的平面区域.2．画出不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≥-≥-+53006x y y x y x 表示的平面区域3.求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？2x+y=15x+y=12x+3y=27 x+2y=05.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？6．在约束条件0,0,,2 4.xyy x sy x≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s≤≤时，目标函数32z x y=+的最大值的变化范围是A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]§5.3 基本不等式的证明一、知识导学1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0⇔ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1⇔ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.二、疑难知识导析1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用. 三、经典例题导讲[例1] 已知a>b(ab 0≠),比较a 1与b 1的大小. 错解： a>b(ab 0≠)，∴a 1<b1.错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正解：aba b b a -=-11，又 a>b(ab 0≠)， (1)当a 、b 同号时，即a>b>0或b<a<0时，则ab>0,b －a<0, 0<-aba b ,∴a 1<b 1.(2)当a 、b 异号时，则a>0,b<0,a 1>0,b 1<0∴a 1>b1. [例2] 当a 、b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（ ）A.2b a +B.abC.222b a + D.111)2(---+b a错解：所以选B.错因是由于在2b a +、ab 、222b a +中很容易确定ab 最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏111)2(---+b a 与前三者的大小比较. 正解：由均值不等式≥+2ba ab 及a 2+b 2≥2ab,可知选项A 、B 、C 中，ab 最小，而111)2(---+b a ＝ba ab +2，由当a ≠b 时，a+b>2ab ,两端同乘以ab ，可得（a+b ）·ab＞2ab,∴ba ab+2＜ab ，因此选D. [例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a)2+(b+ 1b)2的最小值.错解: (a+a 1)2+(b+b 1)2=a 2+b 2+21a +21b +4≥2ab+ab 2+4≥4abab 1∙+4=8, ∴(a+a 1)2+(b+b1)2的最小值是8. 错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a 2+b 2+21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +21b )+4=[(a+b)2－2ab]+[(a 1+b 1)2－ab 2]+4= (1－2ab)(1+221ba )+4，由ab ≤(2b a +)2=41 得：1－2ab ≥1－21=21, 且221b a ≥16，1+221b a ≥17，∴原式≥21×17+4=225 (当且仅当a=b=21时，等号成立)，∴(a + a 1)2 + (b + b1)2的最小值是252 .[例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小.解法一：[][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+--xxx aa +--=11log )1(log 2∵0 < 1 - x 2< 1, 1110<+-<x x ∴011log )1(log 2>+--xx x a a∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 解法二：2111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log xxx x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++ )1(log 121x x --=+∵0 < 1 - x 2< 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-解法三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2,∴0)1(log ,0)1(log <+>-x x a a∴左 - 右 = )1(log )1(log )1(log 2x x x a a a -=++- ∵0 < 1 - x 2< 1, 且0 < a < 1 ∴0)1(log 2>-x a∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-[例5]已知x 2= a 2+ b 2，y 2= c 2+ d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd证：证法一（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd只需证：(xy )2≥(ac + bd )2即：(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2+ 2abcd展开得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd即：a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy ≥ac + bd证法二（综合法）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++=++≥bd ac bd ac db abcdc a +=+=++22222)(2证法三（三角代换法）∵x 2 = a 2 + b 2，∴不妨设a = x sin α, b = x cos αy 2 = c 2 + d 2 c = y sin β, d = y cos β∴ac + bd = xy sin αsin β + xy cos αcos β = xy cos(α - β)≤xy [例6] 已知x > 0，求证： 25111≥+++xx xx 证：构造函数)0(1)(>+=x xx x f 则21≥+x x ， 设2≤α<β由αβ-αββ-α=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛β-α+β-α=β+β-α+α=β-α)1)((11)()1(1)()(f f 显然 ∵2≤α<β ∴α - β > 0, αβ - 1 > 0, αβ > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x )在),2[+∞上单调递增，∴左边25)2(=≥f 四、典型习题导练1.比较（a +3）(a －5)与（a +2）（a -4）的大小.2.已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：22311+≥+y x 4.若122≤+y x ，求证：2|2|22≤-+y xy x5.若x > 1，y > 1，求证：)1)(1(1--+≥y x xy6．证明：若a > 0，则212122-+≥-+a a aa §5.4不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果a 1，a 2∈R +，那么ab ba ≥+2. 2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式. 3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值. 二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数)])(()[(,,2bx d ax c x b a k y x bax y x b ax y --+=+=+=”为模型的新的形式. 三 经典例题导讲[例1]求y=4522++x x 的最小值.错解： y=414241445222222+⋅+≥+++=++x x x x x x ＝2∴ y 的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可. 正解：令t=42+x ,则t 2≥,于是y=)2(,1≤+t tt 由于当t 1≥时，y=t t 1+是递增的，故当t ＝2即x=0时，y 取最小值25. [例2]m 为何值时，方程x 2+(2m+1)x+m 2－3=0有两个正根. 错解：由根与系数的关系得3030122-<⇒⎩⎨⎧>-<+m m m ，因此当3-<m 时，原方程有两个正根.错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.正解：由题意：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-<-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<+≥--+=∆3m 321413030120)3(4)12(222或m m m m m m m ,3m 413-≤≤-⇒因此当3m 413-≤≤-时，原方程有两个正根. [例3]若正数x ，y 满足365y 6x =+，求xy 的最大值． 解：由于x ，y 为正数，则6x ，5y 也是正数，所以xy y x x 3056256=⋅≥+ 当且仅当6x=5y 时，取“=”号． 因365y 6x =+，则23630≤xy ，即554≤xy ，所以xy 的最大值为554. [例4] 已知：长方体的全面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S 是定值．因此最大值一定要用S 来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y ，其长、宽、高分别为a ，b ，c ，则y=abc ．由于a+b+c 不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y 2的最大值，这样y 的最大值也就可以求出来了．解：设长方体的体积为y ，长、宽、高分别是为a ，b ，c ，则 y=abc ，2ab+2bc+2ac=S ． 而 y 2=（abc ）2=（ab ）（bc ）（ac ）当且仅当ab=bc=ac ，即a=b=c 时，上式取“=”号，y 2有最小值答：长方体的长、宽、高都等于66s 时体积的最大值为366s s . 说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.3.在四面体P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m ，求这个四面体体积的最大值．4. 设函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象与两直线y=x ，y=-x ，均不相 交，试证明对一切∈x R 都有||41||2a c bx ax >++. 5．青工小李需制作一批容积为V 的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？5.5 推理与证明一、基础知识导学1. 推理一般包括合情推理和演绎推理.2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.3.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.4.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.8.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.9.分析法：从原因推导到结果的思维方法.10.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.11.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.13.数学归纳法：设｛p n｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设p k成立的前提上，推出p k＋1也成立，那么可以断定，｛p n｝对一切正整数成立.14.数学归纳法的步骤：（1）证明当（如或2等）时，结论正确；（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．二、疑难知识导析1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.三、经典例题导讲[例1] {n a}是正数组成的数列,其前n项和为n s,并且对于所有的自然数n,n a与2的等差中项等于n s与2的等比中项.(1)写出数列{n a}的前3项;(2)求数列{n a}的通项公式(写出推证过程);错解：由(1)猜想数列{n a}有通项公式n a=4n-2.下面用数学归纳法证明数列{n a}的通项公式是。
《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解
⎧ x + 1 ⎪⎩ 2 3《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解1.常见题型分类(加粗体例题需要作答)定义类1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A.1x+1>2B.x 2>9C.2x +y ≤5D.12(x －3)<02.若 (m - 2) x 2m +1 - 1 > 5 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为.用不等式表示a 与 6 的和小于 5；x 与 2 的差小于－1；数轴题1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：a __________b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a .2.已知实数 a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A 、ab ＞0B 、 a > bC 、a －b ＞0D 、a ＋b ＞0同等变换1.与 2x <6 不同解的不等式是（）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12借助数轴解不等式(组):(这类试题在中考中很多见)⎪1 -≥0 1.（2010 湖北随州）解不等式组 ⎨ 3⎪⎩3 - 4( x - 1) < 1D.－2x <－62.（2010 福建宁德）解不等式 2 x - 1 - 5x + 1 3 2⎧1 - 2( x -1) > 1, ⎪3.（2006 年绵阳市） ⎨ x 1- ≥ x.含参不等式: 此类试题易错知识辨析≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．x （ （（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式 ax > b （或 ax < b ）（ a ≠ 0 ）的形式的解集：当 a > 0 时， x > b b（或 x < ）a ab b当 a < 0 时， x < （或 x > ）a ab b当 a < 0 时， x < （或 x > ）a a4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1 的解集是 x ＜1，则 a 必满足( )．(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－15 若 m ＞5，试用 m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是 x <－1,则有（ ）A.m >2B.m <2C.m =2(D)a ＜1D.m ≠27.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是 x ＜ b a - 3，那么 a 的取值范围是________.限制条件的解1.不等式 3(x －2)≤x +4 的非负整数解有几个.（） A.4 B.5C.6D.无数个2.不等式 4x － A.11 11< x + 的最大的整数解为（ ） 4 4B.0C.－1D.不存在含绝对值不等式1. 不等式|x |< 7 3的整数解是________.不等式|x |<1 的解集是________.分类讨论1.已知 ax ＜2a (a ≠0)是关于 x 的不等式，那么它的解集是( )A.x ＜2B.x ＞－2C.当 a ＞0 时，x ＜2D.当 a ＞0 时，x ＜2;当 a ＜0 时，x ＞2不等式的性质及应用y1. 若 x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么（1） ＋y ＞0， 2）y －x ＜0， 3）xy ≤0,（4） ＜0 中，正确结论的序号为________。
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。
2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。
2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。
2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式：|3x 4| < 2。
4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。
基本不等式应用题的四大类型
基本不等式应用题的四大类型
基本不等式应用题的四大类型如下：
1. 求最值：这种题型的特点是两个式子中x的次数互为相反数，相乘后可以抵消掉。
如果是以多项式为整体应用基本不等式，为了让多项式产生联系，通常采用对多项式加减常数来解决。
2. 分式结构的基本不等式：这种题型有一次比二次型、二次比一次型、二次比二次型。
对于一次比二次型和二次比一次型，通常令一次结构部分为t，将y化成关于t的函数，然后分子分母同除以t。
对于二次比二次型，通常先分离常数，然后再采用上述方法。
3. 带限制条件的基本不等式问题：这类问题通常需要结合其他数学知识，如代数、方程、函数等，通过设立代数式、方程或不等式来解决。
4. 直接应用基本不等式：题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。
如需更多信息，建议请教数学老师或者查看数学教材。
不等式应用题解法
不等式应用题解法不等式是数学中的一个重要概念，它描述了两个量之间的关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等多种不等式形式。
在实际问题中，我们经常会遇到需要解决不等式应用题的情况。
本文将介绍一些解决不等式应用题的常用方法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是指仅包含一个未知数的一次方程。
解决一元一次不等式的常用方法是根据特定情况进行讨论。
以下是几种常见情况的解法：1. 大于或小于关系的不等式当不等式的关系是大于或小于时，我们可以通过移项、合并同类项以及分解因式等方法将不等式转化成更简单的形式。
然后，通过确定未知数的取值范围来解决不等式。
例如：解不等式3x - 5 > 10：首先将不等式转化为更简单的形式：3x > 15然后除以3得到：x > 5因此，解集为x > 52. 大于等于或小于等于关系的不等式当不等式的关系是大于等于或小于等于时，我们可以通过移项、合并同类项以及分解因式等方法将不等式转化成更简单的形式。
然后，通过确定未知数的取值范围来解决不等式。
例如：解不等式2x + 3 ≤ 9：首先将不等式转化为更简单的形式：2x ≤ 6然后除以2得到：x ≤ 3因此，解集为x ≤ 3二、一元二次不等式一元二次不等式是指包含一个未知数的二次方程。
解决一元二次不等式的常用方法是构建二次方程的图像，然后根据图像来确定不等式的解集。
以下是一元二次不等式的解法：解不等式x² + 4x - 5 > 0：首先将不等式转化成方程：x² + 4x - 5 = 0然后求出方程的根：x₁ = 1，x₂ = -5接下来，构建二次方程的图像，在图像上确定不等式大于0的部分，即x的取值范围。
最后，将x的取值范围表示出来，得到解集为x ∈ (-∞, -5) ∪ (1,+∞)三、多元不等式多元不等式是指包含多个未知数的不等式。
解决多元不等式的方法涉及到代数、几何和推理等多个数学概念。
不等式应用题分类整理好的
一元一次不等式应用题专题（分配问题）1、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？。
2、解放军某连队在一次执行任务时，准备将战士编成8个组，如果每组人数比预定人数多1名，那么战士人数将超过8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5（积分问题）1、某次数学测验共20道题（满分100分）。
评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。
某学生有1道未答。
那么他至少答对几道题才能及格？2、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？3、在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？（比较问题）1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。
已知两家旅行社的全票价都是240元，至少要多少名学生选甲旅行社比较好？2、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。
假设这两位家长至少带领多少名学生去旅游，他们应该选择甲旅行社？（行程问题）1、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？2、爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？3、王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？（车费问题）1、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km 部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程超过多少km?2、某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需要7元车费），超过3km，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计）。
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一元一次不等式应用题专题 （分配问题）
1、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3
3件，
问小朋友的人数至少有多少人？。
2、解放军某连队在一次执行任务时，准备将战士编成8个组，如果每组人数比预定人数多1名，那么战士人数将超过100人，则预定每组分配战士的人数要超过多少人？
3、把若干颗花生分给若干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5（积分问题）
1、某次数学测验共20道题（满分100分）。
评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。
某学生有1道未答。
那么他至少答对几道题才能及格？
2、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？
3、在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？
（比较问题）
1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优
惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。
已知两家旅行社的全票价都是240元，至少要多少名学生选甲旅行社比较好？
2、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。
假设这两位家长至少带领多少名学生去旅游，他们应该选择甲旅行社？
（行程问题）
1、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？
2、爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以
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外的安全地区，导火索至少需要多长？
3、王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？
（车费问题）
1、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程超过多少km?
2、某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需要7元车费），超过3km，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计）。
某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元。
设此人从A地到B地经过的路程最多是多少km？
（工程问题）
1 .一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？
2 .用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？
3.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？
（浓度问题）
1、在1千克含有40克食盐的海水中，在加入食盐，使他成为浓度不底于20%的食盐水，问：至少加入多少食盐？
2、一种灭虫药粉30千克，含药率是15%，现在要用含药率比较高的同种药粉50千克和它混合，使混合的含药率大于20%，求所用药粉的含药率的范围。
（增减问题）
1、一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。
在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm.求弹簧所挂物体的最大质量是多少？
2、几个同学合影，每人交0.70元，一张底片0.68元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，将收来的钱尽量用完，这张照片上的同学至少有多少个？
（销售问题）
1 、商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
(1)试求该商品的进价和第一次的售价；
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(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？
2.水果店进了某中水果1t ，进价是7元/kg 。
售价定为10元/kg ，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。
如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？
3.“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg 多少元，才能避免亏本？
（数字问题）1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数 方案选择与设计
1．某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 含量及购买这两种原料的价格如下表：
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C ，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元， （1）设需用x 千克甲种原料，写出x 应满足的不等式组。
（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？
2.红星公司要招聘A 、B 两个工种的工人150人，A 、B 工种的工人的月工资分别为600和1000元，现要求B 工种的人数不少于A 工种人数的2倍，那么招聘A 工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？
3.某工厂接受一项生产任务，需要用10米长的铁条作原料。
现在需要截取3米长的铁条81根，4米长的铁条32根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的10米长的铁条最少？最少需几根？
4.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8％;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2％作保管费，问： （1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？ （2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。
5.某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该
园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。
年票分为A 、B 、C 三种：A 年票每张120元，持票进入不用再买门票；B 类每张60元，持票进入园林需要再买门票，每张2元，C 类年票每张40元，持票进入园林时，购买每张3元的门票。
如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
求一年中进入该园林至少多少时，购买A 类年票才比较合算。
6.某城市平均每天处理垃圾700吨，有甲和乙两个处理厂处理，已知甲每小时可处理垃圾55吨，需要费用550元，乙厂每小时可处理垃圾45吨，需要费用495员。
如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天
. 处理垃圾至少要多少吨？。