江苏版高考数学一轮复习专题31导数概念及其运算讲1129350
(江苏专版)高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算实用课件文
2．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx_无__限__趋__近__于___0_时，比值ΔΔxy＝_f_x_0_＋__ΔΔ_x_x_－__f_x_0_ 无限趋近于一 个_常__数___A_，则称 f(x)在 x＝x0 处 可导 ，并称常数 A 为函数 f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0) ． 3．函数 f(x)的导函数 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都 可导 ，则 f(x) 在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变 量 x 的 函数 ，该函数称为 f(x)的 导函数 ，记作 f′(x) ．
(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)； f′xgx－fxg′x
(4)gfxx′＝_________[g__x__]2_______ (g(x)≠0)．
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考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
已知函数的解析式求导数 [例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(1－ x)1＋ 1x； (2)y＝lnxx； (3)y＝tan x； (4)y＝3xex－2x＋e.
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考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求切线方程 [例 1] 已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程． [解] (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5， ∴f′(2)＝1，又 f(2)＝－2， ∴曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－(－2)＝x－2， 即 x－y－4＝0.
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求切点坐标 [例 2] (1)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝1x(x＞0) 上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________． (2)(2018·广州模拟)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋y＝0，则点 P 的坐标为________． [解析] (1)y＝ex 的导数为 y′＝ex，则曲线 y＝ex 在点(0,1) 处的切线斜率 k1＝e0＝1.y＝1x(x＞0)的导数为 y′＝－x12(x＞0)， 设 P(m，n)，则曲线 y＝1x(x＞0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12(m ＞0)．因为两切线垂直，所以 k1k2＝－1，所以 m＝1，n＝1，则 点 P 的坐标为(1,1)．
(江苏专用)202x版高考数学大一轮复习 第三章 1 第一节 导数的概念及运算
1.导数的有关概念
教 材 2.导数的几何意义 研 3.基本初等函数的导数公式 读 4.导数的运算法则
考 考点一 导数的计算 点 突 考点二 导数的几何意义 破
教材研读
1.导数的有关概念
f (x2) f (x1)
(1)平均变化率:函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为① x2 x1
答案 (1)x-4y+4=0 (2)3x-3y+2=0或12x-3y-16=0
解析 (1)设f(x)=xa,则由题意得4a=2,即a= 1 ,
2
所以f(x)= x
1 2
,则
f
'(x)= 1
1
x2
,
2
故曲线f(x)在A点处的切线的斜率k= 1 ×4 12 =1 ,
2
4
所以曲线f(x)在A点处的切线的方程为y-2= 1 (x-4),
f '(x)=-sin x
f '(x)=axln a(a>0且a≠1)
f
'(x)=ex
x
1 ln
a
f '(x)= 1x (a>0且a≠1)
f '(x)=
4.导数的运算法则
运算 和差 积 商
法则
[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x)
[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
y
,若记x2-x1=Δx, f(x2)-f(x1)=Δy,则平均变化率可表示为② x
.
(2)函数f(x)在x=x0处的导数:设函数f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当
高考数学一轮复习讲义：31导数的概念及其运算共58页
变式训练 1
利用导数的定义求函数的导数：
(1)f(x)＝
1在 x
x＝1
处的导数；
(2)f(x)＝x＋1 2. 解 (1)ΔΔxy＝f(1＋ΔΔxx)－f(1)
＝
1＋1 Δx－1 Δx
＝1－ Δx
11＋＋ΔΔxx＝Δx
1－(1＋Δx) 1＋Δx(1＋ 1＋Δx)
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＝ Δx(
－Δx 1＋Δx＋1＋Δx)
无设限函趋数近y于＝f0(x时)在，区比间值(ΔΔaxy，＝b)上有f(x定0＋义ΔΔ，xx)－x0f∈(x0()a，无b限)，趋若近Δ于x 一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处 可导 ，并称该常数 A 为 函数 f(x)在 x＝x0 处的 导数 ，记作 f′(x0) ．
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要点梳理
忆一忆知识要点
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利用导数的定义求函数的导数 例 1 求函数 y＝ x2＋1在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率．
紧扣定义ΔΔxy＝f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)进行计算．
解 ∵Δy＝ (x0＋Δx)2＋1－ x20＋1
＝
(x0＋Δx)2＋1－x02－1 (x0＋Δx)2＋1＋ x02＋1
＝ (x0＋2xΔ0xΔ)x2＋＋1(Δ＋x)2x02＋1，
∴ΔΔxy＝
2x0＋Δx (x0＋Δx)2＋1＋
x02＋1.
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探究提高
求函数 f(x)平均变化率的步骤： ①求函数值的增量 Δf＝f(x2)－f(x1)； ②计算平均变化率ΔΔxf ＝f(xx2)2－－fx(1x1). 解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注 意运算过程就可以了．
一轮复习讲义
导数的概念及其运算
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江苏版高考数学 3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
专题三导数【真题典例】3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算挖命题【考情探究】分析解读导数的概念及几何意义、导数的四则运算是学习导数的基础,一般不单独考查,往往结合函数知识进行考查,更多出现于解答题中.破考点【考点集训】考点一导数的概念及几何意义1.(2019届江苏平潮高级中学检测)已知函数f(x)=ax2+3x-2在点(2, f(2))处的切线斜率为7,则实数a= .答案 12.曲线C:y=在点(1,0)处的切线方程为.答案x-y-1=0考点二导数的运算1.(2019届江苏启东一中检测)已知函数f(x)=在x=1处的导数为-2,则实数a的值是. 答案 22.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f '(1)= .答案 2炼技法【方法集训】方法一导数的运算方法1.(2019届江苏四甲中学检测)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为.答案 f '(x)=3(x2-a2)2.已知函数f(x)=xcos x,则f '= .答案-方法二求曲线y=f(x)的切线方程1.与直线4x-y+5=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是.答案4x-y-2=02.(2019届江苏石庄中学检测)已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.答案2x+y+1=0方法三与切线有关的参数的求解策略1.(2018江苏苏州高三期中调研)已知曲线f(x)=ax3+ln x在(1, f(1))处的切线的斜率为2,则实数a的值是.答案2.(2018江苏南通高三第一次调研测试)若曲线y=xln x在x=1与x=t处的切线互相垂直,则实数t的值为.答案e-2过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组(2018江苏,19,16分)记f '(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.解析本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.(1)证明:函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f '(x)=1,g'(x)=2x+2,由f(x)=g(x)且f '(x)=g'(x),得-此方程组无解.因此, f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f '(x)=2ax,g'(x)=,设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f '(x0)=g'(x0),得-即-(*)得ln x0=-,即x0=-,则a=-=.当a=时,x0=-满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,因此,a的值为.(3)f '(x)=-2x,g'(x)=-,x≠0, f '(x0)=g'(x0)⇒b=-->0⇒x0∈(0,1),f(x0)=g(x0)⇒-+a==--⇒a=--,令h(x)=x2---a=---,x∈(0,1),a>0,设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0, 又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,∴m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点.因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.思路分析本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决问题,第三问中,从而转化为研究先利用f '(x0)=g'(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a=--h(x)=--,x∈(0,1),a>0的零点存在性问题,再研究函数m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,由-m(0)<0,m(1)>0,可判断出m(x)在(0,1)上存在零点,进而解决问题.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一导数的概念及几何意义1.(2018课标全国Ⅰ文改编,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=x2.(2018课标全国Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x3.(2018课标全国Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .答案-34.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=05.(2014课标Ⅱ改编,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= .答案 36.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .答案1-ln 27.(2016课标Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x考点二导数的运算1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=e x ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为.答案 e2.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.答案 33.(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a= .答案 14.(2016山东理改编,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是.(1)y=sin x;(2)y=ln x;(3)y=e x;(4)y=x3.答案(1)5.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= . 答案8C组教师专用题组1.(2013广东理改编,10,5分)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k= .答案-12.(2011江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=e x(x>0)的图象上的动点,该图象在点P 处的切线l交y轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是.答案+【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏海门中学检测)曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为.答案 12.(2019届江苏启东中学检测)函数y=xcos x-sin x的导数为.答案y'=-xsin x3.(2019届江苏白蒲高级中学检测)函数f(x)=e x sin x的图象在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为.答案4.(2019届江苏汇龙中学检测)曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为.答案5x+y+2=05.(2018江苏启东一中检测)已知函数f(x)=-,则f(x)的导函数f '(x)= .答案-6.(2019届江苏金沙中学检测)曲线y=a x在x=0处的切线方程是xln 2+y-1=0,则a= .答案7.(2019届江苏南师附中检测)若f(x)=2xf '(1)+x2,则f '(0)= .答案-48.(2018江苏姜堰第二中学检测)若x轴是曲线f(x)=ln x-kx+3的一条切线,则k= .答案e29.(2019届江苏丹阳高级中学检测)在曲线y=x-(x>0)上一点P(x0,y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A,B,O 是坐标原点,若△OAB的面积为,则x0= .答案10.(2018江苏江阴第一中学检测)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)= .答案0二、解答题(共30分)11.(2019届江苏通州高级中学检测)已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(2)求经过点(2,-2)的曲线的切线方程.解析(1)因为f '(x)=3x2-8x+5,所以f '(2)=1,又f(2)=-2,所以曲线在点(2, f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.(2)设曲线与经过点(2,-2)的切线相切于点P(x0,-4+5x0-4),因为f '(x0)=3-8x0+5,所以切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2),又切线过点P(x0,-4+5x0-4),所以-4+5x0-2=(3-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或1,所以经过(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.12.(2019届江苏张家港高级中学检测)已知f(x)=ln x,g(x)=x3+x2+mx+n,直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0).(1)求直线l的方程;(2)求函数g(x)的解析式.解析(1)因为直线l是f(x)=ln x在点(1,0)处的切线, 所以其斜率k=f '(1)=1,因此直线l的方程为y=x-1.(2)又直线l与g(x)相切于点(1,0),所以g'(1)=1,且g(1)=0.-因此所以所以函数g(x)=x3+x2-x+.。
【2021】高考数学苏教版一轮核心考点精准研析：3.1 导数的概念及计算
核心考点·精准研析考点一 导数的计算1.下列求导运算正确的是 ( ) A.(sin a)′=cos a(a 为常数) B.(sin 2x)′=2cos 2x C.(cos x)′=sin x D.(x -5)′=- 15x -62.函数f(x)=x 2+ln x+sin x+1的导函数f ′(x)= ( ) +1x +cos x+11x+cos x+1x -cos x +1x+cos x 3.函数f(x)=cosx sinx的导函数f ′(x)= ( )x1tanx1cos 2x1sin 2x4.函数f(x)=√2x +1的导函数f ′(x)= ( )√2x +1 B.√2x+1C.2√2x+1D.√2x+15.设f ′(x)是函数f(x)=cosx e x+x 的导函数,则f ′(0)的值为________.【解析】1.选B.(sin a)′=0(a 为常数),(sin 2x)′=2cos 2x, (cos x)′=-sin x,(x -5)′=-5x -6.2.选D.由f(x)=x 2+ln x+sin x+1得f ′(x)=2x+1x +cos x.3.选′(x)=-sin 2x -cos 2xsin 2x=-1sin 2x.4.选′(x)=(√2x +1)′=[(2x +1)12]′ =12(2x +1)-12(2x +1)′=1√2x+1.5.因为f(x)=cosxe x+x,所以f ′(x)=-sinxe x -cosxe x(e x )2+1=-sinx -cosxe x+1,所以f ′(0)=-1e0+1=0. 答案:0题2中,若将“f(x)=x 2+ln x+sin x+1”改为“f(x)=1-√x +1+√x”,则f ′(x)=________. 【解析】因为f(x)=1-√x +1+√x =21-x,所以f ′(x)=(21-x)′=2'(1-x )-2(1-x )'(1-x )2=2(1-x )2.答案:2(1-x )2考点二 导数的简单应用【典例】1.若函数f(x)=e ax +ln(x+1),f ′(0)=4,则a=________. 2.已知函数f(x)的导函数为f ′(x),且f(x)=2xf ′(e)-ln x,则f ′(e)=_____.3.(2021·苏州模拟)二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,若其导函数为f ′(x)=3x-12,则f(x)=______.【解题导思】序号 联想解题1 由f ′(0)=4,想到求f ′(x),列方程2 由f ′(e)想到求f ′(x)并代入x=e3由二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,想到设函数的解析式为f(x)=ax 2+bx【解析】1.由f(x)=e ax +ln(x+1), 得f ′(x)=ae ax +1x+1,因为f ′(0)=4,所以f ′(0)=a+1=4, 所以a=3. 答案:32.因为f(x)=2xf ′(e)-ln x, 所以f ′(x)=2f ′(e)-1x ,令x=e 得:f ′(e)=2f ′(e)-1e,即f ′(e)=1e.答案:1e3.根据题意,二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,设其解析式为f(x)=ax 2+bx, 则有f ′(x)=2ax+b,又由f ′(x)=3x-12,得2ax+b=3x-12,则a=32,b=-12,故f(x)=32x 2-12x.答案:32x 2-12x含参数的函数的导数要注意的两点(1)含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.(2)注意利用题目条件构建方程,求出参数的值.此时要注意区别函数f(x)及其导数f ′(x).1.已知f(x)的导函数为f ′(x),且满足f(x)=x 3+f ′(23)x 2-x,则f(1)=( )B.2 【解析】选C.由f(x)=x 3+f ′(23)x 2-x,得f ′(x)=3x 2+2f ′(23)x-1,所以f ′(23)=43+ 43f ′(23)-1,所以f ′(23)=-1,f(x)=x 3-x 2-x, 所以f(1)=13-12-1=-1.2.函数f(x)=ln x+a 的导函数为f ′(x),若方程f ′(x)=f(x)的根x 0小于1,则实数a 的取值范围为 ( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(1,√2)D.(1,√3)【解析】选A.由函数f(x)=ln x+a可得f′(x)=1x,由于使得f′(x0)=f(x0)成立的0<x0<1,则1x0=ln x0+a(0<x0<1).由于1x0>1,ln x0<0,所以a=1x0-ln x0>1,故有a>1.考点三导数几何意义的运用命题精解读考什么:(1)求切线方程、求切点坐标、与切线有关求参数的值或取值范围.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养怎么考:与直线的方程、不等式等结合考查直线的斜率、直线的点斜式方程、导数的几何意义等问题新趋势:以三角函数、指数函数、对数函数为载体,与求导数和导数的几何意义交汇考查.学霸好方法1.注意两类切线问题的区别(1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.(2)“切点”与“公共点”:某曲线的切线与此曲线的公共点有可能有多个(即除了切点之外可能还有其他公共点).2.利用导数求曲线的切线方程若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f ′(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步:第一步:设出切点坐标P′(x1, f(x1));第二步:写出曲线在点P′(x1, f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f ′(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.已知切点求切线的方程问题【典例】(2021·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为____________.【解析】y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以k=y′|x=0=3,所以曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0. 答案:3x-y=0用导数的几何意义求曲线的切线方程的关键是什么提示:关键是确定切点坐标.未知切点求切线的方程问题【典例】已知函数f(x)=x3+x-16,若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为________.【解析】设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0= (-2)3+(-2)-16=-26,f′(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x.答案:y=13x如何从题目条件判断是否知道切点提示:从题目条件的叙述方式判断,一般来说,“过××点”的切线,都是不知道切点.知道切点的叙述方式为“在××点处的切线”.求参数的值【典例】(2021·全国卷Ⅲ)已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )=e,b=-1 =e,b=1=e-1,b=1 =e-1,b=-1【解析】选D.令f(x)=ae x+xln x,=e-1.则f′(x)=ae x+ln x+1,f′(1)=ae+1=2,得a=1ef(1)=ae=2+b,可得b=-1.切线问题中可以用来列出等量关系的依据有哪些提示:(1)切点处的导数为切线斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.1.已知定义在R上的奇函数f(x),当x≤0时,f(x)=x3-2x-m,则曲线在点P(2,f(2))处的切线斜率为( )D.与m的取值有关【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=-m =0,所以m =0,即当x≤0时,f(x)=x3-2x,当x>0时,f(x)=-f(-x)= x3-2x,所以当x>0时,f′(x)=3x2-2,f′(2)=3×22-2=10.2.(2021·吉安模拟)已知过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数有( )B.1【解析】选C.若直线与曲线相切于点(x 0,y 0)(x 0≠0), 则k=y 0-1x 0-1=x 03-1x 0-1=x 02+x 0+1, 因为y ′=3x 2,所以y '|x=x 0=3x 02, 所以3x 02=x 02+x 0+1,所以2x 02-x 0-1=0,所以x 0=1或x 0=-12,所以过点P(1,1)与曲线y=x 3相切的直线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0,所以共有2条.3.(2021·十堰模拟)若直线y=12x+m 与曲线y=x 3-2相切,则m=________.【解析】y=x 3-2的导数为y ′=3x 2,直线y=12x+m 与曲线y=x 3-2相切,设切点为(s,t),可得3s 2=12,12s+m=s 3-2,即有s=2,m=-18;s=-2,m=14. 答案:14或-181.设点P 是曲线y=x 3-√3x+23上的任意一点,则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为 ( ) A.[0,π2]∪[5π6,π) B.[2π3,π)C.[0,π2)∪[2π3,π) D.(π2,5π6]【解析】选C.因为y ′=3x 2-√3≥-√3,故切线的斜率k ≥-√3,所以切线的倾斜角α的取值范围为[0,π2)∪[2π3,π).2.如图,y=f(x)是可导函数,直线l :y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则曲线g(x)在x=3处的切线方程为________.【解析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率等于-13,即f ′(3)=-13.又g(x)=xf(x),所以g ′(x)=f(x)+xf ′(x),g ′(3)=f(3)+3f ′(3),由题图可知f(3)=1,所以g(3)=3f(3)=3,g ′(3)=1+3×(-13)=0,则曲线g(x)在x=3处的切线方程为y-3=0. 答案:y-3=03.阅读材料:求函数y=e x 的导函数. 解:因为y=e x ,所以x=ln y,所以x′=(lny )′,所以1=1y ·y′,所以y′=y=e x .借助上述思路,曲线y=(2x -1)x+1,x ∈(12,+∞)在点(1,1)处的切线方程为________.【解析】因为y=(2x -1)x+1, 所以ln y=(x +1)ln (2x -1), 所以1y ·y ′=ln (2x -1)+2(x+1)2x -1,所以y ′=[ln (2x -1)+2(x+1)2x -1](2x -1)x+1,当x=1时,y ′=4,所以曲线y=(2x-1)x+1,x∈(1,+∞)在点(1,1)处的切线方程为2y-1=4(x-1),即y=4x-3.答案:y=4x-3。
高考江苏数学大一轮精准复习课件导数的概念及几何意义导数的运算
导数的几何意义-切线斜率
切线的定义
对于函数图像上某一点，通过该点且 与函数图像只有一个交点的直线称为 该点的切线。
切线斜率与导数的关系
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的切线斜 率等于该函数在$x_0$处的导数值 $f'(x_0)$。因此，导数在几何上表示 了函数图像在某一点处的切线斜率。
可导与连续的关系
可导必连续
如果函数在某一点处可导，则该函数 在该点处必定连续。这是因为可导意 味着函数在该点处的左右极限存在且 相等，从而保证了函数的连续性。
连续不一定可导
虽然连续函数在其定义域内具有许多 良好的性质，但并不意味着连续函数 在其定义域内的每一点都可导。例如 ，绝对值函数$f(x) = |x|$在$x = 0$ 处连续但不可导。
根据函数的表达式，利用数学软件或手绘方式描绘出函数的图形。
分析曲线特征
通过观察和分析曲线的形状、走向、极值点、拐点等特征，加深对函数性质的理解。
与一阶导数、二阶导数的联系
结合一阶导数和二阶导数的性质，分析曲线在不同区间的单调性、凹凸性以及拐点的位置 ，从而更全面地掌握函数的性质。
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函数的凹凸性与二阶导数的关系
当二阶导数大于0时，函数在该区间内为凹函数 ；当二阶导数小于0时，函数在该区间内为凸函 数。
函数的拐点与高阶导数的关系
拐点是函数凹凸性发生改变的点，可以通过求解 高阶导数来判断拐点的位置。
高阶导数在实际问题中的应用
物理学中的应用
在物理学中，高阶导数可以用来 描述物体的加速度、加加速度等 运动学量，以及波动现象中的振 动频率、振幅等。
幂指函数的求导
形如$y = [f(x)]^{g(x)}$的幂指函数，可以先取对数 化为复合函数，再利用链式法则求导。
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版第一节 导数的概念及导数的运算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值ΔyΔx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x α f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)；(3)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x (g (x )≠0)．[小题体验]1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________． 解析：由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案：e2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝_____.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x)′＝a xln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x＝－1，所以ex ＝a ，又－1a·e 0x＝－x 0＋1，所以x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 23．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝________.解析：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.答案：－1或－2564考点一 导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数． (1)f (x )＝x 3＋x ； (2)f (x )＝sin x ＋x ； (3)f (x )＝e x cos x ； (4)f (x )＝x －1x－ln x . 解：(1)f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. (2)f ′(x )＝cos x ＋1.(3)f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ＝e x(cos x －sin x )． (4)f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2.[谨记通法]求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2019·泰州检测)若函数f (x )＝2x 在点(a ，f (a ))处的切线与直线2x ＋y －4＝0垂直，则该切线方程为________．解析：∵切线与直线2x ＋y －4＝0垂直， ∴切线的斜率是12.∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝x12-，∴f ′(a )＝a12-＝12. 解得a ＝4，则f (4)＝4，故函数f (x )在点(4,4)处的切线方程为x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝02．已知曲线y ＝x 与y ＝8x的交点为C ，两曲线在点C 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝8x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即C (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x ，则直线l 1的斜率k 1＝14，∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4，如图，易知S △ABC ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.答案：6角度二：求切点坐标3．(2019·扬州模拟)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为________．解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，符合题意．答案：(1,3)和(－1,3) 角度三：求参数的值(范围)4．(2018·常州高三期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．解析：设切点为(x 0，bx 0＋ln x 0)，f ′(x )＝b ＋1x ，则k ＝b ＋1x 0，故切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1x(x －x 0)，将(0,0)代入，可得x 0＝e ，则k ＝b ＋1e ，∴k －b ＝1e .答案：1e[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.[演练冲关]1．曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________． 解析：曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x，所以f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02．(2018·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：把x ＝1代入y ＝m x ＋1，得y ＝m2， 则切线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m 2.∵y ′＝－m x ＋12，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－m4.∴切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即mx ＋4y －3m ＝0.∴点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －4－3m |m 2＋42＝|－4－m |m 2＋16＝m ＋4m 2＋16＝m ＋42m 2＋16＝m 2＋8m ＋16m 2＋16＝1＋8mm 2＋16＝ 1＋8m ＋16m≤ 1＋82m ·16m＝2，当且仅当m ＝16m，即m ＝4时取“＝”，故所求最大值为 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－aa ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·常州调研)函数f (x )＝e x ＋x 2＋sin x 的导函数f ′(x )＝________. 答案：e x＋2x ＋cos x2．(2018·镇江调研)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________． 解析：由f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2x －1， 所以f ′(1)＝3＋2－1＝4. 答案：43．(2018·苏州暑假测试)曲线y ＝e x在x ＝0处的切线方程为____________． 解析：因为y ′＝e x，所以y ＝e x在x ＝0处的切线斜率k ＝e 0＝1， 因此切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝04．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π5．(2019·苏州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23，当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23.∴a 23＜1，解得－3＜a ＜ 3. 答案：(－3，3)6．(2018·苏北四市调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，所以f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，所以所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254二保高考，全练题型做到高考达标1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝________. 解析：因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，则f ′(x )＝2x －4，所以f ′(2)＝2×2－4＝0.答案：02．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________. 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：83．(2019·淮安调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， 所以y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′| x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：y ＝2x ＋14．(2018·无锡期末)在曲线y ＝x －1x(x ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.解析：因为y ′＝1＋1x2，切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－1x 0，x 0＞0，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20，所以切线方程是y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 0x 20＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20＋1，0； 令x ＝0，得y ＝－2x 0，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2x 0.所以S △OAB ＝12·2x 0x 20＋1·2x 0＝2x 20＋1＝13，解得x 0＝ 5.答案： 55．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________.解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2. 答案：－26．(2018·淮安高三期中)已知函数f (x )＝x 3.设曲线y ＝f (x )在点P (x 1，f (x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x 2，f (x 2))，记f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′x 1f ′x 2的值为________．解析：由f ′(x )＝3x 2，得f ′(x 1)＝3x 21，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 1，x 31)处的切线方程为y ＝3x 21x －2x 31，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 21x －2x 31，y ＝x 3，解得Q(－2x 1，－8x 31)，所以x 2＝－2x 1，所以f ′x 1f ′x 2＝3x 213x 22＝14.答案：147．(2019·南通一调)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝－a sin x ．设点P 的横坐标为x 0，则f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)·g ′(x 0)＝－1，即2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)·(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.即 sin x 0＝±12，因为x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233.答案：2338．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1(x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 2＋1)＝2x 0(x －x 0)，所以y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝－2x 20＋6x 0＋2，所以S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1349．(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数： (1)y ＝x 2(ln x ＋sin x )； (2)y ＝cos x －x x2； (3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝2x (ln x ＋sin x )＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋cos x ＝2x ln x ＋2x sin x ＋x ＋x 2cos x .(2)y ′＝－sin x －1x 2－cos x －x ·2xx 4＝x －2cos x －x sin xx 3.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得， f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax . 设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)， g ′(x )＝－1x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34， 所以x 0＝e 34，所以a ＝－1e34＝－e 34-. 答案：－e34-2．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线l：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线l既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，解得a＝－2.(2)存在，理由如下：由已知得，直线l恒过定点(0,9)，若直线l是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f′(x)＝－6x2＋6x＋12，①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数的概念及其意义、导数的运算》课件
f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确； f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误； f(x)＝exx，f′(x)＝ex－exx2ex＝1－ex x，故 C 正确； f(x)＝xln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.
教材改编题
3.已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝－1e . 由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax， ∴f′(e)＝2ae＋2＝0，解得 a＝－1e.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 导数的运算
例 1 (1)(多选)下列求导正确的是
√A.[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
√B.12e－3，＋∞
C.0，12e－3
D.[2e，＋∞)
设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)， 其中x1>0， 对于 y＝ln x－1 有 y′＝1x， 则 y＝ln x－1 的切线方程为 y－(ln x1－1)＝x11(x－x1)， 即 y＝xx1＋ln x1－2，
π22x＋b，则 a 的值是
4 A.π
B.－2
C.－4π
√D.2
令 y＝f(x)＝acoxs x，则 f′(x)＝－axsinxx2＋cos x， 曲线在点π，－πa处的切线的斜率为 f′(π)＝πa2＝π22，解得 a＝2.
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝eln x的
跟踪训练 1 (1)(多选)下列求导运算正确的是
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专题3.1 导数概念及其运算【考纲解读】√导数及导数的几何意义其应用√导数的运算【直击考点】常识题题组一)(()sm th的函与抛出后的时间1．[教材改编] 某斜抛物体抛出后相对于水平面的高度2thttt________m/s.≤4这段时间内的平均速度为数关系是＋(10)＝－，则在＋63≤hh（3）18－19（4）－＝＝－1(m/s)【解析】平均速度为．134－2fxxxfaa＝________，则．′( －)＝53)＋2＝－，且已知函数2．[教材改编] 1(1fxxfaaa＝.1＋4＋4，所以，解得′(＝－)＝－【解析】由题意可知，′(3)＝－323xyx________．，15)处的切线的斜率为－3在点＋5(23．[教材改编] 曲线＝222kyx21. 3，9)处切线的斜率＝＝6×2【解析】因为－′＝63－，所以在点(2 常错题题组二23xfaaxfx＋__________，则＋．′()4．若函数＝()＝42232afxaxfxaxx2＋＝.本题易出现一种求导错解：′()1212＝【解析】′()(4＋＋)′＝ax0.，而只是一个字母常量，其导数为，没弄清函数中的变量是＋1x ln y____________的导函数为．．函数5＝x e- 1 -1xx x ln ·e－e·xxx ln 1－y′＝＝. 【解析】本题易出现用错商的求导法则的情况．axaxffx＝， (1))处的切线过点(26．已知函数，xx2x e（e）题组三常考题3(6))＝，则－＋2的图像在点(1________．y ________________函数．＝在其极值点处的切线方程为7．x x x）－e（1yyxy，函数e)，x ee，即极值点为＝1，此时(1【解析】′＝，令＝′＝0，得2xy＝e.在该点处的切线斜率为零，故切线方程为【知识清单】1．导数的运算1．基本初等函数的导数公式(sin x)′＝cosx，(cos x)′＝－sinx，(ax)′＝axlna，(ex)′＝ex，(logax)＝1xln a，(ln x)′＝1x.2．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)?g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝f′－．0)≠′3．复合函数的导数′?yu的导数间的关系为yx′＝g(x)f(g(x))复合函数y＝的导数和函数y＝f(u)，u＝ x的导数的乘积．uyux′，即对x的导数等于y对u的导数与对 2 导数的几何意义考点yffxxxPxyfx处的切线的()在点处的导数，′()的几何意义是在曲线函数＝)()上点(0000xttsxfyy)(′(＝)瞬时速度就是位移函数斜率(()对时间的导数．相应地，切线方程为－00x －)．0【考点深度剖析】- 2 -【重点难点突破】 1 导数的运算考点 1-1】求下列函数的导数．【x1＋e2xxyyx(3)5)＝ln(2(1)y ＝．sin －；(2)＝；x1－e x2－2e2xxxx.cos ＋【答案】(1) 2.(3) sin . (2) x2x5－12e－nxfxfxxxfxxfxfxff)(，…，(＝)′(′(()，())＝＝′(】【1-2已知(sin )＝)＋cos ，记nn1311－22πππ??????*??????ffnf________.＋N∈，＝≥2)，则＋…＋ 2 01421??????2220【答案】xxfxfx，－sin 【解析】()＝′(cos )＝12xxxxxf cos sin ＝()(cos －)′＝－sin －，3- 3 -fxxxfxxx，cos sin ， (＋())＝－cos ＝＋sin 54fxfx)，＝以此类推，可得出 (()nn4＋fxfxfxfx)＝0(，又∵)(＋)＋( )＋(4231πππππππππ????????????????????????????????????fffffffff＝＋＝503∴＋＋0. ＋＋＋＋…＋22 0141412312??????????????????222222222【思想方法】1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【温馨提醒】区别“积的导数”与“复合函数的导数”的差异考点2 导数的几何意义π????fxffxfxxxxa)())＝3，＋cos 2是＋sin 2′(，＝已知函数【2-1】的导函数，则过(′??43bayxP________.＝，上一点的切线方程为(曲线)yx0.＝－【答案】32－172mxmlfxxxgxfxxg)((＋(的图像都相切，【2-2】已知<0)(ln )＝，直线，)(与函数)＝，＋22fxfm等于，则(1，且与________. ((1)))图像的切点为【答案】－21fx)＝，′( 【解析】∵xlkf′(1)＝1＝∴直线，的斜率为f(1)＝0，又lyx－1.∴切线＝的方程为gxxmlgxxy)，(，设直线与，()′(的图像的切点为)＝＋00172xmyxyxmxm<0，，1 ＝＋＋，－，＋则有＝1＝00000220m＝－于是解得2【思想方法】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：- 4 -Axfxkkfx)；(＝))求斜率(1)已知切点 (，即求该点处的导数值：，′(000kAxfxfxk；′((＝(2)已知斜率))，求切点，即解方程()，111MxfxkAxfx))的切线斜率为，(3)已知过某点时，常需设出切点(，利，((())(不是切点)0110fxfx－01k用＝xx－01【温馨提醒】在解决曲线的切线问题时要注意辨别是求“曲线上某点(一定在曲线上)处的切线方程”，还是求“过某点(可能在曲线上、也可能不在曲线上)的切线方程，前者只有一条，而后者包括了前者，后者可能不止一条【易错试题常警惕】1、知曲线的切线求参数问题，一定要注意所给的点是否是切点．15??32a?1,0xy?9xy?ax??的直线与曲线．如：若存在过点都相切，则和4 ????331,0x?y xx,，所以切相切分析】设过点于点线的直与曲线线方程为【00????233223xx,?x?3x0?1y0x?0x?x?2x3xy?3x?2在切线上，，即解得所以，，又000000003152532x?0y?ax?x??x??9x?a0y?与相切可得时，由，当或时，由，当00024642272715252a??1a??y?x?x?y?9ax?1?与或．综上可得，相切可得．44464????1,01,0是切点．【易错点】在解题中，未对的位置进行判断，误认为2、函数的求导问题，一定要先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．??1???x2y??y如：若．，则31233x221??3?x?y x2xy??233．，所以【分析】3x33?121???????xx2?2的错误．【易错点】容易出现33??3??- 5 -20XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
努力实现教学创新，改革教学和学习方式，提高课堂教学效益，促进学校的内涵性发展。
同时，以新课程理念为指导，在全面实施新课程过程中，加大教研、教改力度，深化教学方法和学习方式的研究。
正确处理改革与发展、创新与质量的关系，积极探索符合新课程理念的生物教学自如化教学方法和自主化学习方式。
主要工作一、教研组建设方面：、深入学习课改理论，积极实施课改实践。
、以七年级新教材为“切入点”，强化理论学习和教学实践。
、充分发挥教研组的作用，把先进理念学习和教学实践有机的结合起来，做到以学促研，以研促教，真正实现教学质量的全面提升。
、强化教学过程管理，转变学生的学习方式，提高课堂效益，规范教学常规管理，抓好“五关”。
（）备课关。
要求教龄五年以下的教师备详案，提倡其他教师备详案。
要求教师的教案能体现课改理念。
（）上课关。
（）作业关。
首先要控制学生作业的量，本着切实减轻学生负担的精神，要在作业批改上狠下工夫。
（）考试关。
以确保给学生一个公正、公平的评价环境。
（）质量关。
、加强教研组凝聚力，培养组内老师的团结合作精神，做好新教师带教工作。
二、常规教学方面：加强教研组建设。
兴教研之风，树教研氛围。
特别要把起始年级新教材的教研活动作为工作的重点。
、教研组要加强集体备课共同分析教材研究教法探讨疑难问题由备课组长牵头每周集体备课一次，定时间定内容，对下一阶段教学做到有的放矢，把握重点突破难点、教研组活动要有计划、有措施、有内容，在实效上下工夫，要认真落实好组内的公开课教学。
、积极开展听评课活动，每位教师听课不少于20节，青年教师不少于节，兴“听课，评课”之风，大力提倡组内，校内听随堂课。
、进一步制作、完善教研组主页，加强与兄弟学校的交流。
我们将继续本着团结一致，勤沟通，勤研究，重探索，重实效的原则，在总结上一学年经验教训的前提下，出色地完成各项任务。
校内公开课活动计划表日期周次星期节次开课人员拟开课内容10月127四王志忠生物圈10月137五赵夕珍动物的行为12月114 五赵夕珍生态系统的调节12月 2818四朱光祥动物的生殖镇江新区大港中学生物教研组xx-20X 下学期生物教研组工作计划范文20X年秋季生物教研组工作计划化学生物教研组的工作计划生物教研组工作计划下学期生物教研组工作计划年下学期生物教研组工作计划20X年化学生物教研组计划20X年化学生物教研组计划中学生物教研组工作计划第一学期生物教研组工作计划20XX—019学年度第二学期高中英语教研组工作计划XX—XX学年度第二学期高中英语教研组工作计划一．指导思想：本学期，我组将进一步确立以人为本的教育教学理论，把课程改革作为教学研究的中心工作，深入学习和研究新课程标准，积极、稳妥地实施和推进中学英语课程改革。
以新课程理念指导教研工作，加强课程改革，紧紧地围绕新课程实施过程出现的问题，寻求解决问题的方法和途径。
加强课题研究，积极支持和开展校本研究，提高教研质量，提升教师的研究水平和研究能力。
加强教学常规建设和师资队伍建设，进一步提升我校英语教师的英语教研、教学水平和教学质量，为我校争创“三星”级高中而发挥我组的力量。
二．主要工作及活动：．加强理论学习，推进新课程改革。
组织本组教师学习《普通高中英语课程标准》及课标解度，积极实践高中英语牛津教材，组织全组教师进一步学习、熟悉新教材的体系和特点，探索新教材的教学模式，组织好新教材的研究课活动，为全组教师提供交流、学习的平台和机会。