十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解8导数微积分部分

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解8导数微积分部分

一、选择题（共3小题；共15分）

1. 设函数 f (x ) 定义在实数集上，它的图象关于直线 x =1 对称，且当 x ≥1 时，f (x )=lnx −x ，则有 ( ) A. f (1

3)

2)

3) B. f (23)

3) C. f (2

3)

3)

2)

D. f (3

2)

3)

3)

2. 设 a >0，f (x )=ax 2+bx +c ，曲线 y =f (x ) 在点 P(x 0,f (x 0)) 处切处的倾斜角的取值范围为 [0,π4

]，则 P 到曲线 y =f (x ) 对称轴距离的取值范围为 ( )

A. [0,1

a

]

B. [0,12a

]

C. [0,∣∣b 2a ∣∣]

D. [0,∣∣b−12a ∣∣

]

3. 已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +c 的导数为 fʹ(x )，fʹ(0)>0，对于任意实数 x ，都有 f (x )≥0，则 f (1)

fʹ(0) 的最小值为 ( )

A. 3

B. 5

2

C. 2

D. 3

2

二、填空题（共13小题；共65分） 4. 函数 f (x )=x 3−15x 2−33x +6 的单调减区间为 ．

5. 对正整数 n ，设曲线 y =x n (1−x ) 在 x =2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ，则数列 {a n n+1

}

的前 n 项和是 ．

6. 直线 y =1

2x +b 是曲线 y =lnx (x >0) 的一条切线，则实数 b 的值为 ． 7. 曲线 y =x 3+x +1 在点 (1,3) 处的切线方程是 ．

8. 已知函数 f (x )=x 3−12x +8 在区间 [−3,3] 上的最大值与最小值分别为 M 、m ，则 M −m = ．

9. 设 f (x ) 是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [0,1) 上，f (x )={x 2,x ∈D

x,x ∉D ，其中集合 D =

{x∣ x =

n−1n ,n ∈N ∗}，则方程 f (x )−lgx =0 的解的个数是 ．

10. 已知函数 f (x )=x 3−2x +e x −

1e x

，其中 e 是自然对数的底数．若 f (a −1)+f (2a 2)≤0．则

实数 a 的取值范围是 ．

11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y =ax 2+b x

（a ，b 为常数）过点 P (2,−5)，且该曲线在点 P

处的切线与直线 7x +2y +3=0 平行，则 a +b 的值是 ．

12. 抛物线 y =x 2 在 x =1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D （包含三角形内部与边

界）．若点 P (x,y ) 是区域 D 内的任意一点，则 x +2y 的取值范围是 ．

13. 将边长为 1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S =

(梯形的周长)2

梯形的面积

，则 S 的最小值是 ．

14. 函数y=x2(x>0)的图象在点(a k,a k2)处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1，其中k∈N∗，

a1=16，则a1+a3+a5=．

15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)=e x(x>0)的图象上的动点，该图象在P处

的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．

16. 设函数f(x)=ax3−3x+1（x∈R），若对于任意x∈[−1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a

的值为．

三、解答题（共18小题；共234分）

17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示

的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x(cm)．

（1）若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值?

（2）若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

18. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接

两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y 轴，建立平面直角坐标系xOy．假设曲线C符合函数y=a

（其中a，b为常数）模型．

x2+b

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．

（i ）请写出公路 l 长度的函数解析式 f (t )，并写出其定义域；

（ii ）当 t 为何值时，公路 l 的长度最短?求出最短长度．

19. 请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六

棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O 1 的距离为多少时，帐篷的体积最大?

20. 已知函数 f (x )=x 3+ax 2+bx +1(a >0,b ∈R ) 有极值，且导函数 fʹ(x ) 的极值点是 f (x ) 的零

点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）． （1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b 2>3a ；

（3）若 f (x )，fʹ(x ) 这两个函数的所有极值之和不小于 −7

2，求 a 的取值范围．

21. 已知函数 f (x )=x 3+ax 2+b (a,b ∈R )．

（1）试讨论 f (x ) 的单调性；

（2）若 b =c −a （实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f (x ) 有三个不同的零点时，a 的取值

范围恰好是 (−∞,−3)∪(1,3

2)∪(3

2

,+∞)，求 c 的值．

22. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A ，B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB =

20 km ，CB =10 km ．为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与 A ，B 等距离的一点 O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO ，BO ，PO ．设排污管道的总长度为 y km ．

（1）按下列要求建立函数关系式： ①设 ∠BAO =θ(rad )，将 y 表示为 θ 的函数；

②设 OP =x (km )，将 y 表示为 x 的函数． （2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．

23. 设 f (x ) 是定义在区间 (1,+∞) 上的函数，其导函数为 fʹ(x )．如果存在实数 a 和函数 ℎ(x )，其

中 ℎ(x ) 对任意的 x ∈(1,+∞) 都有 ℎ(x )>0，使得 fʹ(x )=ℎ(x )(x 2−ax +1)，则称函数 f (x ) 具有性质 P (a )．