2020届高考数学(江苏专用)二轮复习课时达标训练(十九)导数的简单应用

课时达标训练(十九) 导数的简单应用

A 组

1．(2019·苏州期末)曲线y ＝x ＋2e x

在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．

解析：由函数y ＝x ＋2e x ，可得y ′＝1＋2e x

，当x ＝0时，y ＝2，y ′＝3，所以曲线y ＝x ＋2e x 在点(0，2)处的切线方程为y ＝3x ＋2，令y ＝0，可得x ＝－23，所以曲线y ＝x ＋2e

x

在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×23＝2

3

.

答案：2

3

2．(2019·常州期末)若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x

(e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________．

解析：设切点坐标为(x 0，e x 0)，则曲线y ＝e x

在点(x 0，e x 0)处的切线方程为y －e x 0＝e x 0

(x －x 0)，即e x 0x －y ＋e x 0(1－x 0)＝0，易知该切线与直线kx －y －k ＝0重合，所以e x 0＝－e x 0(1－x 0)＝k ，得x 0＝2，k ＝e 2

.

答案：e 2

3．(2019·安徽师大附中期中)已知函数f (x )＝e x ＋a e －x

为偶函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率为8

3

，则该切点的横坐标为________．

解析：∵函数f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即e －x ＋a e x ＝e x ＋a e －x

，可得a ＝1.∴f (x )＝e x ＋e －x ，∴f ′(x )＝e x －e －x

.

设该切点的横坐标为x 0，则e x 0－e －x 0＝83.令e x 0＝t >0，可得t －1t ＝83，整理可得3t

2

－8t －3＝0，解得t ＝3或－1

3

(舍)．∴e x 0＝3，解得x 0＝ln 3.则该切点的横坐标为ln 3.

答案：ln 3

4．(2019·广东广州一模)已知过点A (a ，0)作曲线C ：y ＝x e x

的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．

解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，则由(x e x )′＝x e x ＋e x

可知切线斜率k ＝(x 0＋1)·e x 0，所以切线方程为y －y 0＝(x 0＋1)·e x 0(x －x 0)．将点A (a ，0)代入切线方程得－y 0＝(x 0＋1)·e x 0(a －x 0)．又y 0＝x 0e x 0，所以(x 0＋1)·e x 0(a －x 0)＝－x 0e x 0，整理得x 2

0－ax 0－a ＝0有

两个解，所以Δ＝a 2

＋4a >0，解得a <－4或a >0.

答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)

5．设a ∈R ，若函数f (x )＝e x

＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围是________． 解析：令f ′(x )＝e x ＋a ＝0，则e x

＝－a ，x ＝ln(－a )．

因为函数f (x )有大于零的极值点，所以ln(－a )＞0，所以－a ＞1，即a ＜－1. 答案：(－∞，－1)

6．已知函数f (x )＝x 3

＋3x 2

－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为________．

解析：由题意知f ′(x )＝3x 2

＋6x －9， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3， 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：

又f (－3)＝28，f (1)＝－4，f (2)＝3，f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，所以k ≤－3.

答案：(－∞，－3]

7．(2019·盐城三模)已知函数f (x )＝x ＋4sin x ，若不等式kx ＋b 1≤f (x )≤kx ＋b 2对一切实数x 恒成立，则b 2－b 1的最小值为________．

解析：原不等式可化为(k －1)x ＋b 1≤4sin x ≤(k －1)x ＋b 2，结合函数图象(图略)知k ＝1，进一步得b 2≥4，b 1≤－4，所以b 2－b 1≥8，所以b 2－b 1的最小值为8.

答案：8

8．已知函数f (x )＝ln x －m

x

(m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________． 解析：因为f (x )在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f (1)≥4，f (e )≥4，解得m ≤－3e ，

又f ′(x )＝

x ＋m

x 2

，且x ∈[1，e]， 所以f ′(x )<0，即f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－m

e ＝4，解得m ＝－3e.

答案：－3e

9．若函数f (x )＝mx 2

＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝2mx ＋1x －2＝2mx 2

－2x ＋1x

≥0在

(0，＋∞)上恒成立，所以二次函数g (x )＝2mx 2

－2x ＋1在定义域(0，＋∞)上必须大于等于

0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12m ≥0，解得m ≥12.

答案：⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，＋∞ 10．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3

－ax 2

－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则

t 的最大值为________．

解析：∵f (x )＝4x 3

－ax 2

－2bx ＋2， ∴f ′(x )＝12x 2

－2ax －2b . 又f (x )在x ＝1处取得极值，

∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6， ∴t ＝ab ＝a (6－a )＝－(a －3)2

＋9， 当且仅当a ＝b ＝3时，t 取得最大值9. 答案：9

11．(2019·南京盐城一模)设函数f (x )＝x 3

－a 2

x (a >0，x ≥0)，O 为坐标原点，A (3，－1)，C (a ，0)，对函数图象上的任意一点B ，都满足OA ―→·OB ―→≤OA ―→·OC ―→

成立，则a 的值为________．

解析：由题意得OA ―→＝(3，－1)，OC ―→＝(a ，0)，设B (x ，x 3－a 2x )，则OB ―→＝(x ，x 3

－

a 2x )，由OA ―→·OB ―→≤OA ―→·OC ―→

得3x －(x 3－a 2x )≤3a ，整理得(x －a )(x 2＋ax －3)≥0.

法一：设y 1＝x －a ，y 2＝x 2

＋ax －3，则由(x －a )(x 2

＋ax －3)≥0在[0，＋∞)上恒成立知，两函数的图象应交于x 轴上的点(a ，0)，将x ＝a 代入x 2

＋ax －3＝0，得a 2

＋a 2

－3＝0，因为a >0，所以得a ＝

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. 法二：设g (x )＝(x －a )(x 2

＋ax －3)，则g (a )＝0，g ′(x )＝x 2

＋ax －3＋(x －a )(2x ＋a )＝3x 2

－3－a 2

，因为g ′(x )在[0，＋∞)上有唯一零点，所以要使g (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需g ′(a )＝2a 2

－3＝0，因为a >0，所以得a ＝

6

2

. 法三：由3x －(x 3

－a 2

x )≤3a 得x 3

－a 2

x ≥3x －3a .设p (x )＝x 3

－a 2

x ，q (x )＝3x －3a ，易