02第二章质点的运动定理
大学物理第二章质点动力学PPT课件
•若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。
•常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。
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五、牛顿定律的应用
•应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：
如在直角坐标系中：
在自然坐标系中：
Fn
man
mv2
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三、牛顿第三定律
物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用
力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，
分别作用在两个物体上。
F21F12
第三定律主要表明以下几点：
（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消 失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。
（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：
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Fx mxamddxvtmdd22xt Fy myamddyvtmd d22yt
在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：
Ft
mat
mdv dt
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1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中 的光速规定：
c = 299792458 m/s
因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间 隔内所经路程的长度。
❖其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位
如：速度 V=S/ t， 单位：米/秒（m/s）
加速度a=△V/t，单位：米/秒2（m/s2）
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的
第2章 质点组力学
, 可引入外势能
对于第 i 个质点与第 j 个质点间的一对保守内力, 可引入 内势能 。
则质点系总内势能
把第 i 个质点所受非保守外力所做元功记为 把第个 i 质点与第 个 j 质点间的一对非保守内力所做元功 记为 ，则由质点系的动能定理可导出：
上式称为质点系的机械能定理。 定义质点系总势能： 总机械能：
质点间有内力相互作用是构成质点系的条件。
质点系内的质点是在外力与内力的共同作用下运动的； 对质点系内各质点的运动来说, 内力与外力有等同的作用。 质点系内一对对的内力造成了各质点间动量与角动量 的等量转移, 内力对质点系的运动至关重要 质点的动量 和角动量 分别从线运动和角运动的 角度描述质点的运动。质点的动量定理 和角动量 定理 指出, 力是质点动量变化率的度量, 力矩是质 点角动量变化率的度量。
对上式求时间导数可得：
由于 则：
由y 轴方向的动量定理
及y2=常量和
即可求出
用质点系动量定理解决问题可使未知内力不在方程中 出现, 因而使求解得以简化。
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
一、质点系的角动量 1. 质点系角动量的定义 质点系对O点的总角动量 对O点角动量的矢量和： 定义为质点系内每个质点
式中
为质点系在质心系中对质心的角动量,
为质点系所受外力对质心力矩的矢量和。与惯性系中对固 定点的角动量定理形式相同, 均与内力矩无关。 证明: 由于各质点所受惯性力 量和 对质心力矩的矢 因此惯性力不在
方程中出现, 定理有与惯性系内定理相同的形式。 2. 质点系在质心系中对质心的角动量守恒定律 在某一过程中 则 常矢量 质点系在质心系中对过质心固定方向轴的角动量定理 （略）
证明:
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
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例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
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桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
04质点运动定律二解答
2 1 p m2 1 0
T
I Fdt
0
IG mgT 2mg j w
F
IT Fy j T Fn ndt 2mg j w
L r m mrk
m1r1 m2r2 mw1r12 mw2r22
w2 w1r12 r22 12rad/s
质点的运动定律（二）
第二章 质点的运动定理
2．图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速
度w匀速转动．在小球转动一周的过程中，
(1) 小球动量增量的大小等于_______0___________．
中当小球B的速率为时，它与A点的距离最大，且弹 性绳长l=0.8 m，求此时的速率及初速率0。
解: 小球在运动过程中，受重力、支持力、弹力作用。 重力、支持力与运动方向垂直，不作功。
由机械能守恒，有
A
1 2
mv
2 0
1 2
mv 2
1 2
k (l
l0 )2
d 0.4 m
v0
30° B
质点的运动定律（二）
n
mg w
y
质点的运动定律（二）
第二章 质点的运动定理
3.小球质量为m，挂在轻弹簧的一端（弹簧的劲度系数 为k），另一端固定。先将弹簧放在水平位置，并保持 原长l0，然后释放。已知摆到竖直位置时，弹簧长度为l， 预求此时小球的速度，采用什么规律_________，关系
式__________ ，结果 = _____________ 。
w
mg N ma
R
N sin mw2r mw 2R sin
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。
§2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r表示。
1、 位置矢量定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。
质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r++=ˆˆk j i,ˆ,ˆ分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。
位矢的大小： 222z y x r r ++==位矢的方向（用方向余弦表示）：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。
2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。
方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r)()()()(++=质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。
由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R rsin cos +=，求其轨迹。
解：由已知，tR y t R x sin cos == ，则轨迹方程：222R y x =+，圆心在原点。
二、质点的位移和路程1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r∆表示。
)()(t r t t r r-∆+=∆位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r)()()()()(∆+∆+∆=-∆+=∆注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=∆≠∆2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ∆表示。
质点运动的基本概念与运动学公式
质点运动的基本概念与运动学公式在物理学中，质点是指质量可忽略不计，仅具有位置和速度等运动属性的物体。
质点运动是运动学的一个基本概念，运动学是研究物体运动规律的学科。
本文将探讨质点运动的基本概念以及相关的运动学公式。
1. 位置、位移和路径位置是指物体在空间中的具体位置，通常可以用一个坐标系来表示。
位移是指物体从初位置到末位置的变化量，用Δx表示。
路径是物体在运动过程中所经过的轨迹。
2. 速度和速度公式速度是指物体在单位时间内所经过的位移，用v表示。
速度的大小可以通过位移除以时间来计算，即v=Δx/Δt。
当时间趋近于无穷小的时候，即Δt趋近于0，可以得到瞬时速度的定义：v=dx/dt，其中dx表示无穷小的位移变化，dt表示无穷小的时间变化。
3. 加速度和加速度公式加速度是指物体的速度变化率，用a表示。
加速度的大小可以通过速度除以时间来计算，即a=Δv/Δt。
当时间趋近于无穷小的时候，即Δt 趋近于0，可以得到瞬时加速度的定义：a=dv/dt，其中dv表示无穷小的速度变化，dt表示无穷小的时间变化。
4. 运动学公式根据速度和加速度的定义，我们可以得到一些与质点运动相关的运动学公式。
以下是一些常见的运动学公式：- 位移公式：Δx = v0t + (1/2)at^2- 速度公式：v = v0 + at- 加速度公式：v^2 = v0^2 + 2aΔx这些公式可以通过代入已知的初始条件，如初速度v0、时间t、位移Δx等来求解物体在运动过程中的运动参数。
5. 简谐振动简谐振动是质点运动中的一种特殊形式，它具有以下特点：- 振动的周期是恒定的，表示为T；- 振动的频率是周期的倒数，表示为f=1/T；- 振动的位移随时间的变化呈正弦或余弦函数。
对于简谐振动，还有一些与振动特性相关的公式：- 谐振频率公式：f = (1/2π) √(k/m)，其中k表示弹性系数，m表示质量；- 谐振周期公式：T = 1/f；- 谐振角频率公式：ω = 2πf。
第2章牛顿第二定律
第二章 质点力学的运动定律和守恒定律P91．2．1 一个重量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平约AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．[解答]质点在斜上运动的加速度为a = g sin α，方向与初速度方向垂直．其运动方程为x = v 0t ，2211sin 22y at g t α==⋅．将t = x/v 0，代入后一方程得质点的轨道方程为22sin g y x v α=， 这是抛物线方程．2．2 桌上有一质量M = 1kg 的平板，板上放一质量m = 2kg 的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：（1）今以水平力F 拉板，使两者一起以a = 1m·s -2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力N m = mg = 19.6(N)， 这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为f m = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于板和物体的重力N M = (m + M )g = 29.4(N)，这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为f M = μk N M = 7.35(N)．这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a'的运动，物体的运动方程为f =μs mg = ma'，可得 a' =μs g ． 这就是物体的最大加速度．这时板的运动方程为F – f – μk (m + M )g = Ma'，即F = f + Ma' + μk (m + M )g = (μs + μk )(m + M )g ，αv 0P图2.1N mf mN M f aN mf N M f ‘ f F a'算得 F = 16.17(N)．当外力大于16.17N 时，板的加速度就会大于物体的最大加速度，因此要将板从物体下面抽出，需要大于16.17N 的力．2．3 如图所示：已知F = 4N ，m 1 = 0.3kg ，m 2 = 0.2kg ，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m 2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a 2 = 2a 1，而力的关系为T 1 = 2T 2． 对两物体列运动方程得 T 2 - μm 2g = m 2a 2， F – T 1 – μm 1g = m 1a 1． 可以解得m 2的加速度为12212(2)/22F m m ga m m μ-+=+= 4.78(m·s -2)，绳对它的拉力为22112(/2)/22m T F m g m m μ=-+= 1.35(N)．2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k 1和k 2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k 与k 1和k 2．满足关系关系式12111k k k =+； （2）它们并联起来时，总倔强系数k = k 1 + k 2．[解答]当力F 将弹簧共拉长x 时，有F = kx ，其中k 为总倔强系数．两个弹簧分别拉长x 1和x 2，产生的弹力分别为F 1 = k 1x 1，F 2 = k 2x 2．（1）由于弹簧串联，所以F = F 1 = F 2，x = x 1 + x 2，因此1212F F F k k k =+， 即12111k k k =+． （2）由于弹簧并联，所以F = F 1 + F 2，x = x 1 = x 2，因此kx = k 1x 1 + k 2x 2，即 k = k 1 + k 2．m 2 FT 1 a 1m 1 T 2a 2 12图2.3k 1k 2F(a) k 1k 2F图2.4(b)2．5 如图所示，质量为m 的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T ．（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度1a 沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角； （4）用与斜面平行的加速度1b 把小车沿斜面往上推（设b 1 = b ）； （5）以同样大小的加速度2b （b 2 = b ），将小车从斜面上推下来．[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg ．（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于tan θ = ma/mg ，所以θ = arctan(a/g )；绳子张力等于摆所受的拉力2222()()T ma mg m a g =++ （3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以θ = φ； T = mg cos φ．（4）建立水平和竖直直角坐标系，可列方程T sin θ = ma x = mb cos φ， ① T cos θ – mg = ma y = mb sin φ． ②由(2)式得T cos θ = mg + mb sin φ． ③①除以③得cos tan sin b g b ϕθϕ=+，①的平方加③的平方得T 2 = (mb cos φ)2 + (mg + mb sin φ)2，公式化简再开平方得张力为222sin T m b g bg ϕ=++（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b 改为-b 就行了．[讨论]第（1）、第（2）和第（3）问比较简单，第（5）问可由第（4）问得出，而第（4）问除前面的一种用正直角坐标系的解法之外，还有多种解法．图2.5Tmgmaθ （2） T mg maφ θ Tmg mb φθ φ（4） xyT mgmb φ θ方法二：用斜坐标系．张力T 与x 轴正向的夹角为90° – θ – φ，重力mg 与y 轴负向的夹角为φ，可列方程T cos(90° – θ – φ) – mg sin φ = mb ， ① T sin(90° – θ – φ) – mg cos φ = 0． ② 即 T sin(θ + φ) = mb + mg sin φ， ③ T cos(θ + φ) = mg cos φ． ④由③和④解得张力为222sin T m b g bg ϕ=++ ⑤摆线与竖直线的夹角为sin arctancos b g g ϕθϕϕ+=-． ⑥这个角度也是一种结果，它可以化成前面的形式．设sin arctancos b g g ϕαϕ+=，则sin tan cos b g g ϕαϕ+=．于是tan tan tan tan()1tan tan αϕθαϕαϕ-=-=+sin sin cos cos sin sin 1cos cos b g g b g g ϕϕϕϕϕϕϕϕ+-=++cos sin b b g ϕϕ=+，因此cos arctansin b b gϕθϕ=+．方法三：用矢量三角形．张力T 、重力mg （虚线）和mb 构成一个矢量三角形，延长竖直虚线，与水平虚线相交，可知张力T 的对角为180° - (90° – φ) = 90° + φ，根据余弦定理可得张力为22()()2()()cos(90)T mb mg mb mg ϕ+-︒+222sin b g bg ϕ=++．张力与竖直虚线和水平虚线构成一直角三角形，θ角的对边是mb cos φ，邻边是mg + mb sin φ，由此可得：cos tan sin mb mg mb ϕθϕ=+，由此可得⑥式．Tmg mb φ θ φ（4）Tmg mbφ θφ（4）xy2．6 如图所示：质量为m = 10kg 的小球，拴在长度l = 5m 的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？ （2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v 与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mg sin θ，负号表示角度θ增加的方向为正方向．小球的运动方程为22d d sF ma mt ==， 其中s 表示弧长．由于s = R θ = l θ，所以速度为d d d d s v l t tθ==，因此d d d d d d d d v v m vF mm v t t l θθθ===， 即 v d v = -gl sin θd θ， （1）取积分60d sin d Bv v v gl θθ︒=-⎰⎰，得2601cos 2B v gl θ︒=，解得B v gl =s -1)． 由于22B BB v v T mg m m mg R l-===，所以T B = 2mg = 1.96(N)．（2）由（1）式积分得2601cos 2C v gl θθ︒=，因此速度为(2cos 1)C v gl θ-切向加速度为a t = g sin θ；lmθ B C O 图2.6 l mθ BC O mgT法向加速度为2(2cos 1)Cn v a g Rθ==-．由于T C – mg cos θ = ma n ，所以张力为T C = mg cos θ + ma n = mg (3cos θ – 1)．（3）当 θ = 60º时，切向加速度为3t a g == 8.49(m·s -2)， 法向加速度为a n = 0，绳子的拉力T = mg /2 = 0.49(N)．[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h 高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则F = mg cos θ．小球的运动方程为 22d d sF ma m t==，s 表示弧长．由于v = d s /d t ，所以22d d d d d d d ()d d d d d d d s s v v s vv t t t t s t s====， 因此v d v = g cos θd s = g d h ，h 表示石下落的高度．积分上式得2012v hv gh =，因此速率为2v gh2．8 质量为m 的物体，最初静止于x 0，在力2kf x=-(k 为常数)作用下沿直线运动．证hθmNmg图2.7明物体在x 处的速度大小v = [2k (1/x – 1/x 0)/m ]1/2．[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程222d d k x f ma m x t=-==利用v = d x/d t ，可得22d d d d d d d d d d x v x v v v t t t x x===， 因此方程变为2d d k xmv v x=-， 积分得2012xvx k mv x=，即 2012k k mv x x =-， 所以211()k v m x x =- 证毕．[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f (x )，利用变换可得方程：mv d v = f (x )d x ，积分即可求解．如果f (x ) = -k/x n ，则得21d 2n x mv k x=-⎰． （1）当n = 1时，可得21ln ln2xx x mv k x k x=-=． 即 02ln x k v m x=（2）如果n ≠1，可得21121xnx k mv x n-=--11011()1n n k n x x --=--， 即 110211()(1)n n k v n m x x --=--当n = 2时，即证明了本题的结果．2．9 一质量为m 的小球以速率v 0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k ．求：（1）小球速率随时间的变化关系v (t )； （2）小球上升到最大高度所花的时间T ．[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为正，根据牛顿第二定律得方程d d v f mg kv mt=--=， 分离变量得d d()d v m mg kv t mmg kv k mg kv+=-=-++， 积分得ln ()vv mt mg kv k=-+00/ln ln/m mg kv m mg k vk mg kv k mg k v ++=-=-++， 小球速率随时间的变化关系为0()exp()mg kt mg v v k m k=+--． （2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为00/ln ln(1)/mg k v kv m m T k mg k k mg+==+． [讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤．由于v = d x/d t ，所以0d [()exp()]d mg kt mg x v t k m k=+--， 即 0(/)d d exp()d m v mg k kt mgx t k m k+=---， 积分得00(/)exp()tm v mg k kt mgx tk m k+=---0(/)[1exp()]m v mg k kt mgt k m k+=---．（2）如果小球以v 0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为d d v f mg kv mt=-=， 用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为0()exp()mg mg ktv v k k m=---． 这个公式可将上面公式中的g 改为-g 得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数v m = mg/k ．2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R ．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk ．设物体在某时刻经A 点时速率为v 0，求此后时刻t 物体的速率以及从A 点开始所经过的路程．[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即N = mv 2/R ．物体所受的摩擦力为f = -μk N ，负号表示力的方向与速度的方向相反．根据牛顿第二定律得2k d d v vf m m R tμ=-=，即 k2d d vt Rv μ=-． 积分得k111vv t R vv v μ==-， 解得k 01/v v v t Rμ=+．由于0k 0k 0k k 0d d(1/)d 1/1/v t v t R R x v t R v t Rμμμμ+==++， 积分得k 0kln (1)tv tRx Rμμ=+k 0kln (1)v tRRμμ=+．*2．11 2．12 如图所示，一半径为R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为F = mg tan θ．珠子做圆周运动的半径为r = R sin θ．根据向心力公式得F = mg tan θ = m ω2R sin θ，可得A R v 0 mR ωθ rmg图2.122cos mgR ωθ=， 解得2arccosg R θω=±．2．13 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx ，而位移x = A cos ωt ，其中k ，A 和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得d I = F d t = -kA cos ωt d t ，积分得冲量为/20(cos )d I kA t t ωω=-⎰π，/20sin kAkAtωωωω=-=-π方法二：利用动量定理．小球的速度为v = d x/d t = -ωA sin ωt ，设小球的质量为m ，其初动量为p 1 = mv 1 = 0，末动量为p 2 = mv 2 = -m ωA ，小球获得的冲量为I = p 2 – p 1 = -m ωA ，可以证明k =m ω2，因此I = -kA /ω．2．14 一个质量m = 50g ，以速率的v = 20m·s -1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？[解答]小球动量的大小为p = mv ， 但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义 21p p p ∆=-得21p p p =+∆，由此可作矢量三角形，可得22p mv ∆==．因此向心力给予小球的的冲量大小为I p =∆= 1.41(N·s)．[注意]质点向心力大小为F = mv 2/R ，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量O xFx m图2.13m Rp 1p 2Δp p 124v TI Ft mR ==2/42R T T mv mv R ππ==． 假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R 运动，拉力的大小就是向心力F = mv 2/R = m ωv ，其分量大小分别为F x = F cos θ = F cos ωt ， F y = F sin θ = F sin ωt ，给小球的冲量大小为d I x = F x d t = F cos ωt d t ， d I y = F y d t = F sin ωt d t ，积分得/4/4cos d sin T T x FI F t t tωωω==⎰Fmv ω==，/4/4sin d cos T T y FI F t t tωωω==-⎰Fmv ω==，合冲量为222x y I I I mv =+=，所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．2．15 用棒打击质量0.3kg ，速率等于20m·s -1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m 的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s ，求球受到的平均冲力？[解答]球上升初速度为2y v gh =s -1)， 其速度的增量为22Δx y v v v =+s -1)．棒给球冲量为I = m Δv = 7.3(N·s)，对球的作用力为（不计重力）F = I/t = 366.2(N)．2．16 如图所示，3个物体A 、B 、C ，每个质量都为M ，B 和C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m 的细绳，首先放松．B 的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A 相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A 和B 起动后，经多长时间C 也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s -2）[解答]物体A 受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg – T = Ma ，m R F x yF F yxOC BA图2.16v xΔv v y物体B 在没有拉物体C 之前在拉力T 作用下做加速运动，加速度大小为a ，可列方程T = Ma ，联立方程可得a = g/2 = 5(m·s -2)．根据运动学公式s = v 0t + at 2/2，可得B 拉C 之前的运动时间2/t s a =．此时B 的速度大小为v = at = 2(m·s -1)．物体A 跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A 和B 拉动C 运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得2Mv = 3Mv'，因此C 开始运动的速度为v' = 2v /3 = 1.33(m·s -1)．2．17 一炮弹以速率v 0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？[解答] 炮弹在最高点的速度大小为 v = v 0cos θ， 方向沿水平方向．根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得/2cos 452mmv v '=︒， 所以v'= v /cos45° =02cos v θ．1．18 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R ．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m ，它与路面的滑动摩擦因数为μk ．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移d s 的大小为d s = R d θ．重力G 的大小为 G = mg ，方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为1d d cos(W G s G =⋅=+θ/2)d s πsin d mgR θθ=-，积分得重力所做的功为45°mgN θ F fd s 图2.18 v 0 θ vv'v' 45°454510(sin )d cos W mgR mgR θθθ︒︒=-=⎰2(1)2mgR =--． 摩擦力f 的大小为f = μk N = μk mg cos θ，方向与弧位移的方向相反，所做的功元为2d d cos d W f s f s =⋅=πk cos d u mg R θθ=-，积分得摩擦力所做的功为452k 0(cos )d W mgR μθθ︒=-⎰45k k 02sin mgR mgR μθ︒=-=． 要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力G 、摩擦力f 和马的拉力F 就是平衡力，即0F G f ++=，或者 ()F G f =-+． 拉力的功元为d d (d d )W F s G s f s =⋅=-⋅+⋅12(d d )W W =-+，拉力所做的功为12()W W W =-+k 22(1)22mgR =-+． 由此可见：重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．2．19 一质量为m 的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动．设质点最初的速率是v 0，当它运动1周时，其速率变为v 0/2，求：（1）摩擦力所做的功； （2）滑动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？ [解答] （1）质点的初动能为E 1 = mv 02/2，末动能为E 2 = mv 2/2 = mv 02/8，动能的增量为ΔE k = E 2 – E 1 = -3mv 02/8，这就是摩擦力所做的功W ．（2）由于d W = -f d s = -μk N d s = -μk mgr d θ，积分得2πk k 0()d 2πW mgr mgr μθμ=-=-⎰．由于W = ΔE ，可得滑动摩擦因数为20k 316πv grμ=． （3）在自然坐标中，质点的切向加速度为a t = f/m = -μk g ，根据公式v t 2 – v o 2 = 2a t s ，可得质点运动的弧长为2200k 8π223v v rs a g μ===， 圈数为n = s/2πr = 4/3．[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量-fs = ΔE k ，可得s = -ΔE k /f ，由此也能计算弧长和圈数。
第二章 质点的运动定理
2-0 教学基本要求 2-1 牛顿运动定律 2-2 质点的动量定理 2-3 质点的动能定理 2-4 质点的角动量定理 -
§ 2-0 -
教学基本要求
掌握牛顿定律的基本内容及其适用条件 牛顿定律的基本内容及其适用条件． 一 掌握牛顿定律的基本内容及其适用条件．熟练掌握 用隔离物体法分析物体的受力情况， 用隔离物体法分析物体的受力情况，能用微积分方法求 变力作用下的简单质点动力学问题 的简单质点动力学问题． 解变力作用下的简单质点动力学问题． 二 理解动量、冲量概念，掌握质点动量定理 理解动量、冲量概念，掌握质点动量定理 动量
2 牛顿第二定律
v v 动量： 动量： p = mυ v v v 的物体， 动量为 p 的物体，在合外力 F ( = ∑ F ) 的作
i
用下， 用下，其动量随时间的变化率应当等于作用 于物体的合外力——牛顿第二定律． ——牛顿第二定律 于物体的合外力——牛顿第二定律． v v v dp(t ) d(mv) 当v << c 时， 数学表达式： 数学表达式： F (t ) = = m为常量 dt dt
3 牛顿第三定律
v v 两个物体之间作用力 F 和反作用力 F＇ ，
沿同一直线，大小相等，方向相反， 沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作 用在两个物体上． 用在两个物体上．
数学表达式： 数学表达式：
v v F12 = − F21 （物体间相互作用规律） 物体间相互作用规律）
v F12
v F21
Fx = ma x F y = ma y Fz = ma z
自然坐标系中
2 v dv v v v v v F = ma = m(at + an ) = m et + m dt ρ 2 dv ds Ft = m = m 2 dt dt v a 2 v Fn = m v en ρ 注意： 注意：ρ 为A处曲线 处曲线 A
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第二章 质点的运动定理
一、掌握牛顿定律的基本内容及其适用条件，学会 用隔离体法分析物体的受力情况，能用微积分方法 求解简单的质点动力学问题。
二、理解动量、冲量、功、动能、力矩、角动量等
基本概念，掌握质点的动量定理、动能定理以及角
动量定理。
2 – 1 牛顿运动定律
第二章 质点的运动定理 英国物理学家, 经典物理 学的奠基人 . 他对力学、光学、
k k d 2 dx d 2 dx mx mx 0 x0 1 2 k k k 1 1 2 2 mx mx0 m x x0
x
第二章 质点的运动定理 例4．质量m＝2.0kg的均匀绳，长L＝1.0m，两端分别 连接重物A和B，mA＝8.0kg，mB＝5.0kg，今在B端施 以大小为F＝180N的竖直拉力，使绳和物体向上运动， 求距离绳的下端为x处绳中的张力T(x)． 解 设…
Fi ma0
惯性力是一种虚拟力，没有施力 物体，它是物体惯性在非惯性系 中的表现。
Fi
N
P
a0
转动参考系中也存在“F≠0，a′=0‖的现象，这表明此 类参考系是非惯性系。 在惯性系中，F m 2 r 在转动参考系中需引入惯性 离心力，才能形式上运用牛 顿定律。
Fi m 2 r F Fi 0
A
PA
第二章 质点的运动定理
FTB FTA mg a
FTA PA m A a F FTB PB mB a
F
FT x dx
F a g m A mB m
FT x
dP
x
FTB
B
PB a
L
FTA
FTA mA g a
x x FT x FTA m g a m A m g a L L F x m A m 96 24 xN m A mB m L
FT P N ma
乙
甲
（小球加速运动） 车厢参考系：
PP
NN m
m FT
FT P N 0 ma
（小球保持静止）
定义：牛顿运动定律适用的参考系叫做惯性参 考系；反之，叫做非惯性参考系.
判断某一实际参考系是不是惯性系，只有根据 实际观察和实验来判断。
牛顿第二定律既给出了力和运动的定量关系，也 定义了物体的动量和惯性质量。 应用牛顿第二定律时须注意：
牛顿定律的研究对象是单个物体（质点）
第二章 质点的运动定理 瞬时关系 力的叠加原理
F F1 F2 F3
a a1 a2 a3
F Fx i Fy j Fz k a ax i a y j az k
2
第二章 质点的运动定理 三、牛顿第三定律 （物体间相互作用规律）
F12
F21
两个物体之间作用力F12和反作 用力F21, 沿同一直线, 大小相等, 方向相反, 分别作用 在两个物体上 .
F12 F21
例 分析悬挂物体所受 的力及其反作用力.
T＇ T m P P＇
万有引力 弱力 电磁力 强力 力程 无限远
一切质点
大多数粒子 电荷 核子、介子等
15
10
10
38
13
小于 10 17 m
无限远
10
2
1
＊
10 m
15
＊ 以距源 10
m 处强相互作用的力强度为 1
第二章 质点的运动定理 温伯格 萨拉姆 弱相互作用 电磁相互作用 电弱相互 作用理论
格拉肖
三人于1979年荣获诺贝尔物理学奖 . 鲁比亚, 范德米尔实验证明电弱相互作用，
F
d P FT x FT x dx dm a dFT g a dm
gdm FT x FT x dx adm
FT x dx
B
FTB
FT x
dP
x
PB a
L
FTA
x FT x FTA m g a L FTB FTA mg a
2
第二章 质点的运动定理 例3．一质量为m的物体，最初静止于x0处,在力 F=-k/x2 的作用下沿直线运动，试证明：物体在任意位置x处的 速度为： k 1 1 2 m x x0 k d d dx d 证: F ma a 2 mx dt dx dt dx
F
弹簧弹性力：
x
f kx
N 3. 摩擦力 相互接触的两物体存在相对滑动（趋势） 时，一物体施予另一物体的力。 静摩擦力 F ≤ Fm = m0N
o
滑动摩擦力 F = mN
一般情况，m0略大于m。
第二章 质点的运动定理
4. 基本力
自然界存在的四种基本相互作用
力的种类 相互作用的物体 力的强度
地球
m
第二章 质点的运动定理 注意
作用力与反作用力特点： (1)大小相等、方向相反，分别作用 在不同物体上，同时存在、同时消失， 它们不能相互抵消． (2)是同一性质的力．
F12
F21
第二章 质点的运动定理 四、几种常见的力和基本力 1. 万有引力、重力
m1 r
11
m2
m1m2 F G 2 er r
T mg cos
A
m
T y
B
f
x
C
mg
剪断瞬间, T m g m a
T n mg cos n mg sin t mat t m
02
R
n
A
T′ m n mg B t
0 0 T mg cos T : T 1 : cos
1984年获诺贝尔奖 .
电弱相互作用
强相互作用
万有引力作用
―大统一”（尚待实现）
第二章 质点的运动定理
五、牛顿定律的应用举例
r (t )
求导 积分
v(t )
求导 积分
a (t )
F=ma
F (t )
运用牛顿定律解题的基本思路 1）确定研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图） 2）取坐标系、列方程（一般用分量式）； 3）利用其它的约束条件列补充方程； 4）先用文字符号求解，后带入数据计算结果； 5）对结果进行讨论。
引力常数
G 6.67 10
N m kg
2
2
GmE 重力 P mg , g 2 r GmE -2 9.80 m s 地表附近 g 2 R
第二章 质点的运动定理 2. 弹性力 形变物体恢复原状过程中，施予与之接 触物体的作用力。如压力、弹簧弹性力。
l0 k
N′ f
m
P
F 0 时， v 恒矢量
惯性和力的概念 任何物体都具有保持原有运动状态不变的性 质——惯性(反映物体运动状态改变的难易程度)； 力是改变物体运动状态的原因。 牛顿第一定律是一条经验定律，它只能在特定 的参考系中成立。
第二章 质点的运动定理 牛顿第一定律只在特定的参考系中成立。 v a 地面参考系：
第பைடு நூலகம்章 质点的运动定理
七、非惯性系 惯性力
相对地面作加速运动的车 厢是非惯性系，在非惯性 系中牛顿定律不再适用。 在非惯性系中引入惯性力
P
N
Fi ma0
在非惯系中，牛顿第二定 律形式上可表示为：
车厢由匀速变为加速运动
或
F Fi ma F ma0 ma
第二章 质点的运动定理
A
PA
第二章 质点的运动定理 六、力学相对性原理
o o＇ F ma ma＇ F＇ ut x＇
结论
为常量 a a＇ u
v v＇ u
y
y＇ u
x
P
x x＇
z z＇
1）凡相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考 系都是惯性系 . 2）对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相 同的形式，与惯性系的运动无关 . 伽利略相对性原理
2
R
N mg
mgR
第二章 质点的运动定理 例2．如图，质量为m的小球，用轻绳AB、BC连接， 其中AB水平．剪断绳AB前、后的瞬间，绳BC中的张 力比T : T′=____________________． C 剪断前, T m g f 0
T sin i T cos j mg j f i 0
第二章 质点的运动定理
要使放置在光滑旋转平台上的小球保持静止，就 必须想象存在一个与向心力方向相反、大小相等的力 作用在小球上，这个力称惯性离心力。 向心力（物体所受真实力的合力）和惯性离心力 （虚拟力）虽然都作用在同一小球上，但它们并不是 作用力和反作用力。
第二章 质点的运动定理 例5．质量为m 的木块放在质量为M 倾角为的光滑斜 劈上，斜劈与地面的摩擦不计，若使m相对斜面静止， 需在斜劈上施加多大的水平外力？木块对斜劈的压力 为多少？ 解: 设在地面参考系中斜劈的加速度为a，对于斜劈有
第二章 质点的运动定理
例1. 一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为R，汽车 轮胎与路面间的摩擦系数为m，要使汽车不发生侧向打 滑，汽车在该处的行驶速率
(A)不得小于 mgR (C)必须等于 mgR y n N f (B)不得大于
mgR
(D)还应由汽车的质量M决定
f m g N ma, f mN , N N f man , N mg N f m R f max mmg
第二章 质点的运动定理