长安大学自动控制2

• 在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式 有：微分方程模型、传递函数模型（系统的外 部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、 零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型 之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 • 微分方程模型是控制系统模型的基础，一般来 讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便 可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于 线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微 分方程。
0.25i 0.25i 2 5）已知部分分式： G( s ) 2 s 2i s 2i s 1
》r=[-0.25i,0.25i,-2]; 》p=[2i,-2i,-1];h=2; 》[num,den]=residue(r,p,h) 》num= 2 0 9 1 》den= 1 1 4 4
rn r1 r2 G( s) h( s ) s p1 s p 2 s pn
在MATLAB中部分分式模型用[R,P,H]矢量组表示。 即：R=[r1,r2,…,rn] P=[p1,p2,...,pn] H=[h0,h1,…,h ]
• 状 Cx Du
k= 2
0.25i 0.25i 2 结果表达式：G( s ) 2 s 2i s 2i s 1
0 1 0 2）已知系统状态空间模型为： x x 1u 1 2 y 1 3x u
》A=[0 1; -1 -2]; B=[0;1]; 》C=[1,3]; D=[1]; 》[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) ％iu 用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。 》num=1 5 2; den=1 2 1; 》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) 》z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1
y (t t ) y (t ) f (t , y ) t
整理得到：
y(t t ) y(t ) t f [t , y(t )]
将初始条件代入：
y(t 0 t ) y(t 0 ) t f [t 0 , y(t 0 )] y0 t f [t 0 , y(t 0 )]
1.2.2
模型的连接
(1) 并联：parallel
sys=parallel(sys1, sys2) ％并联连接两个系统。 sys=parallel(sys1, sys2,inp1,inp2,out1,out2) ％inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号， 从u1,u2,…,un依次编号为1,2,…,n； out1和out2分别指定要 作相加的输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既 可以是标量也可以是向量。out1和out2用法与之相同。如 inp1=1,inp2=3表示系统1的第一个输入端与系统2的第三个 输入端相连接。 • 若inp1=[1 3],inp2=[2 1]则表示系统1的第一个输入与系统2 的第二个输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一 个输入连接。
3）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：
y1 ( s) 2 s5 G11( s) 3 G21( s) 3 2 2 u( s ) s 6s 11s 6 s 6s 11s 6 s 2 2s G31( s) 3 s 6s 2 11s 6
• 传递函数形式
b1 s m b2 s m1 bm s bm1 G( s) n s a1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n
系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系 数 构成 的两个向量 唯一地确定出来，这两个向量分 别用num和den表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[1,a1,…,an-1,an] 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。
第二节 常微分方程的数值解法 • 数字仿真就是对系统的数学模型即微分 方程求数值解的过程，常用的方法： 常微分方程数值解； 连续系统离散相似法
2.1 常微分方程数值解
设常微分方程： dy
f (t , y ) dt y (t 0 ) y 0
求解微分方程满足初始条件的特解问题，即常微分方程的 初值问题。
2.2 数值积分法
2.2.1 欧拉法 设 dy f (t , y )
dt y (t 0 ) y 0
从微分的定义出发：取增量；求比值；取极限
dy y (t h) y (t ) lim dt h0 h
当 h t 足够小时，由差商代替微商：
dy y y (t h) y (t ) dt t h
》A=[1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14]; 》B=[4 6; 2 4; 2 2; 1 0]; 》C=[0 0 2 1; 8 0 2 2]; 》D=zeros(2,2);
1.2 模型的转换与连接
1.2.1 模型的转换 • 模型转换的函数包括： residue：传递函数模型与部分分式模型互换 ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型 ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型 tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型 tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型 zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型
6( s 3) ( s 1)( s 2)( s 5)
》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6; 》[num,den]=zp2tf(z,p,k) 》num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10
》[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) 》a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 • 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列 向量。
》num=[0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0];den=[1 6 11 6]; 》[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 》A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0
4）系统的零极点增益模型： G( s )
零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形 式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进 行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形 式。 在MATLAB中零极点增益模型用[Z,P,K]矢量组表示。 即： Z=[z1,z2,…,zm] P=[p1,p2,...,pn] K=[k]
• 部分分式形式
系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示
举例：
1 3 x 4 5 0 y 8
6 12 7 12 0 0
10 4 2 6 8 x 2 9 11 13 14 1 2 1 x 2 2 9
6 4 u 2 0
系统为一个两输入两输出系统
(2)串联：series
sys=series(sys1, sys2) ％串联连接两个系统。 Sys=series(sys1, sys2,out1,in2) ％out1和in2分别指定系统1的部分输出和系统2的部分输 入进行连接。
(3) 反馈：feedback
sys=feedback(sys1, sys2) ％将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系 统2为反馈控制器。 sys=feedback(sys1, sys2,sign) ％系统1的所有输出连接到系统2的输入，系统2的所有输出 连接到系统1的输入，sign用来指示系统2输出到系统1输 入的连接符号，sign缺省时，默认为负，即sign= -1。总系 统的输入/输出数等同于系统1。 sys=feedback(sys1, sys2,inp1,out1) ％部分反馈连接，将系统1的指定输出out1连接到系统2的输 入，系统2的输出连接到系统1的指定输入inp1，以此构成 闭环系统。
借助多项式乘法函数 conv 来处理： 》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6])); 》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1], [1,3,2,5]))));
• 零极点增益形式
( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) G( s) K ( s p1 )( s p2 ) ( s p n )
利用LTI对象进行模型转换
• 首先利用LTI对象数据形式建立系统模型 G=tf (num, den) G=zpk (z, p ,k) G=ss (A,B,C,D) • 再利用以下的函数语句实现不同模型的转换 G1= tf (G) G2= zpk (G) G3= ss (G) • 利用以下的函数语句获取模型参数 [num, den]= tfdata (G) [z, p, k]= zpkdata (G) [A, B, C, D] = ssdata (G)
第二章 控制系统的数学描述
第一节 第二节 控制系统的数学模型 常微分方程的数值解法
第一节 控制系统的数学模型
• 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着 相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首 先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系 统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型， 才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使 得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实 际的需要。
可见，微分方程形式的模型和传递函数模型是一致的
12s 3 24s 2 20 举例：传递函数描述 1） G( s ) 2s 4 4s 3 6s 2 2s 2
》num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2];
4( s 2)( s 2 6s 6)2 2） G( s ) s( s 1)3 ( s 3 3s 2 2s 5)