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不等式的若干解法魏云飞安徽省亳州市谯城区大杨镇丁固小学摘要 本文简单的介绍了不等式的解法，用所学的知识归纳整理出了一些运算简便 操作灵活的方法，比如 零点定理法；插值法；介值定理与区间法；构造法；分类讨论法等。
数学知识不断的扩展，不等式的解法多种多样，这里只简单的介绍一些不等式的解法。
关键词 不等式；解法；解集 引言不等式问题在数学这门学科中占有非常重要的地位，在很多有难度的问题的解决过程中都需要借用不等式来完成，不等式与我们学习中的很多问题有密切联系，如 集合问题 方程（组）的解的讨论 函数定义域值域单调性的研究等。
一个不等式有多种解法，选择恰当的方法会使解题过程简洁明了，避免因为过程复杂而出现错误，还会给我们研究不等式和与不等式有关的知识提供很大的帮助。
一 一元二次不等式的解法步骤1 将二次项系数化为正数；2 判断相应的一元二次方程是否有实数根；3 根据根的情况写出相应的解集。
详细过程见下表注 表中24b ac ∆=-，10)x =∆>，20)x =∆>，02b x a =-.一些简单一元二次不等式的解集如下表例1 解不等式 620x x --+≤.第一步 不等式两边同乘以1-得2620x x +-≥；第二步 解方程2620x x +-=得112x =，223x =-；第三步 写出解集2132x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.例2 解不等式 2320x x -+<.第一步 解方程2320x x -+=得11x =，22x =；第二步 写出解集{}12x x <<.例3 解不等式 210x x ++>.第一步 解方程210x x ++=无实数解； 第二步 写出解集R .例4 解不等式 24410x x -+≤.第一步 解方程24410x x -+=得12x =； 第二步 写出解集12x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.二 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法如下表关于绝对值不等式的三类同解变形例1 解不等式273x -<.解 原不等式转化为3273x -<-<，即4210x <<，得25x <<.所以原不等式的解集为{}25x x <<.例2 解不等式525x -<.解 原不等式转化为255x -<，则5255x -<-<，得05x <<.所以原不等式的解集为{}05x x <<.例3 解不等式1x x<.（注 此题提供了另外一种解绝对值不等式的方法。
常见不等式的解法知识点总结
常见不等式的解法知识点总结一、基本不等式性质：1.改变不等式方向：对于不等式a<b，如果将两边同时取反，即将其转化为-a>-b，不等式方向会改变。
2.加减同一个数：对于任意实数a，b和c，如果a<b，那么a+c<b+c；如果a>b，那么a-c>b-c。
3.乘除同一个正数：对于任意正数a，b和c，如果a<b，那么a*c<b*c；如果a>b，那么a/c>b/c。
但是，当乘除同一个负数时，不等号方向会反转。
4.取倒数：当一个不等式两边同时取倒数时，不等号的方向会改变。
二、一元一次不等式的解法：1. 用常数计算法：对于形如 ax+b>0 或 ax+b<0 的一元一次不等式，我们可以先计算出 a 的正负性或者大小关系，然后根据 a 的正负性或者大小关系，确定不等式的解集。
2. 画数轴法：对于形如 ax+b>0 或 ax+b<0 的不等式，我们可以在数轴上画出关于 x 的对应的一次方程的解集，然后根据不等号的方向，确定不等式的解集。
3.分析法+图解法：对于一元一次不等式，我们可以通过手工计算和图解的方法，找出不等式的解集。
三、一元二次不等式的解法：1. 变形法：对于形如 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0 的一元二次不等式，我们可以通过变形，将其转化为一元二次方程的解法。
首先，我们将不等式转化为一元二次方程，然后通过求解一元二次方程的解来确定不等式的解集。
2. 区间取值法：对于形如 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0 的一元二次不等式，我们可以使用区间取值法。
首先，我们求出一元二次函数的零点，然后根据一元二次函数的开口方向和零点的位置，确定不等式的解集。
四、绝对值不等式的解法：1.绝对值的定义：首先，我们需要了解绝对值的定义，即，x，表示x的绝对值，其定义如下：当x≥0时，x，=x；当x<0时，x，=-x。
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高二数学：不等式的解法
学习数学不仅要有强烈的学习愿望和学习热情，而且还要有科学的学习方法，只有掌握好了学习方法，数学学习起来就容易得多了，下面是数学网整理的高二数学：不等式的解法，欢迎阅读学习。
不等式的解法
(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：
(2)绝对值不等式：若，则;;
注意：
(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;
(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分
区间讨论”的方法来解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;
(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取
它们的公共部分。
(6)解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数，要讨论。
3.3 一元二次不等式及其解法 Word版含解析
3.3 一元二次不等式及其解法1.掌握一元二次不等式的解法.(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 一元二次不等式的概念阅读教材P74～P74倒数第四行，完成下列问题.1.一元二次不等式的概念一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).3.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式.()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.()(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解.()(4)x2－x>0为一元二次不等式.()【解析】(1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式.(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)√.因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立.故该说法正确.(4)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有x，故该说法错误.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×教材整理2 一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系阅读教材P74倒数第三行～P78练习A以上内容，完成下列问题.三个“二次”的关系：1.不等式x2≤1的解集为________.【解析】令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}.【答案】{x|－1≤x≤1}2.不等式2x≤x2＋1的解集为________.【解析】2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，∴x∈R.【答案】R3.设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________.【解析】因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，所以M N.【答案】M N4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：【解析】可根据图表求得两个零点为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图象(略)求解.【答案】{x|x＜－2或x＞3}[小组合作型](1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.【精彩点拨】【自主解答】 (1)由x 2－5x >6，得 x 2－5x －6>0.∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6. ∴原不等式的解集为{x |x <－1，或x >6}. (2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0， 方程(2x －1)2＝0的根为x ＝12. ∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12. (3)由－x 2＋7x >6，得x 2－7x ＋6<0， 而x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6. ∴不等式x 2－7x ＋6<0的解集为 {x |1<x <6}.1.在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集.2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.[再练一题]1.解下列不等式：(1)2x2－x＋6>0；(2)－12x2＋3x－5>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.【解】(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点.∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝62－40＝－4<0，∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.【精彩点拨】因式分解→比较根的大小→分类讨论求解【自主解答】原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集为 {x |2a <x <－a }.综上所述，原不等式的解集为： a >0时，{x |－a <x <2a }； a ＝0时，x ∈∅； a <0时，{x |2a <x <－a }.1.含参数的不等式的解题步骤 (1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小).2.解含参数的一元二次不等式(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.[再练一题]2.解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0).【导学号：18082046】【解】 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a . 综上所述， 当－2<a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a. [探究共研型]集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？【提示】 y ＝x 2－2x －3的图象如图所示.函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}.这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式.探究2 方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？【提示】 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}.不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根.这说明：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根.若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx＋a <0的解集.【精彩点拨】 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根.【自主解答】 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2，知a ＜0, 又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ＜0，则c ＞0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53.∴b a ＝－53.又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a . ∴不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0，即2ax 2＋5ax －3a ＞0.又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0.所求不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.法二：由已知得a ＜0 且⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2＝－b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ，知c ＞0，设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ，其中a c ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2，－b c ＝－b a c a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋12，∴x 1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－3，x 2＝12. ∴不等式cx2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.[再练一题]3.已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式cx 2－bx ＋a >0的解集.【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝－b a ，2×3＝ca， a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ， a <0.代入不等式cx 2－bx ＋a >0， 得6ax 2＋5ax ＋a >0(a <0). 即6x 2＋5x ＋1<0， 解得－12<x <－13，所以所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13.1.不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 【解析】 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 【答案】 A 2.不等式2x ＋1＜1的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.(1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－1,1)【解析】 ∵2x ＋1＜1，∴2x ＋1－1＝2－x －1x ＋1＜0，即x －1x ＋1＞0，∴(x －1)(x ＋1)＞0解得x ＞1或x ＜－1，∴不等式2x ＋1＜1的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 【答案】 A3.二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y <0时x 的取值范围是________.【导学号：18082047】【解析】 由y <0，得x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.【答案】 (1,3)4.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则实数a ＝________，实数b ＝________.【解析】 由题意可知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，－1×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1.【答案】 －1 15.解下列不等式：(1)x (7－x )≥12；(2)x 2>2(x －1).【解】 (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4.所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}.(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中的一种基本关系符号，用于表示两个数的大小关系。
解不等式就是找到使不等式成立的数值范围，即满足不等式条件的数值。
在解不等式时，我们需要注意不等式的不同类型，包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
下面将分别介绍这些类型不等式的解法。
一元一次不等式的解法：一元一次不等式的一般形式为：ax + b > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
我们可以按照以下步骤来解一元一次不等式：1. 将不等式转化为等价的形式，即去掉不等号，得到ax + b = c。
2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。
3. 利用正、负数的性质，将不等式中的未知数系数与常数项分离，得到x > c/a的形式。
4. 根据解集的要求，确定解的范围，即x的取值范围。
一元二次不等式的解法：一元二次不等式的一般形式为：ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次不等式的一种常用方法是利用因式分解和区间判断法，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax^2 + bx + c = 0。
2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。
3. 利用因式分解将二次项拆解，得到(x + m)(x + n) > 0的形式。
4. 根据区间判断法，确定(x + m)(x + n)的符号性质，并绘制出二次函数的图像。
5. 根据二次函数图像和解集的要求，确定不等式的解集。
绝对值不等式的解法：绝对值不等式的一般形式为：|ax + b| > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解绝对值不等式的一种常用方法是利用绝对值的性质和分情况讨论，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax + b > c或ax + b < -c。
2. 将不等式分为两种情况讨论：- 当ax + b > c时，得到ax + b - c > 0的形式，利用绝对值的非负性质得到ax + b - c = ax + b - c > 0，即ax + b - c = ax + b > c。
高一解不等式的解法步骤
我们要了解高一解不等式的解法步骤。
不等式是数学中用来描述数之间大小关系的工具，它表示一个数相对于另一个数是大还是小。
在解决不等式问题时，我们需要遵循一定的步骤来确保答案的准确性和完整性。
解不等式的通用步骤如下：
1. 首先，确定不等式的类型，例如：一元一次不等式，一元二次不等式等。
2. 根据不等式类型，选择合适的解法。
例如，一元一次不等式可以通过移项直接求解；一元二次不等式则需要考虑判别式等。
3. 对不等式进行简化，合并同类项，移项等，使其变得更易于解决。
4. 求解简化后的不等式，并给出解集。
5. 最后，根据实际情况，可能需要进一步确定解集的范围，例如：确定解集在实数范围内还是整数范围内。
总结：解不等式的关键在于确定不等式类型，然后选择合适的策略进行简化和求解。
不同类型的不等式可能有不同的解法，所以在开始解不等式之前，一定要明确其类型。
不等式的解法与应用
不等式的解法与应用不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了数值之间的大小关系。
解不等式是数学中的基本技能之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨不等式的解法和一些实际应用。
一、基本不等式的解法解不等式的方法可以分为两类：代数法和图像法。
代数法是通过代数运算来求解不等式。
以一元一次不等式为例，我们可以利用加减乘除的性质来推导出不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以先将等式2x + 3 = 7求解得到x = 2，然后根据不等式的性质，将x = 2代入原不等式，得到2 × 2 + 3 = 7，显然成立。
因此，不等式的解集为x > 2。
图像法是通过绘制不等式的图像来求解不等式。
以一元一次不等式为例，我们可以将不等式转化为方程，然后绘制出方程的图像。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以将不等式转化为方程2x + 3 = 7，得到x = 2。
然后我们绘制出方程2x + 3= 7的图像，发现x > 2的部分对应的是图像上方的区域。
因此，不等式的解集为x > 2。
二、不等式的应用不等式在实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍不等式在经济学、物理学和生物学中的应用。
1. 经济学中的应用经济学中常常用不等式来描述供需关系、利润最大化等问题。
例如，在市场经济中，供应商希望以最高的价格卖出商品，而消费者希望以最低的价格购买商品。
这就形成了一个不等式的关系，供应商的期望价格大于等于消费者的期望价格。
通过解这个不等式，我们可以得到供需平衡的价格区间。
2. 物理学中的应用物理学中的许多问题可以用不等式来描述。
例如，运动物体的速度与位移之间的关系可以用不等式来表示。
根据物理学的定律，速度等于位移除以时间，因此可以得到不等式v ≥ s/t，其中v表示速度，s表示位移，t表示时间。
通过解这个不等式，我们可以得到速度的最小值。
3. 生物学中的应用生物学中的种群增长问题可以用不等式来描述。
不等式的解法
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零点 定理的推论 提供 了一 种解 不 等式 的统 一方 法 ， 它
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很 多 问 题 都 有 密 切 的联 系 ， 如 集 合 问 题 ， 程 （ ） 解 的 诸 方 组 的
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【 要 】 文通 过 对 不 等 式 的研 究和 分 析 ， 所 学 的 知 摘 本 对
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不等式的解法
要求:掌握一元一次、一元二次、分式、高次不等式的解法，会用数轴标根 法求不等式解集，难点是含参不等式的解法，解不等式的关键是等价转化
1、一元一次不等式的解法
例; 解关于x 的不等式2x －3<5
2、一元二次不等式的解法
例1、二次函数c bx ax y ++=2（x ∈R ）的部分对应值如下表：
则不等式c bx ax ++2＞0的解集是 ．
例2、解不等式⑴－4x －10<0 ⑵ －3x ＋2<0
3、绝对值不等式的解法
例1、解不等式⑴ <5 ⑵ ≥3 ⑶
> ⑷ >2x
⑸ －x<1 ⑹ ≤1
⑺ <＋1
练习: （1） 不等式311<+<x 的解集为（ ）
（A ）()2,0 （B ）())4,2(0,2 - （C ）()0,4- （D ）())2,0(2,4 -- 提示：用不等式性质；排除法
（2）不等式|2|+x ≥||x 的解集是 ．
提示：平方法x ≥-1
（3）、不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（ ）
A. }10|{<≤x x
B. }10|{-≠<x x x 且
C. }11|{<<-x x D . }11|{-≠<x x x 且
提示：分类讨论；排除法
（4）、不等式0)12(|1|≥-+x x 的解集为（ ）
A ．}21
|{≥x x B ．}21
1|{≥-≤x x x 或C ．}21
1|{≥-=x x x 或D ．}21
1|{≤≤-x x
提示：分|1|0210x x +=-≥或直接解 ；排除法
（5）、“ab <0”是“不等式|a －b |≤|a |＋|b |的等号成立”的（ ）。
（A ） 充分条件 （B ）必要条件
（C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件
提示：后面不等式恒成立。
4、分式/高次不等式的解法
例1 解不等式(2)(1)(2)(4)0x x x x +---<.
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了
统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式
是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.
例2 解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.
例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.
例4 解不等式：073
<+-x x .
结论：分式不等式的解法
移项通分化为)()
(x g x f >0(或)()
(x g x f <0)的形式，转化为：
)0
)(0)()((0)(0)()(⎩⎨⎧≠<⎩⎨⎧≠>x g x g x f x g x g x f 或 例5 解不等式：03
22
322≤--+-x x x x . 练习：（1）. 解不等式25
3
>+-x x . （2）. 解不等式：
123422+≥+--x x x x . （3）、不等式2
21x x +>+的解集是（ ）
（A ）(1,0)(1,)-+∞ （B ）(,1)(0,1)-∞-
（C ）(1,0)(0,1)- （D ）(,1)(1,)-∞-+∞
（4）、不等式03)
2(<-+x x x 的解集为（ ）
A ．}30,2|{<<-<x x x 或
B ．}3,22|{><<-x x x 或
C ．}0,2|{>-<x x x 或
D }3,0|{<<x x x 或
5、分段函数不等式的解法
例1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1
,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围
为 （ ） （ ）
A ．(][]10,02, -∞-
B ．(][]1,02, -∞-
C ．(][]10,12, -∞-
D ．[]10,1]0,2[ -
提示：图解法；排除法
例2、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x x
x x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ） A ．（－1，1） B ．（－1，+∞）
C ．（－∞，－2
）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）
提示：图解法；排除法 6、图像不等式的解法
例1已知y ＝f
（x ）是偶函数，y ＝g （x ）是奇函数，
它们的定义域为［－π，π］，
且它们在［0，π］上的图像如图，
则不等式
<0的解集是（ ）
7、抽象不等式的解法
例1设f （x ）、g （x ）分别是在R 上的奇函数和偶函数，当X 0，f （x ）、g （x ）单调增
函数，则f （x ）∙g （x ） 0的解集是（ ）
练习：已知函数)(x f y =的定义域),0(+∞,1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=.
(1)求)1(f ; (2)证明函数)(x f 为增函数;
(3)如果1)31(-=f ,解不等式2)21()(≥--x f x f . 8、指数不等式的解法
例1解下列不等式：（1）5213222)21(2-++->x x x x
(2) －3－4>0 9、对数不等式的解法
例1解下列不等式：（1）
（－2x －5）> （x ＋13） (2)
－3x －4<0 10、无理不等式的解法
例1解下列不等式：（1）0352)23(2>-+⋅-x x x （2）（x －1）≥0
含参不等式的解法
1、一元一次含参不等式的解法
例1 解关于X 的不等式：2x －3<bx ＋ɑ （ɑ、b 为常数）
练习：解关于X 的不等式： ɑx>b （ɑ、b 为常数）
2、一元二次含参不等式的解法
例1 解关于X 的不等式：（1） 2
＋ɑx ＋2>0
(2)－（
＋ɑ）x ＋<0 练习 解关于X 的不等式：（1）)0(04)1(22≠>++-a x a ax .
(2) －（ɑ＋）x ＋1≤0 （ɑ为常数且ɑ≠0） 3、分式含参不等式的解法
例1 解关于X 的不等式：（1）
>1（ɑ为常数且ɑR ） 练习 解关于X 的不等式：
≤0（ɑ为常数且ɑ≠±1） 4、高次含参不等式的解法
例1 解关于X 的不等式：(x-2x +12)(x+a)<0. （ɑ为常数）
5、绝对值含参不等式的解法
例1 解关于X 的不等式：
<b （ɑ、b 为常数） 6、指数含参不等式的解法
例1解关于X 的不等式：
> （ɑ为常数且ɑ>0，ɑ≠1） 7、对数含参不等式的解法
例1解关于X 的不等式：（－2x －5）> （x ＋13）（ɑ为常数）
练习 解关于X 的不等式：（1－x ）> 1（ɑ为常数）
强化训练：已知不等式的解集，求其参数
1、已知关于X 的不等式022>++c x ax 的解集为{}2
131|<<-x x ，求实数a 、c 的值. 变式：已知关于X 的不等式02>++c bx ax
的解集是{}0,|>><<αββαx x ，求不等式02>++a bx cx 的解集.
2、已知关于X 的不等式ɑ＋b ＋c ＋dx ＋e>0, 的解集是（0,1）∪（2,3） ⑴当ɑ＝－1时，求b 、c 、d 、e
⑵当ɑ（－2，－1）时，求b 的取值范围
3、已知关于X 的不等式
≥0的解集为{}2x 13|≥-<<-或x x ，则实数的a 值为 .
变式：已知关于X 的不等式
≥0的解集为［－1,2）∪［3,＋∞），解关于X 的不等式：≥0
4、关于x 的不等式组⎩⎨⎧<+++>--0
5)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为{}2-，求实数k 的取值范围.。