鲁教版五四制七年级数学下册第一章三角形5利用三角形全等测距离同步测试(解析版).docx
鲁教版五四制七年级数学下册1.5利用三角形全等测距离试题.doc
1.5利用三角形全等测距离1、如图，O为AC，BD的中点，则图中全等三角形共有（）对.A.2B.3C.4D.52、如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，那么△ACD≌△AEB的依据是（）A.ASAB.AASC.SASD.SSS3、如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D.使BC=CD，过D作DE ⊥BF，且A，C，E三点在一直线上，若测得DE=15米，即可知道AB也为15米，请你说明理由.4、要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，O为卡钳两柄交点，且有OA=OB=OC=OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则次工件的外径必是CD之长了，你能说明其中的道理吗？5、如图，为修公路，需测量出被大石头阻挡的∠BAC的大小，为此，小张师傅便在直线AC上取点D使AC=CD，在BC的延长线上取点E，使BC=CE，连DE，则只要测出∠D的度数，则知∠A的度数也与∠D的度数相同了，请说明理由.6、有一座锥形小山，如图，要测量锥形两端A，B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A，B的距离，你能说说其中的道理吗？7、如图所示，要测量湖中小岛E距岸边A和D的距离，作法如下：（1）任作线段AB，取中点0；（2）连接DO并延长使DO=CO；（3）连接BC；（4）用仪器测量E，0在一条线上，并交CB于点F，要测量AE，DE，只须测量BF，CF即可，为什么？8、如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD，延长，使DF=BD，过F点作AB的平行线MF，连接MD，并延长，在延长线上取一点E，使DE=DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你知道其中道理吗？答案：1、C 2、C 3、由题意可知，∠ABC=∠EDC=90º，BC=CD，∠BCA=∠DCE，从而△ABC≌△EDC，故AB=DE=15米 4、显然由OA=OD，OB=OC，∠AOB=∠DOC，可知△AOB≌△COD，从而AB=CD. 5、易知△ABC≌△DEC，故∠A=∠D6、由条件可知△ABC≌△DCE，故AB=DE7、由条件可知，△AOD≌△BOC，∴BC=AD，又∠A=∠B，∠AOE=∠BOF，BO=AO，故三角形△AOE≌△BOF，∴BF=AE，从而DE=CF，因此只要测出BF，CF即可知AE，DE的长度了.8、因为BD=DF，DE=DM，∠BDE=∠MDF，所以△BDE≌△FDM，故∠BEM=∠M，因此BE∥MF，又因为AB∥NF，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A，C，E在一条直线上.利用三角形全等测距离(总分100分时间40分钟)解答题:(每题25分)1.如图,A、B两个建筑分别位于两岸,要测得它们之间的距离,可以从B 出发沿河岸面一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过D作DE∥AB,使E、C、A在同一条直线上, 则DE的长就是A、之间的距离,请你说明道理,你还能想出其他方法吗?BAE FC2.如图,有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状,AB间的距离不能直接测得,你能用已学过的知识或方法来设计测量方案,求出A、B间的距离吗?3.请利用我军战士测隔河相望的敌人碉堡的方法,试测你校操场中旗杆底座到足球门的距离(不能直接测量),并验证战士的做法,你是否还有其他的方法? 并与同学们进行交流.4.请利用课本中叔叔教小明测池塘两端距离的方法,试测花坛对角线的长度(不能直接测量),你是否还有其他的方法?并与同学们进行交流.初中数学试卷马鸣风萧萧。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第一章 三角形5 利用三角形全等测距离-章节测试习题(1)
章节测试题1.【题文】如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离并简述理由．【答案】（1）图略（2）AB＝60m【分析】（1）认真读题，根据题意画出示意图；（2）结合题意分别求出AC、DC、DE的长，易得：AC=DC，∠BAC=∠EDC，∠DCE=∠ACB，根据全等三角形的判定定理可得△ABC≌△DEC，进而得到AB=DE，据此，可得出结果．【解答】（1）根据题意画出图形，如图所示．（2）A、B两根电线杆之间的距离大约为36m.理由如下．∵∠BAC=∠EDC=90°，60cm=0.6m，∴AC=20×0.6=12m，DC=20×0.6=12m，DE=100×0.6=60m．∵点E、C、B在一条直线上，∴∠DCE=∠ACB．∵∠BAC=∠EDC=90°，AC=DC，∠DCE=∠ACB，∴△ABC≌△DEC．∴AB=DE．∵AB=DE，DE=60m，∴AB=60m．故A、B两根电线杆之间的距离大约为60m．2.【题文】如图所示，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的A点，然后姿态不变原地转了一个角度，正好看见了他所在的岸上的一块石头B点，他发现看到B点和A点的视角相等，并测量BC＝30m.你能猜出河有多宽吗？说说理由．【答案】30（m）【分析】连接CD，根据姿势不变可得∠BDC＝∠ADC，根据站立地面可得∠BCD ＝∠ACD＝90°，然后利用“角边角”证明△ACD和△BCD全等，再根据全等三角形对应边相等可得BC＝AC．【解答】能猜出河宽AC为30米；理由如下：如图，连接DC，由题意得，∠BDC＝∠ADC，∠BCD＝∠ACD＝90°，在△ACD和△BCD中，，∴△ACD≌△BCD，∴BC＝AC，∵BC＝30米，∴河宽为30米．故答案为：30米．3.【题文】某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB．请你说明他们做法的正确性．【答案】见解答．【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性．【解答】∵在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴Rt△ABC≌Rt△EDC，∴AB=ED，即他们的做法是正确的．4.【题文】如图所示，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E，C，A在同一条直线卜，则DE的长就等于A，B之间的距离，请你说明道理．【答案】见解答．【分析】∵AB∥DE，∴∠A＝∠E或∠ABC＝∠EDC，∵BC＝CD，根据AAS证明ΔABC≌ΔEDC，∴AB＝ED.从而得证．【解答】由题意并结合图形可以知道BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，又AB∥DE，从而∠A＝∠E或∠ABC＝∠EDC，故在ΔABC与ΔEDC中，∴ΔABC≌ΔEDC（AAS），∴AB＝ED，即测出ED的长后即可知道A，B之间的距离．5.【题文】如图所示，为了测得河宽AB，在地面上作出了与AB垂直的线段AC，又作出了BA的延长线AM，为了在AM上得到与BA相等的线段AB′，还应该怎样做呢?【答案】见解答．【分析】在地面上画射线CB′，与AM相交于B′，使∠ACB′＝∠ACB.利用ASA判定即可．【解答】在地面上画射线CB′，与AM相交于B′，使∠ACB′＝∠ACB．在ΔABC与ΔAMC中，，得BA＝B’A．6.【题文】如图1所示，有一块巨大的长方形广告牌，上面画了一条对角线AC，为了求出这个广告牌的高BC，几个同学在地面上画出了ΔABC，（如图2所示），其中∠BAC′＝∠BAC，∠ABC′是直角，则BC′的长和广告牌的高是相同的，你能说明其中的道理吗?【答案】见解答．【分析】由∠CAB＝∠C′AB，AB＝AB，∠ABC＝∠ABC′知，ΔABC与ΔABC′符合“ASA”，且BC与BC′是对应边，∴BC＝BC′．【解答】在ΔABC与ΔABC中，，得BC＝BC′．7.【题文】在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何测得距离？一位战士的测量方法是：面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．这是为什么呢？【答案】见解答．【分析】根据三角形全等的判定方法，得到一些相应线段或角相等，在现实生活中有许多应用的实例．【解答】在本题中，根据题意可以知道，满足了三个条件：（1）身体高度一定，（2）帽檐处的角度一定，（3）脚下的直角一定，故根据ASA判定方法，可以得到两个三角形全全等，∴距离相等．理由是：在△AHB与中，∴8.【题文】如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．【答案】见解答．【分析】根据题中垂直可得到一组角相等，再根据对顶角相等，已知一组边相等，得到三角形全等的三个条件，于是根据ASA可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．【解答】在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长．作出的图形如图所示：∵AB⊥BFED⊥BF∴∠ABC=∠EDC=90°又∵CD=BC∠ACB=∠ECD∴△ACB≌△ECD，∴AB=DE．9.【题文】小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【答案】楼高AB是26米．【分析】根据，，判定△CPD≌△PAB，根据全等三角形的性质进而得出AB的长．【解答】∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=54°，在△CPD和△PAB中，∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=36，PB=10，∴AB=36﹣10=26（m），答：楼高AB是26米．10.【题文】如图，一艘轮船沿AC方向航行，轮船在点A时测得航线两侧的两个灯塔D、E与航线的夹角相等，当轮船到达点B时测得这两个灯塔与航线的夹角仍然相等，这时轮船与两个灯塔的距离是否相等？为什么？【答案】见解答．【分析】根据轮船在点A时两个灯塔与航线的夹角相等可得∠DAB=∠EAB，轮船到达点B时两个灯塔与航线的夹角仍然相等可得∠1=∠2，再根据等角的补角相等推出∠3=∠4，然后利用角边角定理证明△ABD与△ABE全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】到达点B时轮船与两个灯塔的距离相等．理由如下：根据题意得，∠DAB=∠EAB，∠1=∠2，∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，∴∠3=∠4，在△ABD与△ABE，，∴△ABD≌△ABE（ASA），∴BD=BE．即，到达点B时轮船与两个灯塔的距离相等．11.【题文】某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．【答案】（1）5m（2）证明见解答．【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；（2）利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．【解答】（1）解：河的宽度是5m；（2）证明：由作法知，BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，在Rt△ABC和Rt△EDC中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），∴AB=ED，即他们的做法是正确的．12.【题文】如图所示，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距14km，C，D 为两村（可视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到正站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处?【答案】E站应建立在距A站6km处．理由见解答．【分析】E站应建立在距A站6km处．理由：根据SAS证明，△ADE≌△BEC．∴DE＝EC．【解答】E站应建立在距A站6km处．理由：∵BF＝AB-AE＝14-6＝8（km），∴AD＝BE，AE＝BC．在△ADE和△BEC中，∴△ADE≌△BEC（SAS）．∴DE＝EC．13.【题文】为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；【答案】35m【分析】根据题中条件可以直接得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是根据SAS可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．【解答】∵PA=PD，PC=PB又∠APB=∠CPD∴△APB≌△DPC，∴AB=CD=35m．14.【题文】如图，A、B两点分别位于一个假山两边，请你利用全等三角形的知识设计一种测量A、B间距离的方案，并说明其中的道理．（1）测量方案：（2）理由：【答案】见解答过程．【分析】（1）先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，连接AC，BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长，（2）利用SAS证明△EDC≌△ABC，根据全等三角形的对应边相等得到ED=AB．【解答】（1）测量方案：先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，连接AC，BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长，（2）理由：在△EDC和△ABC中，∴△EDC≌△ABC（SAS），∴ED=AB（全等三角形对应边相等），即DE的距离即为AB的长．15.【题文】如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x．【答案】．【分析】可设计如图所示的工具，利用△AOB≌△COD即可求解．【解答】可设计如图所示的工具，其中O为AC，BD的中点．在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD（SAS）．∴AB=CD.∴测量出C，D之间的距离，CD的长就是A，B间的距离．∵AB=a-2x，∴x==．16.【题文】如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗?【答案】证明见解答．【分析】根据SAS即可证明△ACB≌△ACD，由此即可解决问题．【解答】∵∠ACB=90°，∴∠ACD=180°-∠ACB=90°．在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD．17.【题文】如图，由两根钢丝固定的高压电线杆，按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时，固定效果最好．现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等，那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求，并说明理由．（电线杆的粗细忽略不计）【答案】合乎要求．理由见解答．【分析】根据题意，证明△ABO≌△ACO即可得解．【解答】合乎要求．理由如下：在△ABO和△ACO中，∴△ABO≌△ACO（SAS）．∴∠BAO=∠CAO.∴合乎要求．18.【题文】你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系？为什么？【答案】AA'＝BB'【分析】本题考查的是全等三角形的应用，O是AB、A′B′的中点，得出两组对边相等，又∵对顶角相等，通过SAS得出两个全等三角形，得出AA′、BB′的关系．【解答】数量关系：AA′=BB′，理由如下：∵O是AB、A′B′的中点，∴OA=OB′，OA′=OB，又∵∠A′OA=∠B′OB，∴△A′OA≌△BOB′，∴AA′=BB′．19.【题文】农科所有一块五边形的试验田如图所示，已知在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=20m，求这块试验田的面积．【答案】400m2．【分析】可延长DE至F，使EF=BC，可得△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论．【解答】如图，延长DE至点F，使EF=BC，连接AC，AD，AF.易得CD=FD．∵∴△ABC≌△AEF（SAS）．∴AC=AF．在△ACD与△AFD中，∵∴△ACD≌△AFD（SSS）．∴五边形ABCDE的面积是2S△ADF=2×·DF·AE=2××20×20=400（m2）．20.【答题】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈D能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内所成的角∠BAC，为了证明这个结论，我们的依据是（）A. SASB. SSSC. AASD. ASA【答案】B【分析】根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．【解答】解：根据伞的结构，AE=AF，伞骨DE=DF，AD是公共边，∵在△ADE和△ADF中，∴△ADE≌△ADF（SSS），∴∠DAE=∠DAF，即AP平分∠BAC. 选B.。
鲁教版(五四制)数学七年级下册 10.1 全等三角形 同步习题和答案
鲁教版数学七年级下册10.1 全等三角形同步习题及答案一、选择题：1.如图所示,已知EC=BF,∠A=∠D,现有下列6个条件:①AC=DF;②∠B=∠E;③∠ACB=∠DFE;④AB∥ED;⑤AB=ED;⑥DF∥AC.从中选取一个条件,以保证ΔABC≌ΔDEF,则可选择的是( )A.②③④⑥B.③④⑤⑥C.①③④⑥D.①②③④2．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（）A. PC=PDB. ∠CPD=∠DOPC. ∠CPO=∠DPOD. OC=OD4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.已知ΔABC≌ΔA1B1C1,且ΔABC的周长是20,AB=8,BC=5,那么A1B1等于( )A.5B.6C.7D.86.如图所示,一定全等的两个三角形是( )A.①②B.①③C.②③D.以上都不对7.如图所示,要测量湖两岸相对两点A,B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,这时可得ΔABC≌ΔEDC,用于判定全等的是( )A.SSSB.SASC.ASAD.AAS8.下列说法中:①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等,那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等;②如果两个三角形都和第三个三角形不全等,那么这两个三角形一定不全等;③要判断两个三角形全等,给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是( )A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③9.方格纸中每个小方格的顶点叫做格点,顶点在格点上的三角形叫格点三角形.如图所示,在4×4的方格纸中有两个格点三角形ΔABC和ΔDEF.下列说法成立的是( )A.∠BCA=∠EDFB.∠BCA=∠EFDC.∠BAC=∠EFDD.这两个三角形中没有相等的角10.如图所示,ΔABC是等腰直角三角形,DE过直角顶点A,∠D=∠E=90°,则下列结论正确的个数有( )①CD=AE;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④AD=BE.A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A. 13B. 12C. 23D. 不能确定12.尺规作图的画图工具是 ( )A.刻度尺、量角器B.三角板、量角器C.直尺、量角器D.没有刻度的直尺和圆规二、填空题：1.如图所示,点A,B,D在同一直线上,ΔABC和ΔBDE都是等边三角形,连接AE,CD相交于点P,则∠CPE的度数为度.(提示:等边三角形的三个内角均为60°)2．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．4.如图所示,ΔABC≌ΔADE,∠B=85°,∠C=∠DAC=35°,则∠EAC= 度.5.如图所示,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.AD=5 cm,DE=3 cm,BE的长度是.6.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为_______．7. 如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是________．8.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.其中真命题的是.(填写所有真命题的序号)三、解答题：1.如图所示,D,E分别是等边三角形ABC的边BC,CA延长线上的点,且CD=AE,连接AD,BE,求证AD=BE.(提示:等边三角形的三个内角均为60°)2.如图所示,已知线段a,b和∠α,用尺规作一个三角形,使其两边分别等于a,b,这两边的夹角等于2∠α.(要求:不写已知、求作、作法,只画图,保留作图痕迹)3.如图所示,已知ΔABC.(1)请用直尺和圆规作一个三角形,使所作三角形与ΔABC全等;(2)请简要说明你所作的三角形与ΔABC全等的依据.4.如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF=DE，求证：AB∥CD．5. 如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．6. 如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．7.如图所示,在ΔABC,ΔADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E在同一直线上,连接BD.(1)求证ΔBAD≌ΔCAE;(2)试猜想BD,CE有何特殊的位置关系,并证明.8. 如图所示,点E,C,D,A在同一条直线上,AB∥DF,ED=AB,∠E=∠CPD.求证ΔABC≌ΔDEF.9. 如图所示,已知AB=DC,AC=BD.求证∠ABO=∠DCO.10.如图所示,ΔABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证ΔABD≌ΔACD.11.如图所示,若ΔOAD≌ΔOBC,且∠O=65°,∠BEA=135°,求∠C的度数.(提示:四边形的内角和为360°)12. 如图所示,在图(1)中,点A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,且AB∥CD.(1)求证BD平分EF;(2)若将图(1)变成图(2)时,其余条件不变,上述结论是否成立?为什么?参考答案一、选择题：1-5 ABBCD 6-10 BCCBB 11-12 BD二、填空题：1. 1202.4．3. 3．4.255.2 cm6. 130°7. ∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD8. ①②④.三、解答题：1.证明:∵ΔABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,AC=AB,∴∠EAB=∠ACD=120°,∵在ΔABE和ΔCAD中,∴ΔABE≌ΔCAD(SAS),∴AD=BE.2.解:如图所示,ΔABC即为所求.3.解:(1)如图所示,ΔEDF即为所求.(作法不唯一)(2)在ΔEDF和ΔABC中,∴ΔEDF≌ΔABC(SSS).4.证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，∴BE=DF．在Rt△AEB和Rt△CFD中，{AB=CDBE=DF，∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），∴∠B=∠D，∴AB∥CD．5. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，在△ADE和△FAB中，，∴△ADE≌△FAB（AAS），∴DE=AB；（2）解：连接DF，如图所示：在△DCF和△ABF中，，∴△DCF≌△ABF（SAS），∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴DE=AE=，∴的长==．6. 解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．7. (1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD,即∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC,AD=AE,∴ΔBAD≌ΔCAE(SAS).(2)解:BD⊥CE.证明如下:由(1)知ΔBAD≌ΔCAE,∴∠ADB=∠E.∵∠DAE=90°,∴∠E+∠ADE=90°.∴∠ADB+∠ADE=90°,即∠BDE=90°,∴BD⊥CE.8. 证明:∵AB∥DF,∴∠B=∠CPD,∠A=∠FDE,∵∠E=∠CPD,∴∠E=∠B,在ΔABC和ΔDEF中,∴ΔABC≌ΔDEF(ASA).9. 证明:在ΔABC与ΔDCB中,∴ΔABC≌ΔDCB(SSS).∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC.∴∠ABO=∠DCO.10. 证明:∵D是BC的中点,∴BD=CD.在ΔABD和ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD(SSS).11. 解:∵ΔOAD≌ΔOBC,∴∠C=∠D,∠OBC=∠OAD,∵∠O=65°,∴∠OBC=180°-65°-∠C=115°-∠C,在四边形AOBE中,∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°,∴65°+115°-∠C+135°+115°-∠C=360°,∴∠C=35°.12. (1)证明:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°,又∵AB∥CD,∴∠A=∠DCE,在ΔAFB和ΔCED中, ∴ΔAFB≌ΔCED,∴BF=DE,在ΔBGF和ΔDGE 中,∴ΔBFG≌ΔDEG,∴FG=EG,即BD平分EF. (2)解:成立.理由如下:∵AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即AF=CE.同(1)可证∠AFB=∠CED=90°,∠A=∠C,在ΔAFB和ΔCED中,∴ΔAFB ≌ΔCED,∴BF=DE,同(1)可证ΔBGF≌ΔDGE,∴EG=FG,即BD平分EF.。
鲁教版五四制七年级数学下册第一章三角形综合测评(二)
初中数学试卷第一章 三角形综合测评（二）时间： 满分：120分班级： 姓名： 得分：一、选择题（每小题4分，共32分）1． 下列四个图形是全等图形的是（ ）A ． （1）和（3）B ． （2）和（3）C ． （2）和（4）D ． （3）和（4）2． 图1中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）A ． 锐角三角形B ． 直角三角形C ． 钝角三角形D ． 以上都有可能3． 下面的事例：①过去农村的人们通常会在栅栏门上斜着钉上一些木条；②新植的树木，常用一些粗木与之成角度支撑起来防止倒斜；③活动挂衣架；④学校门口的伸缩大门．其中是用到三角形稳定性的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4． 根据下列条件，能画出唯一△ABC 的是（ ）A ．AB ＝4，BC ＝5，AC ＝10 B ．AB ＝5，BC ＝4，∠A＝40° C ．∠A＝60°，∠B＝50°，AB ＝5D ．∠C＝90°，AB ＝85． 已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（ ）A ． 2B ． 3C ． 5D ． 136． 如图2，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件中，错误的一组是（ ）A ． BC=BD ，∠BAC=∠BADB ． ∠C=∠D，∠BAC=∠BADC ． ∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD D ． BC=BD ，AC=AD7．若直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，则这个直角三角形中最小锐角的度数是（ ） A ． 9° B． 18° C． 27° D． 36° 8． 如图3，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE=DF ，连接BF ，CE ．下列说法： ①△ABD 和△ACD 面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE．其中正确的有（ ）图1图2图3A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二、填空题（每小题4分，共32分）9． 如图4所示，图中有 个三角形， 个直角三角形．10．如图5，∠ACD=155°，∠B=35°，则∠A= 度． 11． 如图6所示，CD 是△ABC 的中线，AC=9cm ，BC=3cm ，那么△ACD 和△BCD 的周长差是 cm ．12．已知△DEF≌△ABC，AB=AC ，且△ABC 的周长为22cm ，BC=4cm ，则△DEF 中最长的一条边为 ．13．如图7，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB∥DE，BE=CF ，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF．14．如图8是标准跷跷板的示意图．横板AB 的中点过支撑点O ，且绕点O 只能上下转动．如果∠OCA=90°，∠CAO=25°，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为 ．15． 已知三角形的两边长分别为3和10，周长恰好是6的倍数，那么第三边长为________．16．图9所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=1cm ，BC=2cm ，后面有一部分图案被墨水污染了，已知AF=117cm ，请思考一下被墨水完全盖住的全等图形共有 个。
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知能提升作业（二）第2课时（30分钟 50分）一、选择题(每小题4分，共12分)1.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.已知三角形的三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )(A)2 (B)3 (C)5 (D)133.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，化简|a+b-c|-|b-a-c|的结果是( )(A)2a (B)-2b (C)2a+2b (D)2b-2c二、填空题(每小题4分，共12分)4.若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是________.5.用7根长度为1的火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为________个.6.已知等腰三角形的两边长分别为7和2，则它的周长为________.三、解答题(共26分)7.(8分)一个等腰三角形的周长是36cm.(1)已知腰长是底边长的2倍，求各边的长.(2)已知其中一边长8cm，求另外两边的长.8.(8分)如图，点P是△ABC内任意一点，试说明PB+PC<AB+AC.【拓展延伸】9.(10分)在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，火柴数 3 5 6示意图形状等边三角形等腰三角形等边三角形问：(1)4根火柴能搭成三角形吗？(2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图.答案解析1.【解析】选B.从四根木棒中任取其中三根有四种情况，即不取第一根，不取第二根，不取第三根，不取第四根，分别为4，7，9；3，7，9；3，4，9；3，4，7.由三角形的三边关系，必须任意两边之和大于第三边，其中4，7，9；3，7，9能组成三角形，所以选B.2.【解析】选B.由三角形的三边关系，可知11<x<15，因为x为正整数，所以x 为12，13，14，则三角形个数为3.3.【解析】选D.|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-[-(b-a-c)]=a+b-c+b-a-c=2b-2c.4.【解析】有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5，可构成三角形，周长=3+3+5=11；②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3，可构成三角形，周长=5+5+3=13.答案：11或135.【解析】根据周长为7，以及三角形的三边关系，得只有两种不同的三角形，边长为2，2，3或3，3，1.答案：26.【解析】分两种情况：①若7是腰，则三边长为7，7，2，此时周长为16.②若2是腰，则三边长为2，2，7，因为2+2<7，所以不能构成三角形.此种情况不存在.答案：167.【解析】(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm.x+2x+2x=36，解得x=7.2，所以2x=2×7.2=14.4，即等腰三角形的各边长分别为7.2cm，14.4cm，14.4cm.(2)因为长为8cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分两种情况讨论.若腰长为8cm，则底边长为36-8×2=20(cm)，此时8+8<20，所以不能构成三角形，即这个等腰三角形的腰长不能为8cm；若底边长为8cm，则腰长为(36-8)÷2=14(cm)，能构成三角形，所以构成的等腰三角形的底边长为8cm，两腰长都是14cm.8.【解析】延长BP交AC于点D，在△ABD中，PB+PD<AB+AD，①在△PCD中，PC<PD+CD，②①+②得PB+PD+PC<AB+AD+PD+CD，即PB+PC<AB+AC.9.【解析】(1)4根火柴不能搭成三角形.(2)8根火柴能搭成一种三角形(3，3，2)；示意图：等腰三角形12根火柴能搭成3种不同形状的三角形(4，4，4；5，5，2；3，4，5).示意图：初中数学试卷马鸣风萧萧。
鲁教版五四制七年级数学下册第一章三角形1认识三角形第1课时同步测试(解析版)
知能提升作业（一）第一章三角形1 认识三角形第1课时（30分钟 50分）一、选择题(每小题5分，共15分)1.一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( )(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形2.如图，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( )(A)60°(B)75°(C)90°(D)105°3.如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则( )(A)△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形(B)△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形(C)△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形(D)△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形二、填空题(每小题5分，共15分)4.一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°，那么∠BMD为________度.5.阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点P1，当P1，A，B，C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形(如图).当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表：ABC内点的个数 1 2 3 … 2 012构成不重叠的3 5 …小三角形的个数按表格顺序填入为________，________.6.如图，直线l1∥l2，且l1，l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3=________.三、解答题(共20分)7.(8分)在△ABC 中，已知∠A=12∠B=13∠C ，试判断三角形的形状.【拓展延伸】8.(12分)如图，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB.(1)若∠A=70°，求∠BOC 的度数.(2)试探究∠BOC 与∠A 的关系.答案解析1.【解析】选D.三角形的三个内角依次为180°×22+3+7=30°，180°×32+3+7=45°，180°×72+3+7=105°，所以这个三角形是钝角三角形.2.【解析】选D.因为∠ABC=30°，∠BAC=75°，所以∠ACB=75°，所以∠DCE=75°，又BD ∥EF ，所以∠DCE+∠CEF=180°，所以∠CEF=105°.3.【解析】选D.点C 在射线BD 上向右移动的过程中，△ABC 先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形.4.【解析】因为∠ADF=100°，∠EDF=30°，所以∠MDB=180°-∠ADF-∠EDF=180°-100°-30°=50°，所以∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-45°-50°=85°.答案：855.【解析】当△ABC 内的点的个数是n 时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1.所以按表格顺序填入为7，4025.答案：7 40256.【解析】因为∠2=35°，∠P=90°，所以∠4=55°，因为l 1∥l 2，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°，因为∠1=∠2=35°，所以∠3=180°-35°-35°-55°=55°.答案：55°7.【解析】由题意，设∠C=6x ，则有∠B=4x ，∠A=2x ，则6x+4x+2x=180°，所以x=15°，所以最大角∠C=6x=90°，则三角形的形状是直角三角形.8.【解析】(1)因为∠A=70°，所以∠ABC+∠ACB=110°.又因为BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，所以∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ，所以∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12(∠ABC+∠ACB)=12×110°=55°，所以∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°.(2)∠BOC=90°+12∠A.理由如下：∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(12∠ABC+12∠ACB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=180°-90°+12∠A=90°+12∠A.初中数学试卷。
鲁教版五四制七年级数学下册第一章三角形3探索三角形全等的条件第1课时同步测试(解析版)
知能提升作业（五）3 探索三角形全等的条件第1课时（30分钟50分）一、选择题(每小题4分，共12分)1.下列说法中，正确的是( )(A)三个角对应相等的两个三角形全等(B)周长和一边对应相等的两个三角形全等(C)三条边对应相等的两个三角形全等(D)面积和一边对应相等的两个三角形全等2.如图所示，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF，DE=BF，那么图中的全等三角形有( )(A)4对(B)3对(C)2对(D)1对3.如果△ABC的三边长分别为5，12，13，△DEF的三边长分别为5，3m-n，2m+n，且这两个三角形全等，则mn的值为( )(A)15 (B)10(C)10或15 (D)有无数个二、填空题(每小题4分，共12分)4.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，能利用“SSS”判定△ABC≌△ADC的是______.5.如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是________.6.如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3=________度.三、解答题(共26分)7.(8分)已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE.试说明∠BAC=∠DAE.8.(8分)如图，已知AB=DC，DB=AC.(1)试说明∠ABD=∠DCA.注：说理过程要求给出每一步结论成立的依据.(2)在(1)的说明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？【拓展延伸】9.(10分)有一块三角形的厚铁板如图，根据实际生产需要，工人师傅要把∠MAN平分，现在他手中只有一把尺子和一根细绳，你能帮他想个办法吗？并说明你的设计理由.答案解析1.【解析】选C.A 项，三个角相等不能判定两个三角形全等，故错误；B 项，不能用周长和一边对应相等来判断三角形全等，故错误；C 项，三角形可利用SSS 证明两个三角形全等，故正确；D 项，不能用面积和一边对应相等来判断三角形全等，故错误.故选C.2.【解析】选B.由DA=BC ，CD=AB ，AC=CA 得△ADC ≌△CBA ；由DA=BC ，AE=CF ，DE=BF ，得△ADE ≌△CBF ；因为AE=CF ，所以AF=CE ，又由于BF=DE ，AB=CD ，所以△ABF ≌△CDE.3.【解析】选C.由题意知，m ，n 应满足：{3m −n =12,2m +n =13或{3m −n =13,2m +n =12, 分别解得{m =5n =3或{m =5n =2， 所以mn=15或10.4.【解析】因为AB=AD(已知)，AC=AC(公共边)，要利用“SSS ”判定△ABC ≌△ADC ，可添加条件CB=CD.答案：CB=CD5.【解析】在△ABC 和△ADC 中，AB=AD ，CB=CD ，AC=AC ，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠D=∠B=30°，∠BAC=∠DAC=23°，所以∠ACD=180°-∠D-∠DAC=180°-30°-23°=127°.答案：127°6.【解析】如图，根据网格结构可知，在△ABC 与△EDA 中，{AB =ED,BC =DA,AC =EA,所以△ABC ≌△EDA(SSS)，所以∠1=∠DAE ，所以∠1+∠3=∠DAE+∠3=90°.又因为AD=DF ，AD ⊥DF ，所以△ADF 是等腰直角三角形，所以∠2=45°，所以∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.答案：1357.【解析】在△ABD 和△ACE 中，因为AB=AC ，AD=AE ，BD=CE ，所以△ABD ≌△ACE(SSS)，所以∠BAD=∠CAE ，所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ，即∠BAC=∠DAE.8.【解析】(1)连接AD ，因为{ AB =DC(已知),DB =AC(已知),AD =AD(公共边),所以△ABD≌△DCA(SSS)，所以∠ABD=∠DCA(全等三角形的对应角相等).(2)作辅助线的意图：构造全等三角形.9.【解析】能，如图所示，用绳子的一定长度在AM和AN上截取AB=AC，再选取适当长度(不小于BC)的绳子，将其对折，得绳子的中点D点，把绳子确定的端点固定在B，C两点，拽住绳子的中点D，向外拉直BD和CD，确定出D点在板材上的位置，过A，D两点画射线AD，则AD平分∠MAN.理由如下：在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠MAD=∠NAD.初中数学试卷。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第一章 三角形5 利用三角形全等测距离-章节测试习题(2)
章节测试题1.【题文】如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？【答案】（1）DB＝9m；（2）小强从M点到达A点还需要18秒．【分析】（1）首先证明△CAM≌△MBD，可得AM=DB，AC=MB，然后可求出AM 的长，进而可得DB长；（2）利用路程除以速度可得时间．【解答】（1）∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，在△CAM和△MBD中，，∴△CAM≌△MBD（AAS），∴AM=DB，AC=MB，∵AC=3m，∴MB=3m，∵AB=12m，∴AM=9m，∴DB=9m；（2）9÷0.5=18（s）．答：小强从M点到达A点还需要18秒．2.【答题】如图，小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC=AB，则AO、BO、CO、DO应满足下列的条件是（）A. AO=COB. AO=CO且BO=DOC. AC=BDD. BO=DO【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定．【解答】如图，连接CD.AO=CO且BO=DO，（对顶角相等），∴，则DC=AB．选B．3.【答题】如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的A点，然后姿态不变原地转了一个角度，正好看见了他所在的岸上的一块石头B点，他发现看到B点和A点的视角相等，并测量BC=30m，则河宽为______．【答案】30m【分析】本题考查了全等三角形的判定．【解答】由题意得：在和中，，∴，∴，故答案为：30m．4.【题文】如图，AC，BD相交于O，OA=OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD，并说明理由．（你能想出几种添法）【答案】见解答.【分析】本题考查全等三角形的判定.【解答】（答案不唯一）OB=OD．理由：在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD（SAS）．5.【题文】如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，则在同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．【答案】见解答.【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.【解答】一样长．理由：∵太阳光线AC与A'C'是平行的，∴AC∥A'C'．∴∠ACB=∠A'C'B'．由题意得AB=A'B'，∠ABC=∠A'B'C'=90°．在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）．∴BC=B'C'．答：两根木杆在太阳光照射下的影子一样长．6.【答题】如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条．若O是AA′，BB′的中点，AB=9cm，则容器的内径A′B′为（）A. 8cmB. 9cmC. 10cmD. 11cm 【答案】B【分析】【解答】7.【答题】如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D点，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度就能得到AB两点之间的距离．这样测量的依据是（）A. AASB. SSSC. SASD. ASA【答案】C【分析】【解答】8.【题文】例1 泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取线段BD，C是BD的中点．观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，则D，E间的距离即为船离岸的距离AB．请根据图形写出这样做的合理性．【答案】见解答.【分析】测量不能到达或无法直接测量的两点间的距离，一般采用构造全等三角形的方法，把较难测量的距离转化为已知线段或较容易测量的距离，根据全等三角形的对应边相等这一性质，得出要测线段的长．【解答】∵C是BD的中点，∴BC=DC．∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠EDC=90°．在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA）．∴AB=DE．9.【题文】例2 如图1，在池塘岸边A，B两处各有一棵柳树，试设计测量A，B间的距离的方案，并说明理由．【答案】见解答.【分析】通过构造全等三角形的方法测量无法直接达到的两点间的距离，可根据SAS 构造全等三角形，也可根据ASA构造全等三角形．【解答】解法一：如图2，在池塘外找一点C，使C点能直接到达A，B两点．连接AC并延长AC到A′，使A′C=AC，连接BC并延长BC到B′，使B′C＝BC，则A′，B′之间的距离A′B′就是A，B之间的距离．理由：在△ABC和△A′B′C′中，AC＝A′C，∠ACB＝∠A′CB′，BC=B′C，∴△ABC≌△A′B′C（SAS），∴AB=A′B′（全等三角形的对应边相等）．解法二：如图3，在AB的垂线上取C，D两点，使BC=CD，过D点作BD的垂线DF，在DF上找一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则DE的长度就是AB的长度．理由：在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC=90°，BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB=DE（全等三角形的对应边相等）．10.【答题】如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至点D，使CD=CA，连接BC 并延长至点E，使CE=CB，连接ED. 若量出DE＝58m，则AB间的距离为（）A. 29mB. 58mC. 60mD. 116m【答案】B【分析】【解答】11.【答题】如图，要测量河中礁石A到岸边B点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA，可得△A′BC≌△ABC，∴A′B=AB，∴测量A′B的长即可得AB的长．判定图中两个三角形全等的理由是（）A. SASB. ASAC. SSSD. AAS【答案】B【分析】【解答】12.【答题】如图，把等腰直角三角形ABC按如图所示的方式立在桌面上，顶点A在桌面上．若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，垂足之间的距离DE的长为（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 不确定【答案】C【分析】【解答】13.【答题】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是50cm．当小敏从水平位置CD下降40cm时，小明离地面的高度是______cm．【答案】90【分析】【解答】14.【答题】如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向的公路沿线上，BD=1km，DC=1km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km，只有A，B之间隔了一个小湖，无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.4km，BF=0.7km，则斜拉桥的长至少为______km．【答案】0.9【分析】【解答】15.【题文】如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l两侧，测得AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE=10m，BF=3m，求FC的长度．【答案】见解答.【分析】本题考查全等三角形的应用. 【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF．∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC．∵BE=10m，BF=3m，∴FC=10-3-3=4（m）．16.【题文】如图，在新修建的小区中有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一座小凉亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达．要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．【答案】见解答.【分析】本题考查全等三角形的应用.【解答】合适，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B=∠C．∵点M是BC的中点，∴MB=MC．在△MEB与△MFC中，∴△MEB≌△MFC（SAS）．∴ME=MF，∴想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度．17.【题文】如图，课间小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．【答案】见解答.【分析】本题考查全等三角形的应用.【解答】（1）证明：由题意得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠CAD．在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）∵一块砖的厚度为a，∴AD=4a，BE=3a．由（1）得△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，AD=CE=4a，∴DC+CE=BE+AD=7a=35，∴a=5．18.【答题】在实际生活中，有些距离是无法______的，可以通过______，把不能直接到的两点间距离转化为可以直接到达的两点间距离．【答案】【分析】【解答】19.【答题】利用全等测距离的理论依据是______．【答案】【分析】【解答】20.【答题】如图，要测量河两岸相对两点A，B间的距离，先过点B作AB的垂线，在垂线上取两点C，D，使得CD=BC，再过点D作BD的垂线，在这条垂线上取点E，使A，C，E三点在一条直线上．由作法可以证明△EDC≌△ABC，所以ED的长就是A，B两点间的距离．判定△EDC≌△ABC的理由是（）A. SASB. SSSC. ASAD. AAS【答案】C 【分析】【解答】。
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知能提升作业（九）
5 利用三角形全等测距离
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题5分，共15分)
1.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是( )
(A)PO (B)PQ (C)MO (D)MQ
2.如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
(A)边角边(B)角边角(C)边边边(D)角角边
3.如图所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，AB表示一棵塔松，A′B′表示电线杆，BC表示塔松的影长，B′C′表示电线杆的影长，且BC=B′C′，已知电线杆高3米，则塔松高( )
(A)大于3米(B)等于3米
(C)小于3米(D)和影子的长相同
二、填空题(每小题5分，共15分)
4.如图所示，赵刚站在楼顶B处看一烟囱，当看到烟囱顶A时，视线与水平方向成的角是45°，当看到烟囱底部D时，视线与水平方向成的角也是45°，如果楼高15米，那么烟囱高______米.
5.如图所示，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，BD=7cm，则CE=________cm.
6.如图，小明与小敏玩跷跷板游戏.如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是________.
三、解答题(共20分)
7.(9分)“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量得AB=20米，∠DEC= 90°，∠ECD=45°，则该花园面积为多少平方米？
【拓展延伸】
8.(11分)某建筑公司想测出一电视塔EF的高度，如图，
身高 1.65米的公司员工(其眼部的垂直高度刚好 1.60
米)，登上15米的顶楼阳台，他固定自己的站立位置，
看到该电视塔的最高点，此时测出视线的仰角，再转过
角度，用同样大小的角度作为俯角，使视线刚好落在该
员工与电视塔距离相等的另一个建筑物的某一点C上，然后测出与该员工在同一直线上的另一建筑物上的点D到该点C上的距离CD=10米，就可以利用该距离求出该电视塔的高度，你能将其表示出来吗？
答案解析
1.【解析】选B.要想利用△PQO ≌△NMO 求得MN 的长，只需求得线段PQ 的长.
2.【解析】选A.△OAB 与△OA ′B ′中，
因为AO=A ′O ，
∠AOB=∠A ′OB ′，BO=B ′O ，
所以△OAB ≌△OA ′B ′(SAS).
3.【解析】选B.因为太阳光线AC 与A ′C ′是平行的，
所以∠ACB=∠A ′C ′B ′，
又因为塔松与电线杆都垂直于地面.
所以∠ABC=∠A ′B ′C ′.
又因为同一时刻两物体的影长相等，即BC=B ′C ′.
所以△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA)，
所以AB=A ′B ′=3米.
4.【解析】作BC ⊥AD 于C 点，则CD=15米，
∠ACB=∠DCB=90°.
在△ABC 和△DBC 中，
{∠ACB =∠DCB,BC =BC,∠ABC =∠DBC =45°,
所以△ABC ≌△DBC(ASA)，
所以AC=DC=15米.
故AD=AC+CD=30米.
即烟囱高30米.
答案：30
5.【解析】因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAD=∠CAE.
因为AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE=7cm.
答案：7
6.【解析】在△COF和△DOG中，OF=OG，∠COF=∠DOG，∠OCF=∠ODG=90°，所以△COF≌△DOG(AAS)，所以CF=DG=40cm，这时小明离地面50+40=90(cm).
答案：90cm
7.【解析】因为∠DEC=90°，∠ECD=45°，所以∠EDC=45°，所以DE=CE，因为四边形ABCD是直角梯形，
所以AD∥BC，∠A=∠B=90°，
所以∠ADC+∠BCD=180°，
因为∠ECD=∠EDC=45°，
所以∠1+∠3=90°，
因为∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，
所以∠1=∠4，∠2=∠3，
在△ADE 与△BEC 中，∠1=∠4，DE=EC ，∠2=∠3，所以△ADE ≌△BEC ，
所以AD=BE ，AE=BC ，
所以花园面积=12(AD+BC)·AB
=12(BE+AE)·AB=12·AB ·AB
=12×20×20=200(平方米).
8.【解析】由题意得这个人的仰角∠GOF 与俯角∠DOC 相等，所以∠GOF=∠DOC. 又因OG=OD ，∠FGO=∠CDO=90°，
所以△FGO ≌△CDO(ASA).
所以FG=CD ，GE=15+1.60=16.60(米).
又EF=GE+FG=GE+CD=16.60+10=26.6(米)，
电视塔的高度为26.6米.
初中数学试卷
桑水出品。