福建省晋江市2014-2015学年高一数学竞赛试卷

2014年晋江市高一数学竞赛试卷
一、选择题（每小题6分，共36分）
1，已知集合2{|||4},{|650}A x x a B x x x =-<=-+> 若A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ）
A.(1,5)
B.[1,5]
C.(,1)(5,)-∞⋃+∞
D. (,1][5,)-∞⋃+∞
2，下列四个数中最大的一个数是（ ）
A.2(ln 2)
B.ln(ln 2)
C. D. ln 2
3，已知函数()2x f x = 与3()g x x = 的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，其中12x x < 若2(,1)x a a ∈+ ，且a 为整数，则a=( )
A.7
B.8
C.9
D. 10
4,当x 分别取值1111,,,,,1,2,,2005,2006,20072007200620052⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 时，计算代数式2
2
11x x -+ 的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）
A.-1
B.0
C.1
D. 2007
5.方程2(2)50x a x a --+-= 有两个不等实根且两根都大于2，则实数a 的取值范围是（ ）
A.2a <-
B.54a -<<-
C.52a -<<-
D. 44a a ><-或
6.定义全集U 的非空子集P 的特征函数1,()0,p u x P f x x C P ∈⎧=⎨∈⎩
，这里u C P 表示集合P 在全集U 的补集，已知A ，B 均为全集U 的非空子集，给出下列命题：
①若A B ⊆ ，则对于任意x U ∈ ，都有()()A B f x f x ≤
②对于任意的x U ∈都有()1()u C A A f x f x =-
③对于任意的x U ∈都有()()()A B A B f x f x f x ⋂=⋅
④对于任意的x U ∈都有()()()A B A B f x f x f x ⋃=+则正确命题的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个
二、填空题（每小题6分，共36分）
7.已知{1,0,1}{0,1}A ⋂-= ，且{2,0,2
}{2,0,1,2}A ⋃-=-，则满足上述关系的集合A 共有
个。

8.已知()f x 为 R 上的偶函数，且对任意x R ∈ 都有(6)()(3)f x f x f +=+ 成立，则(2013)f =
9.设
x =，a 是x 的小数部分，b 是－x 的小数部分，则333a b ab ++= 10.若不等式2712511()()ax x x ππ
+-+< 对11a -≤≤ 恒成立，则x 的取值范围是 11.方程组9495xy z x yz +=⎧⎨+=⎩
的整数解是
12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：任意x R ∈ 恒有(2)()(1)f x f x f +=- 且当[2,3]x ∈ 时，2()2(3)f x x =-- 若函数()log (1)a y f x x =-+在(0,)+∞上至少有三个零点，则实数a 的取值范围是
三.解答题（第13、14、15、16每题16分，第17题14分，共78分）
13.已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，(0)0f =且方程()f x x =有相等的实数根。

（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若f (x )在区间[2a ,a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数m ,n (m ＜n )使得f (x )的定义域和值域分别是[m ,n ]和[3m ,3n ]，如果存在，求出m ,n 的值，若不存在，说明理由。

14.对于函数f(x)，若f(x)=x ，则称x 为f(x)的“不动点”；若f[f(x)]=x,则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)]=x} （Ⅰ）证明A B ⊆
（Ⅱ）若函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈ 且A={-1,3}时，求集合B 。

15.已知定义在R 上的函数f(x)同时满足下列三个条件：（1）当x>0时，f(x)>0
(2)f(1)=2; (3)对任意121212,,()()()x x R f x x f x f x ∈+=+都有
设集合22{(,)|(3)(4)24},{(,)|()()(3)0}A x y f x f y B x y f x f ay f =+≤=-+= ,若集合A 与B 的交集非空，求实数a 的取值范围。

16.如图，过圆外一点P 作圆的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别交圆于点C ，D ，过点B 作PA 的平行线分别交直线AC,AD 于点E ，F 。

求证BE=BF 。

17.已知m ,n 均为正整数，且m ＞n ，2220132014m m n n +=+ ，问m －n 是否为完全平方数？并证明你的结论。

D E。