函数的简单性质
函数的简单性质-单调性
求最值
求函数最大值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最大值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最小值。
求函数最小值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最小值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最大值。
对于函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$，其导数为$f'(x) = 3x^{2} - 6x$。要使$f(x)$在区间$( - infty,a)$上是 增函数，需要满足$f'(x) > 0$，即$3x^{2} - 6x > 0$， 解得$x < 0$或$x > 2$。因此，当$a < 0$或$a > 2$ 时，函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$在区间$( infty,a)$上是增函数。
反例应用
在研究经济发展时，需要考虑到各种因素对经济的影响，包括政策、技术、人口等。通过 找到单调性的反例，可以更全面地了解经济发展的实际情况，为政策制定提供更有针对性 的建议。
06 习题与解答
习题
判断函数$f(x) = x^{2} - 2x$在 区间$( - infty,a)$上是减函数的
条件是什么？
单调性与奇偶性的关系
总结词
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，而单调性是指函数值随自变量变化的 趋势。虽然奇偶性和单调性是函数的两种不同性质，但它们之间也存在一定的关系。例 如，奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，因此奇函数在对称轴两侧的单调性是一致
的。
详细描述
对于奇函数，如果它在某个区间内单调递增，那么它在该区间内关于原点对称的区间内 也单调递增；同样地，如果奇函数在某个区间内单调递减，那么它在该区间内关于原点 对称的区间内也单调递减。而对于偶函数，由于其图像关于y轴对称，因此偶函数在任
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)（一）正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx(k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经它可以看⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 注：y ＝kx+b 中的k ，b 的作用：1、k 决定着直线的变化趋势①k>0直线从左向右是向上的②k<0直线从左向右是向下的2、b决定着直线与y轴的交点位置①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位..轴交点坐标为与（方法：联立方程组求x、y例题：已知两直线y＝x+6与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1≠b2（2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.. （22b c x +的图（1（2）x 的反比例取值范围： ①k≠0;②在一般的情况下,自变量x 的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y 的取值范围也是任意非零实数。
函数的基本性质
函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增；如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。
（3）定量刻画，即定义。
2、判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
与之相等价的定义： ⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。
⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。
如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。
函数的概念 教案
函数的概念教案函数是数学中的一个重要概念，它在数学理论和实际问题中都有着广泛的应用。
本教案将介绍函数的定义、性质以及常见的函数类型。
一、函数的定义函数是一个将每个元素都从一个集合（称为定义域）映射到另一个集合（称为值域）的规则。
简单来说，函数就是根据输入值得到输出值的过程。
记作：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
f(x)表示函数f对x 的输出值。
二、函数的性质1. 定义域与值域：- 定义域是函数f中所有可能的输入值x的集合。
- 值域是函数f中所有可能的输出值y的集合。
2. 一一对应关系：- 函数f的每个输入对应唯一一个输出，即不同的输入得到不同的输出。
- 一个输出可能对应多个不同的输入（但不可逆）。
3. 符号化表示：- 对于给定的函数，可以通过数学符号来表示，如多项式函数、三角函数等。
三、常见的函数类型1. 线性函数：- 定义：一个函数是线性的，当且仅当它可表示为f(x) = ax + b的形式，其中a和b是常数。
- 例子：y = 2x + 3，y = -0.5x + 1等。
2. 幂函数：- 定义：一个函数是幂函数，当且仅当它可表示为f(x) = ax^b的形式，其中a和b是常数。
- 例子：y = 2x^3，y = 0.5x^2等。
3. 指数函数：- 定义：一个函数是指数函数，当且仅当它可表示为f(x) = a^x的形式，其中a是常数。
- 例子：y = 2^x，y = 0.5^x等。
4. 对数函数：- 定义：一个函数是对数函数，当且仅当它可表示为f(x) = loga(x)的形式，其中a是常数。
- 例子：y = log2(x)，y = log10(x)等。
四、总结函数是数学中的一个重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。
我们可以通过函数来解决各种实际问题，并且函数具有很多有用的性质和种类。
熟练掌握函数的概念和常见类型，有助于我们加深对数学的理解，并能更好地应用函数的知识解决实际问题。
小学数学知识归纳认识简单的函数和函数的性质
小学数学知识归纳认识简单的函数和函数的性质小学数学知识归纳：认识简单的函数和函数的性质函数是数学中的重要概念，它在解决实际问题和数学推理中具有重要作用。
在小学数学中，我们开始认识简单的函数和函数的性质。
本文将简要介绍小学阶段数学中与函数相关的知识点，以帮助学生对函数的理解和运用。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素对应起来。
在数学表示中，可以用两个小括号表示函数，例如：f(x)。
其中，f代表函数名，x代表自变量，f(x)代表因变量。
二、函数的性质函数具有以下重要的性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量取值的范围，即函数能接受哪些输入；值域是函数的所有可能输出值的范围。
通过定义和观察函数的定义域和值域，可以帮助我们理解函数的特点和运用。
2. 单调性：函数的单调性指函数的增减趋势。
当函数随着自变量的增大而增大时，我们称之为递增函数；当函数随着自变量的增大而减小时，我们称之为递减函数。
通过观察函数的单调性，我们可以推断函数的图像和性质。
3. 奇偶性：函数的奇偶性可以根据函数关系式的对称性来确定。
当函数关系式中只包含偶次幂项（如x²）时，函数是偶函数；当函数关系式中只包含奇次幂项（如x³）时，函数是奇函数。
了解函数的奇偶性有助于简化计算和推算。
4. 对称性：函数的对称性指函数图像关于某条直线或某个点的对称性。
常见的对称包括x轴对称、y轴对称和原点对称。
通过观察函数的对称性，我们可以推断出函数的性质并简化计算。
5. 零点和极值：函数的零点是使得函数值为零的自变量取值，也就是函数图像与x轴相交的点。
函数的极值指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
通过求解函数的零点和极值，可以帮助我们揭示函数的特点和应用。
三、函数的实际运用函数作为一种数学工具，在实际生活和其他学科中具有广泛的应用。
以下是小学阶段常见的函数的实际运用：1. 函数图像的解读：通过观察函数图像，我们可以了解到函数的单调性、奇偶性、对称性等性质，进而推断函数的特点和应用。
常见函数的图像和性质
常见函数的图像和性质函数是高中数学学习中不可避免的部分，常见函数有一些图像和性质。
本文将介绍常见函数的图像和性质，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数。
线性函数是最基本的函数之一，也是最容易理解的函数之一。
线性函数的一般式是y = kx + b，其中k和b是常数，x和y表示函数的自变量和因变量。
线性函数的图像是一条直线，斜率k和截距b决定了直线的位置和倾斜程度。
当k>0时，函数是单调递增的，当k<0时，函数是单调递减的。
斜率越大，直线越陡峭，斜率越小，直线越平缓。
截距决定直线和y轴的交点。
当b>0时，直线在y轴上方，当b<0时，直线在y轴下方，当b=0时，直线经过原点。
线性函数的性质是简单的，任何两个不同的点都能确定一条直线，而且任何一条直线都可以写成y = kx + b的形式。
二次函数是另一个基本函数，一般式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数图像的性质和线性函数有所不同，首先，二次函数不是单调函数，也就是说，它有一个最值点，最值点的坐标为（-b/2a，c-b^2/4a）。
第二，二次函数图像的对称轴是一个垂直于x轴的线，它的坐标是x = -b/2a。
第三，二次函数图像上任何一条水平线和抛物线只有一个交点，因此，二次函数也称为单峰函数。
指数函数是一种以底数为e的指数型函数，一般式是y = a^x，其中a是正常数。
指数函数的图像呈现出一种快速增长或快速衰减的趋势，指数函数的性质是独特的。
当a>1时，指数函数单调递增，当0<a<1时，指数函数单调递减，当a=1时，指数函数恒等于1。
指数函数图像的特点是固定的x值下y值呈指数型增长或衰减，在坐标系中的图像表现出“指数型曲线”。
函数的定义和性质
函数的定义和性质函数表示每个输入值对应唯独输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f。
数学的函数的性质定义是学考情形的基础考点。
下面是作者给大家带来的数学函数的定义和性质，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!初中数学知识点：函数定义和性质1、变量：在一个变化进程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化进程中只能取同一数值的量。
2、函数：一样的，在一个变化进程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个肯定的值，y都有唯独肯定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
判定Y是否为X的函数，只要看X取值肯定的时候，Y是否有唯独肯定的值与之对应3、定义域：一样的，一个函数的自变量答应取值的范畴，叫做这个函数的定义域。
4、肯定函数定义域的方法：(1)关系式为整式时，函数定义域为全部实数;(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情形相符合，使之成心义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一样来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.7、描点法画函数图形的一样步骤第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);第三步：连线(依照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反应全部变化进程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
函数的所有性质
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3xy =在)1,1[-上不是奇函数常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且① 总有则称在区间M 上单调递增② 总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二） 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的基本性质练习题1
一、选择题：
1．下面说法正确的选项 （ ）
A ．函数的单调区间可以是函数的定义域
B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2．在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ ）
A ．1=y
B ．21+-=
x
x y C ．122---=x x y D ．21x y += 3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ）
A ．2-≥b
B ．2-≤b
C ．2->b
D ． 2-<b
4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有 （ ） A ．最大值 B.最小值
C.没有最大值
D. 没有最小值 5．函数px x x y +=||，R x ∈是
（ ） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．不具有奇偶函数 D ．与p 有关
6．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ ）
A ．)()(21x f x f <
B ．)()(21x f x f >
C ．)()(21x f x f =
D ．无法确定 7．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是（ ） A ．]8,3[ B ． ]2,7[-- C ．]5,0[ D ．]3,2[-
8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则
（ ） A ．21->k B ．2
1-<k C ．0>b D ．0>b 9．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（ ）
A ．)2()2()3(f f f <<
B ．)2()3()2(f f f <<
C ．)2()2()3(f f f <<
D ．)3()2()2(f f f << 10．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是
（ ） A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+ B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+ D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.
11.函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=
x x x f ，则当0<x ，=)(x f . 12．函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .
13．定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的=和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则)(x f = .
14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，
①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
15．已知]3,1[,)2()(2
-∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 的单调递减区间.
16．判断下列函数的奇偶性 ①x x y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4； ④⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)
0(2)0(0)0(222x x x x x y 。
17．已知8)(32005--+=x
b ax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f .
18．函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上都有意义，且在此区间上
①)(x f 为增函数，0)(>x f ；②)(x g 为减函数，0)(<x g .
判断)()(x g x f 在],[b a 的单调性，并给出证明.
函数的基本性质练习题2
一、选择题
1. 已知函数)127()2()1()(2
2+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）
A.1
B. 2
C.3
D.4
2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A. )2()1()23(f f f <-<- B. )2()23
()1(f f f <-<- C. )23()1()2(-<-<f f f D. )1()2
3()2(-<-<f f f 3. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）
A.增函数且最小值是5-
B.增函数且最大值是5-
C.减函数且最大值是5-
D. 减函数且最小值是5-
4. 设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数
5. 下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A. x y = B. x y -=3 C. x
y 1= D. 42+-=x y 6. 函数)11()(+--=x x x x f 是（ ）
A. 是奇函数又是减函数
B.是奇函数但不是减函数
C.是减函数但不是奇函数
D.不是奇函数也不是减函数
二、填空题
1. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时，)(x f 的图象如图,则不等式
()0f x <的解是
2. 函数2y x =+________________.
3. 已知[0,1]x ∈，则函数y =的值域是 .
4. 若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 .
5. 下列四个命题
（1）()f x =有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射;
（3）函数2()y x x N =∈的图象是一直线；（4）函数22,0,0
x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的图象是抛物线， 其中正确的命题个数是____________.
三、解答题
1. 判断一次函数,b kx y +=反比例函数x k y =
，二次函数c bx ax y ++=2的单调性.
2. 已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：
（1）()f x 是奇函数；
（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2
(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围.
3. 利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域；
4. 已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-. ① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数.。