广西柳州铁路第一中学高考适应性考试(五)数学(理)试题

柳州铁一中学高2013级高考适应性考试数学测试（五）（理科）
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{11
}A x x =-≤≤，2
{20}B x x x =-≤，则A B = （ ）
（A ） [1,0]- （B ） ]2,1[ （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞+∞ 2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则
2
2z z
+=（ ） （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -- （D ）1i -+
3. 已知a =1,b =2，且a )(b a
-⊥，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）
（A ）
6π （B ）4π （C ） 3
π
（D ）23π
4. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（ ）
（A ）
1
2
（B ）1 （C （D ）2
5. 已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数
2
()(2)f x a x b
=-+为增函数的概率是（ ） （A ）
25 （B ）35 （C ）12 （D ）3
10
6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为
11
12
，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤ 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多
面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
（A ）
323 （B ）64 （C ）3
（D ） 643
8. 已知直线(1)
y x =-与抛物线:C x y 42
=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅，则实数=m （ ）
（A
（B
）
2
（C ）21 （D
）0
9. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：① 对任意的
[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有
12
1
()()
()f x x f
x f x +
≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（ ）
（A ）2()f x x = （B ）()21x f x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+
10. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
，则当xy 取得最大值时，点P
的坐标是（ ）
（A ）(4,2) （B ）(2,2) （C ）(2,6) （D ）5(,5)2
11. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
与函数0)y x =≥的图象交于点P .
若函数
y P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）
（A
）
1
2 （B ）
22 （C
）1
2
（D ）
3
2
12. 若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是
（ ） （A ）
14 （B ）1 （C ）2 （D ）12
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.
函数1sin 2y x x
=
+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________． 14. 6
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为 ．
15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f = ，则不等式
(2)0f x -≥的解集是 ．
16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为
R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 ．
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．(本题满分12分) 已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足
2
221
n n n S a S =-(2)n ≥.
(Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列；(Ⅱ) 证明：当2n ≥时，1231113
...232n S S S S n ++++<
18．(本题满分12分)
某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
(Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？
(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点,E F分别为AB和PD中点.
(Ⅰ)求证：直线AF//平面PEC；(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值
20. （本小题满分12分）已知椭圆22
22:1x y C a b
+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的
左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过焦点F 斜率为k （0>k ）的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于D 点. 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数2
()(21)ln f x x a x a x =-++. （1） 求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值；
（2）设()(1)g x a x =-，其中01a <<，判断方程()()f x g x =在区间[1,]e 上的解的个数（其中e 为无理数，约等于 2.7182且有2
21e e e ->-）.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.。