(完整版)函数的基本性质详细知识点及题型分类(含课后作业)
函数的基本概念与性质知识点总结
函数的基本概念与性质知识点总结函数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域。
了解函数的基本概念和性质对于理解和应用数学具有重要意义。
本文将对函数的基本概念和性质进行总结。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在函数中，称第一个集合为定义域，第二个集合为值域。
用符号表示函数为：f：X→Y，其中 f 表示函数名，X 表示定义域，Y 表示值域。
1.1 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的变量所能取到的值的集合。
值域是函数输出的变量所能取到的值的集合。
1.2 自变量和因变量在函数中，自变量是函数的输入变量，而因变量则是函数的输出变量。
1.3 函数图像函数的图像是函数在坐标平面上的表示，自变量作为 x 轴的取值，因变量作为y 轴的取值，函数图像表示了自变量和因变量之间的关系。
二、函数的性质函数具有许多重要性质，下面将对其中几个重要的性质进行介绍。
2.1 单调性函数的单调性描述了函数的增减特性。
当自变量增大时，如果函数值也增大，则函数是递增的；当自变量增大时，函数值减小，则函数是递减的。
2.2 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
如果函数满足 f(-x) =f(x)，则函数是偶函数；如果函数满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
2.3 周期性函数的周期性意味着函数在某个特定的区间内具有重复的模式。
如果存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x + T) = f(x)，则函数具有周期性。
2.4 极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于的稳定值。
极限有左极限和右极限之分。
2.5 连续性函数的连续性描述了函数图像的连贯性。
如果函数在某个区间内的每个点都存在极限，且极限与函数值相等，则函数是连续的。
三、小结函数是数学中的重要概念，理解函数的基本概念和性质对于学习和应用数学具有重要意义。
本文对函数的基本概念和性质进行了总结，包括函数的定义域和值域、自变量和因变量、函数图像等。
《函数的基本性质》知识总结大全
《函数的基本性质》知识总结大全沛县第二中学数学组张驰1. 单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I A .如果对于区间I内的_______ 两个值X i , X2 ,当X i<X2时，都有f(x i) ________ f(X2), 那么y =f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y = f X的单调____________ 区间•如果对于区间I内的_________ 两个值X i , X2，当X i<X2时，都有f (X i) ______ f(X2),那么y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y f (x)的单调_______ 区间.如果函数y = f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么函数y = f (x)在区间I上具有___________ .点评单调性的等价定义：① f (x)在区间M上是增函数二_x i,x^ M ,当％：：：x2时，有f(X i) - f(X2)：：0二(％_x2) [ f (Xj) _ f (x2)] 0 f (Xi)——f (X2)• 0 二― 0 ；% - x2A x②f (x)在区间M上是减函数=■ X i,x^ M ,当X i ：：：X2时，有f(X i) - f(X2)0 二(% _x2) [ f (xj 一 f (x2)] ：：0= f (Xi)__f (X2)::: 0：= —y：：：0 ;X r —X2A x⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法 (用于小题)，⑥结论法等.注意：①定义法(取值一一作差一一变形一一定号一一结论) ：设X i, X2 • [a, b]且X i -X2，那么化-x2) [f (xj - f (x2)] • 0：= f (Xi)一f(X2)0= f (x)在区间[a，b]上是增X r _ X2函数；(％ -x2) [ f (xj - f (x2)] ：：0 = f (Xi)—：：0 f (x)在区间[a，b]X i —X2上是减函数。
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《函数的基本性质》知识总结大全沛县第二中学数学组 张驰1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的______两()y f x =A I A ⊆I 个值，，当<时，都有_____，那么在区间上是单调增1x 2x 1x 2x 1()f x 2()f x ()y f x =I 函数，称为的单调_____区间. 如果对于区间内的______两个值，，当I ()y f x =I 1x 2x <时，都有_____，那么在区间上是单调减函数，称为1x 2x 1()f x 2()f x ()y f x =I I 的单调_____区间.如果函数在区间上是单调增函数或单调减函数，()y f x =()y f x =I 那么函数在区间上具有________.()y f x =I 点评 单调性的等价定义：①在区间上是增函数当时，有)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <0)()(21<-x f x f ；0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ②在区间上是减函数当时，有)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <0)()(21>-x f x f ；0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设且，12[]x x a b ∈，，12x x ≠那么在区间上是增函0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔],[b a 数；在区间上是减函0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔],[b a 数。
高中数学 必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：（1）对映射定义的理解。
（2）判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11-x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.2、函数。
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f 例6 设)(x f 为偶函数，)(xg 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
2021年超详细函数的基本性质重点知识点超详细归纳总结(精华版)
函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f (－x)=－f(x)，则称 f (x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则 f (x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f( x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f (x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0 ，则f(x)是偶函数；若f(－x) = －f( x) 或f(－x)＋f(x) = 0 ，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；f (x) ，g(x) 的定义域分别是②设D1, D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)< f(x2)（f( x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D 上1是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间 D 内的任意两个自变量x，x2；当x1<x2 时，总有f( x1)<f (x2)。
高一数学《函数的基本性质》知识点及对应练习(详细答案)
函数的基本性质一、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．概念重点疑点：对于定义域中任何x，都有唯一确定的y=f（x）与x相对应。
即在直角坐标系中的图像，对于任意一条x=a（a是函数的定义域）的直线与函数y=f（x）只有一个交点；例1、下列对应关系中，x为定义域，y为值域，不是函数的是（）A.y=x²+x³B.y=C.|y|=xD.y=8x解：对于|y|=x，对于任意非零x，都有两个y与x对应，所以|y|=x不是函数。
图像如下图，x=2的直线与|y|=x的图像有两个交点。
故答案选C例2、下列图象中表示函数图象的是（）解析：对于任意x=a的直线，只有C选项的图形与x=a的直线只有一个交点，即对于定义域中任何x，都有唯一确定的y=f（x）与x相对应。
故选C。
注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
2021年超详细函数及其基本性质重点知识点超详细归纳总结(精华版)
〖 1.2 〗函数及其表示【 1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念①设 A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，那么这样的对应 （包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数， 记作 f : AB ．②函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （ 2）区间的概念及表示法①设 a, b 是两个实数，且a b ，满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 [ a,b] ； 满足a xb 的实数 x 的集合叫做开区间，记做 (a,b) ； 满足 a x b ，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[ a,b) ， (a, b] ； x 满 足 x,a x , a x,的b 实x 数b的 集 合 分 别 记 做[ a,),( a,),(, b],(, b) ．注意： 对于集合 b} 与区间 (a, b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后 { x | a x a b ． 者必须 （ 3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① f ( x) 是整式时，定义域是全体实数．② f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③ f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1． ⑤ y tanx 中， (k Z ) ．x k2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若(x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一f般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f (x) 的定义域为[ a, b] ，其复合函数 f [ g( x)] 的定义域应由不等式a g (x) b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f ( x) 可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程20 ，则在a( y) 0时，由于x, y 为实数，故必须a( y) x b( y) x c( y)有24a( y) c( y) 0 ，从而确定函数的值域或最值．b ( y)④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ，f ）叫做集合 A 到B 的映射，记作 f : A B ．B 以及A到B 的对应法则B ．如果元素 a 和元素 b 对应， ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且a A,b 那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象．〖1.3 〗函数的基本性质【 1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 如果对于属于定义域 （1）利用定义 I 内某个区间上的任（2）利用已知函 数的单调性（3）利用函数图 象（在某个区间 图象上升为增） （4）利用复合函 数（1）利用定义 （2）利用已知函 数的单调性（3）利用函数图 象（在某个区间 y y=f(X)意两个自变量的值 x 1 、 f(x 2 )x 2, 当 x ．1．<．x ．2．时，都有 f ．(x ．．1．)．<．f ．(x ．．2．)．，那么就 说 f(x) 在这个区间上 是增．函．数．． 如果对于属于定义域 f(x 1 )oxx 1 x 2函数的单调性I 内某个区间上的任yy=f(X)意两个自变量的值 x 1 、 f(x )x 2，当 x ．1．<．x ．2．时，都有 f ．(x ．．1．)．>．f ．(x ．．2．)．，那么就 说 f(x) 在这个区间上 是减．函．数．． 1f(x 2)图象下降为减） （4）利用复合函 数oxx1x2②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数 y f [ g( x)] ，令 u g (x) ，若 yf (u) 为增， u g( x) 为增，则 yf [g (x)] 为增；若 y f (u) 为减， u g( x) 为减，则 yf [ g( x)] 为增；若yf (u) 为增， u g( x) 为减，则 yf [ g( x)] 为减；若 yf (u) 为减，y u g ( x) 为增，则y f [ g (x)] 为减．a (a x（ 2）打“√”函数 0) 的图象与性质(x ) f x f (x) 分别在 ( ,a ] 、 [ a ,) 上为增函数，ox分别在[ a, 0) 、 (0, a] 上为减函数．（ 3）最大（小）值定义①一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的 x I ，都有 f ( x) M ； （2）存在 x 0I ，使得 f ( x 0 ) M ．那么，我们称 是函数 f (x) 的最大值，记作 M ． M f max ( x) ②一般地，设函数 yf ( x) 的定义域为 ，如果存在实数 I m 满足：（ 1）对于任意的 x I ，都有 f ( x) m ；（2）存在 x 0I ，使得 m ．那么，我们f ( x 0 ) 称m 是函数 f ( x) 的最小值，记作 f max (x) m ． 【1.3.2 】奇偶性（ 4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的性 质定义图象 判定方法 如果对于函数 f(x) 定 （ 1 ） 利 用 定 义（要先判断定义 域是否关于原点 对称） （ 2 ） 利 用 图 象 （图象关于原点 对称） （ 1 ） 利 用 定 义 （要先判断定义 域是否关于原点 对称） （ 2 ） 利 用 图 象 义域内任意一个 x ，都有 ．f ．( －．x ．．)=．－．f ．(x ．)．．,那 么函数 数．． f(x) 叫做 奇．函． 函数的奇偶性如果对于函数 f(x) 定 义域内任意一个 x ，都有 ．f ．( －．x ．．)=．f ．(x ．)．．, 那 么 函 数 数．． f(x) 叫 做 偶．函． （图象关于 对称）y 轴 ②若函数 f (x) 为奇函数，且在 x 0 处有定义，则 0 ．f (0) ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同， 偶函数在 y 轴两侧相对称的区间 增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函 数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函 数的积（或商）是奇函数．高考《函数及其基本性质》考点解析考点一：函数定义域x 2 x21、函数 y1 1 的定义域是（）A. 1,1B. ( -1 , 1 )C. [ -1 , 1 ]D. (- ∞,-1 ) ∪( 1 ,+ ∞ ) 1 2 1 x2、 y2 x 3x考点二：函数值域1、① y 3x 1 ， x ∈{1 ， 2 ,3 ， 4， 5 } (观察法 )x2：形如 y ax 2② ，x ∈ 1,5 ( 配方法 ) y4 x 6 bx c ③ y 2 x x 1( 换元法：形如 y ax b cx d )x x 1cx ax d bb 1x b 2 x ④ y ( 分离常数法 ：形如 y)22a 1x a 2 x c 1c 2x 2 ⑤ ( 判别式法 ：形如 y ) y2x1x 2x 2 x 2, x x 2, x g( x)g(x)x 2 f (x) ，则 f (x) 的值域是 2、设函数 g( x) R) ， 2( x 9 , 49,0 49,0 4（ A ）) （B ） [0,（C ）[ ) （D ）(1,) (2,)考点三：分段函数5x 3x 1 x x 00 1、已知函数f x，求 f （1）+f （ 1）的值2 f x 2x 2x 2x 1 x 11f x2、已知函数x 1，求 f [f （ 4 ）]的值3x 2, x ax, x 1, 1,若 f ( f (0)) 4 a ，则实数 a ＝.3、已知函数 f (x)2x2x1, x x 02f (1 x )f ( x)4、已知函数 ,则满足不等式 f (2 x)的 x 的范围是 _ _ 1, 考点四：函数单调性（最值） 、函数奇偶性x 2 1. 如果函数 2 在区间 , 4] 上是减函数，那么实数 a 的取f (x) 2(a 1)x (值范围是.1( ,1) 上是增函数， 22x 2. 如果二次函数 f (2) 的取值范5 在区间 f ( x) ( a 1) x 围 .1xB 3． （2008 全国Ⅱ）函数 f ( x) x 的图像关于（） A ． y 轴对称 ． 直线 yx 对称C ． 坐标原点对称D ． 直线 y x 对称x24．二次函数 1 是偶函数，则函数的增区间为 （ ）ymx A ．[0, )B ．( ,0]C ． [1, )D．[ 1,)5. 下列函数中 , 是奇函数且在 (0,) 上为增函数的是 ()1 x 1 1x 3x3A ． y B． y xC ． y x D． x yxx x a6．（ 2007 年宁夏）设函数 为奇函数， 则实数 a．f x xx 1,x 07．若函数 为偶函数，则 f ( a b)．f ( x )ax b, x 08．已知偶函数 f (x) 在 (0, ) 上为增函数， 且 f (2)0 ，解不等式： f (2 x 3) 0 ．f ( x) 在(0， 9． 设奇函数 ) 上为增函数，且 f (1) 0 ，则 f (x ) 0 的解集为（ ）A ．(1, ) B ． (, 1)(0,1)C ． ( , 1)D ． (1,) (, 1)10．设偶函数 f ( x) 在[ 0, ) 上为减函数，则不等式 f ( x) f (2 x 1)的解集是x2在区间 [2 ，3] 上的最大值为x11．函数 f (x) ．。
《函数的基本性质》知识点总结(一)
对于二次函数
求函数的类型）：如二 一般式： 次函数 顶点式： 两点式： f ( x ) ax
2
bx c
2
要注意解析式
；
f (x) a(x m ) n
类型的选择。
f ( x ) a ( x x 1 )( x x 2 )
a 0 , b 0 一次函数； a 0 二次函数。
2 2
注： 对于 y ax
2
bx c 未指明 a 0，则需分类讨论：
判断是否同一函数的方
法（三要素完全相同） 见）； x 的函数值）是否相同。
：
● 1）定义域是否相同（常
2）对应法则（或同一
f ( x ) 及另外一个函数的等式
得到关于
对等式赋值
f ( x ) 及另外一个函数的方程
组
注： 配凑法中：利用如
1 1 2 2 x 2 (x ) 2 x x 1 1 2 2 x 4 (x 2 ) 2 4 x x
函 数 的 运 算
注：圆不是函数、 x
（ y 轴）不是函数。 0
y a 是函数。
●求定义域： 1）
f ( x ) 是整式： x R
；
2） 分母 0 ； 4） y x ( x 0 ) ；
0
3） x 0 (偶次方根)； 5）分段函数的定义域为各分段区间的并集；
6）由几个函数作加、减、乘运算得到的函数的定义域为原来各函数定义域的交集； 7）求复合函数抽象函数的定义域：
2
8 x k 6的定义域为
R ，求实数
k 的取值范围。（
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《函数的基本性质》专题复习（一）函数的单调性与最值★知识梳理一、函数的单调性1、定义：设函数的定义域为，区间如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。
2、单调性的简单性质：①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
3、判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
★热点考点题型探析 考点1 判断函数的单调性【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1f x x =-在区间（1，+∞）上的单调性.【巩固练习】证明：函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调递减.)(x f y =A A I ⊆I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =考点2 求函数的单调区间1.指出下列函数的单调区间：（1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++.2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围.【巩固练习】1．函数26y x x =-的减区间是（ ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.A. y =－x +1B. yC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.二、函数的最大（小）值：1、定义：设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的 ；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的 。
2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )； 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；考点3 函数的最值【例】求函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值和最小值：【巩固练习】1．函数42y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是___________.2. 23()1,[0,]2f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ ）.A. 有最大值34，但无最小值B. 有最小值34，有最大值1C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值4. 已知函数322+-=x x y 在区间],0[m 上有最大值3,最小值2,求m 的取值范围.3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y =(二)函数的奇偶性★知识梳理 函数的奇偶性1、定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。
2、函数奇偶性的性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇±奇=奇， 偶±偶=偶，奇±偶=非奇非偶，奇⨯奇=偶，奇÷奇=偶， 偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶， 奇×偶=奇，奇÷偶=奇 非零常数×奇=奇， 非零常数×偶=偶。
3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
★热点考点题型探析 考点1 判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.考点2 函数的奇偶性综合应用【例1】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .)(x f x )()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f )(x f )(x f x )()(x f x f =-0)()(=--x f x f )(x f y【例2】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【例3】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数。
试判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并给予证明。
【巩固练习】1．函数(||1)y x x =- (|x |≤3)的奇偶性是（ ）.A ．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数2.若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）. A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1 C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－13.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．；B ．；C ．；D ．4. 设是上的奇函数，，当时，，则为5．已知53()8f x x ax bx =++-，(2)10f -=，则(2)f = .6.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-。
求函数()f x 的解析式。
()f x (,1)-∞-3()(1)(2)2f f f -<-<3(1)()(2)2f f f -<-<3(2)(1)()2f f f <-<-3(2)()(1)2f f f <-<-)(x f ),(+∞-∞0)()2(=++x f x f 10≤≤x x x f =)()5.7(f课后练习一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．下面说法正确的选项（ ） A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间上为增函数的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．函数是单调函数时，的取值范围（ ） A ．B ．C ．D ．4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值 5．函数，是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．不具有奇偶函数D ．与有关6．函数在和都是增函数，若，且那么（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定7．函数在区间是增函数，则的递增区间是（ ） A ． B ．C ．D ．8．函数在实数集上是增函数，则 （ ）A ．21->kB ．21-<k C ． D ．9．定义在R 上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 11．函数在R 上为奇函数，且，则当，. 12．函数，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .13．定义在R 上的函数（已知）可用的=和来表示，且为奇函数，为偶函数，则= .14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）已知，求函数得单调递减区间.16．（12分）判断下列函数的奇偶性 ①； ②；③；17．（12分）已知8)(52017--+=xbax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f .18．（12分））函数)(),(x g x f 在区间[]b a ,上都有意义，且在此区间上①为增函数，；②为减函数，.判断)()(x g x f 在[]b a ,的单调性，并给出证明.19．（14分）在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。
生产x 台的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位元），其成本函数为4000500)(+=x x C （单位元），利润的等于收入与成本之差。