07刚体力学

2

mr /m
i i
2

rc r dm / dm
t
2

( 30001200) 2 / 60 12
15.7rad / s 2 26.39 10 2 rad
求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。 ⒉刚体对轴的转动惯量 定义： I
0 2
7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔 t 内的角位移为
p mv c
F ma c
at bt 3 ct 4 ( : rad , t : s) 。求 t 时刻的角速度和角加速度。
解：
d dt
⒋刚体对轴的角动量和转动定理
a 3bt 2 4ct 3
v x R 2.78 0.1 0.278m / s v y 0 a x R 2.0 0.1 0.2 m / s 2 a y 2 R 2.78 2 0.1 0.77 m / s 2
7.1.5 钢制炉门由两个各长 1.5m 的平行臂 AB 和 CD 支承，以角速率ω=10rad/s 逆时针转 动，求臂与铅直成 45º时门中心 G 的速度和加 B 速度。 解：因炉门在铅直面内作平动，所以门中 心 G 的速度、加速度与 B 点或 D 点相同，而 B、 D 两点作匀速圆周运动,因此 A D · G C
v' r
2000 2 60
1.5 314m / s
v G v B AB 10 1.5 15m / s ，方向指向右下方，与水
平方向成 45º；
⑵桨尖相对地面的速度： v v 'v机地 ，飞机相对地面的速度与 螺旋桨相对飞机的速度总是垂直的， v 机地 所以， v
第 7 章刚体力学习题解答
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第 7 章刚体力学习题解答
第七章基本知识小结 ⒈刚体的质心 定义： rc
7.1.2 汽车 发 动 机 的 转 速 在 12s 内由 1200rev/min 增加 到 3000rev/min. ⑴假设转动是匀加速转动， 求角加速度。 ⑵在此时间内 ， 发动机转了多少转？ 解：⑴ ⑵
⑵ 0 (1 h ) 0 (1 L
Lx L

x dx L
3
3 4
证明：⑴取图示坐标，在坐标 x 处取一线元， dm 对 y 轴的转动惯量为： dI
m l
m l
dx ，它
x
x 2 dx ，
-l/2
3 3
y dx
)
0 L
x
整个细杆对 y 轴的转动惯量：
l /2

d dt
6bt 12ct 2
L I
I
E p mgyc

⒌刚体的转动动能和重力势能
2 Ek 1 2 I
⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动 动力学方程：
F ma
c
2 1 2 2
c
I c c
7.1.4 半径为 0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建 立 o-xy 坐标系，原点在轴上， x 和 y 轴沿水平和铅直向上的方向。 边缘上一点 A 当 t=0 时恰好在 x 轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t2 (θ:rad,t:s)。⑴t=0 时，⑵自 t=0 开始转 45º时，⑶转过 90º时，A 点 的速度和加速度在 x 和 y 轴上的投影。 y A 解： ddt 1.2 2t ddt 2.0 o x ⑴t=0 时， 1.2, v x 0
l/2
总质量： m
dm
4 4 L
0 a L3
2

L
0
x dx 0 a L
1 4 4 5
3
2
I
m l
x
l / 2
2
dx
m 3l
x 3 |l/l 2/ 2
m 3l
( l8 l8 )
1 12
ml 2
R
xdm 质心： x c dm

L
⑵在坐标 x 处取细杆状质元，
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第 7 章刚体力学习题解答
7.1.8 桑塔纳汽车时速为 166km/h，车轮滚动半径为 0.26m ，发 动机转速与驱动轮转速比为 0.909, 问发动机转速为每分多少转？ 解：设车轮半径为 R=0.26m，发动机转速为 n1, 驱动轮转速为 n2 , 汽车速度为 v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘 的线速度， v 2 Rn 2 2 Rn1 / 0.909 ，所以：
1 12
ml 2 ；⑵用积分法证明：质量
为 m 半径为 R 的匀质薄圆盘对通过中心且在盘面内的轴线的转动惯 量等于 1 mR2 4
dm
a 2 L2Fra bibliotekL0
x 2 dx 1 a 2 L 3
L 3 3 L 0
xdm a 2 x 3dx / L2 质心： x c dm a 2 L / 3
⑵θ=π/4 时, 由θ=1.2t+t2, 求得 t=0.47s, ∴ω=1.2+2t=2.14rad/s
F 0 ， 对任意轴
0
第 7 章刚体力学习题解答
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第 7 章刚体力学习题解答
v x R cos 45 2.14 0.1 2 / 2 0.15m / s v y R sin 45 2.14 0.1 2 / 2 0.15m / s a x R cos 45 2 R cos 45 R cos 45 ( 2 )
22 .5 v v c R 1.2 2 60 12 0.53m / s
负号表示压板挤压作物的速度方向与收割机前进方向相反。 7.1.7 飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为 150cm，发 动机转速 2000rev/min. ⑴桨尖相对于飞机的线速率等于多少？ ⑵若 飞机以 250km/h 的速率飞行，计算桨尖相对地面速度的大小，并定 性说明桨尖的轨迹。 解：⑴桨尖相对飞机的速度：
( R 2 x 2 ) 3 / 2 dx
解：摆对 o 轴的转动惯量 I 等于杆对 o 轴的转动 惯量 Il 加上圆盘对 o 轴的转动惯量 Ir ，即 I=Il +Ir .根据 平行轴定理
2 1 l 2 I l 12 m l l 2 ml ( 2 ) 1 3 mll , 2 2 Ir 1 2 mr r m r ( l r ) I1 ml l2 1 mr r 2 m r ( l r ) 2 3 2 1 4.9 0.92 2 1 24.5 0.08 2 24.5( 0.92 0.08) 2 3 2 26kgm 2
7.1.6 收割机拨禾轮上面通常装 4 到 压板 6 个压板，拨禾轮一边旋转，一边随收割 机前进。压板转到下方才发挥作用，一方 面把农作物压向切割器，一方面把切下来 切割器 的作物铺放在收割台上，因此要求压板运 动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反。 已知 收 割 机 前 进 速率 为 1.2m/s ，拨 禾 轮 直 径 1.5m ，转 速 22rev/min, 求压板运动到最低点挤压作物的速度。 解：拨禾轮的运动是平面运动，其上任一点的速度等于拨禾轮 轮心 C 随收割机前进的平动速度加上拨禾轮绕轮心转动的速度。压 板运动到最低点时，其转动速度方向与收割机前进速度方向相反， 压板相对地面（即农作物）的速度
7.2.3 长度为 L 的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后 放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下。求杆子的上 端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式） 。 解：设杆在 o-xy 平面内运动。因杆 y 在运动过程中，只受竖直向上的支承力和 竖直向下的重力的作用，在水平方向不受 外力作用，∴vcx=0,acx=0 ，即质心 C 无水 平方向的移动，只能逆着 y 轴作加速直线 运动，直到倒在桌面上。 o x 取杆的上端点的坐标为 x,y，匀质杆的质心在其几何中心，由图 示的任一瞬间的几何关系可知：4x2 +y2 =L2 (x≥0,y≥0) 7.3.1 ⑴用积分法证明： 质量为 m 常为 l 的匀质细杆对通过中心 且与杆垂直的轴线的转动惯量等于
0

2 mR 2 3
代入上式： I
2m 3 R2
3 3 R sin ( R sin d )
sin
0
4
d

据三角函数公式： sin 2
1 cos 2 1 cos 2 , cos 2 2 2
7.3.3 在质量为 M， 半径为 R 的匀质圆盘上挖出半径为 r 的两个 圆孔，圆孔中心在半径 R 的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与 盘面垂直的轴线的转动惯量。 解：大圆盘对过圆盘中心 o 且与盘面 R 垂直的轴线（以下简称 o 轴）的转动惯量 r r o 2 为 I 1 2 MR . 由于对称放置，两个小圆 盘对 o 轴的转动惯量相等，设为 I’，圆盘 质量的面密度σ=M/πR 2，根据平行轴定理，
2
（不必考虑惯性力矩） 动能： Ek mvc I c c
1 2
v y R 1.2 0.1 0.12m / s
⒎刚体的平衡方程
a x a n v y / R 0.12 2 / 0.1 0.144 m / s 2 a y a R 2.0 0.1 0.2 m / s 2
0.1
2 2
(2.0 2.14 2 ) 0.465m / s 2
a y R sin 45 2 R sin 45 R sin 45( 2 )
0.1
2 2
(2.0 2.14 2 ) 0.182m / s 2