第三章+刚体力学基础
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第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
第3章例题_刚体力学基础
第7页 共9页
刚体力学基础
解 （1)选小球和棒作为系统 碰撞瞬间角动量守恒
mv0l mvl J
弹性碰撞, 系统碰撞前后动能不变
1 2 1 1 2 mv0 mv J 2 2 2 2
机械能守恒 解得
1 l l 2 J Mg ( cos 60) 2 2 2
3 30 30 1 v0 m s ,v m s 1 4 4
2
第5页 共9页
刚体力学基础
例3-6 有一根长为 l , 质量为m 的均匀细直棒, 棒可绕上端光 滑水平轴在竖直平面内转动. 最初棒静止在水平位置, 求它 由此下摆θ 角时的角速度。
解 选细棒和地球作为系统,机械能守恒
1 1 1 2 Ek J ml 2 2 2 2 3
l E p mghc mg sin 2
第1页 共9页
3g sin l
刚体力学基础
例3-2 质量均为m 的两物体A 和B , A 放在倾角为α 的光滑斜 面上, 通过滑轮由不可伸长的轻绳与B 相连. 定滑轮是半径 为R 的圆盘, 其质量也为m . 物体运动时, 绳与滑轮无相对滑 动. 求绳中张力FT1 和FT2 及物体的加速度a(设轮轴光滑,滑 1 轮转动惯量为 J mR 2
2
' F 解 T 1 mgsin maA mg FT' 2 maB M FT 2 R FT 1R J a A aB R
FT'1 FT1 , FT' 2 FT 2
第2页 共9页
2 3 sin FT 1 mg 5 3 2sin FT 2 mg 5 2(1 sin )
J R dm R
2 2
大学物理第三章刚体力学基础习题答案培训课件
1 )
t2
下次上课内容：
§5-1 简谐运动 §5-2 旋转矢量表示法 §5-3 单摆和复摆 §5-4 振动的能量
角动量定理
t2 Mdt
t1
J2
J1
角动量守恒 M 0, J 恒矢量
力的功
W
r F
drr
力矩的功 W Md
动 能 1 mv2
2
动能定理
W
1 2
mv22
1 2
mv12
转动动能 1 J 2
2
转动动能定理W
1 2
J22
1 2
J12
习 题 课 (三)
3-1 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，绳下端挂一
的角加速度 =
。从开始制动到 =1/3 0所经过
的时间t = 。
M k2 J
k 2 k02
J 9J
k2 J d
dt
t k dt
0J
1 3
0
d
0
2
t 2J
k0
3-6 一长为L的轻质细杆，两端分别固定有质量为
m 和2m 的小球，此系统在铅直平面内可绕过中心点
O且与杆垂直的水平固定轴转动。开始时杆与水平成
方向上，正对着杆的一端以相同的速率v相向运动，
如图所示。当两小球同时与杆的两端发生完全非弹性
碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的
转动角速度为
m
(A) 2v
4v (B)
v
3L
✓(C)
6v 7L
5L (D) 8v
9L
(E) 12v v m
o
7L
2mvL 1 mL2 2mL2
3
6v
7L
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体和流体
y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
大学物理第三章刚体力学基础习题答案
方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
刚体力学基础
0
0t
1 t2
2
2
2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at
dv dt
r
z
a an r
at ve t
an
v2 r
2r a
ret
r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
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定轴转动刚体的角坐标。
θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z 轴成右手螺旋时，θ角为正，否则θ角为负。
4、定轴转动刚体运动的描述 ①运动学方程： (t)， 即：角坐标随时间的变化规律。
②描述刚体整体运动的物理量——角量，包括：角位移， 角速度，角加速度。
角位移 ：定轴转动刚体在 t时间内角坐标的增量 。
任意质元的角位移 是相同的——是一整体运动的量。
面对z 轴观察：逆时针转动， 0 ；反之， 0。
单位： rad
角速度ω：在 t t t这一过程中，
(t)
lim
d
t0 t dt
即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。
面对z轴观察逆时针转动时： 0；反之， 0。
②刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但
各质元的速度和加速度却相同。
rj ri rij O
rj
rij
r 根据刚体平动特点
drj dt
dri dt
vj
ijv为i , 恒矢dd2t量r2j
d 2ri dt 2
ri
a j
ai
刚体内任何一点的运动就可代表整个刚体的运动
小结:
刚体上各质点的位置、线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体的转动用角量最方便。
角量与刚体上各质点具体位置 无关
角坐标
角位移
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
d
dt
v r an r 2 a r
（1）已知刚体运动的角坐标的初始条件，可由角速度求 出角坐标随时间的变化规律
d tdt tdt t C
t 0, 0 C 0 0
பைடு நூலகம்
0
t
0
t
dt
对角速度不随时间变化的转动叫匀速转动
常量 ＝t 0
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5 rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
角加速度β：
t t t , (t) (t t)
(t t) (t)
(t)
lim t0 t
d
dt
d 2
dt 2
即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。
加速转动，β与ω同号； ，0 反之， 。0
与质点运动学相似：
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2a(x x0 )
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
③线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量： 线位移，线速度，线加速度。
如图示：A质元的线速度不同于B质 元的线速度，以刚体上质元A为例：
3-1 刚体的基本运动
刚体：任何情况下物体的大小和形状都不发生变化，
即 任意两点间的相对位置保持不变的质点系（物体）
一、刚体的基本运动 ：平动和定轴转动
1, 平动： (可以归结为质点运动的问题) 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A
B
A
B
B
特点：
①刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！
2、刚体绕固定轴的转动（较简单）
转轴
定轴转动：各质点均作圆
周运动，其圆心都在一条固 定不动的直线（转轴）上。
A
A
既平动又转动：质心
的平动加绕质心的转动
转 速
1、定义 若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直
的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚 体绕固定轴转动，该直线称作转轴。
2 02 2
(5 )2 2 ( )
75 (rad )
6
所以在30秒时间内飞轮所转过的圈数为
N 75 37.5(圈) 2 2
(2)
0
t
5
(
6
)6
4 (rad
/
s)
(3) 在t=6秒时刻飞轮边缘上任一点的线速度和切向、 法向加速度可分别由公式得
线位移：
s
rA
线速度：
vA
ds
dt
rA
d
dt
rA
线加速度：
aA
dv A dt
rA
d
dt
v2 rA
nˆ
rA
rA
2
n
rA
v
2 A
rA
n
即：
a A rA
a An
v
2 A
rA
rA 2
已知角量就可求出刚体上任意一点作圆周运动的线速 度、切向加速度和法向加速度。 角量充分地描述了刚 体绕定轴的转动状态
（2） 已知角速度的初始条件和角加速度，可得任意时
刻的角速度
0
t
0
t
dt
角加速度不随时间变化的转动叫作匀变速转动
常量 0 t
t 0, 0
0t
1 2
t 2
比较－质点匀变速直线运动和刚体绕定轴的匀变速转动
（线量关系与角量关系）
质点的匀变速直线运动 刚体绕定轴的匀变速转动
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
加速转动 减速转动
方向一致 方向相反
r v
例题 一转速为每分钟150转、半径为0.2米的飞轮， 因受到制动而均匀减速，经过30秒停止转动。试求： （1）β和在此时间内飞轮所转的圈数 （2）t=6秒时飞轮的ω （3） t=6秒时飞轮边缘上任一点的线速度、切向加 速度和法向加速度
2、特点
①刚体中始终保持不动的直线就是转轴。 ②刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直 且为圆周，圆心在轴上。 ③和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。
3、刚体的角坐标θ
如图示：建立O-xyz系，z轴与 转轴重合，O点任意选取，截取 刚体一个剖面o-xy平面，此位置
只要确定，刚体的位置就确定了，除O点外，再选一个 A点，此图形的位置可由矢量来确定，而 矢量的大小是 不变的，方向只需由矢量与x轴的夹角θ来确定，此θ角称为：绕
θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z 轴成右手螺旋时，θ角为正，否则θ角为负。
4、定轴转动刚体运动的描述 ①运动学方程： (t)， 即：角坐标随时间的变化规律。
②描述刚体整体运动的物理量——角量，包括：角位移， 角速度，角加速度。
角位移 ：定轴转动刚体在 t时间内角坐标的增量 。
任意质元的角位移 是相同的——是一整体运动的量。
面对z 轴观察：逆时针转动， 0 ；反之， 0。
单位： rad
角速度ω：在 t t t这一过程中，
(t)
lim
d
t0 t dt
即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。
面对z轴观察逆时针转动时： 0；反之， 0。
②刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但
各质元的速度和加速度却相同。
rj ri rij O
rj
rij
r 根据刚体平动特点
drj dt
dri dt
vj
ijv为i , 恒矢dd2t量r2j
d 2ri dt 2
ri
a j
ai
刚体内任何一点的运动就可代表整个刚体的运动
小结:
刚体上各质点的位置、线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体的转动用角量最方便。
角量与刚体上各质点具体位置 无关
角坐标
角位移
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
d
dt
v r an r 2 a r
（1）已知刚体运动的角坐标的初始条件，可由角速度求 出角坐标随时间的变化规律
d tdt tdt t C
t 0, 0 C 0 0
பைடு நூலகம்
0
t
0
t
dt
对角速度不随时间变化的转动叫匀速转动
常量 ＝t 0
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5 rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
角加速度β：
t t t , (t) (t t)
(t t) (t)
(t)
lim t0 t
d
dt
d 2
dt 2
即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。
加速转动，β与ω同号； ，0 反之， 。0
与质点运动学相似：
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2a(x x0 )
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
③线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量： 线位移，线速度，线加速度。
如图示：A质元的线速度不同于B质 元的线速度，以刚体上质元A为例：
3-1 刚体的基本运动
刚体：任何情况下物体的大小和形状都不发生变化，
即 任意两点间的相对位置保持不变的质点系（物体）
一、刚体的基本运动 ：平动和定轴转动
1, 平动： (可以归结为质点运动的问题) 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A
B
A
B
B
特点：
①刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！
2、刚体绕固定轴的转动（较简单）
转轴
定轴转动：各质点均作圆
周运动，其圆心都在一条固 定不动的直线（转轴）上。
A
A
既平动又转动：质心
的平动加绕质心的转动
转 速
1、定义 若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直
的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚 体绕固定轴转动，该直线称作转轴。
2 02 2
(5 )2 2 ( )
75 (rad )
6
所以在30秒时间内飞轮所转过的圈数为
N 75 37.5(圈) 2 2
(2)
0
t
5
(
6
)6
4 (rad
/
s)
(3) 在t=6秒时刻飞轮边缘上任一点的线速度和切向、 法向加速度可分别由公式得
线位移：
s
rA
线速度：
vA
ds
dt
rA
d
dt
rA
线加速度：
aA
dv A dt
rA
d
dt
v2 rA
nˆ
rA
rA
2
n
rA
v
2 A
rA
n
即：
a A rA
a An
v
2 A
rA
rA 2
已知角量就可求出刚体上任意一点作圆周运动的线速 度、切向加速度和法向加速度。 角量充分地描述了刚 体绕定轴的转动状态
（2） 已知角速度的初始条件和角加速度，可得任意时
刻的角速度
0
t
0
t
dt
角加速度不随时间变化的转动叫作匀变速转动
常量 0 t
t 0, 0
0t
1 2
t 2
比较－质点匀变速直线运动和刚体绕定轴的匀变速转动
（线量关系与角量关系）
质点的匀变速直线运动 刚体绕定轴的匀变速转动
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
加速转动 减速转动
方向一致 方向相反
r v
例题 一转速为每分钟150转、半径为0.2米的飞轮， 因受到制动而均匀减速，经过30秒停止转动。试求： （1）β和在此时间内飞轮所转的圈数 （2）t=6秒时飞轮的ω （3） t=6秒时飞轮边缘上任一点的线速度、切向加 速度和法向加速度
2、特点
①刚体中始终保持不动的直线就是转轴。 ②刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直 且为圆周，圆心在轴上。 ③和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。
3、刚体的角坐标θ
如图示：建立O-xyz系，z轴与 转轴重合，O点任意选取，截取 刚体一个剖面o-xy平面，此位置
只要确定，刚体的位置就确定了，除O点外，再选一个 A点，此图形的位置可由矢量来确定，而 矢量的大小是 不变的，方向只需由矢量与x轴的夹角θ来确定，此θ角称为：绕