第三章 刚体力学基础
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第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体和流体
y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
大学物理第三章刚体力学基础习题答案
方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
刚体力学基础第三章
二、转动惯量J
对分立的质点系： J miri2
i
对刚体： 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布，为线密度
J r 2ds 面分布，为面密度 r 2 dV 体分布，为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小
（2）转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 （1）若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d，A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功：力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，
绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1
刚体力学基础
0
0t
1 t2
2
2
2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at
dv dt
r
z
a an r
at ve t
an
v2 r
2r a
ret
r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
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联立（1）~（5）解得
J
m1R1 m2R2 m1R12 m2R22
g
T2
T1
m2 m1
T1
J m2R22 m2R1R2 J m1R12 m2R22
m1g
T2
J m1R12 m1R1R2 J m1R12 m2R22
m2 g
讨论：
a.当 m1R1 m2R2 时，物体运动方向与所设相
C
B
A
o
T1
N
T2 ' C
B
y
A
m1g
T2
B fk
m2 g
x
y
T1 '
o
A
解：建立如图坐标系
m1g T1 m1a1
T2 fk m2a2
N
fk
m2 g
N
0
T1R T2R J
J 1 MR2 2
a1 a2 a r
解得
a
只有保守力做功时----刚体的机械能守恒
Ek 2 Ep2 Ek1 Ep1
[例1]长为l，质量为m的均匀细杆 O
OA,绕通过其一端点O的水平轴在
铅垂面内自由转动。已知另一端
A过最低点时的速率为v0。求杆摆 动时A点升高的最大高度(不计空
气阻力和轴的摩擦力)。
h
解：杆摆动时只有重力做功，
A
o
mv 0
L 2
1 ML2 mL2
v0 φ
3
4
(2)子弹射入后的摆动过程
M 、m和地球组成的
o
系统机械能守恒
以竖直位置杆质心所
φ
在平面为零势能面
则
1 2
1 3
ML2
m
L2 4
2
m
M
g
L 2
L 2
cos
其中φ为杆摆动的最大角度
[例3]质量为m1的小球与质量为m2长为2l 的 棒作完全弹性碰撞，棒可绕通过中心的轴转
其中
J
1 12
m2
(2l
)
2
1 3
m2l
2
解得 v (m2 3m1)u m2 3m1
6m1u
(m2 3m1)l
L
r
v1
F
思考并解释 : 动能、机械能、
角动量 是否守恒？
定轴转动:转轴固定不动的转动
v
刚体的一般运动 = 平动 + 定轴转动
三、刚体的定轴转动
1.各点运动的特点
在自己的转动平面内作圆周运动
2.描述的物理量 , d , d
dt
任一质点圆周运动的 线量和角量的关系
r
dt z
简化
r
an r 2 at r
动解(：如相小图比球)可的。忽重求略力球与的冲反击弹力速度和棒m的2角速度u.
m1 、 m2组成的系统： M 外 0 角动量守恒
2l
设小球反弹速度为v, 棒的角速度为
m1ul J m1vl （以顺时针为正）
小球与棒完全弹性碰撞:
1 2
m1u 2
1 2
m1v2
1 2
J2
kg·m2 和 J＝20 kg·m2．开始时，A轮转速为600
rev/min，B轮静止．C为摩擦啮合器，其转动惯量
可忽略不计．A、B分别与C的左、右两个组件相
连，当C的左右组件啮合时，B轮得到加速而A轮
减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，
求： (1) 两轮啮合后的转速n； A
B
(2) 两轮各自所受的冲量矩． C
求滑轮的角加速度β及各绳中 m2
的张力T1、T2. 解：设m1向下运动
T2
T1
m2 m1
m1
m1g T1 m1a1 1 T2 m2g m2a2 2
m2 g
m1g
T2
T1
T1R1 T2R2 J (3)
a1 R1 4 R2
R1
a2 R2 5
解：细棒质量密度为 m l
在棒上取长为d x 的质量元 o
dm dx
A
dx
dm的转动惯量 dJoc x2dm B
cx x
Joc
x2dm
m
l
2 l
2
x2
m l
dx
1 ml2 12
J AB
l 2 l
2
(
l 2
x)2
m dx l
1 ml2 3
3.平行轴定理
同，反之则相反
b.当 m1R1 m2R2 时， 0 即滑轮保持静止或
匀速转动
c.当R1 R2 时，则为定滑轮时的情况
§3-3 角动量及角动量守恒定律
一.冲量矩——力矩的时间积累 Mdt
单位: N m s
定义：刚体的角动量
L
J z
角动量又称动量矩，因为：
mi
Ri
2
2
2
2
i
mi Ri2
则刚体的转动动能
Ek
1 2
J z 2
z
Ri
mi Pi
二.力矩的 功 dA F dr
Ft
dr
F sin rd
Md
z
O
d
r
dr
F
P
A 2 Md
讨论： 1
恒力矩的功: A M M 2 1
m1 m2
g
m1 m2 M 2
T1
( 1)m2 M
m1 m2 M
2 2
m1g
T1
( 1)m1
m1 m2
M
M2
2
m2
g
[例2]在半径分别为R1和R2的
阶梯形滑轮上反向绕有两根 轻绳，各挂质量为m1、m2的
R2
R1
物体。如滑轮与轴间的摩擦
不计，滑轮的转动惯量为J。
zN
以质心C为坐标原点
设对Cz轴的转动
d
m
惯量为Jc
对MN 轴的转动惯量为
C
y
：
J MN
JC
md2
x
----平行轴定理
M
*MN为任意空间直线
例3：圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J =
L R2dm = R2
0
dl
dm = mR2 R
m
O
圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm= σds
=
m πR2
m
ω
m
r2 r1
花样滑冰 跳水 体操等
[例1]质量为m，长为L的均匀细棒，竖直悬 挂于一水平光滑轴，现用力F 打击棒的中部 如图，打击时间为t .
求：打击后棒的角速度。
解：由角动量定理
M t J
即F L t 1 mL2 0
F
23
3Ft
2mL
例2：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人沿 转盘走一周，求盘相对地转动的角度
,现有一质量m的子弹以水平速度 v0 射入
杆中部并嵌在杆中，求(1)子弹射入瞬间杆 转动的角速度（2）杆能摆动的最大角度φ.
解： （1）以m、M为系统
子弹射入的瞬间过程系 v0
o
统对o 轴的合外力矩为
φ
零.
由角动量守恒定律
mv 0
L 2
1 3
ML2
m
L 2
2
----刚体转动的角动量定理
三.角动量守恒定律
当 M z 0 则 Lz J z =常量
----刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律对J 可变化的非刚体系统 或非刚体个体同样适用。
当 M z 0 J11 J22 =常量
J 时, ；反之, J 时，
演示： 茹可夫斯基凳
d
J z dt
---定轴转动定律
反映了力矩的瞬时作用规律
*转动惯量的物理意义:Jz表示刚体转动惯性的大小
三、转动惯量的计算
o
1.对分离的质点系：J z mi Ri2
i
l lc
2.对质量连续分布的刚体：
dJ z r2dm
J z r2dm
o c
r dm
例1：如图，质量为m 的四个小球由钢性轻杆连
3.2 力矩、刚体定轴转动定律
一.力矩
z
翻倾
F//
任意
F
d
r
A
力的有效性分析
F
有效
F F F//
定轴
定义: F 对转轴的力矩
大小： M z Fd
若 F垂直转轴，力矩
大小：M z Fd Fr sin 方向:沿z轴，由 r 转向 F
的右手螺进的方向
即
Mz rF
v r 转动平面
匀变速转动
当 c
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 ( 0 )
与质点的匀 加速直线运 动公式相似
例：一飞轮作匀减速转动，在4s内角速度由
J
m1R1 m2R2 m1R12 m2R22
g
T2
T1
m2 m1
T1
J m2R22 m2R1R2 J m1R12 m2R22
m1g
T2
J m1R12 m1R1R2 J m1R12 m2R22
m2 g
讨论：
a.当 m1R1 m2R2 时，物体运动方向与所设相
C
B
A
o
T1
N
T2 ' C
B
y
A
m1g
T2
B fk
m2 g
x
y
T1 '
o
A
解：建立如图坐标系
m1g T1 m1a1
T2 fk m2a2
N
fk
m2 g
N
0
T1R T2R J
J 1 MR2 2
a1 a2 a r
解得
a
只有保守力做功时----刚体的机械能守恒
Ek 2 Ep2 Ek1 Ep1
[例1]长为l，质量为m的均匀细杆 O
OA,绕通过其一端点O的水平轴在
铅垂面内自由转动。已知另一端
A过最低点时的速率为v0。求杆摆 动时A点升高的最大高度(不计空
气阻力和轴的摩擦力)。
h
解：杆摆动时只有重力做功，
A
o
mv 0
L 2
1 ML2 mL2
v0 φ
3
4
(2)子弹射入后的摆动过程
M 、m和地球组成的
o
系统机械能守恒
以竖直位置杆质心所
φ
在平面为零势能面
则
1 2
1 3
ML2
m
L2 4
2
m
M
g
L 2
L 2
cos
其中φ为杆摆动的最大角度
[例3]质量为m1的小球与质量为m2长为2l 的 棒作完全弹性碰撞，棒可绕通过中心的轴转
其中
J
1 12
m2
(2l
)
2
1 3
m2l
2
解得 v (m2 3m1)u m2 3m1
6m1u
(m2 3m1)l
L
r
v1
F
思考并解释 : 动能、机械能、
角动量 是否守恒？
定轴转动:转轴固定不动的转动
v
刚体的一般运动 = 平动 + 定轴转动
三、刚体的定轴转动
1.各点运动的特点
在自己的转动平面内作圆周运动
2.描述的物理量 , d , d
dt
任一质点圆周运动的 线量和角量的关系
r
dt z
简化
r
an r 2 at r
动解(：如相小图比球)可的。忽重求略力球与的冲反击弹力速度和棒m的2角速度u.
m1 、 m2组成的系统： M 外 0 角动量守恒
2l
设小球反弹速度为v, 棒的角速度为
m1ul J m1vl （以顺时针为正）
小球与棒完全弹性碰撞:
1 2
m1u 2
1 2
m1v2
1 2
J2
kg·m2 和 J＝20 kg·m2．开始时，A轮转速为600
rev/min，B轮静止．C为摩擦啮合器，其转动惯量
可忽略不计．A、B分别与C的左、右两个组件相
连，当C的左右组件啮合时，B轮得到加速而A轮
减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，
求： (1) 两轮啮合后的转速n； A
B
(2) 两轮各自所受的冲量矩． C
求滑轮的角加速度β及各绳中 m2
的张力T1、T2. 解：设m1向下运动
T2
T1
m2 m1
m1
m1g T1 m1a1 1 T2 m2g m2a2 2
m2 g
m1g
T2
T1
T1R1 T2R2 J (3)
a1 R1 4 R2
R1
a2 R2 5
解：细棒质量密度为 m l
在棒上取长为d x 的质量元 o
dm dx
A
dx
dm的转动惯量 dJoc x2dm B
cx x
Joc
x2dm
m
l
2 l
2
x2
m l
dx
1 ml2 12
J AB
l 2 l
2
(
l 2
x)2
m dx l
1 ml2 3
3.平行轴定理
同，反之则相反
b.当 m1R1 m2R2 时， 0 即滑轮保持静止或
匀速转动
c.当R1 R2 时，则为定滑轮时的情况
§3-3 角动量及角动量守恒定律
一.冲量矩——力矩的时间积累 Mdt
单位: N m s
定义：刚体的角动量
L
J z
角动量又称动量矩，因为：
mi
Ri
2
2
2
2
i
mi Ri2
则刚体的转动动能
Ek
1 2
J z 2
z
Ri
mi Pi
二.力矩的 功 dA F dr
Ft
dr
F sin rd
Md
z
O
d
r
dr
F
P
A 2 Md
讨论： 1
恒力矩的功: A M M 2 1
m1 m2
g
m1 m2 M 2
T1
( 1)m2 M
m1 m2 M
2 2
m1g
T1
( 1)m1
m1 m2
M
M2
2
m2
g
[例2]在半径分别为R1和R2的
阶梯形滑轮上反向绕有两根 轻绳，各挂质量为m1、m2的
R2
R1
物体。如滑轮与轴间的摩擦
不计，滑轮的转动惯量为J。
zN
以质心C为坐标原点
设对Cz轴的转动
d
m
惯量为Jc
对MN 轴的转动惯量为
C
y
：
J MN
JC
md2
x
----平行轴定理
M
*MN为任意空间直线
例3：圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J =
L R2dm = R2
0
dl
dm = mR2 R
m
O
圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm= σds
=
m πR2
m
ω
m
r2 r1
花样滑冰 跳水 体操等
[例1]质量为m，长为L的均匀细棒，竖直悬 挂于一水平光滑轴，现用力F 打击棒的中部 如图，打击时间为t .
求：打击后棒的角速度。
解：由角动量定理
M t J
即F L t 1 mL2 0
F
23
3Ft
2mL
例2：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人沿 转盘走一周，求盘相对地转动的角度
,现有一质量m的子弹以水平速度 v0 射入
杆中部并嵌在杆中，求(1)子弹射入瞬间杆 转动的角速度（2）杆能摆动的最大角度φ.
解： （1）以m、M为系统
子弹射入的瞬间过程系 v0
o
统对o 轴的合外力矩为
φ
零.
由角动量守恒定律
mv 0
L 2
1 3
ML2
m
L 2
2
----刚体转动的角动量定理
三.角动量守恒定律
当 M z 0 则 Lz J z =常量
----刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律对J 可变化的非刚体系统 或非刚体个体同样适用。
当 M z 0 J11 J22 =常量
J 时, ；反之, J 时，
演示： 茹可夫斯基凳
d
J z dt
---定轴转动定律
反映了力矩的瞬时作用规律
*转动惯量的物理意义:Jz表示刚体转动惯性的大小
三、转动惯量的计算
o
1.对分离的质点系：J z mi Ri2
i
l lc
2.对质量连续分布的刚体：
dJ z r2dm
J z r2dm
o c
r dm
例1：如图，质量为m 的四个小球由钢性轻杆连
3.2 力矩、刚体定轴转动定律
一.力矩
z
翻倾
F//
任意
F
d
r
A
力的有效性分析
F
有效
F F F//
定轴
定义: F 对转轴的力矩
大小： M z Fd
若 F垂直转轴，力矩
大小：M z Fd Fr sin 方向:沿z轴，由 r 转向 F
的右手螺进的方向
即
Mz rF
v r 转动平面
匀变速转动
当 c
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 ( 0 )
与质点的匀 加速直线运 动公式相似
例：一飞轮作匀减速转动，在4s内角速度由