第五章 刚体力学基础习题课(第三讲)13
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第五章 刚体力学习题课
r O
m1
m1 g T = m1a Tr = J 解： a = r v0 at = 0 m1 g 1 2 代入J= mr 有a = = 6.32m / s 2 2 m1 m 2 v0 t = = 0.0095s t
r O
T
a
m1
m1 g
【例】自测提高（15）如图5-23所示，转轮A、B可 分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量 分别为mA＝10 kg和mB＝20 kg，半径分别为rA和 rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使 绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘处的切向加 速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？（其 1 2 J A = m A rA 中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为 2 1 2 和 J B = mB rB ） B r
解：（1）设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时， 圆盘对地的绕轴角速度为ω，则人对地的绕轴角速度为
w = w
v 1 R 2 =w 2v R (1)
视人与盘为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量 守恒，设盘的质量为M，则人的质量为M/10，有：
2 2 1 M R 1 M R 2 2 MR w0 = MR w w 10 2 2 10 2 2
600
解：机械能守恒（主要零势点选取） 1 1 2 2 mghc = J w ( J = ml ) 2 3
l 1 mg (1 cos q ) = J w 2 2 2 3g w= = 3 (rad / s) 2l
例题5-3一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘 状定滑轮， 绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图52a所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮 的转动惯量均为 ．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物 组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．
m1
m1 g T = m1a Tr = J 解： a = r v0 at = 0 m1 g 1 2 代入J= mr 有a = = 6.32m / s 2 2 m1 m 2 v0 t = = 0.0095s t
r O
T
a
m1
m1 g
【例】自测提高（15）如图5-23所示，转轮A、B可 分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量 分别为mA＝10 kg和mB＝20 kg，半径分别为rA和 rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使 绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘处的切向加 速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？（其 1 2 J A = m A rA 中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为 2 1 2 和 J B = mB rB ） B r
解：（1）设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时， 圆盘对地的绕轴角速度为ω，则人对地的绕轴角速度为
w = w
v 1 R 2 =w 2v R (1)
视人与盘为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量 守恒，设盘的质量为M，则人的质量为M/10，有：
2 2 1 M R 1 M R 2 2 MR w0 = MR w w 10 2 2 10 2 2
600
解：机械能守恒（主要零势点选取） 1 1 2 2 mghc = J w ( J = ml ) 2 3
l 1 mg (1 cos q ) = J w 2 2 2 3g w= = 3 (rad / s) 2l
例题5-3一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘 状定滑轮， 绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图52a所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮 的转动惯量均为 ．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物 组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．
《刚体力学基础习题》课件
03 刚体的转动惯量
CHAPTER
转动惯量的定义与计算
转动惯量的定义
转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，其大小与刚体的质量分布和转轴的 位置有关。
转动惯量的计算
对于给定的刚体，可以通过积分计算其转动惯量，对于规则刚体，也可以通过公 式直接计算。
刚体的动量矩
动量矩的定义
动量矩是描述刚体转动动量的物理量 ，其大小等于刚体的动量与转动轴到 质心距离的乘积。
转动惯量与动量矩习题解析
转动惯量
01
描述物体转动惯性大小的物理量，与物体的质量分布和旋转轴
的位置有关。
动量矩
02
描述物体转动动量大小的物理量，等于物体质量与速度矢量的
乘积。
动量矩守恒
03
在没有外力矩作用的情况下，物体的动量矩保持不变。
谢谢
THANKS
04 刚体的动力学应用
CHAPTER
刚体的平动与转动
刚体的平动
刚体在空间中沿某一确定直线作等距离的移动，这种运动称为刚体的平动。
刚体的转动
刚体绕某一定点转动，这种运动称为刚体的转动。
刚体的定点运动
01
刚体的定点运动是指刚体绕通过 某一定点的转轴转动，其上任意 一点都绕该转轴作圆周运动。
02
刚体的定点运动可以分为定轴转 动、定平面转动和定点转动三种 类型。
转动动力学方程
T=Iβ（其中T为扭矩，I为转动惯量，β为角加速度）
复合运动动力学方程
需要将平动和转动动力学方程联立求解。
02 刚体转动的基本定理
CHAPTER
角动量定理
总结词
描述刚体转动时，力矩与角动量变化 量之间的关系。
详细描述
刚体力学基础习题课
动量矩与转动惯量的关系
刚体的动量矩
刚体的进动和章动
第五章
进动的定义和计算
进动是指刚体绕自身某定点作角速度矢量沿着垂直于该定点轴的平面内的圆周运动。
进动的角速度矢量可以表示为$omega = omega_0 + alpha times omega_0$，其中$omega_0$是初始角速度矢量，$alpha$是进动角速度矢量。
平动刚体的动能和动量分别为 (E = frac{1}{2}mv^2) 和 (p = mv)，其中 m 为刚体的质量，v 为刚体的速度。
平动刚体的特征
平动刚体的运动规律
平动刚体的动能和动量
刚体的转动
转动刚体上任意两点的连线在运动过程中始终保持长度不变，但可以形成不同的角度。转动刚体的角速度和角加速度是矢量。
进动的角速度矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出，即$|omega| = |omega_0| sqrt{1 + alpha^2}$，$tan theta = frac{alpha}{1 + alpha^2}$，其中$theta$是进动角。
章动的定义和计算
章动的角位移矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出，即$|theta| = |theta_0| + frac{1}{2} |beta| t^2$，$tan varphi = frac{beta t}{2 |theta_0|}$，其中$varphi$是章动角。
01
静态平衡是稳定的，只要刚体受到微小的扰动，它就会恢复到原来的平衡状态。
刚体的平衡稳定性
03
刚体在静态平衡状态下，其重心位置保持不变，且各方向上的力矩平衡。
刚体的平衡状态
02
刚体的动态平衡
刚体的动量矩
刚体的进动和章动
第五章
进动的定义和计算
进动是指刚体绕自身某定点作角速度矢量沿着垂直于该定点轴的平面内的圆周运动。
进动的角速度矢量可以表示为$omega = omega_0 + alpha times omega_0$，其中$omega_0$是初始角速度矢量，$alpha$是进动角速度矢量。
平动刚体的动能和动量分别为 (E = frac{1}{2}mv^2) 和 (p = mv)，其中 m 为刚体的质量，v 为刚体的速度。
平动刚体的特征
平动刚体的运动规律
平动刚体的动能和动量
刚体的转动
转动刚体上任意两点的连线在运动过程中始终保持长度不变，但可以形成不同的角度。转动刚体的角速度和角加速度是矢量。
进动的角速度矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出，即$|omega| = |omega_0| sqrt{1 + alpha^2}$，$tan theta = frac{alpha}{1 + alpha^2}$，其中$theta$是进动角。
章动的定义和计算
章动的角位移矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出，即$|theta| = |theta_0| + frac{1}{2} |beta| t^2$，$tan varphi = frac{beta t}{2 |theta_0|}$，其中$varphi$是章动角。
01
静态平衡是稳定的，只要刚体受到微小的扰动，它就会恢复到原来的平衡状态。
刚体的平衡稳定性
03
刚体在静态平衡状态下，其重心位置保持不变，且各方向上的力矩平衡。
刚体的平衡状态
02
刚体的动态平衡
大学物理 第5章 刚体力学基础习题课
2
1
M d
（3）功率：
d dA M M N dt dt
3
2015-7-3
5.冲量矩和动量矩 （力矩对时间的积累效应） (1) 冲量矩
元冲量矩：Mdt 力矩乘以力矩所作用的时间。 力矩在t1→t2内总冲量矩：
(2) 角动量（动量矩）
t2
t1
Mdt
刚体对固定转动轴的角动量,等于它对该轴的转动惯 量和角速度的乘积。
2iiijmr????22ddjrmrv????三习题基本类型ddt??????22ddddtt??????vr????2nar????tar????vr??ov定定轴p?zr0t?????20012tt?????????????????22002????????专业资料201931092平行轴定理若有任一轴与过质心的轴平行相距为d刚体对其转动惯量为j则有jjcmd2
θ
14
y
NA A
NB
B
l
F 无平动： F
i i
由刚体的平衡条件：
ix
0 N B F kl cos 0 NA W
iy
θ W
原长
无转动： x
M
i
iz
0
(O) F
2 将NB的值代入 W 2kl sin
若以A为转轴，选力矩⊙为 正，则 N B l sin W l cos 0
刚体力学基 础
习题课
2015-7-3
1
刚体力学基础
一、基本概念 1.刚体及其平动、转动、定轴转动 理想化的力学模型 特性：特殊的质点系(牛顿力学) 2.转动惯量
刚体对定轴的转动惯量等于刚体中每个质点的质量 与这一质点到转轴的垂直距离的平方的乘积的总和。
第五章刚体力学参考答案
一、选择题［ C ］1、如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而 且F ＝Mg ．设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦，则有(A) βA ＝βB ． (B) βA ＞βB ．(C) βA ＜βB ． (D) 开始时βA ＝βB ，以后βA ＜βB ．图5-18参考答案：设定滑轮半径为Ｒ，转动惯量为J ，如图所示，据刚体定轴转动定律Ｍ=Ｊβ有： 对B ：FR=MgR= J βB ．对A ：Mg-T=Ma TR=J βA, a=R βA, 可推出：βA ＜βB[ D ]2、如图5-8所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在粗糙的竖直墙壁上，B 端置于粗糙水平地面上而静止．杆身与竖直方向成θ角，则A 端对墙壁的压力大小(A) 为 41mg cos θ． (B)为21mg tg θ． (C) 为 mg sin θ． (D) 不能唯一确定．[ C ]3、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω(A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定．图5-8m图5-11参考答案:把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零, 系统角动量守恒。
设L 为每一子弹相对固定轴O 的角动量大小.故由角动量守恒定律得: J ω0+L-L=(J+J 子弹) ω ω <ω0[ A ]4、质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ⎪⎭⎫⎝⎛=R J mR v 2ω，逆时针．(C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ⎪⎭⎫⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针．参考答案：视小孩与平台为一个系统，该系统所受的外力矩为零，系统角动量守恒：0=Rmv-J ω 可得结论。
大学物理上册课件：第五章刚体力学基础
所以，刚体定轴转动用角量描述比较方便。
5.1.2、刚体定轴转动的角量描述 定轴转动只有两个转动方向。 规定 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。
角位置： (t) 刚体定轴转动的运动学方程。
角位移: 2 1
平均角速度： ＝
t
角速度： （矢量）
＝d
dt
y
rP•
•P
A
O S A
x
角加速度： （矢量）
z
o
ri
i 1
mi
则：
Ek转
1 2
J 2
o
注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不
Ek转
1 2
m vc2
1 2
J 2
5.2.2、转动惯量的计算：描述刚体转动惯性大小的物理量。
1、定义：刚体对转轴的转动惯量：
n
J miri 2 i 1
J r 2 d m V
SI单位：kg . m
大 小 ：M Z rF sin Fd Ft r
d=rsinθ 称为力F 对转轴的力臂。
方向： 由右手螺旋定则确定。
Mr FZ有o两个方向，可用正o负表Fr示。
MZ 0
MZ 0
MZ
z
o rp
F
d
•
o
z
r
Ft P
F
d
•
Fn
2、F不在转轴平面内
把F 分解为径向Fr 、横向Ft ①Fr 对转轴的力矩为零；
5.2定轴转动刚体的功和能
5.2.1、刚体的动能
平动动能 ： Ek平 转动动能 ： Ek转
i i
1 2
mi v i2
1 2
mi
v
i
5.1.2、刚体定轴转动的角量描述 定轴转动只有两个转动方向。 规定 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。
角位置： (t) 刚体定轴转动的运动学方程。
角位移: 2 1
平均角速度： ＝
t
角速度： （矢量）
＝d
dt
y
rP•
•P
A
O S A
x
角加速度： （矢量）
z
o
ri
i 1
mi
则：
Ek转
1 2
J 2
o
注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不
Ek转
1 2
m vc2
1 2
J 2
5.2.2、转动惯量的计算：描述刚体转动惯性大小的物理量。
1、定义：刚体对转轴的转动惯量：
n
J miri 2 i 1
J r 2 d m V
SI单位：kg . m
大 小 ：M Z rF sin Fd Ft r
d=rsinθ 称为力F 对转轴的力臂。
方向： 由右手螺旋定则确定。
Mr FZ有o两个方向，可用正o负表Fr示。
MZ 0
MZ 0
MZ
z
o rp
F
d
•
o
z
r
Ft P
F
d
•
Fn
2、F不在转轴平面内
把F 分解为径向Fr 、横向Ft ①Fr 对转轴的力矩为零；
5.2定轴转动刚体的功和能
5.2.1、刚体的动能
平动动能 ： Ek平 转动动能 ： Ek转
i i
1 2
mi v i2
1 2
mi
v
i
5第五章-刚体力学基础
三个要素：
①总质量； ②质量分布； ③转轴位置。
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2. 转动惯量J
（1）质点 J mr2
r1
m1 O
（2）质点系 J miri2
i
例：J m1r12 +m2r22
r2
m2
（3）刚体 dJ dm r2
J dJ
r dm
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dl
dm
dS
dV
线分布 面分布 体分布
一、力矩的功 M 1 2
dA F dr Fdscos Fdssin F sin rd Md
d
r
dr
F
A dA 2 Md 1
功率 P dA Md M
dt dt
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二、 刚体的转动动能
第i个质点
Ek
1 2
J2
Eki
1 2
mi vi 2
1 2
mi
ri
2
2
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三、 动量矩守恒定律的应用
当 M合外 0 时，L 恒量
讨论：
（1）动量矩守恒条件：
M外 0 或 M内 M外
（2）也适用于非刚体，是自然界最普遍规律之一
J 恒量 J , J ,
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z
F
M rF 0
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§1、2 刚体的转动定律
一、刚体和刚体的运动
1. 刚体： 形状、大小不变的理想模型。 2. 刚体的运动： （1）平动。 看作质点。
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（2）转动。 定轴； 非定轴（瞬时轴）。
①总质量； ②质量分布； ③转轴位置。
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2. 转动惯量J
（1）质点 J mr2
r1
m1 O
（2）质点系 J miri2
i
例：J m1r12 +m2r22
r2
m2
（3）刚体 dJ dm r2
J dJ
r dm
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dl
dm
dS
dV
线分布 面分布 体分布
一、力矩的功 M 1 2
dA F dr Fdscos Fdssin F sin rd Md
d
r
dr
F
A dA 2 Md 1
功率 P dA Md M
dt dt
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二、 刚体的转动动能
第i个质点
Ek
1 2
J2
Eki
1 2
mi vi 2
1 2
mi
ri
2
2
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三、 动量矩守恒定律的应用
当 M合外 0 时，L 恒量
讨论：
（1）动量矩守恒条件：
M外 0 或 M内 M外
（2）也适用于非刚体，是自然界最普遍规律之一
J 恒量 J , J ,
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z
F
M rF 0
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§1、2 刚体的转动定律
一、刚体和刚体的运动
1. 刚体： 形状、大小不变的理想模型。 2. 刚体的运动： （1）平动。 看作质点。
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（2）转动。 定轴； 非定轴（瞬时轴）。
5《学习指南 试题精解》 第五章 刚体力学
第5章 刚体力学5.1 本章要求：1、通过质点在平面内的运动情况理解角动量、动量矩和角动量守恒定律,了解转动惯量的概念；2、理解刚体的定轴转动的转动定律和刚体在定轴转动情况下的角动量定理和角动量守恒定律；3、能应用角动量定理和角动量守恒定律解简单的刚体运动的力学问题。
5.2 内容提要1、质点的角动量v r m P r L ⨯=⨯=；2、质点的角动量定理作用于质点的冲量矩等于质点的角动量的增量。
积分形式00L L d dt LL tt -==⎰⎰ ，微分形式dtd M =外 3、角动量守恒定律如果某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。
则0=dtLd ， ∑=ii L L = 常矢量 4、刚体物体内任意两点间的距离在外力作用下始终保持不变，从而其大小和形状都保持不变的物体，称为刚体。
刚体也是物体的一种理想模型。
5、平动 刚体运动时，连接刚体中任意两点的直线始终保持它的方位不变。
这种运动称为刚体的平动或平移。
6、转动刚体运动时，如果刚体内各点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为刚体的转动；这一直线称为转轴。
如果转轴相对于所取的参考系是固定不动的，就称为定轴转动。
如果转轴上一点静止于参考系，而转动的方位在变动，这种转动称为定点转动。
刚体的一般运动，可以看作平动和转动所合成。
7、质心质心是与质点系的质量分布有关的一个代表点,它的位置在平均意义上代表着质点分布的中心。
对于有许多质点组成的系统，如果用i m 和i r 表示第i 个质点的质量和位矢，用c r 表示质心的位矢，则有Mrm r iii c ∑=，式中∑=ii m M 为质点系的总质量。
质心位置的坐标为：Mzm z M ym y M xm x iii c iii c iii c ∑∑∑===,,。
对于质量连续性分布的物体，质心的位矢为⎰=Mrdmr c其坐标为⎰⎰⎰===zdm Mz ydm M y xdm M x c c c 1,1,1。
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T2 T1 T1
r
0
x1
s
m x1 g L
m x2 g L
m ( M r ) g L
x2
x
12
m m m m x1 g T1 x1a1 (1); x 2 g T2 x 2 a 2 (2) L L L L 1 m 2 2 T2r T1r ( Mr r r ) (3); T1 T1;T2 T2 (4)
0
(3)
15
对于(2)式,也可从如下得到: 设碰撞时间为: t 对小球由质点的动量定理:
0.
0
v
f
L
f
ft mv
对棒由角动量定理:
f LΔt J (J0 )
1 J mL2 3
f f
1 2 1 2 mLv mL mL 0 3 3
v0
v
10
④对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守 恒的表达 式：
dL d ( J ) J d dJ 0
若动作后角速度增加，则与d 同向，所以
J d dJ 0 J0 ln ln J 0
dJ d J 0 J0
o
r
（2）质点系的角动量： 质点系内部所有质点对某一定点的角动量，即：
L ( ri Pi ) ( ri mi v i )
i i
（3）刚体作定轴转动的角动量： 作定轴转动的刚体，其 内部所有质点绕轴做半径 不等的圆周运动，具有相 同的角速度：
0
z
大学物理（一） 主讲：陈秀洪 第五章 刚体力学基础习题课（第三讲） 一、小结 二、 例题
1
一、小结 1、刚体定轴转动的描述
(t )
2
v i Ri
d dt
d dt
v i Ri ω
Ri
z
z
0
i
v ain Ri 2 ai Ri Ri
1
2
2
r
(1)质点的角动量 L r mv 大小 L rmv sin
7、 刚体绕定轴转动的动能定理 2 1 1 2 2 A Md J 2 J1 1 2 2 8、角动量
x
o
L
L
v
m y
v
r
p
m
6
质点以角速度ω作半径为r 的 圆运动，相对圆心的角动量大 小： L mr 2 J
解:机械能守恒:
mg L 1 1 ( mL2 ) 02 0 2 2 3
0 (1)
v
L
碰撞:角动量守恒,机械能守恒. 1 2 1 2 ( mL ) 0 mLv ( mL ) (2) 3 3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ( mL ) 0 mv ( mL ) 2 3 2 2 3 1 3 gL 解得: v 2
2 2 v g(2 3 )( m l 2ma )( m l 3ma ) 6 ma
18
例2：长为L的匀质细棒，一端悬于O点，自由下垂， 紧接 O点悬一单摆，轻质摆绳的长为 L，摆球的质量为 m，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与细杆作完 全弹性碰撞，碰后单摆停止。 求：(1) 细杆的质量； (2) 细杆摆动的最大角度θ m 解:球下摆机械能守恒 1 2 O L mv mgL (1) 球与细杆作完全弹性碰撞 (2) 角动量守恒： mvL J 1 1 2 2 ( 3) 机械能守恒： mv J 2 2 1 L 2 杆摆动机械能守恒： J Mg (1 cos ) 2 2 1 1 J ML2 解得: M 3m cos 3 3
2
v
( 4)
19
例题3、一均匀圆盘,质量为M,半径为R,可绕铅直轴 自由转动,开始处于静止状态,一个质量为m的人,在 圆盘上从静止开始沿半径为r的圆周走动,如图所示. 求当人走完一周回到盘上原位置时,圆盘相对于地面 转过的角度. 解: 设人对盘的速率为 vr , 圆盘绕轴的角速度为 人对地速度为 v vr r R r 由人、圆盘组成的系统对铅 直轴角动量守恒 vr 1 2 m(vr r )r MR 0 v 2 mrv r 解得 : 1 2 mr MR 2 2
J
即：J 0 0 J
例如：花样滑冰运动员。 问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能 如何变化？
11
二、 例题
刚体力学习题课（14） 1.质量为M的匀质圆盘，可以绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为m， 长为 L的匀质柔软绳索 (如图)，设绳与圆盘无相对滑 动，试求当圆盘两侧绳长之差为 S时，绳的加速度的 大小。 解:受力分析如图: T2 N
.
20
mrv r 1 2 mr MR 2 2 d 初始 : t 0, 0 0 由于 : dt t t mrv r dt dt 1 0 0 2 mr MR 2 2 t mr R r v r dt 1 2 2 0 mr MR 2 2mr 2 vr 1 v mr 2 MR 2 2 式中:负号表示人走动的方向与圆盘转动的方向相反.
M M1 M2 M3
4
3、转动惯量 2 2 J Δm j r j , J m r dm
j
转动惯量的决定因素为： 总质量；质量分布；转轴的位置。 物理意义：转动惯性的量度 . 转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
2 j j 2 1 1 j
J Δm r m r m r
2 2 2
2 j j 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J Δm r m r d m
j
dm
：质量元
5
M J 4、转动定律 M与β具有：同轴性、同时性、同方向性。 1 z 2 5、转动动能 Ek J
6、力矩的功
A Md
0
z
J11 J 22 ( J1 J 2 )
9
③质点和刚体，角动量守恒表达式为：
r mv0 J0 r mv J rmv 0 rmv J
o
m
注意： v0、v 是质点速度在
转动平面内的分量。
r 0 0
.
21
例4：一根长为l，质量为m的匀质细杆，一端与光滑 的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定 一质量也是m的小球，且小球半径R<<l。设杆由水平 位置自由释放。
1 2 2 mva ( m l ma ) 3 3mva m' l 2 3ma 2
a
m vm
'
射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统 ，机械能守恒 . l 1 1 2 2 2 ( m l ma ) mga(1 cos 30) m g (1 cos 30 ) 2 3 2
直于转轴方向的两个分量
其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
F Fz F
沿Z轴的分量
z
k Fz
F
M z k r F
O
r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
2 L a a1 a2 r (5) L r x1 x2 (6) s x2 x1 (7)
smg 解得: a M (m ) L 2 T2 N a2
T1
a1
r
0
x1
T2 T1 m m x2 g ( M r ) g L L
s
m x1 圆柱体可绕其光滑的水 平对称轴00′转动，设大小圆柱的半径分别为R和r， 质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体 m1和物体m2相连，m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如图 所示，设R =0.20m，r =0.10m，m=4kg，M=10kg， m1=m2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的 张力。 T1 T2 o o 解：受力分析如图
z
0
7
Lz ( mi ri ) J z i 矢量式： Lz J z
2
9、角动量定理： （1）质点系角动量定理 t2 L2 dL M 外dt dL L2 L1 M
dt
外
t1 L1
（2）刚体定轴转动角动量定理
dLz Mz dt
8
条件： M z
0
结论： Lz J z 常量 定轴转动角动量守恒定律讨论： ①单个刚体，角动量守恒 Lz J z 即： =C 刚体作惯性转动。 ②多个刚体，角动量守恒表达式 为： Li J ii C
1 0
z 1
J1
J2 2 2 0
t2
t1
M z dt Lz 2 Lz1
10、角动量守恒定律 （1）质点系角动量守恒定律 条件 : M外 0 结论 : L Li ri mi vi 常矢量
i i
（2）刚体定轴转动角动量守恒定律
条件： M z
0
结论： Lz J z 常量
解得：
oM
2
R
mgt h 2m M
63.2( m )
T T
m mg
17
例1、 一长为 l , 质量为 m 的竿可绕支点O自由 转动 . 一质量为 m、速率为 v 的子弹射入竿内距支 点为 a 处，使竿的偏转角为30º . 问子弹的初速率为 多少 ? 解 把子弹和竿看作一个系统 .子 o 30 弹射入竿的过程系统角动量守恒
r
0
x1
s
m x1 g L
m x2 g L
m ( M r ) g L
x2
x
12
m m m m x1 g T1 x1a1 (1); x 2 g T2 x 2 a 2 (2) L L L L 1 m 2 2 T2r T1r ( Mr r r ) (3); T1 T1;T2 T2 (4)
0
(3)
15
对于(2)式,也可从如下得到: 设碰撞时间为: t 对小球由质点的动量定理:
0.
0
v
f
L
f
ft mv
对棒由角动量定理:
f LΔt J (J0 )
1 J mL2 3
f f
1 2 1 2 mLv mL mL 0 3 3
v0
v
10
④对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守 恒的表达 式：
dL d ( J ) J d dJ 0
若动作后角速度增加，则与d 同向，所以
J d dJ 0 J0 ln ln J 0
dJ d J 0 J0
o
r
（2）质点系的角动量： 质点系内部所有质点对某一定点的角动量，即：
L ( ri Pi ) ( ri mi v i )
i i
（3）刚体作定轴转动的角动量： 作定轴转动的刚体，其 内部所有质点绕轴做半径 不等的圆周运动，具有相 同的角速度：
0
z
大学物理（一） 主讲：陈秀洪 第五章 刚体力学基础习题课（第三讲） 一、小结 二、 例题
1
一、小结 1、刚体定轴转动的描述
(t )
2
v i Ri
d dt
d dt
v i Ri ω
Ri
z
z
0
i
v ain Ri 2 ai Ri Ri
1
2
2
r
(1)质点的角动量 L r mv 大小 L rmv sin
7、 刚体绕定轴转动的动能定理 2 1 1 2 2 A Md J 2 J1 1 2 2 8、角动量
x
o
L
L
v
m y
v
r
p
m
6
质点以角速度ω作半径为r 的 圆运动，相对圆心的角动量大 小： L mr 2 J
解:机械能守恒:
mg L 1 1 ( mL2 ) 02 0 2 2 3
0 (1)
v
L
碰撞:角动量守恒,机械能守恒. 1 2 1 2 ( mL ) 0 mLv ( mL ) (2) 3 3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ( mL ) 0 mv ( mL ) 2 3 2 2 3 1 3 gL 解得: v 2
2 2 v g(2 3 )( m l 2ma )( m l 3ma ) 6 ma
18
例2：长为L的匀质细棒，一端悬于O点，自由下垂， 紧接 O点悬一单摆，轻质摆绳的长为 L，摆球的质量为 m，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与细杆作完 全弹性碰撞，碰后单摆停止。 求：(1) 细杆的质量； (2) 细杆摆动的最大角度θ m 解:球下摆机械能守恒 1 2 O L mv mgL (1) 球与细杆作完全弹性碰撞 (2) 角动量守恒： mvL J 1 1 2 2 ( 3) 机械能守恒： mv J 2 2 1 L 2 杆摆动机械能守恒： J Mg (1 cos ) 2 2 1 1 J ML2 解得: M 3m cos 3 3
2
v
( 4)
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例题3、一均匀圆盘,质量为M,半径为R,可绕铅直轴 自由转动,开始处于静止状态,一个质量为m的人,在 圆盘上从静止开始沿半径为r的圆周走动,如图所示. 求当人走完一周回到盘上原位置时,圆盘相对于地面 转过的角度. 解: 设人对盘的速率为 vr , 圆盘绕轴的角速度为 人对地速度为 v vr r R r 由人、圆盘组成的系统对铅 直轴角动量守恒 vr 1 2 m(vr r )r MR 0 v 2 mrv r 解得 : 1 2 mr MR 2 2
J
即：J 0 0 J
例如：花样滑冰运动员。 问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能 如何变化？
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二、 例题
刚体力学习题课（14） 1.质量为M的匀质圆盘，可以绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为m， 长为 L的匀质柔软绳索 (如图)，设绳与圆盘无相对滑 动，试求当圆盘两侧绳长之差为 S时，绳的加速度的 大小。 解:受力分析如图: T2 N
.
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mrv r 1 2 mr MR 2 2 d 初始 : t 0, 0 0 由于 : dt t t mrv r dt dt 1 0 0 2 mr MR 2 2 t mr R r v r dt 1 2 2 0 mr MR 2 2mr 2 vr 1 v mr 2 MR 2 2 式中:负号表示人走动的方向与圆盘转动的方向相反.
M M1 M2 M3
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3、转动惯量 2 2 J Δm j r j , J m r dm
j
转动惯量的决定因素为： 总质量；质量分布；转轴的位置。 物理意义：转动惯性的量度 . 转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
2 j j 2 1 1 j
J Δm r m r m r
2 2 2
2 j j 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J Δm r m r d m
j
dm
：质量元
5
M J 4、转动定律 M与β具有：同轴性、同时性、同方向性。 1 z 2 5、转动动能 Ek J
6、力矩的功
A Md
0
z
J11 J 22 ( J1 J 2 )
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③质点和刚体，角动量守恒表达式为：
r mv0 J0 r mv J rmv 0 rmv J
o
m
注意： v0、v 是质点速度在
转动平面内的分量。
r 0 0
.
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例4：一根长为l，质量为m的匀质细杆，一端与光滑 的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定 一质量也是m的小球，且小球半径R<<l。设杆由水平 位置自由释放。
1 2 2 mva ( m l ma ) 3 3mva m' l 2 3ma 2
a
m vm
'
射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统 ，机械能守恒 . l 1 1 2 2 2 ( m l ma ) mga(1 cos 30) m g (1 cos 30 ) 2 3 2
直于转轴方向的两个分量
其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
F Fz F
沿Z轴的分量
z
k Fz
F
M z k r F
O
r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
2 L a a1 a2 r (5) L r x1 x2 (6) s x2 x1 (7)
smg 解得: a M (m ) L 2 T2 N a2
T1
a1
r
0
x1
T2 T1 m m x2 g ( M r ) g L L
s
m x1 圆柱体可绕其光滑的水 平对称轴00′转动，设大小圆柱的半径分别为R和r， 质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体 m1和物体m2相连，m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如图 所示，设R =0.20m，r =0.10m，m=4kg，M=10kg， m1=m2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的 张力。 T1 T2 o o 解：受力分析如图
z
0
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Lz ( mi ri ) J z i 矢量式： Lz J z
2
9、角动量定理： （1）质点系角动量定理 t2 L2 dL M 外dt dL L2 L1 M
dt
外
t1 L1
（2）刚体定轴转动角动量定理
dLz Mz dt
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条件： M z
0
结论： Lz J z 常量 定轴转动角动量守恒定律讨论： ①单个刚体，角动量守恒 Lz J z 即： =C 刚体作惯性转动。 ②多个刚体，角动量守恒表达式 为： Li J ii C
1 0
z 1
J1
J2 2 2 0
t2
t1
M z dt Lz 2 Lz1
10、角动量守恒定律 （1）质点系角动量守恒定律 条件 : M外 0 结论 : L Li ri mi vi 常矢量
i i
（2）刚体定轴转动角动量守恒定律
条件： M z
0
结论： Lz J z 常量
解得：
oM
2
R
mgt h 2m M
63.2( m )
T T
m mg
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例1、 一长为 l , 质量为 m 的竿可绕支点O自由 转动 . 一质量为 m、速率为 v 的子弹射入竿内距支 点为 a 处，使竿的偏转角为30º . 问子弹的初速率为 多少 ? 解 把子弹和竿看作一个系统 .子 o 30 弹射入竿的过程系统角动量守恒