第3章刚体力学基础.ppt
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第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
大学物理第三章刚体力学基础习题答案培训课件
1 )
t2
下次上课内容：
§5-1 简谐运动 §5-2 旋转矢量表示法 §5-3 单摆和复摆 §5-4 振动的能量
角动量定理
t2 Mdt
t1
J2
J1
角动量守恒 M 0, J 恒矢量
力的功
W
r F
drr
力矩的功 W Md
动 能 1 mv2
2
动能定理
W
1 2
mv22
1 2
mv12
转动动能 1 J 2
2
转动动能定理W
1 2
J22
1 2
J12
习 题 课 (三)
3-1 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，绳下端挂一
的角加速度 =
。从开始制动到 =1/3 0所经过
的时间t = 。
M k2 J
k 2 k02
J 9J
k2 J d
dt
t k dt
0J
1 3
0
d
0
2
t 2J
k0
3-6 一长为L的轻质细杆，两端分别固定有质量为
m 和2m 的小球，此系统在铅直平面内可绕过中心点
O且与杆垂直的水平固定轴转动。开始时杆与水平成
方向上，正对着杆的一端以相同的速率v相向运动，
如图所示。当两小球同时与杆的两端发生完全非弹性
碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的
转动角速度为
m
(A) 2v
4v (B)
v
3L
✓(C)
6v 7L
5L (D) 8v
9L
(E) 12v v m
o
7L
2mvL 1 mL2 2mL2
3
6v
7L
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
第三章 刚体力学分析
连续分布
J r 2 dm
J S r 2 dS
J V r 2 dV
2
J l r dl
【例】如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶 角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求： ⑴系统对过C点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑵系统对过A点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？ m
h
代入数据，得
F 5.91×1010 N
2018/11/1
【例】 有一圆盘质量为m，均匀分布，圆盘半径为R 可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，圆 盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ，求圆盘转动后受的 摩擦力矩。 解：摩擦力距在圆盘的不同 R部位是不相同的，在圆盘 上取一半径r—r+dr的圆环 圆环质量： r dr
T' T
o
r
T T
m
m g T m a Tr J
a r
2 gt 2 J mr ( 1) 2S
1 2 S at 2
mg
【思考】组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘 上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和 B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不 变。已知小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径 r’=2r，质量m’ = 2m 。 求：组合轮的角加速度的大小。
与质点匀变速直线运动公式相对应.
0 t
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的v、a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，， 弧长 线速度 切向加速度
s r
y
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
第3章刚体力学基础
将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。
第三章 刚体力学1
（3）质心系是非惯性系时，不必计入惯性系力矩 ( 为 ）质心系是非惯性系时， 零 )。 。 v v v v (e ) v v 原 rc = 0 M = rc × F + M ′ → = M ′ 因
1
v v v rvc = 0 v v J = rc × m v c + J ′ → = J ′
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角速度 与其本身的叉积。 与其本身的叉积。 ωv
v
dA v v = ω× A dt
例: 单位矢量的微商公式 v v
di v v =ω×i dt
v dj v v dk v v 后面要用！ = ω × k 后面要用！ = ω× j dt dt
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第三章 刚体力学
§3.3 欧勒角
： 静系 o −ξηζ
v v ∆n v v v v v v r → r ′ = r + ∆r = r + ∆n × r
(1)
v v ∆ n′ v v v v r → r ′ = r + ∆n′ × r
v v ∆n v v v v v v v v v r′ → r ′′ = r + ∆n′ × r + ∆n × r + ∆n × (∆n′ × r ) (2) v v 比较(1)、 ， 很小时， 比较 、(2)，只有 ∆ n 与 ∆ n ′ 很小时，二阶小量忽
v v v M = r ×F
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v v v F2 = −F = F 1
PO2 F2 − PO1F1 = O1O2F P v M : 可作用于力偶面上的任一
点，亦称为自由矢量。 亦称为自由矢量。 自由矢量 （3）空间力系求和 ） 为作用在刚体A点上的一 设: A 为作用在刚体 点上的一 个力， 为空间任一点 为空间任一点。 个力，P为空间任一点。
1
v v v rvc = 0 v v J = rc × m v c + J ′ → = J ′
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角速度 与其本身的叉积。 与其本身的叉积。 ωv
v
dA v v = ω× A dt
例: 单位矢量的微商公式 v v
di v v =ω×i dt
v dj v v dk v v 后面要用！ = ω × k 后面要用！ = ω× j dt dt
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第三章 刚体力学
§3.3 欧勒角
： 静系 o −ξηζ
v v ∆n v v v v v v r → r ′ = r + ∆r = r + ∆n × r
(1)
v v ∆ n′ v v v v r → r ′ = r + ∆n′ × r
v v ∆n v v v v v v v v v r′ → r ′′ = r + ∆n′ × r + ∆n × r + ∆n × (∆n′ × r ) (2) v v 比较(1)、 ， 很小时， 比较 、(2)，只有 ∆ n 与 ∆ n ′ 很小时，二阶小量忽
v v v M = r ×F
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v v v F2 = −F = F 1
PO2 F2 − PO1F1 = O1O2F P v M : 可作用于力偶面上的任一
点，亦称为自由矢量。 亦称为自由矢量。 自由矢量 （3）空间力系求和 ） 为作用在刚体A点上的一 设: A 为作用在刚体 点上的一 个力， 为空间任一点 为空间任一点。 个力，P为空间任一点。
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
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且 ， 都相同
v r'
an r' 2
a
dv dt
r'
z ω, v
r' • P Oθ
刚体
r参
×基点O
考 方
向
矢量表示
刚体转动的角速度矢量
k
角加速度矢量
d
k
dt
速度与角v 速 d度r的 ω矢 量r关系式 dt
加速度与角加速度的矢量关系式
a
dv
d(ω
r)
dω
r
ω
dr
βdtr
dt ω v
M o z F//
F
(2)力对任意点的力矩，在 通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩
hr
F
A F
Fn
3.3.2 刚体绕定轴转动定律
对Pi :
Fi
F内i
mi ai
法向：...
切向： Fit F内it miait miri 两边同乘以 ri ：Fit ri F内it ri miri2
z
F//
M z (F) Fr sin Fh Fτr
M Z r F
• 结论： 力矩取决于力的大小、方 向和作用点
F
h
r
F
A F
Fn
• 在刚体的定轴转动中，力矩只
有两个指向（r →F右手螺旋）
讨论
(1) 力对点的力矩
MO r F
力对轴的力矩
M Z r F
z
Mo
F
O. r
t
0
dt
0
t
0
dt
0
对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度 = 常量，有
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 0
例 电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经150s 其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
aτ r
dt
dt
an
v
z ω, v
r' • P Oθ
刚体
r
×基点O
参 考
方
向
定轴
三. 刚体定轴转动运动学的两类问题
第一类问题 ------ 微分问题
已知刚体转动运动方程 = (t)，求角速度、角加速度
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
第二类问题 ------ 积分问题
已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程 = (t)
s O
i=1
z
z
(x,y,z)
O
yO
y
x
i=2
i=3
x i = 3+2+1= 6
当刚体的运动受到某些限制 ——自由度减少
三. 刚体的平动
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自
身平行 — 刚体平动
平动的特点: 刚体中各质点的运动情况相同.
rA
rB
BA
A
A
rA rB
A B
vA vB
吊箱平动
xA xB R cos(t 0) yA yB L Rsin(t 0) L
xA2 ( yA L)2 R2
xA xB R cos(t 0)
yA yB L Rsin(t 0) L
v Ax
dxA dt
R sin(t
0)
v Ay
dyA dt
R cos(t
0)
vA
v
2 Ax
B
aA aB
B
O
结论： 刚体的平动可归结为质点运动.
例 一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m， 供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动， 转速为0.1 r/min。
求 吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。
解 2π 2π π
T 10 60 300
第3章 刚体力学基础
“伦敦眼”（高135米） 坐落在伦敦泰晤士河畔，是伦敦的地标性建筑。
刚体运动随处可见,摩天轮是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转 的装置。轮盘和座舱的运动各有什么样的特点?如何描述?
§3.1 刚体运动概述
一. 刚体
特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数
对刚体中所有质点求和
z
ri
F内i
F内it
Fit
Pi mi
Fi
Fit ri F内it ri miri2
F内it ri 0
i
i
i
i
所以
Fit ri miri2
刚体的转动惯量
i
i
合外力矩 M Fit ri ( miri2 )
i
i
J miri2
i
M J（刚体定轴转动定律）
3.3.3 转动惯量
M J
计算转动惯量的基本公式
J miri2
i
对质量离散分布的质点系 J miri2
r
i
对质量连续分布的刚体 J r2dm
➢ 讨论
M J
刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩；
刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢
量关系式，即
M J
刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物
理量都是相对于同一转轴而言的；
同刚质体点定力轴学转中动的定律F是刚m体a 定；轴转动动力学的基本方程，如
力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生 角加速度的原因。
解 设 kt 2 （k为比例常量）
d kt 2
Hale Waihona Puke dt分离变量并积分： d t kt2dt
0
0
1 kt3
3
当t =150s，转子的角速度为
2π 12000 400πrad s-1
60
有
k
3
t3
3 400π 1503
103
rad
s-4
1 103 t3
3
150 1 103 t3dt 1687.5102 rad 03
N 1687.5102 268102 r
2π
2π
§3.3 刚体绕定轴转动定律
3.3.1 力矩
•力 •
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力 F 对z 轴的力矩(力在垂直于轴的平面内)
Mz (F) Fr sin F h Fτr MZ r F
力 F 对z 轴的力矩(力不在垂直于轴的平面内)
v
2 Ay
R
25
300
0.26 m / s
aAx
dv Ax dt
R 2 cos(t
0)
aAy
dv Ay dt
R 2 sin(t
0)
讨论：.............
aA
a
2 Ax
a
2 Ay
R 2
25 2
3002
2.7 103
m / s2
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
刚体定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 角速度
f (t) (运动学方程) d f '(t)
dt
z
转动平O面
P(t)
x
角加速度
d
dt
d2
dt 2
f "(t)
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,
v r'
an r' 2
a
dv dt
r'
z ω, v
r' • P Oθ
刚体
r参
×基点O
考 方
向
矢量表示
刚体转动的角速度矢量
k
角加速度矢量
d
k
dt
速度与角v 速 d度r的 ω矢 量r关系式 dt
加速度与角加速度的矢量关系式
a
dv
d(ω
r)
dω
r
ω
dr
βdtr
dt ω v
M o z F//
F
(2)力对任意点的力矩，在 通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩
hr
F
A F
Fn
3.3.2 刚体绕定轴转动定律
对Pi :
Fi
F内i
mi ai
法向：...
切向： Fit F内it miait miri 两边同乘以 ri ：Fit ri F内it ri miri2
z
F//
M z (F) Fr sin Fh Fτr
M Z r F
• 结论： 力矩取决于力的大小、方 向和作用点
F
h
r
F
A F
Fn
• 在刚体的定轴转动中，力矩只
有两个指向（r →F右手螺旋）
讨论
(1) 力对点的力矩
MO r F
力对轴的力矩
M Z r F
z
Mo
F
O. r
t
0
dt
0
t
0
dt
0
对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度 = 常量，有
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 0
例 电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经150s 其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
aτ r
dt
dt
an
v
z ω, v
r' • P Oθ
刚体
r
×基点O
参 考
方
向
定轴
三. 刚体定轴转动运动学的两类问题
第一类问题 ------ 微分问题
已知刚体转动运动方程 = (t)，求角速度、角加速度
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
第二类问题 ------ 积分问题
已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程 = (t)
s O
i=1
z
z
(x,y,z)
O
yO
y
x
i=2
i=3
x i = 3+2+1= 6
当刚体的运动受到某些限制 ——自由度减少
三. 刚体的平动
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自
身平行 — 刚体平动
平动的特点: 刚体中各质点的运动情况相同.
rA
rB
BA
A
A
rA rB
A B
vA vB
吊箱平动
xA xB R cos(t 0) yA yB L Rsin(t 0) L
xA2 ( yA L)2 R2
xA xB R cos(t 0)
yA yB L Rsin(t 0) L
v Ax
dxA dt
R sin(t
0)
v Ay
dyA dt
R cos(t
0)
vA
v
2 Ax
B
aA aB
B
O
结论： 刚体的平动可归结为质点运动.
例 一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m， 供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动， 转速为0.1 r/min。
求 吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。
解 2π 2π π
T 10 60 300
第3章 刚体力学基础
“伦敦眼”（高135米） 坐落在伦敦泰晤士河畔，是伦敦的地标性建筑。
刚体运动随处可见,摩天轮是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转 的装置。轮盘和座舱的运动各有什么样的特点?如何描述?
§3.1 刚体运动概述
一. 刚体
特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数
对刚体中所有质点求和
z
ri
F内i
F内it
Fit
Pi mi
Fi
Fit ri F内it ri miri2
F内it ri 0
i
i
i
i
所以
Fit ri miri2
刚体的转动惯量
i
i
合外力矩 M Fit ri ( miri2 )
i
i
J miri2
i
M J（刚体定轴转动定律）
3.3.3 转动惯量
M J
计算转动惯量的基本公式
J miri2
i
对质量离散分布的质点系 J miri2
r
i
对质量连续分布的刚体 J r2dm
➢ 讨论
M J
刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩；
刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢
量关系式，即
M J
刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物
理量都是相对于同一转轴而言的；
同刚质体点定力轴学转中动的定律F是刚m体a 定；轴转动动力学的基本方程，如
力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生 角加速度的原因。
解 设 kt 2 （k为比例常量）
d kt 2
Hale Waihona Puke dt分离变量并积分： d t kt2dt
0
0
1 kt3
3
当t =150s，转子的角速度为
2π 12000 400πrad s-1
60
有
k
3
t3
3 400π 1503
103
rad
s-4
1 103 t3
3
150 1 103 t3dt 1687.5102 rad 03
N 1687.5102 268102 r
2π
2π
§3.3 刚体绕定轴转动定律
3.3.1 力矩
•力 •
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力 F 对z 轴的力矩(力在垂直于轴的平面内)
Mz (F) Fr sin F h Fτr MZ r F
力 F 对z 轴的力矩(力不在垂直于轴的平面内)
v
2 Ay
R
25
300
0.26 m / s
aAx
dv Ax dt
R 2 cos(t
0)
aAy
dv Ay dt
R 2 sin(t
0)
讨论：.............
aA
a
2 Ax
a
2 Ay
R 2
25 2
3002
2.7 103
m / s2
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
刚体定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 角速度
f (t) (运动学方程) d f '(t)
dt
z
转动平O面
P(t)
x
角加速度
d
dt
d2
dt 2
f "(t)
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,