流体力学基础第三章一维流体动力学基础
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第三章 一元流体动力学理论基础
第三章 一元流体动力学理论基础
第一章 绪论 第一节 描述液体运动的两种方法 第二节 流体运动的若干基本概念 第三节 连续性方程 第四节 恒定总流的能量方程 第五节 恒定总流的动量方程
明德至诚 博学远志
第一节 描述液体运动的两种方法
流场：充满运动流体的空间称为流场。
1. 拉格朗日(Lagrange)法（随体法） 拉格朗日法着眼于流场中每一个运动着的流体质
1.恒定流与非恒定流
1)恒定流
水面保持恒定
流体质点的流体参数（速度、加速度、压强和密
度恒2)非）定恒皆流定不的流随当时地间加变速化度为的零液。流水面。不断下uuu降rrr！xzy
= = =
uuurrrzxy(((xxx,,,
y, z)⎫
y, z)⎪⎬
y,
z)
⎪ ⎭
各点流速和各运动要素 随时间变化而变化的液流。
⎪ ⎪ ⎭
环境与资源学院环境科学与工程系 Environment Science & Engineering
1
2. 欧拉法（Euler）--当地法
研究流场中各个固定点上质点运动要素随 时间的变化情况，以获得整个液体运动场 的变化规律。
用Euler法描述液体运动时，运动要素是空 间坐标x,y,z与时间坐标t的连续可微函数， 变量x,y,z,t统称为Euler变量。
有压流：边界全部为固体（若为液体则没有自由表 面）的流体运动。如：给水管道、输油管道中的
无压流：边界部分为固体，部分为大气，具有自由 表面的液体运动。如：河渠、排水管道中的
射流：流体从空口、管嘴或缝隙中连续射出一股具 有一定尺寸的流速，射到足够大的空间去继续扩散 的流动称为射流。
zx,y,z—分别为X,Y,Z方向上的空间坐标函数值；
工程流体力学--第三章--流体动力学基础ppt课件
当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
2021/4/19
3
的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
(3-2) (3-3)
az w t t22 zaz(a,b,c,t)
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5
式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u dx dt
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
(3-2) (3-3)
az w t t22 zaz(a,b,c,t)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u dx dt
流体力学课件_第3章_一元流体动力学基础(下)
A
2. 急变流
动压强特性：在断面上有
3.控制断面的选取： 控制断面一般取在渐变流过水断面或其 极限情况均匀流断面上。
想一想
为什么在总流分析法中需引入断面平均 流速？ 即目的所在？
因为总流过水断面上各点的流速是不相等的。为了 简化总流的计算，所以引入了断面平均流速来代替 各点的实际流速。
第五节 恒定总流连续性方程
取距基准面的铅直距离来分别表示相应断面的总水头与测 压管水头。 • 测压管水头线是根据总水头线减去流速水头绘出的。
第十一节 恒定气流能量方程式
虽然恒定总流伯努利方程是在不可压缩这样 的流动模型基础上提出的，但在流速不高（小于 68m / s ) ，压强变化不大的情况下，同样可以应 用于气体。
p1 α v p2 α v z1 + + = z2 + + + hw γ 2g γ 2g
二、控制断面的选取
1、渐变流的性质 渐变流过水断面近似为平面，即 渐变流是流线接近于平行直线的流动。均匀流是渐变 流的极限。 2、动压强特性：在渐变流同一过水断面上， 各点动 压强按静压强的规律（2-11）式分布，如图的c-c断面， 即
想一想
图中，过水断面上的动压强分布符合静 压强分布规律的为： A 直管处 B 弯管处
第3章 一元流体动力学基础（下）
重点内容： 1、总流分析方法； 2、恒定总流能量方程 1）恒定总流能量方程 2）能量方程的扩展 3）能量方程的应用 掌握内容： 1、连续性方程 2、实际流体元流能量方程
第五节 补充内容 （伯努利方程基础概念）
一、概念 1.控制体：即在流场中划定的一个固定的 空间区域，该区域完全被流动流体所充满。 2.控制断面：即控制体（流管）有流体流 进流出的两个断面，如图中的1-1，2-2断面。
流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础
1Q1dt 2Q2dt
1. 微小流束连续性方程
1Q1 2Q2 11dA1 22dA2
对不可压缩流体：
1 2 , Q1 Q2 1dA1 2dA2
1. 微小流束连续性方程 推而广之，在全部流动的各个断面上：
Q1 Q2 ~ Q
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
d 2 4A d 4R d x
非圆形截面管道的当量直径 x
D 4A 4R x
R
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
第三章 一元流体动学基础
三、两者的不同
在恒定流动中，迹线和流线完全重合。 在非恒定流动中，两线不重合。
第四节
一元模型流动
一元流动模型的建立，首先要建立几个概念，这些概念是由流线进一步发展 而来的。 1、流管：在流场中，取任意非流线的封闭曲线 、流管 这些流线组成的管状流面，就是流管。
l
，经此曲线上全部点作流线，
2、流束：流管所包围的流体称流束。围成流束的 、流束 流面由流线构成，因为流线是互不相交的，所以流 面构成一个封闭的面，外部的流体不能流入，内部 的流体不能流出。 3、过流断面：与流束中的流线处处垂直的断面称为 、过流断面：
2、控制体：是指流场中某一确定的空间。这一空间的边界称为控制面。 、控制体：
与系统不同，控制体一经选定，它在坐标系中的位置和形状都不再变化。如果这 个坐标是固定的就称为固定控制体，如果是运动坐标系，则称为运动控制体。
系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 利用控制体可以推导出流体所具有的某种物理量（如质量、动量、动 量矩）随时间的变化率，由此可得出流体力学中若干个重要方程，如 总流连续性方程、动量方程和动量矩方程。
§3-1 描述流体运动的两种方法
二、欧拉描述法
基本思想：在任意指定的时刻逐点描述当地的运动特征量（如速度、加速度） 基本思想 及其它物理分布（如压力，密度）的方法。这种通过描述物理量在空间的分布 来研究流体运动的方法称为欧拉法 欧拉法。 欧拉法 欧拉法中时空坐标 ( x, y , z , t ) 是自变量，任一点速度可表示为：
r r s = s (a, b, c, t)
它在
x, y, z方向的分量为：
在恒定流动中，迹线和流线完全重合。 在非恒定流动中，两线不重合。
第四节
一元模型流动
一元流动模型的建立，首先要建立几个概念，这些概念是由流线进一步发展 而来的。 1、流管：在流场中，取任意非流线的封闭曲线 、流管 这些流线组成的管状流面，就是流管。
l
，经此曲线上全部点作流线，
2、流束：流管所包围的流体称流束。围成流束的 、流束 流面由流线构成，因为流线是互不相交的，所以流 面构成一个封闭的面，外部的流体不能流入，内部 的流体不能流出。 3、过流断面：与流束中的流线处处垂直的断面称为 、过流断面：
2、控制体：是指流场中某一确定的空间。这一空间的边界称为控制面。 、控制体：
与系统不同，控制体一经选定，它在坐标系中的位置和形状都不再变化。如果这 个坐标是固定的就称为固定控制体，如果是运动坐标系，则称为运动控制体。
系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 利用控制体可以推导出流体所具有的某种物理量（如质量、动量、动 量矩）随时间的变化率，由此可得出流体力学中若干个重要方程，如 总流连续性方程、动量方程和动量矩方程。
§3-1 描述流体运动的两种方法
二、欧拉描述法
基本思想：在任意指定的时刻逐点描述当地的运动特征量（如速度、加速度） 基本思想 及其它物理分布（如压力，密度）的方法。这种通过描述物理量在空间的分布 来研究流体运动的方法称为欧拉法 欧拉法。 欧拉法 欧拉法中时空坐标 ( x, y , z , t ) 是自变量，任一点速度可表示为：
r r s = s (a, b, c, t)
它在
x, y, z方向的分量为：
流体力学 第三章 流体动力学
vx vx vx dv x vx vx vy vz 解： （1）a x t x y z dt
(4 y 6 x) (4 y 6 x)t (6t ) (6 y 9 x)t (4t )
将t=2，x=2，y=4代入得
ax 4m / s 2
同理 ay 6m / s 2 m / s2 a 4i 6 j
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处
uz=0，求uz。 解：由
得 积分
u x u y u z 0 x y z u z 4 x 4 y z
uz 4( x y) z c
得 c=0
由z=0，uz=0
a.流体质点的加速度
dv a dt
dv x vx vx dx vx dy vx dz ax dt t x dt y dt z dt
同理
vx vx vx vx vx vy vz t x y z
ay
v y t
vx
是均匀流
3.流线与迹线 （1）流线——某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转 流线微分方程：
流线上任一点的切线方向 (dr ) 与该点速度矢量 (v ) 一致
dr v dx dy dz 0 vx vy vz
dy (a, b, c, t ) vy dt
dvy (a, b, c, t ) dt
dz (a, b, c, t ) vz dt
dv z (a, b, c, t ) az dt
三章一元流体动力学基础
例如：水从管中以怎样旳速度流出，风经过门窗等等，只 要懂得一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面）， 而不需要了解某一质点， 或某一流体集团旳全部流动过程
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
第三章2一元流体动力学基础
n1 A1 A2
v
dA vn 2 dA
不可压缩 一维定常流：
va A 常数
在定常流动条件下，通 过流管的任意有效截面 的体积流量是常量。
1 d1 1
2 2
d2
例 管道中水的质量流量为Qm=300kg/s, 若d1=300mm, d2=200mm, 求流量和过流断面 1-1, 2-2 的平均流速 解:
速 度 水 头
位 臵 水 头
2
总水头线
v / 2g
2 1
b c
b'
2 v2 / 2g
p1 /
c' 1
p2 /
H
压 强 水 头
总 水 头
z1
不可压缩理想流体在重力场中作 定常流动时，沿流线单位重力流 体的总水头线为一平行于基准线 的水平线。
2 a a'
z2
§3.4 恒定元流能量方程
三、伯努利方程的应用
§3.5 过流断面的压强分布
均匀流过流断面上压强 分布规律服从于水静力学规 律。
p p z1 z2 1 2
§3.5 过流断面的压强分布
例：水在倾斜管中流动，用U型水银压力计测定A 点压强，压力计所指示读数如图示，求A点压强。
解：
pA Hg h1 H2O h2
p
u2 Z 常数 2g p
单 位 压 能 单 位 位 能 单 位 动 能
§3.4 恒定元流能量方程
二、方程的意义
3、其它
HP
测 压 管 水 头
p
Z
总 水 头
u2 H Z 2g p
单 位 总 能 量
单 位 势 能
v
dA vn 2 dA
不可压缩 一维定常流：
va A 常数
在定常流动条件下，通 过流管的任意有效截面 的体积流量是常量。
1 d1 1
2 2
d2
例 管道中水的质量流量为Qm=300kg/s, 若d1=300mm, d2=200mm, 求流量和过流断面 1-1, 2-2 的平均流速 解:
速 度 水 头
位 臵 水 头
2
总水头线
v / 2g
2 1
b c
b'
2 v2 / 2g
p1 /
c' 1
p2 /
H
压 强 水 头
总 水 头
z1
不可压缩理想流体在重力场中作 定常流动时，沿流线单位重力流 体的总水头线为一平行于基准线 的水平线。
2 a a'
z2
§3.4 恒定元流能量方程
三、伯努利方程的应用
§3.5 过流断面的压强分布
均匀流过流断面上压强 分布规律服从于水静力学规 律。
p p z1 z2 1 2
§3.5 过流断面的压强分布
例：水在倾斜管中流动，用U型水银压力计测定A 点压强，压力计所指示读数如图示，求A点压强。
解：
pA Hg h1 H2O h2
p
u2 Z 常数 2g p
单 位 压 能 单 位 位 能 单 位 动 能
§3.4 恒定元流能量方程
二、方程的意义
3、其它
HP
测 压 管 水 头
p
Z
总 水 头
u2 H Z 2g p
单 位 总 能 量
单 位 势 能
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第三章 一维流体动力学基础
无论在自然界或工程实际中，流体的静止总是相 对的，运动才是绝对的。流体最基本的特征就是它 的流动性。因此，进一步研究流体运动规律便具有 更重要、更普遍的意义。
第一节 概述
一、流体动力学与流体静力学的区别 流体静力学只考虑作用在流体上的重力和压力， 流体静压强只与该点的空间位置有关； 流体动力学除考虑重力和压力外，还要考虑流体 受到的惯性力和粘性力，动力学中的压强不仅与 空间坐标有关，还与方向有关。
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
流线的性质
a.同一时刻的不同流线,不能相交. b.流线不能是折线，而是一条光 滑的曲线。 c.流线的形状和位置，在定常流 动时不随时间变化；而在不定 常流动时，随时间变化。
交点
u1 u2
s1
s2
u1
折点
u2
s
d.流线簇的疏密反映了速度的大小 （流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
流线的方程
欧拉法(Euler method)—“站岗”法 欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对象，而 不是跟随个别质点，考察每一时刻通过各固定点、固 定断面和固定区间内流体质点的运动情况来确定整个 流场的运动规律。 其要点：分析流动空间某固定位置处，流体运动要 素随时间的变化规律；分析流体由某一空间位置运动 到另一空间位置时，运动要素随位置的变化规律。 表征流体运动特征的速度、加速度、压强、密度等 物理量均是时间和空间坐标的连续函数。 在研究工程流体力学时主要采用欧拉法。
即
i
j k
dx dy dz 0 ux u y uz
展开后得到： dx
dy dz ——流线方程 ux u y uz
或用它们余弦相等推得：
u y dy u x dx u z dz cos , cos , cos u ds u ds u ds
第一节 概述
流体的流动是由充满整个流动空间的无限 多个流体质点的运动构成的。充满运动流体的 的空间称为流场。 研 欧拉法 究 方 拉格朗日法
法
一、拉格朗日法
拉格朗日方法：是以流场中每一流体质点作为描述流 体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基 础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整 个流动。 研究对象：流体质点
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
二 流线与迹线
1. 流线
流线的定义——表示某
一瞬时流体各点流动趋势 的曲线； 曲线上每一点的速度矢量 总在该点与曲线相切。 右图为流线谱中显示的刻通 过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2 点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如 此下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限 就是某时刻的流线。
一、定常流动和非定常流动 定常流动：在流场中，流体质点的一切运动要素(υ、p、 粘性力、惯性力)都不随时间改变而只是坐标的函数的 流动。表示为：
u u( x, y, z ) u p 0 t t t p p( x, y, z )
例如离心式水泵，恒位水箱出水口的 稳定泄流都是定常流动。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
第二节 流体运动的基本概念
根据流线的定义，可以求得流 线的微分方程： 设ds为流线上A处一微元弧长:
ds dxi dyj dzk
u为流体质点在A点的流速:
u uxi u y j uz k
因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速 分量，u 和ds重合。所以 ds u 0
2
v x t y a，b，c，t v y t z a，b，c，t vz t
流体质点的其它流动参量可以类 似地表示为a、b、c和 t 的函数。 如： p=p(a，b，c，t) ρ=ρ(a，b，c，t)
由于流体质点的运动轨迹非常 复杂，而实用上也无须知道个别质 点的运动情况，所以除了少数情况 （如波浪运动）外，在工程流体力 学中很少采用。
质点的运动要素是初始点坐标和时间的函数。
用于研究流体的波动和震荡
空间坐标
x xa, b, c, t z z a, b, c, t
y y a, b, c, t
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日数。 所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看 作是（a,b,c）和时间t的函数。
非定常流动：在流场中，流体质点的一切运动要素(υ、 p、粘性力、惯性力)都是时间和坐标的函数的流动。 表示为：
u u( x, y, z, t ) u p 0, 0, 0 t t t p p( x, y, z, t )
例如水箱中的水位随着水的泄出而不 断下降的孔口出流就是非定常流动。
无论在自然界或工程实际中，流体的静止总是相 对的，运动才是绝对的。流体最基本的特征就是它 的流动性。因此，进一步研究流体运动规律便具有 更重要、更普遍的意义。
第一节 概述
一、流体动力学与流体静力学的区别 流体静力学只考虑作用在流体上的重力和压力， 流体静压强只与该点的空间位置有关； 流体动力学除考虑重力和压力外，还要考虑流体 受到的惯性力和粘性力，动力学中的压强不仅与 空间坐标有关，还与方向有关。
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
流线的性质
a.同一时刻的不同流线,不能相交. b.流线不能是折线，而是一条光 滑的曲线。 c.流线的形状和位置，在定常流 动时不随时间变化；而在不定 常流动时，随时间变化。
交点
u1 u2
s1
s2
u1
折点
u2
s
d.流线簇的疏密反映了速度的大小 （流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
流线的方程
欧拉法(Euler method)—“站岗”法 欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对象，而 不是跟随个别质点，考察每一时刻通过各固定点、固 定断面和固定区间内流体质点的运动情况来确定整个 流场的运动规律。 其要点：分析流动空间某固定位置处，流体运动要 素随时间的变化规律；分析流体由某一空间位置运动 到另一空间位置时，运动要素随位置的变化规律。 表征流体运动特征的速度、加速度、压强、密度等 物理量均是时间和空间坐标的连续函数。 在研究工程流体力学时主要采用欧拉法。
即
i
j k
dx dy dz 0 ux u y uz
展开后得到： dx
dy dz ——流线方程 ux u y uz
或用它们余弦相等推得：
u y dy u x dx u z dz cos , cos , cos u ds u ds u ds
第一节 概述
流体的流动是由充满整个流动空间的无限 多个流体质点的运动构成的。充满运动流体的 的空间称为流场。 研 欧拉法 究 方 拉格朗日法
法
一、拉格朗日法
拉格朗日方法：是以流场中每一流体质点作为描述流 体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基 础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整 个流动。 研究对象：流体质点
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
二 流线与迹线
1. 流线
流线的定义——表示某
一瞬时流体各点流动趋势 的曲线； 曲线上每一点的速度矢量 总在该点与曲线相切。 右图为流线谱中显示的刻通 过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2 点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如 此下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限 就是某时刻的流线。
一、定常流动和非定常流动 定常流动：在流场中，流体质点的一切运动要素(υ、p、 粘性力、惯性力)都不随时间改变而只是坐标的函数的 流动。表示为：
u u( x, y, z ) u p 0 t t t p p( x, y, z )
例如离心式水泵，恒位水箱出水口的 稳定泄流都是定常流动。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
第二节 流体运动的基本概念
根据流线的定义，可以求得流 线的微分方程： 设ds为流线上A处一微元弧长:
ds dxi dyj dzk
u为流体质点在A点的流速:
u uxi u y j uz k
因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速 分量，u 和ds重合。所以 ds u 0
2
v x t y a，b，c，t v y t z a，b，c，t vz t
流体质点的其它流动参量可以类 似地表示为a、b、c和 t 的函数。 如： p=p(a，b，c，t) ρ=ρ(a，b，c，t)
由于流体质点的运动轨迹非常 复杂，而实用上也无须知道个别质 点的运动情况，所以除了少数情况 （如波浪运动）外，在工程流体力 学中很少采用。
质点的运动要素是初始点坐标和时间的函数。
用于研究流体的波动和震荡
空间坐标
x xa, b, c, t z z a, b, c, t
y y a, b, c, t
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日数。 所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看 作是（a,b,c）和时间t的函数。
非定常流动：在流场中，流体质点的一切运动要素(υ、 p、粘性力、惯性力)都是时间和坐标的函数的流动。 表示为：
u u( x, y, z, t ) u p 0, 0, 0 t t t p p( x, y, z, t )
例如水箱中的水位随着水的泄出而不 断下降的孔口出流就是非定常流动。