流体力学 第三章 一元流体动力学基础(第一次)
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工程流体力学--第三章--流体动力学基础ppt课件
当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
2021/4/19
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
(3-2) (3-3)
az w t t22 zaz(a,b,c,t)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u dx dt
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
(3-2) (3-3)
az w t t22 zaz(a,b,c,t)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u dx dt
流体力学泵与风机-第3章 一元流体动力学基础
hl12
总流：
( z1
p1
u12 )dQ
2g
(z2
p2
u22 2g
hl12 )dQ
A2
A1
缓变流截面
z p
g
常数
(z p )dQ (z p )Q
g
A
u2 dQ u3 dA v3 dA v2 Q
2g
2g
2g
2g
A
A
A
1
v3 A
u3dA 1
A
hl12dQ hl12Q
缓变流：流线近于平行的流动 急变流：流向变化显著的流动
缓变流
急变流
缓变流 缓变流
急变流
急变流
二、速度沿流线主法线方向的变化
分析流线主法线方向所受的力：
端面压力： pA ( p p)A
p+p
重力分量： W cos 法线方向的加速度： u2 / r
A M
z
r
牛顿第二定律
p W
rA u2 ( p p)A pA W cos
(z p ) 0
r g
z1
p1
g
z2
p2
g
z
r
p2
2 p1 1
流线
水平面内的直线流动： p 0 r
在均匀流动条件下，沿垂直于 流线方向（即过流断面）的压 强分布服从于静力学基本方程 式。
忽略重力影响的直线流动，沿垂 直于流线方向的压强梯度为零， 即没有压强差。
四、均匀流动时压强沿流线主法线方向（过流断面）的变化
v Q A Q vA v f (s) 简化为一元问题！
§3.5 连续性方程
问题：v(s)沿流向如何变化（规律）？
流体力学课件一元流体动力学基础(上)
dm dV Avdt v m Adt
M、dt、ρ一定，则A越大，v越小。A越大，则流线 越疏，故此，流线疏松，说明A越大，故此，v越小； 反之，越密集，说明A越小，v越大。
在恒定流中，流线和迹线是完 全重合的。
第四节 一元流动模型
一、流管与流束
1.流管:在流场中取任一封闭曲线（不是流线）， 通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成 的管状空间称为流管。
表达式中的自变量（ a 、 b 、c、 t ) ，称为拉 格朗日变量。
速度 加速度
应用前景
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而 实用上也无须知道个别质点的运动情况， 所以除了少数情况（如波浪运动）外，在 工程流体力学中很少采用。
二、欧拉法
步哨监控
特点
将个别流体质点运动过程置之不理,以 固定空间点为研究对象，描述各瞬时物 理量在空间的分布来研究流体运动的方 法。通过观察在流动空间中的每一个空间点
均匀流——流线是平行直线的流动，
非均匀流——流线不是平行直线的流动，
4.渐变流与急变流
定义：渐变流——沿程逐渐 改变的流动。
性质：非均匀流中如流动变 化缓慢，流线的曲率很小 接近平行，过流断面上的 压力基本上是静压分布者 为渐变流，否则为急变流。
二、流体流动的分类
（1）层流 层流亦称片流，是指流体质点不互相混杂，
位变加速度？ 2、如图，在水位变化的情况下：
A — A’和B —B’是否存在时变加速度和 位变加速度？
本书以下的流动描述均 采用欧拉法！
第二节 恒定流动和非恒定流动
一、 流体流动
1. 恒定流动
流场中各点流速不随时间变化，由流速决定 的压强，粘性力和惯性力也不随时间变化。这种流 动称为恒定流动。
M、dt、ρ一定，则A越大，v越小。A越大，则流线 越疏，故此，流线疏松，说明A越大，故此，v越小； 反之，越密集，说明A越小，v越大。
在恒定流中，流线和迹线是完 全重合的。
第四节 一元流动模型
一、流管与流束
1.流管:在流场中取任一封闭曲线（不是流线）， 通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成 的管状空间称为流管。
表达式中的自变量（ a 、 b 、c、 t ) ，称为拉 格朗日变量。
速度 加速度
应用前景
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而 实用上也无须知道个别质点的运动情况， 所以除了少数情况（如波浪运动）外，在 工程流体力学中很少采用。
二、欧拉法
步哨监控
特点
将个别流体质点运动过程置之不理,以 固定空间点为研究对象，描述各瞬时物 理量在空间的分布来研究流体运动的方 法。通过观察在流动空间中的每一个空间点
均匀流——流线是平行直线的流动，
非均匀流——流线不是平行直线的流动，
4.渐变流与急变流
定义：渐变流——沿程逐渐 改变的流动。
性质：非均匀流中如流动变 化缓慢，流线的曲率很小 接近平行，过流断面上的 压力基本上是静压分布者 为渐变流，否则为急变流。
二、流体流动的分类
（1）层流 层流亦称片流，是指流体质点不互相混杂，
位变加速度？ 2、如图，在水位变化的情况下：
A — A’和B —B’是否存在时变加速度和 位变加速度？
本书以下的流动描述均 采用欧拉法！
第二节 恒定流动和非恒定流动
一、 流体流动
1. 恒定流动
流场中各点流速不随时间变化，由流速决定 的压强，粘性力和惯性力也不随时间变化。这种流 动称为恒定流动。
第三章 一元流体动学基础
三、两者的不同
在恒定流动中，迹线和流线完全重合。 在非恒定流动中，两线不重合。
第四节
一元模型流动
一元流动模型的建立，首先要建立几个概念，这些概念是由流线进一步发展 而来的。 1、流管：在流场中，取任意非流线的封闭曲线 、流管 这些流线组成的管状流面，就是流管。
l
，经此曲线上全部点作流线，
2、流束：流管所包围的流体称流束。围成流束的 、流束 流面由流线构成，因为流线是互不相交的，所以流 面构成一个封闭的面，外部的流体不能流入，内部 的流体不能流出。 3、过流断面：与流束中的流线处处垂直的断面称为 、过流断面：
2、控制体：是指流场中某一确定的空间。这一空间的边界称为控制面。 、控制体：
与系统不同，控制体一经选定，它在坐标系中的位置和形状都不再变化。如果这 个坐标是固定的就称为固定控制体，如果是运动坐标系，则称为运动控制体。
系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 利用控制体可以推导出流体所具有的某种物理量（如质量、动量、动 量矩）随时间的变化率，由此可得出流体力学中若干个重要方程，如 总流连续性方程、动量方程和动量矩方程。
§3-1 描述流体运动的两种方法
二、欧拉描述法
基本思想：在任意指定的时刻逐点描述当地的运动特征量（如速度、加速度） 基本思想 及其它物理分布（如压力，密度）的方法。这种通过描述物理量在空间的分布 来研究流体运动的方法称为欧拉法 欧拉法。 欧拉法 欧拉法中时空坐标 ( x, y , z , t ) 是自变量，任一点速度可表示为：
r r s = s (a, b, c, t)
它在
x, y, z方向的分量为：
在恒定流动中，迹线和流线完全重合。 在非恒定流动中，两线不重合。
第四节
一元模型流动
一元流动模型的建立，首先要建立几个概念，这些概念是由流线进一步发展 而来的。 1、流管：在流场中，取任意非流线的封闭曲线 、流管 这些流线组成的管状流面，就是流管。
l
，经此曲线上全部点作流线，
2、流束：流管所包围的流体称流束。围成流束的 、流束 流面由流线构成，因为流线是互不相交的，所以流 面构成一个封闭的面，外部的流体不能流入，内部 的流体不能流出。 3、过流断面：与流束中的流线处处垂直的断面称为 、过流断面：
2、控制体：是指流场中某一确定的空间。这一空间的边界称为控制面。 、控制体：
与系统不同，控制体一经选定，它在坐标系中的位置和形状都不再变化。如果这 个坐标是固定的就称为固定控制体，如果是运动坐标系，则称为运动控制体。
系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 利用控制体可以推导出流体所具有的某种物理量（如质量、动量、动 量矩）随时间的变化率，由此可得出流体力学中若干个重要方程，如 总流连续性方程、动量方程和动量矩方程。
§3-1 描述流体运动的两种方法
二、欧拉描述法
基本思想：在任意指定的时刻逐点描述当地的运动特征量（如速度、加速度） 基本思想 及其它物理分布（如压力，密度）的方法。这种通过描述物理量在空间的分布 来研究流体运动的方法称为欧拉法 欧拉法。 欧拉法 欧拉法中时空坐标 ( x, y , z , t ) 是自变量，任一点速度可表示为：
r r s = s (a, b, c, t)
它在
x, y, z方向的分量为：
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
三章一元流体动力学基础
例如：水从管中以怎样旳速度流出，风经过门窗等等，只 要懂得一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面）， 而不需要了解某一质点， 或某一流体集团旳全部流动过程
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
第3章 一元流体动力学基础
伯努利方程的几何意义与物理意义
mgz z mg
p mgh h g mg
某点到基准面的位置高度，或位置水头 单位重量流体所具有的位置势能，或位能
该点的测压管高度，或压强水头； 单位重量流体所具有的压强势能，或压能
z
p g
该点测压管液面的总高度，或测压管水头 单位重量流体所具有的总势能
该点的流速高度，或流速水头 单位重量流体所具有的动能； 该点的总水头 单位重量流体所具有的机械能； 沿元流各点总水头相等，总水头线水平 沿元流机械能守恒，故又称能量方程
3.4.7 流量（flow rate/discharge） 单位时间内通过过流断面流体的体积，单位为立方米每秒（m3/s） 若以 dA 表示元流过流断面面积，u 表示该断面流速，总流流量
Q A udA
除体积流量外，还可有质量流量及重量流量等 3.4.8 断面平均流速（mean velocity） 总流过流断面上的假想速度 v
uz
u y z
uz uz uz uz az ux uy uz t x y z
3.2 恒定流和非恒定流（steady and unsteady flows）
流场中各空间点的运动要素均不随时间变化的流动为恒定流 反之为非恒定流 对于恒定流
ux ux x, y, z
或
2 u A pB pA h 2 g g g
由此可见，测速管（毕托管）与测压管之差即流速水头
使用毕托管测量点流速 对于液体
u 2 gh
pA u 2 pB g 2g g
pB pA
对于气体
u 2
2
u AB
h
U型管内
pB pA ' gh
2-流体力学-第三章-流体动力学(1)-三大方程-黄国钦
d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
质点导数亦称随体导数亦称物质导数等。
11 12
2
例题 例题:
r r r r V = x 2 yi − 3 yj + 2 z 2 k
3.2 几个概念 3.2.1 流动的分类——定常流和非定常流
试求点 (1, 2 , 3) 处流体加速度的三个分量 解:
•
欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速 度矢量场为：
选定某一空 选定某一空 间固定点 间固定点
记录流动空间 某固定位置 处，流体运动 要素（速度、 加速度）随时 间变化规律
r r u =u (x,y,z,t)
综合流场中 许多空间点 随时间的变 化情况
(( x ,, y ,, zz )) 是 x y 是空 空间 间点 点（ （场 场 r u 点）。流速 是在 点）。流速 是在 tt 时 时 刻占据 (( x ,, y ,, zz )) 的那个流 刻占据 x y 的那个流
工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
制造工程系：黄国钦
1
2
3.1.2 描述流体运动的两种方法及质点导数概念
3.1.2 描述流体运动的两种方法 3.1.2.1 拉格朗日法
基本思想：以研究个别流体质点的运动为基础，跟踪每个流体质点的运动全 基本思想： 过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。即通过描述每一质 点的运动了解流体运动。(随体法或跟踪法)
迹线
M(-1,-1)
o
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
19
dx dy dz = = vx v y vz
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由静到动：受力变化 出现了和流速密切相关的惯性力 和粘性力
惯性力： 由流体质点本身流速变化引起的。
粘性力： 由流层与流层之间，质点与质点之间存 在流速差引起的。
结论： 流体动力学的基本问题是流速问题
§3.1 描述流体运动的两种方法
拉格朗日法
跟踪
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
蹲点
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
1 p a
x
1 p 0
y
1 p g
z
铅直方向压强递增率相同
xOy平面内压强递增率不同
1 p 2 x x 1 p 2 y y
1 p g
z
p p0 h
等压面不同
内容回顾
核心问题1、匀加速直线运动中液体的平衡
（1）质量力（两部分） X X1 X2 a Y Y1 Y2 0
Fx F1 F2
Fy：选取压力体 G1
x
y
G2
Fy1
Fy 2
Fy G1 G2
三种不同平衡状态总体对比
静止、匀加速直线运动、匀速旋转运动
静止流体 匀加速直线流体 匀速旋转流体
偏导数 反映的是 函数沿坐 标轴方向 的变化率。
1 p 0
x
1 p 0
y 1 p g z
x
A
y
R
（2）压强分布
O
x
p
pa
(
2
r
2
2g
z)
pa
h
y 2
x 2
r 2
y
x、y 固定不变： 压强沿 z 轴线性变化。
（3）自由面方程
自由面绝对压强：
R
p pa
自由面相对压强：
p
p
pa
(2r2
2g
z)
0
z
2R2
2g
O
x
自由面方程：
(2r2 z) 0
O
x
有： (2 xdx 2 ydy gdz) 0
y
积分，得： 1 2 x 1 2 y gz C
2
2
2r2
z C 2g
整理 1 2r 2 gz C 或 2r2 z C
2
2g
结论：匀速旋转运动中，液体的等压面是绕直轴旋 转的抛物面，当 C 值不同时，得到旋转抛物面簇。
（t0）
（x，y，z）
x x(a,b, c,t)
y
y(a,b, c,t)
z z(a,b, c,t)
全部质点的速度：
O M （a，b，c） x
y (a, b, c, t) 通常称 作拉格朗日变量
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a, b, c, t ) t
AB
C D
跟踪
A D
BC
t2时刻
t1时刻
拉格朗日法 ——以研究单个液体质点的运动过 程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个液 体的运动。
拉格朗日法
跟踪
着重于流体质点
跟踪每个 流体质点
研究其位移、 速度、加速 度等随
时间的变
化情况
综合流场中 所有流体质 点的运动
流场的 运动
z t
结论：轨迹方程是初始 坐标与时间的连续函数
探索未知，传承文明
流体力学
作业点评
习题3-6: 一开口圆柱形容器，直径D= 0.4m，上部为油，下部 为水。(1) 若a=0.2m, b=1.2m, c=1.4m, 求油的相对密度。 (2) 如 果油的相对密度为0.84， a=0.5m，b=1.6m，求容器中水和油的 体积。
点评：判断等压面，选择等压面，巧用传递性。
等压面 传递性
p1 o (c a) p1 w (b a)
p2 wb p1 w (b a) p2 p1 wa
A油
1
D
2 B水
c b
a
习题3-11：圆筒行闸门，直径D=4m，长度L=10m，H1=4m， H2=2m。求作用于闸门上的静水总压力Fx、Fy。
uz
z(a,b, c,t) t
ux , uy , uz
质点流速在各轴的分量
全部质点的加速度：
有： (adx gdz) 0
积分，得： ( a x z) C
g
或
a xz C g
z a xC g
结论：匀加速直线运动中，液体的等 压面是与自由面平行的一系列倾斜面。
核心问题2、匀速旋转运动中液体的平衡
z
（1）质量力（两部分）
X X1 X2 2x Y Y1 Y2 2 y Z Z 1Z2 g
Z Z 1Z2 g
（2）压强分布
z
x
ya
a
g
p
pa
(
a g
x
z)
pa
h
z 固定不变：压强沿 x 轴线性变化。 x 固定不变：压强沿 z 轴线性变化。
（3）自由面方程
自由面绝对压强：
z
p pa
自由面相对压强：
p
p
pa
(
a g
x
z) 0
x
O
自由面方程：
2g
y
z 2r2 2 (x2 y2)
2g 2g
结论：自由面为一旋转抛物面，形状与ω有关。
2R2
h 2g
, h
（4）等压面方程
等压
dp 0
R
另外有 X 2 x, Y 2 y, Z g
z
代入流体平衡微分方程：
dp (Xdx Ydy Zdz)
y
( a x z) 0
g
z a x g
自由面为一与 y 轴平行的过坐标轴原点的倾斜面
自由面与xOy面夹角： tan a
g
a ,
（4）等压面方程
等压
dp 0
另外有 X a, Z g
代入流体平衡微分方程：
z
x
a
dp (Xdx Ydy Zdz)
第三章 一元流体动力学基础
§3.1 描述流体运动的拉格朗日法与欧拉法 §3.2 （非）恒定元流的概念与特征 §3.3 流线与迹线的概念及区别 §3.4 一元流动模型 特点：概念多、较抽象 学习要求：理解基本概念
引言
学习进程： 静力学→（相对平衡） →动力学
流体的基本特征：流动性→研究运动规律更有价值 动力学的主要问题：→压强和流速→两者在空间的分布
y
点评：整体受力分析、 压力体的叠加。
H1
x D
H2
F1
Fx1
Fx F1 F2
Fx 2
F2
“转嫁危机”
y
x D
H1
H2
习题3-12：拦河大坝，坝内水深80m，坝外水深20m，计算静 水压作用下，大坝所受合力及其与x轴方向。
点评：整体受力分析、 选取压力体。
x
y
F1
Fx1
F2
Fx 2
惯性力： 由流体质点本身流速变化引起的。
粘性力： 由流层与流层之间，质点与质点之间存 在流速差引起的。
结论： 流体动力学的基本问题是流速问题
§3.1 描述流体运动的两种方法
拉格朗日法
跟踪
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
蹲点
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
1 p a
x
1 p 0
y
1 p g
z
铅直方向压强递增率相同
xOy平面内压强递增率不同
1 p 2 x x 1 p 2 y y
1 p g
z
p p0 h
等压面不同
内容回顾
核心问题1、匀加速直线运动中液体的平衡
（1）质量力（两部分） X X1 X2 a Y Y1 Y2 0
Fx F1 F2
Fy：选取压力体 G1
x
y
G2
Fy1
Fy 2
Fy G1 G2
三种不同平衡状态总体对比
静止、匀加速直线运动、匀速旋转运动
静止流体 匀加速直线流体 匀速旋转流体
偏导数 反映的是 函数沿坐 标轴方向 的变化率。
1 p 0
x
1 p 0
y 1 p g z
x
A
y
R
（2）压强分布
O
x
p
pa
(
2
r
2
2g
z)
pa
h
y 2
x 2
r 2
y
x、y 固定不变： 压强沿 z 轴线性变化。
（3）自由面方程
自由面绝对压强：
R
p pa
自由面相对压强：
p
p
pa
(2r2
2g
z)
0
z
2R2
2g
O
x
自由面方程：
(2r2 z) 0
O
x
有： (2 xdx 2 ydy gdz) 0
y
积分，得： 1 2 x 1 2 y gz C
2
2
2r2
z C 2g
整理 1 2r 2 gz C 或 2r2 z C
2
2g
结论：匀速旋转运动中，液体的等压面是绕直轴旋 转的抛物面，当 C 值不同时，得到旋转抛物面簇。
（t0）
（x，y，z）
x x(a,b, c,t)
y
y(a,b, c,t)
z z(a,b, c,t)
全部质点的速度：
O M （a，b，c） x
y (a, b, c, t) 通常称 作拉格朗日变量
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a, b, c, t ) t
AB
C D
跟踪
A D
BC
t2时刻
t1时刻
拉格朗日法 ——以研究单个液体质点的运动过 程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个液 体的运动。
拉格朗日法
跟踪
着重于流体质点
跟踪每个 流体质点
研究其位移、 速度、加速 度等随
时间的变
化情况
综合流场中 所有流体质 点的运动
流场的 运动
z t
结论：轨迹方程是初始 坐标与时间的连续函数
探索未知，传承文明
流体力学
作业点评
习题3-6: 一开口圆柱形容器，直径D= 0.4m，上部为油，下部 为水。(1) 若a=0.2m, b=1.2m, c=1.4m, 求油的相对密度。 (2) 如 果油的相对密度为0.84， a=0.5m，b=1.6m，求容器中水和油的 体积。
点评：判断等压面，选择等压面，巧用传递性。
等压面 传递性
p1 o (c a) p1 w (b a)
p2 wb p1 w (b a) p2 p1 wa
A油
1
D
2 B水
c b
a
习题3-11：圆筒行闸门，直径D=4m，长度L=10m，H1=4m， H2=2m。求作用于闸门上的静水总压力Fx、Fy。
uz
z(a,b, c,t) t
ux , uy , uz
质点流速在各轴的分量
全部质点的加速度：
有： (adx gdz) 0
积分，得： ( a x z) C
g
或
a xz C g
z a xC g
结论：匀加速直线运动中，液体的等 压面是与自由面平行的一系列倾斜面。
核心问题2、匀速旋转运动中液体的平衡
z
（1）质量力（两部分）
X X1 X2 2x Y Y1 Y2 2 y Z Z 1Z2 g
Z Z 1Z2 g
（2）压强分布
z
x
ya
a
g
p
pa
(
a g
x
z)
pa
h
z 固定不变：压强沿 x 轴线性变化。 x 固定不变：压强沿 z 轴线性变化。
（3）自由面方程
自由面绝对压强：
z
p pa
自由面相对压强：
p
p
pa
(
a g
x
z) 0
x
O
自由面方程：
2g
y
z 2r2 2 (x2 y2)
2g 2g
结论：自由面为一旋转抛物面，形状与ω有关。
2R2
h 2g
, h
（4）等压面方程
等压
dp 0
R
另外有 X 2 x, Y 2 y, Z g
z
代入流体平衡微分方程：
dp (Xdx Ydy Zdz)
y
( a x z) 0
g
z a x g
自由面为一与 y 轴平行的过坐标轴原点的倾斜面
自由面与xOy面夹角： tan a
g
a ,
（4）等压面方程
等压
dp 0
另外有 X a, Z g
代入流体平衡微分方程：
z
x
a
dp (Xdx Ydy Zdz)
第三章 一元流体动力学基础
§3.1 描述流体运动的拉格朗日法与欧拉法 §3.2 （非）恒定元流的概念与特征 §3.3 流线与迹线的概念及区别 §3.4 一元流动模型 特点：概念多、较抽象 学习要求：理解基本概念
引言
学习进程： 静力学→（相对平衡） →动力学
流体的基本特征：流动性→研究运动规律更有价值 动力学的主要问题：→压强和流速→两者在空间的分布
y
点评：整体受力分析、 压力体的叠加。
H1
x D
H2
F1
Fx1
Fx F1 F2
Fx 2
F2
“转嫁危机”
y
x D
H1
H2
习题3-12：拦河大坝，坝内水深80m，坝外水深20m，计算静 水压作用下，大坝所受合力及其与x轴方向。
点评：整体受力分析、 选取压力体。
x
y
F1
Fx1
F2
Fx 2