流体力学第二版(蔡增基)第三章
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流体力学第二版(蔡增基)第二章剖析
第二章 流体静力学
§2-1 流体静压强及其特征 §2-2 流体静压强的分布规律 §2-3 压强的度量 §2-4 流体静力学基本方程式的应用 §2-5 流体的平衡微分方程 §2-6 作用于平面的液体压力 §2-7 作用于曲面的液体压力
§2-8 液体的相对平衡
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于静止状态的 规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球 作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称 流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静 止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于绝对静止或相对静止状态，两者都表现不出黏 性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的 结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。
d A cos d y d z n 因为 2
1 1 1 上式变成 p x dydz p n dydz dxdydzf x 0 2 2 6 1 两边除dydz p x p n f x dx 0 3
由于 1 / 3f x dx 为无穷小，可以略去故得：
p x pn
dy
pz
pn
y
由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的 所有力在任意轴上投影的和等于零：
Px 0
Py 0
Pz 0
z dz
px pn y
在x轴方向力的平衡方程为：
Px Pn cos Wx 0
py x
dx
dy
pz
1 1 代入数值得：p x dydz pn dAn cos dxdydzf x 0 2 6 1
1 Px p x dydz 2 1 Pz p z dxdy 2
§2-1 流体静压强及其特征 §2-2 流体静压强的分布规律 §2-3 压强的度量 §2-4 流体静力学基本方程式的应用 §2-5 流体的平衡微分方程 §2-6 作用于平面的液体压力 §2-7 作用于曲面的液体压力
§2-8 液体的相对平衡
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于静止状态的 规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球 作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称 流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静 止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于绝对静止或相对静止状态，两者都表现不出黏 性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的 结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。
d A cos d y d z n 因为 2
1 1 1 上式变成 p x dydz p n dydz dxdydzf x 0 2 2 6 1 两边除dydz p x p n f x dx 0 3
由于 1 / 3f x dx 为无穷小，可以略去故得：
p x pn
dy
pz
pn
y
由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的 所有力在任意轴上投影的和等于零：
Px 0
Py 0
Pz 0
z dz
px pn y
在x轴方向力的平衡方程为：
Px Pn cos Wx 0
py x
dx
dy
pz
1 1 代入数值得：p x dydz pn dAn cos dxdydzf x 0 2 6 1
1 Px p x dydz 2 1 Pz p z dxdy 2
流体力学01绪论详解
想流体的概念
2021/4/23
• 不可压缩
2021/4/23
思考题
• (1)空气的体积弹性模数E
• (a). P
(b). T
• (c).
(d). RT
(a)
2021/4/23
思考题
• (2) ---------是非牛顿流体
• (a). 水
(b).空气
• (c).血液 (d).沥青
2021/4/23
• 教学重点：作用在流体上的力：表面力和质量力；
流体的连续介质模型、密度与重度、粘性与理想 流体模型、牛顿内摩擦定律、压缩性与不可压缩 性流体模型。
• 教学难点：表面力和质量力的区别，连续介质模
型、牛顿内摩擦定律。
2021/4/23
§1.1 流体力学的任务及其发展简史
一、流体力学的研究对象
流体力学是近代力学的一大分支，它是研究流体的平衡 和机械运动规律以及流体与周围物体之间相互作用的科学， 主要是确定流体的速度分布，压强分布与能量损失，以及流 体与固体相互间的作用力与作用力矩。
深刻理解。 3.认真听课，适当记笔记
对自己认为的重点、难点认真听老师的讲解和处理方法， 对典型的课堂例题，应记录分析问题的思路、解题步骤。
2021/4/23
4.作好预习，有准备地听课
对较难章节，一定要预习，看不懂的地方重点听老师讲 解，要把70％的精力放在看书上，重要的是理解，不要死记 硬背。
5.解题规范化，加强基本功训练
对某种流体而言，粘度值受温度的影响较大
2021/4/23
水和空气的物理性质
温度
T
(℃)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
2021/4/23
2021/4/23
• 不可压缩
2021/4/23
思考题
• (1)空气的体积弹性模数E
• (a). P
(b). T
• (c).
(d). RT
(a)
2021/4/23
思考题
• (2) ---------是非牛顿流体
• (a). 水
(b).空气
• (c).血液 (d).沥青
2021/4/23
• 教学重点：作用在流体上的力：表面力和质量力；
流体的连续介质模型、密度与重度、粘性与理想 流体模型、牛顿内摩擦定律、压缩性与不可压缩 性流体模型。
• 教学难点：表面力和质量力的区别，连续介质模
型、牛顿内摩擦定律。
2021/4/23
§1.1 流体力学的任务及其发展简史
一、流体力学的研究对象
流体力学是近代力学的一大分支，它是研究流体的平衡 和机械运动规律以及流体与周围物体之间相互作用的科学， 主要是确定流体的速度分布，压强分布与能量损失，以及流 体与固体相互间的作用力与作用力矩。
深刻理解。 3.认真听课，适当记笔记
对自己认为的重点、难点认真听老师的讲解和处理方法， 对典型的课堂例题，应记录分析问题的思路、解题步骤。
2021/4/23
4.作好预习，有准备地听课
对较难章节，一定要预习，看不懂的地方重点听老师讲 解，要把70％的精力放在看书上，重要的是理解，不要死记 硬背。
5.解题规范化，加强基本功训练
对某种流体而言，粘度值受温度的影响较大
2021/4/23
水和空气的物理性质
温度
T
(℃)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
2021/4/23
流体力学 第1章
第1章 绪论
血液的流动、植物体内输送营养 液、鸟类的翱翔，鱼在水中的游动 等现象归属于生物流变学。
第1章 绪论
高尔夫球运动起源于15世纪的苏格兰， 当时人们认为表面光滑的球飞行阻力小， 因此用皮革制球。后来发现表面有很多划 痕的旧球反而飞得更远，这个谜直到20世 纪建立流体力学边界层理论后才解开。现 在的高尔夫球表面有很多窝坑，在同样大 小和重量下，飞行距离为光滑球的5倍。
第1章 绪论
地下水的利用，石油、天然气的开采，这些都是渗流力 学研究的主要对象。
沿海地区有较严重的海水入侵，使地下水质恶化，氯离 子含量增加，给这些地区工农业生产和人民生活造成危害。
第1章 绪论
气体参与的燃烧与爆炸所产生的瞬间能量变化和 传递过程，形成了爆炸力学。
第1章 绪论
煤粉输送、沙漠迁移、泥沙流动等，均为流体中带有固体 颗粒或液体中带有气泡等问题，都属于多相流体力学研究的范 畴。
第1章 绪论
1.5 流体力学的应用
（1）舰船、航空、航天（飞机的（风洞）实验、火箭上天）； （2）城市给排水； （3）水利、水电（三峡水利工程）； （4）矿山应用。
第1章 绪论
飞机的出现以及航天飞机的飞行，使人类的活 动范围扩展到地球之外的其他星球。航空航天事 业同流体力学的分支学科——空气动力学和气体 动力学的发展密不可分的。
粗糙表面可以减少 空气的阻力及提供 升力，让高尔夫球 飞得更远 。
第1章 绪论
汽车发明于19世纪末，当时人们认为汽车的阻力主要来自前部对空气的撞 击，因此早期的汽车后部是陡峭的，称为箱型车，阻力系数约为0.8。实际上 汽车阻力主要来自后部形成的尾流，称为形状阻力。20世纪30年代起，人们 开始运用流体力学原理改进汽车尾部形状，出现甲壳虫型，阻力系数降至0.6。 20世纪50－60年代改进为船型，阻力系数为0.45。80年代又改进为鱼型， 阻力系数为0.3，以后进一步改进为楔型，阻力系数为0.2。90年代后，科研 人员研制开发的未来型汽车，阻力系数仅为0.137。
流体力学第二版蔡增基
图所示。
Pa
p’1=p’+ρ1gh1
Mp
h2
ρ1 1
h1 2
ρ2 P>Pa
U形管测压计
p’2=pa+ρ2gh2
等压面 M点的绝对压强为 p’=pa+ρ2gh2-ρ1gh1
M点的相对压强为 p=ρ2gh2-ρ1gh1
U形管测压 p pa
p’+ρ1gh1+ρ2gh2=pa M点的绝对压强为
p’=pa-ρ1gh1-ρ2gh2
而液体的性质几乎不受压强的影响，所以液体的压强 常用计示压强表示。
在工程实际中，相对压强应用更广泛，如果涉及到压 强没做特别说明，均指相对压强。
二、压强的单位
流体静压强的计量单位有许多种，为了便于换算，现将 常遇到的几种压强单位及其换算系数列于表2-1中。
表2-1 压强的单位及其换算表
标准大气压（atm） 帕（pa） 毫米汞柱 米水柱 工程大气压（at）
p
' A
p0
gh
p0
p
' A
122 .6 1000
9.8 3 /1000
152 kpa
以水柱高度表示就是
h水
p
' A
g
152103 1000 9.8
15.5m
3m
以标准大气压表示 152kpa 1.5atm
A
101.325kpa
相对压强最大值为
pA
p
' A
pa
152
88.26
63 .74 k pa
1
101325
760
10.33
1at=98kpa
【例2-1】封闭水箱如图示。自由面绝对压强p0=122.6kpa, 水深h=3米，当地大气压pa=88.26kpa。求(1)水箱内绝对压强和
流体力学第二版课后习题答案解析
第一章习题答案选择题（单选题）1.1 按连续介质的概念，流体质点是指：（d ）（a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒；（c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。
1.2 作用于流体的质量力包括：（c ）（a ）压力；（b ）摩擦阻力；（c ）重力；（d ）表面张力。
1.3 单位质量力的国际单位是：（d ）（a ）N ；（b ）Pa ；（c ）kg N /；（d ）2/s m 。
1.4 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是：（b ）（a ）剪应力和压强；（b ）剪应力和剪应变率；（c ）剪应力和剪应变；（d ）剪应力和流速。
1.5 水的动力黏度μ随温度的升高：（b ）（a ）增大；（b ）减小；（c ）不变；（d ）不定。
1.6 流体运动黏度ν的国际单位是：（a ）（a ）2/s m ；（b ）2/m N ；（c ）m kg /；（d ）2/m s N ⋅。
1.7 无黏性流体的特征是：（c ）（a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合RT p=ρ。
1.8 当水的压强增加1个大气压时，水的密度增大约为：（a ）（a ）1/20000；（b ）1/10000；（c ）1/4000；（d ）1/2000。
1.9 水的密度为10003kg/m ，2L 水的质量和重量是多少？ 解：10000.0022m V ρ==⨯=（kg ）29.80719.614G mg ==⨯=（N ）答：2L 水的质量是2kg ，重量是19.614N 。
1.10 体积为0.53m 的油料，重量为4410N ，试求该油料的密度是多少？ 解：44109.807899.3580.5m G g V V ρ====（kg/m 3） 答：该油料的密度是899.358kg/m 3。
1.11某液体的动力黏度为0.005Pa s ⋅，其密度为8503/kg m ，试求其运动黏度。
流体力学第三章
ｖｘ ＝（ａ＋１）ｅｔ－１＝ｘ＋ｔ
ｖｙ ＝（ｂ＋１）ｅｔ－１＝ｙ＋ｔ
可进一步求得欧拉变数下的加速度为：
ａｘ ＝ｖｔｘ ＋ｖｘｖｘｘ ＋ｖｙｖｙｘ ＋ｖｚｖｚｘ ＝ｘ＋ｔ＋１
ａｙ ＝ｖｔｙ ＋ｖｘｖｘｙ ＋ｖｙｖｙｙ ＋ｖｚｖｚｙ ＝ｙ＋ｔ＋１
（４）有效断面、流量和平局流速等
流管
流管———在流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，则通过此曲线上任一点的所有流线将 — 5—
如上图，一条迹线表示一个流体质点在一段时间内描述的路径。 特点：迹线上各点的切线方向表示的是同一流体质点在不同时刻的速度方向。 （２）流线 流线：流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线，即矢量场的矢量线。在某一时刻该曲线上任 意处质点的速度矢量与此曲线相切。 注：矢量线———线上任一点的切线方向与该点的矢量方向重合，称为矢量线。
— 3—
２）二元流动：流体的运动参数只有两个坐标的函数。平面流动是二元流动。实际流体由于具有 黏性，故其流动至少是二元的，例如实际流体在圆管内的流动。由于水的黏性影响，靠近管壁的流速 低于中部的流速，即管道中的流速随管道的半径和流动方向的位移而变化，所以是二元流动。
３）三元流动：流体在空间流动一般说都是三元流动，运动参数是空间三坐标的函数。 考点四 流体运动学的基本概念和相关计算 （１）迹线 迹线：流体质点在不同时刻的运动轨迹。
构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。
流束———充满在流管内部的流体。微小流束：断面无穷小的流束。 总流———管道内流动的流体的集合。 流管特点： ①流管表面不可能有流体穿过；②稳定流动时流管的形状和位置都不随时间变化，就像固体管道 的管壁；非稳定流动时，流管的形状及位置有可能随时间变化；③流管不可能在流场内部中断。 有效断面 有效断面———流束或总流上垂直于流线的断面。（有效断面可能是平面，也可能是曲面）
流体力学蔡增基_课后习题解析(1)
10mm ，油的 =0.09807pa.s。求作用于平板单位面积上
的阻力。 解： du 0.098071/ 0.01 9.807 N / m
dy
2
8．温度为 20℃的空气，在直径为 2.5cm 管中流动，距管 壁上 1mm 处的空气速度为 3cm/s。求作用于单位长度管壁 上的粘滞切应力为多少？ 解： f=A du 0.018310
，
已知（1）为油（ 油 8.354kN / m 3）， 1为水银；2）为油， 1为水
；（ 3）
为气体， 为水，求 A 点的压强水柱高度。
1
解：1.
p A−h2 1h1 hA pA h2 1h1 8.354 0.6 133.357 0.3 9.807 4.6m
pa.s
6．当空气从 0℃增加到 20℃时， 增加 15%，容重减少
1
10%，问此时 增加多少？ 解： =
g (1− 10%)(1 15%)
0 0 1.035 0 0 g g
所以 增加了 3.5% 7．水平方向运动的木板，其速度为 1m/s,平板浮在油面上 ，
p
h
p 17.48 1.78m（即容器打开后的 9.807
Z 1.78 5 6.78m p M p0− p a 107.7− 98.07 9.63kpa h p M
（3）
酒精高度
9.63 1.21m 7.944
7.测压管中水银柱差∆h 100mm，在水深
，求
真空表读数和管内空气压强 解：
8
p0h Hg∆h 0 p0−9.8071.22− 133.375 0.203−38kpa pv Hg∆h 133.375 0.203 27kpa
流体力学第二版1-4章课后答案资料
流体力学 _第二版 李玉柱 习题解答第一章绪论1—1 解：5521.87510 1.6110/1.165m sμυρ--⨯===⨯1—2 解：63992.20.661100.65610Pa s μρυ--==⨯⨯=⨯1—3 解：设油层速度呈直线分布10.1200.005dV Pa dy τμ==⨯= 1-4 解：木板沿斜面匀速下滑，作用在木板上的重力G 在斜面的分力与阻力平衡，即0sin3059.810.524.53n T G N ==⨯⨯=由dV T Adyμ=224.530.0010.114/0.40.60.9T dy N s m A dV μ⨯===⨯⨯1-5 解：上下盘中流速分布近似为直线分布，即dV Vdy δ=在半径r 处且切向速度为r μω=切应力为432dV V rdy y d ωτμμμδπμωδ===转动上盘所需力矩为M=1d M dA τ=⎰⎰=20(2)drdr r τπ⎰ =2202d rr dr ωμπδ⎰=432d πμωδ1-6解：由力的平衡条件 G A τ=而dV drτμ= 0.046/dV m s =()0.150.1492/20.00025dr =-=dV GAdrμ=90.000250.6940.0460.150.1495G dr Pa s dV A μπ⨯===⨯⨯⨯1-7解：油层与轴承接触处V=0, 与轴接触处速度等于轴的转速，即440.362003.77/60600.73 3.770.3611.353102.310dnV m sVT A dl N πππτμπδ-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯====⨯⨯克服轴承摩擦所消耗的功率为41.35310 3.7751.02N M TV kW ω===⨯⨯=1-8解:/dVdT Vα=30.00045500.02250.02250.0225100.225dVdT V dV V m α==⨯===⨯=或，由dVdT Vα=积分得 ()()0000.000455030ln ln 1010.2310.51.05t t V V t t VV ee m dαα-⨯-=-====1-9解:法一： 5atm90.53810β-=⨯10atm90.53610β-=⨯90.53710β-=⨯d dpρρβ=d d ρβρρ==0.537 x 10-9x (10-5) x98.07 x 103= 0.026%法二：d d ρβρρ= ,积分得()()()93000.5371010598.07100ln ln 1.000260.026%p pp p e e βρρβρρρρρ--⨯⨯-⨯⨯-=-===-=1-10 解：水在玻璃管中上升高度 h =29.82.98mm d= 水银在玻璃管中下降的高度 H =10.51.05d=mm 第二章流体静力学2-1 解：已知液体所受质量力的x 向分量为 –a ,z 向分量为-g 。
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我们把流体质点运动的全部空间称为流场。由于流体 是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如速度、加速 度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。
根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两 种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一 种是欧拉（Euler）方法。
一、拉格朗日（Lagrange）法
（2）如果流体的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
拉格朗日方法着眼于流体各质点的运动情况，然后通过 综合所有被研究流体质点的运动情况获得整个流体的运动。 这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移。
在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：
x=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
(3-1)
z=z (a，b，c，t)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的
ux=ux (x，y，z，t) uy=uy (x，y，z，t) uz=uz (x，y，z，t) ux，uy，uz表示速度矢量在三个坐标轴上的分量。 x，y，z，t称为欧拉变量。
三、两种方法的比较 拉格朗日法
研究对象是一定质点 表达式复杂
不能直接反映参数的空间分布 拉格朗日观点是重要的
欧拉法
研究对象是空间某固定点或断面 表达式简单
A
A
q v V
A
五、一维、二维和三维流动
一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是x、 y、z三个坐标的函数，在流体力学中又称这种流动为三维 流动。
当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化，使其流 动参数在某些情况下，仅是x、y两个坐标的函数，称这种 流动为二维流动。是一个坐标的函数的流动，称为一维流 动。
(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。 (4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀 疏的地方，表示该处的流速较小。
流线方程 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设ds为流
线上的一微元弧
u为流体质点的流速
流线方程
流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量， u和ds重合。
az
uz t
2z t 2
az (a,b,c,t)
二、欧拉（Euler）法
欧拉法，又称局部法，只着眼于流体经过流场中某空 间点时的运动情况，来研究整个流体的运动。即研究流体 质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。
所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和时间 t的函数，例如：流体质点的三个速度分量可表示为：
§ 3-3流体流动的连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们 认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在 这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封 闭曲面时，可以得出结论：
（1）若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体 质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化， 以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；
（3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴 出口的流动。
四、流量和平均流速
单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，以 qv表示。其单位为m3/s、m3/h等。
单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量,以 qm表示，其单位为kg/s、t/h等。
由于微元流束有效截面上各点的流速v是相等的，所以 通过微元流束有效截面积为dA的体积流量dqv和质量流量dqm 分别为：
dqv=vdA dqm=ρvdA
四、流量和平均流速
由于流束是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束 有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分别为
q vdA V
qm vdA
A
A
以上计算必须先找出微元流束的速度v在整个流束有效
截面上的分布规律，这在大部分工程问题中是很难确定的。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
一、拉格朗日（Lagrange）法
ux
x t
ux (a,b,c,t)
y uy t uy (a,b,c,t)
z uz t uz (a,b,c,t)
ax
ux t
2x t 2
ax(a,b,c,t)
ay
u y t
2 y t 2
ay (a,b,c,t)
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
二、迹线与流线
图 3-2 流线的概念
流线是某一瞬时在流场 中所作的反映流动方向的一 条曲线，在这条曲线上的各 流体质点的速度方向都与该 曲线相切，因此流线是同一 时刻，不同流体质点所组成 的曲线，如图所示。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可 以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密 集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法 的研究特点。
三、流管、流束和总流 流管以内的流体称为流束。当流束的横截面积趋近于零
时，则流束达到它的极限——流线。 在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。 流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有
效截面是曲面，如图所示。
图3-4 有效截面
有效截面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束和 微元流管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可 认为是相同的。
即为一维流动积分形式总流的连续性方程。设 v1 和
v2 是总流两个有效截面l和2上的平均流速，总流连续性方
程可写成
1v1A1 2v2A2
表示当流动为可压缩流体定常流动时，沿流动方向的
质量流量为一个常数。
对不可压缩均质流体密度为常数，则有 v1A1 v2A2
v1A1 v2A2
该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体 积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即 有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地 方平均流速大。
a、b、c代表不同的流体质点。
一、拉格朗日（Lagrange）法
对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变量， 则得到流体质点的运动规律。
对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得 到某一时刻不同流体质点的位置分布。a、b、c、t称为拉格 朗日变量。
将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体 质点的速度和加速度为：
有
dx
dy
dz
ux
uy
uz
三、流管、流束和总流 在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上
各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。 如图所示。
L
图 3-3 流管和流束 因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性。 由于流线不能相交，流体质点不能穿过流管流入或流出。流 管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。
四、流量和平均流速
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。 平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都 以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流 量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
若以 v表示平均流速，按其定义可得：
q vdA v dA vA V
ux=ux (x，y，z) uy=uy (x，y，z) uz=uz (x，y，z) 定常流动与非定常流动比较，少了时间变量t，研究问题 要简单的多。实际工程中，不少非定常流动问题的运动要素 随时间变化很缓慢，近似作为定常流动来处理。以后的研究， 主要针对恒定流动。
二、迹线与流线
迹线是流场中某一质点运动的轨迹。 例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的 途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。 流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体 运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的 运动，清楚地看出质点的运动情况。迹线表示同一流体质 点在不同时刻所形成的曲线，迹线的研究属于拉格朗日法 的内容。
v1 、v2—为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s； ρ1、ρ2—为截面处的流体密度，kg/m3。
对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管 道中的流动），积分得
1v1dA1 2v2dA2 vdA 常数
A1
A2
A
A1 和A2—为总流1和2两个有效截面的面积。
流线的基本特性
(1)在定常流动时，流场中各流体质点的速度不随时间 变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流 线和迹线相重合。
(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般 情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点 将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零的 点，流线可以相交。速度为零的点称驻点。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 有效截面的流体质量都应相等， 即
根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两 种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一 种是欧拉（Euler）方法。
一、拉格朗日（Lagrange）法
（2）如果流体的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
拉格朗日方法着眼于流体各质点的运动情况，然后通过 综合所有被研究流体质点的运动情况获得整个流体的运动。 这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移。
在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：
x=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
(3-1)
z=z (a，b，c，t)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的
ux=ux (x，y，z，t) uy=uy (x，y，z，t) uz=uz (x，y，z，t) ux，uy，uz表示速度矢量在三个坐标轴上的分量。 x，y，z，t称为欧拉变量。
三、两种方法的比较 拉格朗日法
研究对象是一定质点 表达式复杂
不能直接反映参数的空间分布 拉格朗日观点是重要的
欧拉法
研究对象是空间某固定点或断面 表达式简单
A
A
q v V
A
五、一维、二维和三维流动
一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是x、 y、z三个坐标的函数，在流体力学中又称这种流动为三维 流动。
当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化，使其流 动参数在某些情况下，仅是x、y两个坐标的函数，称这种 流动为二维流动。是一个坐标的函数的流动，称为一维流 动。
(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。 (4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀 疏的地方，表示该处的流速较小。
流线方程 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设ds为流
线上的一微元弧
u为流体质点的流速
流线方程
流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量， u和ds重合。
az
uz t
2z t 2
az (a,b,c,t)
二、欧拉（Euler）法
欧拉法，又称局部法，只着眼于流体经过流场中某空 间点时的运动情况，来研究整个流体的运动。即研究流体 质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。
所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和时间 t的函数，例如：流体质点的三个速度分量可表示为：
§ 3-3流体流动的连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们 认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在 这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封 闭曲面时，可以得出结论：
（1）若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体 质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化， 以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；
（3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴 出口的流动。
四、流量和平均流速
单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，以 qv表示。其单位为m3/s、m3/h等。
单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量,以 qm表示，其单位为kg/s、t/h等。
由于微元流束有效截面上各点的流速v是相等的，所以 通过微元流束有效截面积为dA的体积流量dqv和质量流量dqm 分别为：
dqv=vdA dqm=ρvdA
四、流量和平均流速
由于流束是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束 有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分别为
q vdA V
qm vdA
A
A
以上计算必须先找出微元流束的速度v在整个流束有效
截面上的分布规律，这在大部分工程问题中是很难确定的。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
一、拉格朗日（Lagrange）法
ux
x t
ux (a,b,c,t)
y uy t uy (a,b,c,t)
z uz t uz (a,b,c,t)
ax
ux t
2x t 2
ax(a,b,c,t)
ay
u y t
2 y t 2
ay (a,b,c,t)
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
二、迹线与流线
图 3-2 流线的概念
流线是某一瞬时在流场 中所作的反映流动方向的一 条曲线，在这条曲线上的各 流体质点的速度方向都与该 曲线相切，因此流线是同一 时刻，不同流体质点所组成 的曲线，如图所示。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可 以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密 集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法 的研究特点。
三、流管、流束和总流 流管以内的流体称为流束。当流束的横截面积趋近于零
时，则流束达到它的极限——流线。 在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。 流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有
效截面是曲面，如图所示。
图3-4 有效截面
有效截面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束和 微元流管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可 认为是相同的。
即为一维流动积分形式总流的连续性方程。设 v1 和
v2 是总流两个有效截面l和2上的平均流速，总流连续性方
程可写成
1v1A1 2v2A2
表示当流动为可压缩流体定常流动时，沿流动方向的
质量流量为一个常数。
对不可压缩均质流体密度为常数，则有 v1A1 v2A2
v1A1 v2A2
该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体 积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即 有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地 方平均流速大。
a、b、c代表不同的流体质点。
一、拉格朗日（Lagrange）法
对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变量， 则得到流体质点的运动规律。
对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得 到某一时刻不同流体质点的位置分布。a、b、c、t称为拉格 朗日变量。
将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体 质点的速度和加速度为：
有
dx
dy
dz
ux
uy
uz
三、流管、流束和总流 在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上
各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。 如图所示。
L
图 3-3 流管和流束 因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性。 由于流线不能相交，流体质点不能穿过流管流入或流出。流 管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。
四、流量和平均流速
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。 平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都 以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流 量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
若以 v表示平均流速，按其定义可得：
q vdA v dA vA V
ux=ux (x，y，z) uy=uy (x，y，z) uz=uz (x，y，z) 定常流动与非定常流动比较，少了时间变量t，研究问题 要简单的多。实际工程中，不少非定常流动问题的运动要素 随时间变化很缓慢，近似作为定常流动来处理。以后的研究， 主要针对恒定流动。
二、迹线与流线
迹线是流场中某一质点运动的轨迹。 例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的 途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。 流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体 运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的 运动，清楚地看出质点的运动情况。迹线表示同一流体质 点在不同时刻所形成的曲线，迹线的研究属于拉格朗日法 的内容。
v1 、v2—为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s； ρ1、ρ2—为截面处的流体密度，kg/m3。
对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管 道中的流动），积分得
1v1dA1 2v2dA2 vdA 常数
A1
A2
A
A1 和A2—为总流1和2两个有效截面的面积。
流线的基本特性
(1)在定常流动时，流场中各流体质点的速度不随时间 变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流 线和迹线相重合。
(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般 情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点 将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零的 点，流线可以相交。速度为零的点称驻点。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 有效截面的流体质量都应相等， 即