流体力学第3章-流体力学基本方程组(zhou)
合集下载
第三章 流体力学基本方程组2PPT课件
S
r
F：单位质量上的质 量力分布函数
对体积单元τ应用动量矩定理，取任一点为力矩参考点，r为流 体微元到参考点的矢径，则动量矩定理表达式为：
r ( tv ) S r v n v S r F S r p n S
动量矩的变化率
合外力的力矩 16
Lamb-Γpomeko形式的运动方程
τ
n
U
V2 2
d
单位时间内质量力和面力 FvdspnvdS
所做的功： 24
第三节 流体流动的能量方程
dS τ
单位时间内由于热传导通
过表面S传给τ内的热量为：
n
T k dS 傅利叶公式 s n
设q为由于辐射或其他原因在单位时间内传入单 位质量的热量分布函数，定义为：
lim qdQ Q dm m0 m
w ed dov td d tr(r)
wc 2(vr)
d d vrtF虚w 拟e 质2 量力(vr)div
流体在运动坐标系中的运动方程 23
第三节 流体流动的能量方程
能量守恒定律：体积τ内流体的动能和内能的改变率等于
单位时间内质量力和面力所作的功加上单位时间内给予体
积τ内的热量。 dS
内能和动能的总和：
第三章 流体力学基本方程组
1
流体流动的连续性方程推导－欧拉法
在空间取一以S面为界的有限体积τ，该面由流面及两 个非流面组成。
2
有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成： 1 单位时间内通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）
的质量：
svnS
3
2 由于密度场的不定常性，单位时间内体积τ的 质量减少
绝对加速度 相对加速度 牵连加速度 科氏加速度
r
F：单位质量上的质 量力分布函数
对体积单元τ应用动量矩定理，取任一点为力矩参考点，r为流 体微元到参考点的矢径，则动量矩定理表达式为：
r ( tv ) S r v n v S r F S r p n S
动量矩的变化率
合外力的力矩 16
Lamb-Γpomeko形式的运动方程
τ
n
U
V2 2
d
单位时间内质量力和面力 FvdspnvdS
所做的功： 24
第三节 流体流动的能量方程
dS τ
单位时间内由于热传导通
过表面S传给τ内的热量为：
n
T k dS 傅利叶公式 s n
设q为由于辐射或其他原因在单位时间内传入单 位质量的热量分布函数，定义为：
lim qdQ Q dm m0 m
w ed dov td d tr(r)
wc 2(vr)
d d vrtF虚w 拟e 质2 量力(vr)div
流体在运动坐标系中的运动方程 23
第三节 流体流动的能量方程
能量守恒定律：体积τ内流体的动能和内能的改变率等于
单位时间内质量力和面力所作的功加上单位时间内给予体
积τ内的热量。 dS
内能和动能的总和：
第三章 流体力学基本方程组
1
流体流动的连续性方程推导－欧拉法
在空间取一以S面为界的有限体积τ，该面由流面及两 个非流面组成。
2
有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成： 1 单位时间内通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）
的质量：
svnS
3
2 由于密度场的不定常性，单位时间内体积τ的 质量减少
绝对加速度 相对加速度 牵连加速度 科氏加速度
高等流体力学-流体力学基本方程组ppt
状态方程
总结词
描述流体状态变化的方程
详细描述
状态方程是流体动力学中描述流体状态变化的方程。它 表达了流体的某些物理属性之间的关系。在流体力学中 常用的状态方程包括理想气体状态方程、理想液体状态 方程和真实气体状态方程等。理想气体状态方程通常可 以表示为：$pV = nRT$，其中$p$是压力，$V$是体积， $n$是摩尔数，$R$是气体常数，$T$是温度。理想液体 状态方程通常可以表示为：$rho = text{常数}$。
非线性性
大多数流体力学方程是非线性的，这 意味着它们不满足叠加原理。非线性 方程的解通常更加复杂，可能需要特 定的初始和边界条件来求解。
定常与非定常性
要点一
定常性
定常或稳态方程描述的是不随时间变化的流动状态。定常 方程通常更容易求解，因为它们不包含时间导数项。
要点二
非定常性
非定常或非稳态方程描述的是随时间变化的流动状态。求 解非定常方程通常需要使用数值方法，因为它们包含时间 导数项，需要追踪流动随时间的变化。
02
流体的运动规律对于理解自然现 象、优化工程设计、提高生产效 率等方面具有重要意义。
流体力学的发展历程
01
流体力学的发展可以追溯到古代，如中国的水利工程和灌溉系 统等。
02
17世纪，牛顿建立了经典力学体系，为流体力学的发展奠定了
基础。
19世纪末到20世纪初，随着工业革命和科技的发展，流体力学
03
03
流体力学基本方程组的推导
连续性方程的推导
总结词
连续性方程描述了流体质量守恒的性质，通过质量守恒原理推导得出。
详细描述
连续性方程基于质量守恒原理，即流入和流出一个封闭系统的质量之差等于系统内质量的增加或减少。在流体力 学中，连续性方程表达了单位时间内流入流出控制体的流体质量流量与控制体内流体质量的变化率之间的关系。
流体力学基本方程组
（7）
du ρ − ρ f − divP δτ = 0 ∫∫∫ dt τ 其中P是应力张量，则， du ρ = ρ f + divP dt
∂ Pij du i ρ = ρfi + dt ∂x j
2011-12-1
（8） （9） （10）
----------微分形式的动量方程。
13
2 微分形式的连续方程 据输运公式， d Φ dτ
dt
∫∫∫ τ
=
∫∫∫ τ
∂Φ + div (Φ u ) d τ ∂t
（1）式变为：
∂ρ + div(ρu )dτ = 0 ∫∫∫ ∂t τ
（3）
假设被积函数连续,
τ 任意,则被积函数一定为0,于是
（4a）
控制体
τ
d 1 ∫∫∫ Φdτ = lim ∫∫∫ [Φ(r , t + ∆t ) − Φ(r , t )]dτ + ∫∫∫ Φ(r , t + ∆t )dτ dt τ ∆t →0 ∆t τ (t ) ∆τ
4)式的意义: 体积分(1)的变化由两部分组成,右边第一 项表明 Φ 随 t 变化而引起,第二项代表由于流体体积改 变了 ∆τ 后所引起的参量变化,显然4)式右边第一项为: ∂Φ ∫∫∫ ∂t dτ （5） τ 再看4）式右边第二项： 因为： 于是：
d 1 ρ e + 2 u i u i = ρ dt
( )
i
∫∫ qi ni ds = ∫∫∫
s
∂ qi
τ ∂ xi
dτ
f u
+ i
∂ ∂
x
(u
流体力学-第三讲,流体力学基本方程组
23
--------式(5) 为积分形式的动量方程
dui d
pn
dt
n
fid n j jids
(6)
s
ji为应力张量,是对称张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
2021/7/22
13
d ui dt
d
f i d
s
n j
jids
(6)
pn n
为应力张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
s
pn
则：作用在τ和s上的总质量力和面积力为:
F
fd
(1)
pnds
(2)
s
体积τ内流体的动量为：
ud
(3)
2021/7/22
12
于是动量定理可以写成：
d dt
ud
f d
s
pnds
（4）
把雷诺第二输运方程
d dt
F d
dFd
dt
应用于式(4)
du d
dt
f d
s
pnds
(5)
也可表达为
第三章 流体力学基本方程组
➢ 雷诺输运方程 ➢ 连续性方程 ➢ 运动方程(动量方程) ➢ 能量方程
2021/7/22
1
第一节 雷诺输运方程
一、 随体导数
dF dt
F t
ui
F xi
F t
u
F
以欧拉空间坐标所表示的流体质 点的运动属性对时间的全导数.
二、 雅可比行列式的时间导数 :
dJ ui J uJ
ui
0
(3b)
7
d ivu
u
u
--------式(5) 为积分形式的动量方程
dui d
pn
dt
n
fid n j jids
(6)
s
ji为应力张量,是对称张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
2021/7/22
13
d ui dt
d
f i d
s
n j
jids
(6)
pn n
为应力张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
s
pn
则：作用在τ和s上的总质量力和面积力为:
F
fd
(1)
pnds
(2)
s
体积τ内流体的动量为：
ud
(3)
2021/7/22
12
于是动量定理可以写成：
d dt
ud
f d
s
pnds
（4）
把雷诺第二输运方程
d dt
F d
dFd
dt
应用于式(4)
du d
dt
f d
s
pnds
(5)
也可表达为
第三章 流体力学基本方程组
➢ 雷诺输运方程 ➢ 连续性方程 ➢ 运动方程(动量方程) ➢ 能量方程
2021/7/22
1
第一节 雷诺输运方程
一、 随体导数
dF dt
F t
ui
F xi
F t
u
F
以欧拉空间坐标所表示的流体质 点的运动属性对时间的全导数.
二、 雅可比行列式的时间导数 :
dJ ui J uJ
ui
0
(3b)
7
d ivu
u
u
03第三章 流体力学的基本方程
15
江苏大学
Jiangsu University
：从1至2断面的能量损 hw
失（单位重量流体）
六、实际微小流束的伯努利方程 1. 急变流与缓变流 缓变流：流线之间的夹角很小，流线间几乎是平行的，且流线曲率半径 很大。即：流线近似平行直线的流动。 急变流：不满足缓变流条件之一的流动。
( v )v 0?
2．动能修正系数
1 2 dQv A 2 2 1 Q v 2
v2 A 2 g gdQ v gQ 2g
2
3．总流伯努利方程的导出 总流是无数微小流束的总和，总流的 伯努利方程只要对微小流束的伯努利 积分在整个断面上积分便可求出：
2 p1 v12 p2 v2 z1 z2 hw g 2 g g 2 g 2 p1 v12 p2 v2 ) gdQ A1 ( z1 g 2g )gdQ A2 ( z 2 g 2g hw 1 p x x PF 1 p y y PF 1 p z z
4
江苏大学
Jiangsu University
v2 (W PF ) 2(v z y v y z ) x 2
v2 (W PF ) 2(v x z v z x ) y 2
2 1 1
2 2
方程的意义：断面1单位重量流体的机械能=断面2单位重量流体的机械能+ 断面之间单位重量流体的机械能损失 伯努利方程的适用条件： 1）定常流动 ；2）不可压缩均质流体 ；3）重力流体，质量力只受重力 4）缓变流断面 伯努利方程应用注意： 1）方程式不是对任何流动都适用的，注意其使用条件；2）常常和一元 连续性方程连用 ；3）方程中的位置水头是相对的，通常取在轴线或较 低断面上；4）两个断面的压强标准必须一致，一般用表压（相对压强） ；5）在选取二个过流断面时，尽可能只包含一个未知数，如水库水面、 大容器水面、出口断面等；6）方程要求二个断面都是缓变流断面，但并 不要求二个断面之间是缓变流 ；7）在多数工程计算中，位置水头或压 20 强水头都较大，而流速水头都较小 ，动能修正系数为1.0
第3章-流体力学基本方程组
习题四
4、试推导理想流体平面二维运动欧拉微分方程式。 推导： 平面二维理想流动微元dxdy上的应力及单位质量力分布如图所示 dυ F =m 根据动量定律： ∑
dt ⎡ ⎛ ∂p dx ⎞ ∂p dx ⎞ ⎤ ∂p ⎛ Fx = ⎢ − ⎜ p + dy + ⎜ p − dy ⎥ + f x ρ dxdy = − dxdy + f x ρ dxdy 在x方向： ∑ ⎣ ⎝ ∂x 2 ⎟ ⎝ ∂x 2 ⎟ ⎦ ∂x ⎠ ⎠ ⎛ ∂υ ∂υ ∂υ ⎞ dυ m x = ρ dxdy ⎜ x + υ x x + υ y x ⎟ ∂υ x ∂υ x ∂υ x 1 ∂p ∂x ∂y ⎠ dt ⇒ + υx +υy = fx − ⎝ ∂t ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂υ y ∂υ y ⎞ ⎫ ⎛ ∂υ y = ρ dxdy ⎜ + υx +υy ⎟⎪ dt ∂t ∂x ∂y ⎠ ⎪ ⎝ ⎬ ∂p ∑ Fy = − ∂y dydx + f y ρ dxdy ⎪ ⎪ ⎭ ∂υ y ∂υ y ∂υ y 1 ∂p ⇒ + υx +υy = fy − ∂t ∂x ∂y ρ ∂y dυ y
∂v ⇒ = −2ax ∂y
积分
v = −2axy + vc ( x)
y=0 v=0
⇒ vc ( x) = 0
⇒ v = −2axy
习题四
2、假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面上 的流动物理量是均匀的。试证明连续方程具有下述形式：
∂ ∂ ρ A ) + ( ρ Au ) = 0 ( ∂t ∂s
υ1方向与图中所示y方向相反。将坐标系建立在 平板上，方向设置如图所示，在平板上选择如图 所示的薄层为控制体，此时控制体内的流动就可 看作定常流动，根据积分形式的动量方程：
《流体力学第三章》PPT课件
第三章 流体动力学基础
本章是流体力学在工程上应用的基础。它主要利 用欧拉法的基本概念，引入了总流分析方法及 总流运动的三个基本方程式：连续性方程、能 量方程和动量方程，并且阐明了三个基本方程 在工程应用上的分析计算方法。
第一节 描述流体运动的两种方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场 中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它 以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综 合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流 动。——质点系法
ux=x+t； uy= -y+t；uz=0,试求t =
dx xt dt
dy y t dt
求解
0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：
由迹线的微分方程：
dx dy dz dt ux uy uz
ux=x+t；uy=-y+t；uz=0 t = 0 时过
M(-1,-1)：
x C1 e t t 1 y C2 e t t 1
运动的轨迹，是与 拉格朗日观点相对 应的概念。
r r(a, b, c, t )
即为迹线的参数方程。
t 是变数，a,b,c 是参
数。
18
(2)迹线的微分方程
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数， 且t是自变量。 注意：恒定流时流线和迹线重合； 非恒定流时流线和迹线不重合；
举例
已知直角坐标系中的速度场
（3）流线的方程
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程, 设ds为流线上A处的一微元弧长:
u为流体质点在A点的流速:
因为
所以
——流线方程
【例】
有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky， uy = kx， uz=0， 试求其流线方程。 解: uz =0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
本章是流体力学在工程上应用的基础。它主要利 用欧拉法的基本概念，引入了总流分析方法及 总流运动的三个基本方程式：连续性方程、能 量方程和动量方程，并且阐明了三个基本方程 在工程应用上的分析计算方法。
第一节 描述流体运动的两种方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场 中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它 以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综 合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流 动。——质点系法
ux=x+t； uy= -y+t；uz=0,试求t =
dx xt dt
dy y t dt
求解
0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：
由迹线的微分方程：
dx dy dz dt ux uy uz
ux=x+t；uy=-y+t；uz=0 t = 0 时过
M(-1,-1)：
x C1 e t t 1 y C2 e t t 1
运动的轨迹，是与 拉格朗日观点相对 应的概念。
r r(a, b, c, t )
即为迹线的参数方程。
t 是变数，a,b,c 是参
数。
18
(2)迹线的微分方程
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数， 且t是自变量。 注意：恒定流时流线和迹线重合； 非恒定流时流线和迹线不重合；
举例
已知直角坐标系中的速度场
（3）流线的方程
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程, 设ds为流线上A处的一微元弧长:
u为流体质点在A点的流速:
因为
所以
——流线方程
【例】
有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky， uy = kx， uz=0， 试求其流线方程。 解: uz =0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
高等流体力学—流体力学基本方程组
图 3-1 流场中的微元平行六面体
4
一、直角坐标系下连续性微分方程式
先分析x轴方向，已知u和ρ都是坐标和时间的连续函数， 即u=u (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根据泰勒级数
展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴 方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为
图 3-1 流场中的微元平行六面体
0.5 (m/s) 2 0 . 5 1
21
图 3-14 输水管道
22
流体流动的连续性方程推导－欧拉法
在空间取一以S面为界的有限体积τ，该面由流面及两 个非流面组成。
23
有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成：
1 通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）
程。
11
若流体是定常流动，则
0， t
上式成为
u v w 0 x y z
(3-6)
式（3-6）为可压缩流体定常三维流动的连续 性方程。
12
对不可压缩均质流体， ρ为常数，故式(3-6)成为
u v w 0 x y z
19
【例3-2】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布
规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。 【解】 根据式（3-8）
所以
u 2 x sin y x
v 2 x sin y y
u v 2 x sin y (2 x sin y ) 0 x y
( x, y, z, t dt ) dt t
10
则可求出在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量
dt dxdydz dxdydz dxdydzdt t t
Chapter 3 流体运动的基本方程组
Chapter 3 流体运动的基本方程组本章任务：建立控制流动的基本方程组，确定边界条件。
§3.1系统和控制体系统（sys ）指给定流体质点组成的流体团，相当于质点或刚体力学中的研究对象——物体；系统在流动过程中可以不断改变自己的位置和形状，但维持其连续性，始终由固定的那些流体质点组成。
系统与外界可以有力的相互作用，可以有动量和能量交换，但是没有物质交换。
控制体（CV ）指流动空间内的一个给定空间区域（子空间），其边界面称为控制面（CS ）。
控制体一旦选定，其大小、形状和位置都是确定的，有流体不断出入。
物质体元即流体微团。
物质面元可以看成由连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的面元，物质面元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。
物质线元可以看成连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的线元，或者说是连续分布的流体质点的连线线元，物质线元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。
时间线就是物质线。
（三者如同面团、薄饼和面条） §3.2雷诺输运定理设(),f r t 代表流动的某物理量场（可以是密度场、温度场、动量密度分量场、能量密度场等），t 时刻某流体团（即系统）占据空间τ，取该空间为控制体。
t 时刻该流体团的总f 为()(),I t f r t d ττ=⎰。
（3-1）此I 也是t 时刻控制体内的总f 。
设t t δ+时刻（0t δ→）该系统运动到如图所示位置，占据空间τ'，此时系统的总f 为()(),I t t f r t t d τδδτ'+=+⎰。
（3-2）该系统总f 的随体导数()()()0lim t I t t I t DI t Dt tδδδ→+-=。
（3-3）将空间II τ分为与空间I τ重合的部分2τ和其余部分1τ，空间I τ去除2τ后剩余部分记为3τ，于是13ττττ'=+-，（3-4）进而()()()()13I t t I t t I t t I t t τττδδδδ+=+++-+，（3-5）可得()()()()()130lim t I t t I t t I t t I t DI t Dt tττττδδδδδ→+++-+-=()()()()31000lim lim lim t t t I t t I t t I t t I t t t tττττδδδδδδδδδ→→→+++-=+-， （3-6）其中第一项()()()0limt I t t I t I t t t ττδδδ→+-∂=∂。
第三章 流体力学基本方程组
s
s
pij p ji
微分形式的动量矩定理 —— 应力张量的对称性
§3-3 能量方程
第三章 流体力学基本方程组 9
§3-3-1 能量所依据的物理定律 — 能量守恒定律
— 能量守恒定理：在物质体内的内能和机械能的增加率等于外力对该物
质体所做的功及其它形式的能量（包括传热或辐射等）的输入率
§3-2-2 能量守恒定律的量化描述—能量方程
S
§3-3 能量方程 §3-2-2 能量守恒定律的量化描述 — 微分形式能量方程
第三章 流体力学基本方程组 11
2 T s V d F V q p V s k ( ) ( ) U n n dt 2 S S 面积分→体积分 pn Vs (n P) Vs n ( P V )s ( P V )
d V F p ns dt
s
积分形式的 d r 动量矩定理 V r F r pns dt s ( V ) r t r vnVs r F r pns
积分形式的 动量方程
s
§3-2 运动方程
第三章 流体力学基本方程组 6
§3-2-2 动量定律及动量矩定律的量化描述—运动方程
1. 动量定律的量化描述 —— 微分形式的动量方程
d V dt F n Ps s F P
cijklalk 0
ij ij kl slj ( ik jl il jk ) slk ij s kk ( s ji sij ) ij ij s kk 2 s ij
s
pij p ji
微分形式的动量矩定理 —— 应力张量的对称性
§3-3 能量方程
第三章 流体力学基本方程组 9
§3-3-1 能量所依据的物理定律 — 能量守恒定律
— 能量守恒定理：在物质体内的内能和机械能的增加率等于外力对该物
质体所做的功及其它形式的能量（包括传热或辐射等）的输入率
§3-2-2 能量守恒定律的量化描述—能量方程
S
§3-3 能量方程 §3-2-2 能量守恒定律的量化描述 — 微分形式能量方程
第三章 流体力学基本方程组 11
2 T s V d F V q p V s k ( ) ( ) U n n dt 2 S S 面积分→体积分 pn Vs (n P) Vs n ( P V )s ( P V )
d V F p ns dt
s
积分形式的 d r 动量矩定理 V r F r pns dt s ( V ) r t r vnVs r F r pns
积分形式的 动量方程
s
§3-2 运动方程
第三章 流体力学基本方程组 6
§3-2-2 动量定律及动量矩定律的量化描述—运动方程
1. 动量定律的量化描述 —— 微分形式的动量方程
d V dt F n Ps s F P
cijklalk 0
ij ij kl slj ( ik jl il jk ) slk ij s kk ( s ji sij ) ij ij s kk 2 s ij
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
)
0
t
3.7 初始条件和边界条件
a) 初始条件
t t0
b) 边界条件 ➢无穷远处
河流模拟中, 开边界条件（水边界）：有实测资料时，给定水面或 速度过程。
3.7 初始条件和边界条件
b) 边界条件 ➢ 两介质界面处
理想流体时,切向速度和温度可以间断 (不可入，可滑移)
➢ 固壁处
粘附条件
理想流体时, 可滑移。但不可入，即
能量方程
面力做功
（应力分量的）合力通 过作用点位移作功
应力因流体 变形而做功
（应力分量的）合力通过作用点位移作功,与动能, 势能之间 无耗散地转换,为可逆过程
3.4 本构方程
牛顿内摩擦定律
p yx
du dy
切向应力与速度梯度（角变形速度，剪切变形速度）成正比
推导应力张量与变形速度张量的关系（广义牛顿内摩擦定律）
转换到欧拉型, 利用随体导数公式
3.3 能量方程
拉氏型积分形式能量方程为
欧拉型积分形式能量方程
单位时间内传给控制体内的热量 + 外界对控制体内流体所 做的功 + 通过控制面流入的流体总能量==控制体内流体总 能量对于时间的变化率。
3.3 能量方程
微分形式能量方程推导
微分形式能量方程
3.3 能量方程
粘性(偏)应力张量
流体膨胀或压缩时压力所做的功 粘性应力张量(通过流体变形) 所做的功
能量方程 不考虑外界传热
3.6 流体力学基本方程组
能量方程
➢不可压
(不考虑外界传热)
不可压时，内能只能增加,不能减少, 是不可逆过程。粘性应 力通过流体变形所做的功转化为内能，而不再恢复为机械能。
➢可压缩情况
d
ur
(V
)
0
t
dU
ur p( V )
(T )
q
dt
3.6 流体力学基本方程组
C) 粘性不可压缩流体情况 ur
V 0
dU (T ) q
dt
dU CvdT
d) 理想可压缩流体情况
ur
(V
广义牛顿内摩擦定律 不可压时
3.4 本构方程
广义牛顿内摩擦定律
粘性流体运动中, 法向应力大小与和作用面方位有关。 粘性附加法向应力由线变形速率和体积变化率引起.
3.5 状态方程, 内能和熵的表达式
a) 状态方程, 热力学参数对流体运动的影响 考虑均匀热力学体系
对于完全气体 对于均质不可压液体 b) 正压流体
微分形式连续性方程
ur
(V
)
0
t
不可压流体 d 0
dt
d
ur
V
0
dt
ur
V 0
3.2 运动方程 (动量定律)
系统的动量对于时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力
拉氏型动量定律
转换到欧拉型 (对控制体成立), 利用随体导数公式
欧拉型积分形式 运动方程
1 2
(
w x
u z
)
1 2
(
w y
v z
)
w z
szx szy szz
p yx
du dy
pyx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1 2
( u y
v ) x
2
syx
3.4 本构方程
假设:
(1) 应力张量是变形率张量的线性函数. (2) 流体是各向同性的. (3) 流体静止时,应力等于静压力.
➢ 自由面
p p0
切向应力=0 切向可间断
动力学条件 运动学条件（界面保持定理）
加上初始条件、边界条件（ 运动的特殊性） ,可求解方程组。
3.1 连续性方程
系统的质量不随时间变化
拉氏型积分形式连续性方程
利用系统随体导数
欧拉型积分形式连续性方程
物理意义: 单位时间内通过控制面流出的质量等于同时间内 控制体质量的减少.
3.1 连续性方程
随体导数
ur
(V
)
0
函数连续, 区域任意性 t
变形速度张量
sij
1 ( vi 2 x j
v j xi
)
u
S
1 2
x
(
v x
u y
)
1 2
(
u y
v x
)
v y
1 2
1 2
(
u z
(
v z
w x
w y
) )
sxx S syx
sxy syy
sxz
s
yz
流场中密度只是压力的单值函数 例如恒温流场
3.5 状态方程, 内能和熵的表达式
C) 内能和熵 系统能量增加=传给单位质量流体的总热量+流体压缩所做功
热力学第一定律 不可压(不发生膨胀)
等压情况
焓(总热量) 一般情况, q 不能写成全微分形式, 但可写作
熵
3.5 状态方程, 内能和熵的表达式
流体力学
第三章 流体力学基本方程组
第三章 流体力学基本方程组
建立的基础
➢以普遍的力学定律为基础 (质量、动量、能量守恒) ➢采用适合于流体特点的分析方法 (控制体法),
系统到控制体的转换方法 (体积分的随体导数公式)
➢物质的特殊性, 流体本构关系 (广义牛顿内摩擦定律), 把
普遍的力学定律转化为适合于牛顿流体的基本方程
物理意义:作用在控制体上的合外力 加上 单位时间内通过控 制面流入的流体动量 等于控制体内动量对时间的变化率.
3.2 运动方程 (动量定律)
微分形式运动方程推导 考虑到
拉氏型动量定律
其中
微分形式运动方程
3.3 能量方程
对于一个确定的系统, 流体动能和内能对于时间的变化率等于 单位时间内质量力和面力所做的功 加上 单位时间内外界给 予的热量。 拉氏型积分形式能量方程为
一般情况
熵
描述状态的量有 内能U, 焓i, 熵s 不可压 等压情况 一般情况
3.6 流体力学基本方程组
a) 应力形式
ur
(V
)
0
t
3.6 流体力学基本方程组
b) 矢量形式 用本构方程将运动方程和能量方程中的应力张量消去.
运动方程
3.6 流体力学基本方程组
b) 矢量形式 能量方程
ur V
0
dt
可压缩时, 熵只能增加,不能减少, 是不可逆过程。粘性耗损 掉机械能使得流体内的熵增加
3.6 流体力学基本方程组
能量方程
➢等压情况
(不考虑外界传热)
等压时，焓只能增加,不能减少, 是不可逆过程。粘性耗损掉 机械能使得流体内的焓增加
3.6 流体力学基本方程组
可压缩流体力学基本方程组
由假设(1)和(2) P a S b I
pyx 2 syx
a 2
b b1( pxx pyy pzz ) b2 (sxx syy szz ) b3 3b1 p b2 V b3
由假设(3),静止时 P p I b I
3.4 本构方程 pxx pyy pzz 2(sxx syy szz ) 3p 3b2 V