选修2-1椭圆的几何性质练习题[1]
高中数学选修2-1课时作业16：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3,2)在椭圆上D.无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上[答案] C[解析] 由椭圆的对称性知(－3,2)必在椭圆上.2.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23[答案] A[解析] 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32. 3.椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为( ) A.32 B. 3 C.72D.4 [答案] C[解析] 由x 24＋y 2＝1知，F 1，F 2的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，即点P 的横坐标为x P ＝－3，代入椭圆方程得|y P |＝12，∴|PF 1|＝12. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72. 4.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C.x 2＋4y 2＝1D.x 2＋4y 2＝4或4x 2＋y 2＝16[答案] D[解析] 若焦点在x 轴上，则a ＝2.又e ＝32，∴c ＝ 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1， 即x 2＋4y 2＝4.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14， ∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1，即4x 2＋y 2＝16. 5.椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P 的纵坐标是( ) A.±34B.±32C.±22D.±34[答案] B[解析] 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴，因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3.所以点P 和点F 2的横坐标都为3.故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.故选B. 6.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( )A.5－12B.3－12C.32 D.5＋12 [答案] A[解析] 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝c a，即1－e 2＝e . ∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值). 7.椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系为( ) A.有相等的长、短轴长 B .有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点[答案] B[解析] ∵(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，∴焦距相等.二、填空题8.若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________.[答案] 2[解析] 设P (x 0，y 0)，而F (－1,0)，∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋y 20＋(x 0＋1)2＋y 20.又y 20＝1－x 202， ∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋2x 0＋3＝(x 0＋1)2＋2≥2.∴|OP |2＋|PF |2的最小值为2.9.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________.[答案] x 25＋y 24＝1 [解析] ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线.∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1.设P (1，12)，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2).∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10.若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. [答案] 14或4 [解析] 方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m<1，即m >1时，依题意有1－1m 1＝32， 解得m ＝4，满足m >1；当1m>1，即0<m <1时，依题意有1m －11m ＝32， 解得m ＝14，满足0<m <1. 综上，m ＝14或4. 三、解答题 11.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0). 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0).如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E (a 2c ，0)的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求椭圆的离心率.解 由F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，得|EF 2||EF 1|＝|F 2B ||F 1A |＝12， 从而a 2c －c a 2c＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2. 故离心率e ＝c a ＝33. 13.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0).(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围. 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0， 即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得 t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1).。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-2-2椭圆的几何性质
2.2.2椭圆的几何性质一、选择题1．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15[答案] B[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a ，b ，c 的方程式，消去b 得到关于e 的方程，由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0(两边都除以a 2)⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，故选B. 2．已知椭圆C ：x 2a 2y 2b 2＝1与椭圆x 24＋y 28＝1有相同的离心率，则椭圆C 的方程可能是( )A.x 28＋y 24＝m 2(m ≠0) B.x 216＋y 264＝1 C.x 28＋y 22＝1 D ．以上都不可能[答案] A[解析] 椭圆x 24＋y 28＝1中，a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，即a ＝22，c ＝2，离心率e ＝c a ＝22.容易求出B ，C 项中的离心率均不为此值，A 项中，m ≠0，所以m 2>0，有x 28m 2＋y 24m 2＝1，所以a 2＝8m 2，b 2＝4m 2.所以a ＝22|m |，c ＝2|m |，即e ＝c a ＝22. 3．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( )A ．相等的短轴长B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．相同的长轴长[答案] C[解析] 把C 1的方程化为标准方程，即C 1：x 22＋y 24＝1，从而得C 2：x 22＋y 2＝1. 因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22，e 2＝12＝e 1＝22， 故离心率相等，选C.4．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.32 [答案] D[解析] 由△ABF 1为等边三角形，∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32. 5．我们把离心率等于黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22·|AB |·|BF |＝a 2＋b 2－(a ＋c )22·|AB |·|BF |＝(2＋5－12)a 2－(1＋5－12)2a 22·|AB |·|BF | ＝(5＋32－5＋32)a 22·|AB |·|BF |0， ∴∠ABF ＝90°，选C. 6．椭圆x 2－m ＋y 2－n＝1(m <n <0)的焦点坐标分别是( ) A ．(0，－m ＋n )，(0－m ＋n )B ．(n －m ，0)，(－n －m ，0)C ．(0，m －n )，(0，－m －n )D ．(m －n ，0)，(－m －n ，0)[答案] B[解析] 因为m <n <0，所以－m >－m >0，故焦点在x 轴上，所以c ＝(－m )－(－n )＝n －m ，故焦点坐标为(n －m ，0)，(－n －m ，0)，故选B.7．(2010·福建文，11)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[答案] C[解析] 本题主要考查椭圆和向量等知识．由题易知F (－1,0)，设P (x ，y )，其－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2 当x ＝2时，(OP →·FP →)max ＝6.8．椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( )A.12B.13C.14D.22 [答案] A[解析] 由题意知a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12. 9．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能[答案] A[解析] 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2. 10．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( ) A.33 B.23 C.22 D.32[答案] A[解析] 如图，△ABF 2为正三角形，∴|AF 2|＝2|AF 1|，|AF 2|＋|AF 1|＝2a ，3|AF 1|＝|F 1F 2|.∴|AF 1|＝23，又|F 1F 2|＝2c ， ∴23a 2c ＝13. ∴c a ＝33.故选A. 二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径的圆过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0过P 作圆的两切线又互相垂直，则离心率e ＝________. [答案] 22 [解析] 如图，切线P A 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a＝22.12．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．[答案] 53[解析] 易知直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，与椭圆方程联立解得A (0，－2)，B ⎝⎛53，43，故S △ABC ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12×1×2＋12×1×43＝53. 13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.[答案] 8[解析] 由椭圆的第一定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，两式相加，得|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝4a ＝20⇒|AB |＝20－12＝8.14．在△ABC 中，∠A ＝90°，tan B ＝34.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________.[答案] 12[解析] 设|AC |＝3x ，|AB |＝4x ，又∵∠A ＝90°，∴|BC |＝5x ，由椭圆定义：|AC |＋|BC |＝2a ＝8x ，那么2c ＝|AB |＝4x ，∴e ＝c a ＝4x 8x ＝12. 三、解答题15．已知点P 在以坐标轴为对称轴，长轴在x 轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为43和23，且点P 与两焦点连线所张角的平分线交x 轴于点Q (1,0)，求椭圆的方程．[解析] 根据题意，设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵|PF 1|＝43，|PF 2|＝23，∴2a ＝63，即a ＝33，又根据三角形内角平分线的性质，得|PF 1| |P F 2|＝|F 1Q | |Q F 2|＝2 1，即c ＋1＝2(c －1)，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝18，故所求椭圆方程为x 227＋y 218＝1. 16. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，且∠F 1PF 2＝90°，求证：椭圆的圆心率e ≥22. [证明] 证法一：∵P 是椭圆上的点，F 1、F 2是焦点，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，由①2，得|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2(a 2－c 2)，②由①和②，知|PF 1|，|PF 2|是方程z 2－2az ＋2(a 2－c 2)＝0的两根，且两根均在(a －c ，a ＋c )之间． 令f (z )＝z 2－2az ＋2(a 2－c 2)则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0f (a －c )>0f (a ＋c )>0可得(c a )2≥12，即e ≥22. 证法二：由题意知c ≥b ，∴c 2≥b 2＝a 2－c 2∴c 2a 2≥12，故e ≥22. 17．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P 、Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．[解析] ∵e ＝32，∴b 2＝14a 2. ∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2.与x ＋2y ＋8＝0联立消去y 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54[64－2(64－a 2)]． ∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 18．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)的一条直线与椭圆交于A ，B 两点，如果弦AB 被M 点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．[解析] 设所求直线存在，方程y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k 2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，所以x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.又k ＝－12时，使得①式Δ>0，故这样的直线存在，直线方程为x ＋2y －4＝0.。
高中数学选修2-1《椭圆》综合练习含答案
椭圆一、以考查知识为主试题 【容易题】1．椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为（ ） （A ）－21 （B ）21 （C ）1925-或21 （D ）1925或21【答案】C2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A.x236＋y216＝1 B.x216＋y236＝1 C.x26＋y24＝1 D.y26＋x24＝1 【答案】A3. 若焦点在x 轴上的椭圆x22＋y2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3 B.32 C.83 D.23【答案】B4. 已知1F 、2F 分别为椭圆C 的两个焦点,点B 为其短轴的一个端点,若12BF F ∆为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )AB ．12C ．2D 【答案】B5. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为 （ ）A.1B.2C.2D.22【答案】D6. 椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上且线段1PF 的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为 （ ） A.3± B.3± C.2± D.34±【答案】A7.过椭圆左焦点F 且斜率为3的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心e=__ 【答案】328.椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。
若1AF ，21F F ，B F 1 成等比数列，则此椭圆的离心率为_____________.【答案】559.设F1,F2分别是椭圆22x y 12516+=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为_________. 【答案】410．已知椭圆22195x y +=的右焦点为F , P 是椭圆上一点，点(0,A ，当点P 在椭圆上运动时， APF ∆的周长的最大值为____________ . 【答案】1411．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ，则此椭圆的离心率为__________．【答案】312．设 ， 为椭圆 ：的焦点，过 所在的直线交椭圆于 ， 两点，且 ，则椭圆 的离心率为__________．13．已知椭圆的左、右焦点分别为 、 ，且 ，点 在椭圆上，， ，则椭圆的离心率 等于__________．二、以考查技能为主试题 【中等题】14. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是_________ 【答案】111(,)(,1)32215．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是________ 【答案】416.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5717．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c - =3, 那么椭圆的方程是 ．【答案】191222=+y x18.如图，椭圆C ：(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，是否存在上述直线l 使成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
高中数学选修2—1椭圆测试卷
高中数学选修2-1《圆锥曲线》2.2—2.3阶段训练（椭圆） 时间120分钟 总分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A 1B 2C 3 D2 【答案】B 2.已知椭圆C ：22221x y ab+=（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
则k =A1 B 2 C 3 D2 【答案】B3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线 【答案】 D解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B 4.椭圆22221()x y a b ab+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是A 20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C)21,1⎡-⎣ D 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.54 B.53 C.52 D.51【答案】B6.若点O 和点F 分别为椭圆22143xy+=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则O P FP的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C 7.椭圆()222210x y a ab+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 A （0，22] B （0，12] C[21-，1） D[12，1）【答案】D 8．椭圆141622=+yx上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．10【答案】D 9．在椭圆13422=+yx内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25 B ．27C ．3D ．4【答案】C10．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+yx交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21【答案】D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .【答案】1273622=+xy12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________． 【答案】1101522=+yx13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+yx上的点，则y x +的取值范围是________________ ．【答案】]13,13[-14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________． 【答案】5415．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程____________． 【答案】18014422=+yx或18014422=+xy.三、解答题（本大题共6题，16—18每小题12分，19—21题每小题13分，共75分） 16.已知A 、B 为椭圆22ax +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．【答案】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a58，∴x 1+x 2=a21，即AB 中点横坐标为a41，又左准线方程为ax 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．17.过椭圆4:),(148:220022=+=+yx O y x P yxC 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点． （1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标； （2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点） 【答案】（1）PBPA PB PA ⊥∴=⋅0∴OAPB 的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±）（2）设A （x1，y1），B （x2，y2）则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x0，y0） 即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，∴AB 的直线方程为：x0x+y0y=4（3）由)0,4(4000x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||21000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆22)48(22|222|24||20200000=+≤⋅=y x y x y x 22228||800=≥=∴∆y x S MON当且仅当22,|2||22|m in00==∆MONS y x 时.18.椭圆12222=+by ax (a＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O为坐标原点. （1）求2211ba+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.【答案】设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 又将代入x y-=112222=+by ax 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221ba ax x +=+∴>∆222221)1(ba b a x x +-=代入①化简得21122=+ba.(2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab ab ab ac e又由（1）知12222-=a ab26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a aa，∴长轴 2a ∈ [6,5].19.一条变动的直线L 与椭圆42x+2y2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．【答案】设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y的解，消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m 2－12(2m 2－4)>0，∴－6<m<6，且x 1+x 2=－3m 4，x 1x 2=34m22-，又∵|MP|=2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x－x 1||x －x 2|=1，也即 |x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13423422=-++mmx x∵m=y －x ，∴|x2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2－4=3，得椭圆172722=+x x夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1．20.椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.（14分） 【答案】（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a yax .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c ac c a 解得2,6==c a，所以椭圆的方程为12622=+yx，离心率36=e .（2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y yx 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+kk x x ， ①136272221+-=kk x x . ②，由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y. ③∵0=⋅OQOP ，∴02121=+y y x x. ④，由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k.所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .（2）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP-=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故 ),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--= .而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.21.在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922=+yx的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
选修2-1 椭圆习题及答案
选修2-1 椭圆练习题及答案1. 已知动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数，则动点M 的轨迹是 .A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在2.若方程m x -252+my +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( ) A.(-16，25) B.( 29，25) C.(-16，29) D.( 29，+∞) 3、已知M 是椭圆14922=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ⋅的最大值是（ ）A 、4B 、6C 、9D 、124、椭圆22125x y m m +=-+的焦点坐标是 （A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7)5、若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为（A ）221(0)10036x y y +=≠（B ）221(0)10084x y y +=≠ （C ）221(0)10036x y x +=≠（D ）221(0)10084x y x +=≠ 6、点P 为椭圆22154x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是（A ）(, 1) （B ）, ±1) （C ）（D ）(, ±1) 7．椭圆 221123x y += 的焦点为 1F 和 2F ，点P 在椭圆上，如果线段 1PF 的中点在 y 轴上，那么 1PF 是 2PF的 （ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍8．P 为椭圆22110064x y +=上的一点，F 1和F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为 . 9．椭圆12222=+by a x (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为 .10．已知直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=，对任意的k 值总有公共点，则m 的取值范围是___________11、求椭圆的方程：（1）、焦距为，求方程； （2）、椭圆过点3(,4)5P -和4(,3)5Q -，求方程； （3）、已知椭圆两焦点为1(F -，2F ，过1F 且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆相交于,M N 两点，若2MF N ∆的周长为12，求方程；（4）、在Rt ABC ∆中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 边上；12、求离心率：（1）、椭圆的一个焦点将长轴分成3：2两部分线段，求离心率；（2）、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率？（3）、设F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，且有PF x ⊥轴，//OP AB ，求离心率；13、已知圆:(3)100A x y ++=，圆A 内一定点(3,0)B ，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程； 14、 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．1、C2、B3、C4、D5、B6、D7、A8、391 10. m 大于等于1且不等5 13.解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴14)24(8221+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点，∴14)24(424221+-=+=k k k x x ，21-=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ．方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ．又∵A ，B 在椭圆上，∴3642121=+y x ，3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ．方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --．∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①。
数学选修2-1椭圆练习题及详细答案(含准线练习题)
数学选修2-1椭圆练习题及详细答案（含准线练习题）1．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是 。
答案：－3<m <02．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。
答案：9x 2＋y 2=13. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。
答案：4x 2＋5y 2=24提示：∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距, ∴4c 2=(a ＋c )(a －c ),解得a 2=5c 2, ∴b 2=4c 2, 将4 x 2＋5y 2=m 与2x －y －4=0联立，代入消去y 得24x 2－80x ＋80－m =0, 由弦长公式l =2k 1+|x 1－x 2|得354=5×1840m 3-,解得m =24,∴椭圆的方程是4x 2＋5y 2=24 4．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。
|PF1|²=(x - c)² + y²=[a²(x - c)² + a²y²]/a²=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = a²b² ***/=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²=[(a²-b²)x² - 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²=(a² - cx)²/a²∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex同理可证：PF2 = a + ex5. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
选修2-1第一章椭圆的几何性质课时作业
课时作业10 椭圆的几何性质时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆的方程为( )A.x 26＋y 24＝1 B.x 236＋y 232＝1C.x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝1 D.x 26＋y 24＝1或y 26＋x 24＝1 【答案】 C【解析】 2a ＝12，a ＝6，e ＝c a ＝13， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32， 又∵焦点位置不确定，故选C.2．(2013·四川文)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22D.32【答案】 C【解析】 根据x 2a 2＋y 2b 2＝1可得F 1(－c,0)，P (－c ，b 2a )，故OP 与AB 的斜率分别是k OP ＝－b 2ac ，k AB ＝－b a ，根据OP ∥AB 得－b 2ac ＝－ba ，即b ＝c .由于a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2c 2，故e ＝c a ＝22.3．椭圆x 24＋y 29＝1与曲线x 29－k ＋y 24－k ＝1(0<k <4)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不相等的焦距，相同的焦点D ．有不相等的焦距，不同的焦点 【答案】 B【解析】 椭圆x 24＋y 29＝1的焦点在y 轴上，曲线x 29－k ＋y 24－k ＝1(0<k <4)是椭圆，焦点在x 轴上，所以排除A ，C ，又c 2＝(9－k )－(4－k )＝9－4＝5，所以有相等的焦距．4．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.33【答案】 C【解析】 由题意知2c ＝2a ，e ＝c a ＝22.5．若方程(k 2－6)x 2＋5ky 2－5k (k 2－6)＝0表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(－6,6)B ．(－6,0)C ．(6，6)D ．(－6，6)【答案】 C【解析】 椭圆方程可化为x 25k ＋y 2k 2－6＝1，由椭圆的焦点在x 轴上，可知⎩⎨⎧5k >k 2－6，k 2－6>0，解得6<k <6.6．已知F (c,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 的距离为m ＋n2的点是( )A ．(c ，±b 2a ) B ．(c ，±ba ) C ．(0，±b ) D ．不存在【答案】 C【解析】 由题意得m ＝a ＋c ，n ＝a －c ，∴m ＋n2＝a ，故与F 距离为a 的点是短轴的两个端点．二、填空题(每小题10分，共30分)7．椭圆的一个顶点为(0,2)，离心率为e ＝12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________．【答案】 316x 2＋y 24＝1或y 24＋x 23＝1【解析】 当点(0,2)为长轴的一个端点时，a 2＝4，又c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝3，椭圆方程为y 24＋x23＝1；当点(0,2)为短轴的一个端点时，b 2＝4， 又c a ＝12，且a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝163，椭圆方程为316x 2＋y24＝1.8．已知椭圆x 29＋y 24＝1内一点P (2,1)，则过点P 且被P 平分的弦所在的直线方程为________．【答案】 8x ＋9y －25＝0【解析】 弦所在直线与椭圆的两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 0a 2y 0，得k AB ＝－4×29×1＝－89，所以直线方程为y ＝－89(x －2)＋1， 即8x ＋9y －25＝0.9．若椭圆两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆方程是________．【答案】 x 225＋y 29＝1【解析】 当P 是椭圆短轴端点时，△PF 1F 2的面积最大，则12b ×2c＝12.由c ＝4得b ＝3，故a ＝5，椭圆方程为x 225＋y 29＝1.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1，那么当m 取何值时，直线l 与椭圆C 满足下列条件？(1)相交；(2)相切；(3)相离．【分析】 将直线的方程与椭圆的方程联立组成方程组，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，由方程的根的情况判断直线与椭圆的位置关系．【解析】 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②并整理，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③方程③的判别式为Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144. (1)由Δ>0得－32<m <32，于是当－32<m <32时，方程③有两个不相等的实数根，可知方程组有两组不同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点，即直线l 与椭圆C 相交．(2)由Δ＝0得m ＝±32，也就是当m ＝±32时，方程③有两个相等的实数根，可知方程组有两组相同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即直线l 与椭圆C 相切．(3)由Δ<0得m <－32或m >32，也就是当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知方程组没有实数解，这时直线l 与椭圆C 没有公共点，即直线l 与椭圆C 相离．11．(13分)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→的最大值和最小值．【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝x 2＋1－x 24－3＝14(3x 2－8)．因为x ∈[－2,2]，所以当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2；当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1.12．(14分)(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 【解析】 (1)由题意，F 2(c,0)，B (0，b )， |BF 2|＝b 2＋c 2＝a ＝2，又C (43，13)，∴(43)22＋(13)2b 2＝1，解得b ＝1. ∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点方程为(2a 2ca 2＋c 2，b －2a 2ba 2＋c 2)，则C 点坐标为(2a 2ca 2＋c 2，2a 2ba 2＋c 2－b )，kF 1C ＝2a 2ba 2＋c2－b2a 2ca 2＋c 2＋c ＝a 2b －bc 23a 2c ＋c3，又k AB ＝－b c ， 由F 1C ⊥AB 得a 2b －bc 23a 2c ＋c 3·(－bc )＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，∴(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4， 化简得e ＝c a ＝55.。
高中新课标数学选修(2-1)椭圆练习题
椭圆及其标准方程基础卷1．椭圆2211625x y +=的焦点坐标为 （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0)2．在方程22110064x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是（A ）2214x y += （B ）2214y x += （C ）22116x y += （D ）22116y x += 4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是（A ）2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）2211636x y += 5．若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 （A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）146．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 7．若y 2－lga ·x 2=31－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 . 8．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .9．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 .10．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .11．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。
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高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质002班级： 座号： 姓名：椭圆的简单几何性质：1．若椭圆x 2a2＋y 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )A.32 B.12 C.22D.522．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝13．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为55；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．5．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．6．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P.若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．7．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1 C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝18．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝3，则椭圆的方程是________．高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质0023．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.答案：C4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C. 5D.15或5153解析：由椭圆的标准方程，易知m >0且m ≠5. ①若0<m <5，则a 2＝5，b 2＝m . 由m 5＝1－(105)2＝35，得m ＝3. ②若m >5，则a 2＝m ，b 2＝5. 由5m ＝1－(105)2＝35，得m ＝253. 所以m 的值为3或253.答案：B5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________．解析：如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9. ∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝16．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2557.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质002所以ca＝53，即e＝53.参考答案椭圆的简单几何性质：1．若椭圆x2a2＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A.32 B.12 C.22 D.52解析：由椭圆方程知长轴长为2a，短轴长为2，∴2a＝2×2＝4，∴a＝2，∴c＝22－12＝3，∴e＝ca＝32.答案：A2．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1.∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得 m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 两焦点分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)； 四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12).3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 解析：由题意2a ＝12，∴a ＝6.又e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝62－22＝32，∴椭圆方程是x 236＋y 232＝1.答案：D4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．解：(1)将方程4x 2＋9y 2＝36化为x 29＋y 24＝1，可得椭圆焦距为2c ＝2 5.又因为离心率e ＝55，即55＝5a，所以a ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝25－5＝20. 若椭圆焦点在x 轴上，则其标准方程为x 225＋y 220＝1；高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质002若椭圆焦点在y 轴上，则其标准方程为y 225＋x 220＝1.(2)依题意2a ＝2·2b ，即a ＝2b .若椭圆焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋16b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝68，b 2＝17，所以标准方程为x 268＋y 217＝1.若椭圆焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，16a 2＋4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝32，b 2＝8.所以标准方程为x 28＋y 232＝1.[例3] F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．[思路点拨] 通过已知条件MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°，得到Rt △MF 1F 2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a ，b ，c 之间的关系，进而求出椭圆的离心率．[精解详析] 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a3， ∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33， 即椭圆的离心率是33. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若 A P ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A.32B.22 C.13D.12解析：∵ A P ＝2 PB ，∴| A P |＝2|PB |.又∵PO ∥BF ，∴|P A ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.答案：D6．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P .若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析：由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.答案：2－11．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10， 则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)． 答案：D2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 解析：由已知得a ＝9,2c ＝13·2a ，∴c ＝13a ＝3.又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案：A3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.答案：C高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质0024．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C. 5D.15或5153解析：由椭圆的标准方程，易知m >0且m ≠5. ①若0<m <5，则a 2＝5，b 2＝m . 由m 5＝1－(105)2＝35，得m ＝3. ②若m >5，则a 2＝m ，b 2＝5. 由5m ＝1－(105)2＝35，得m ＝253. 所以m 的值为3或253.答案：B5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________．解析：如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9. ∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝16．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2557.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.。