大学物理_波动方程
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大学物理习题详解No.2波动方程
《大学物理》作业 No.2波动方程班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、判断题[ F ] 1. 解：电磁波就可以在真空中传播。
[ F ] 2. 解：波动是振动的传播，沿着波的传播方向，振动相位依次落后。
[ F ] 3. 解：质元的振动速度和波速是两个概念，质元的振动速度是质元振动的真实运动速度，而波速是相位的传播速度，其大小取决于介质的性质。
[ F ] 4. 解：振动曲线描述的是一个质点离开平衡位置的位移随时间的变化关系；波形曲线是某一时刻，波线上各个质点离开平衡位置的情况。
[ F ] 5. 解：对于波动的介质元而言，其动能和势能同相变化，它们时时刻刻都有相同的数值。
二、选择题：1. 一平面简谐波表达式为)2(sin 05.0x t y --=π (SI) ，则该波的频率v (Hz)、波速u (m ⋅s -1)及波线上各点振动的振幅A (m)依次为：(A) 2/1，2/1，05.0- (B) 2/1，1，05.0-(C) 2/1，2/1，05.0 (D) 2 ，2，05.0[ C ]解：平面简谐波表达式可改写为(SI))22cos(05.0)2(sin 05.0ππππ+-=--=x t x t y与标准形式的波动方程 ])(2[cos ϕπ+-=u xt v A y 比较，可得 )s (m 21,(Hz)21,(m)05.01-⋅===u v A 。
故选C2. 一平面简谐波的波动方程为)3cos(1.0πππ+-=x t y (SI)，t = 0时的波形曲线如图所示。
则：(A) O 点的振幅为-0.1 m(B) 波长为3 m (C) a 、b 两点位相差 π21(D) 波速为9 m ⋅s -1解：由波动方程可知(Hz),23(m),1.0==νA (m)2=λ，)s (m 32231-⋅=⨯==νλua 、b 两点间相位差为：2422πλλπλπϕ===∆ab故选C3. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，t = T/4时的波形曲线如图所示。
大学物理_波动方程
《大学物理》 4、波动方程的几点讨论：
I、波沿x轴负向传播时，波动方程为：
yAco2s(Tt x)
y
II、波动方程中，x取固定值则得
到振动方程。
0
t
y0Aco2s(Tt x0)
y
u
III、波动方程中，t取固定值则
得到波形方程。
yAco2s(T t0x)
0
x
《大学物理》
例2 频率为12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为
0.1 10 3 cos( 25 10 3 t ) m 2
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为
2
， 或 落 后 1 T ， 即 2 10 5 s 。 4
( 4 ) 该 两 点 间 的 距 离 x 10 cm 0.10m
1 ，相应的相位差为 4
2
(5 ) t= 0 .0 0 2 1 s 时 的 波 形 为
1 0
2
根据已知条件,初相为:
x
2
y 1 co (t sx )[ /2 ]
《大学物理》
(2)按题设条件,t=1s时的波形方程为:
y1cos(1[x)/2]
y
u
sinx
1
(3)按题设条件,x=0.5m处的质点02 Nhomakorabeax
振动方程为:
y1cos(t[0.5)/2] cost()
《大学物理》
例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐 波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有 一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
解 棒中的波速
u Y 1.9 1011 N m2 5.0 103 m/s
第六章_波动方程
一、波动方程
7.2.3 一维势垒的简单讨论 粒子在I区，具有能量E>0。各区 的势垒如下，求粒子在各区出现 的几率。
0 (0<x<x1) [I区] V＝
V2>E (x1<x<x2) [II区]
0 (x>x2) [III区]
一、波动方程 列出此问题的薛定谔方程：
2 d 2u V x u Eu 2 2m dx d 2u 2m 2 V E u 2 dx
此方程比较难解，令 x,
2
2
(1)
mk 2
4
那么
d 2u 2mE mk 2 2 2 2 4 u 0 2 d
(2)
一、波动方程 令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么 2化简为：
d 2u 2 u 0, 2 d
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
px i x
所以动量px可以用算符 i 来表示。同理有 x
p y i y
pz i z
一、波动方程
那么
p p p p 2 2 2 x y z 2 2
2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
波函数两边取对t的偏导
i E , t
大学物理 第二章 薛定谔方程
因为 n
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
《大学物理AII》作业 No.02 波动方程 参考答案
2、一平面简谐波，波长为 12m，沿 Ox 负向传播。如图所示为原点处质点的振 动曲线，求： （1）原点处质点的振动方程， （2）此波的波函数。
解：由题意得：振幅 A=0.4m，初始位置 y0 0.2 相为
2 ， 其对应旋转矢量如上图所示。 从图还可以看出 5s 后， 矢量转动的角度： 3 5 2 t 5 12 s ； ，则 ， T 3 2 6 6 2 ) m） 所以其振动方程为 y 0.4 cos( t （ 6 3 2 12 s ，波速 u 1( m / s ) ，又因传播方向为负， （2）由题意 12m ， T T 2 （ ] m） 所以波函数为： y 0.4 cos[ （t x） 6 3
答：振动是波动的基础，振动在空间的传播就形成波动。平面简谐波动方程是关 于时间和空间的函数， 而简谐振动方程只是关于时间函数；当平面简谐波动方程 中的空间变量 x 确定时，波动方程成为表述该点运动的振动方程。振动曲线是以 位移为纵坐标， 时间为横坐标做的曲线，描述质点在不同时刻离开平衡位置的位 移；波形曲线是位移为纵坐标，介质元空间位置为横坐标做的曲线，用来描述某 一时刻，波线上各个质元离开平衡位置的距离。 2、平面简谐行波波函数的表达式与哪些因素有关？总结求波函数的基本步骤。 答：平面简谐行波波函数与波的特征量：振幅、周期、频率、波速及其传播方向 有关， 此外与坐标原点、 计时起点的选择有关。 求波函数的基本步骤可以概况为： （1）选择一个参考点，根据已知条件确定出该参考点的振动方程； （2）选定坐标原点，选定正方向，建立坐标；
《大学物理 AII》作业
No.02 波动方程
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
大学物理-波动方程的定解问题例题
动定律有
T1 cos1 T2 cos2 0 T1 sin 1 T2 sin 2 mg mutt xx0
因为 1 0,2 0,
（2） （3）
所以
cos1 cos2 1
sin 1
tan 1
u1 x
,sin 2
xx0 0
tan 2
u2 x
xx0 0
令
于是(2)化为 T1 T2 T
T (u2 x
解：由于研究的是柔软轻绳，故弦的 重量可以忽略不计。且由于惯性离心 力的作用，绳的平衡位置为水平线。 如右图所示，在绳中划出一小段dx， 考虑这一小段的受力和运动情况，此 处u(x,t)表弦的位移，T1和T2 分别表小段 dx段的两端所受的张力。注意在小振 幅情况下 sin tan ux,cos 1, 于是这一小段作横振动的运动方程为
x
2
将(2)代入(1)，得
（2）
[1 2
2 (l 2
x2 ) ux ]xdx
[1 2
2 (l 2
x2) ux ]x
utt dx
两边除以 dx 并整理得
utt
1 2
2
x
[(l
2
x2
)ux
]
0
例5 长为l的弦，若在其上某定点 处挂x0有一质量为m的小球，试
推导弦作横振动时该点处的衔接条件。 解：由于小球重力mg的作用，弦在 x0处有一跃变点。设在任意
第五章 数学物理方程和定解条 件的导出 例题
5.1波动方程的定解问题
例1 设均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅 极小的横振动u(x, t)：坐标为x的点在t时刻沿横向的位移 求：细弦上各点的振动规律
解：研究对象：选取不包括端点的一小段（x, x+dx）
T1 cos1 T2 cos2 0 T1 sin 1 T2 sin 2 mg mutt xx0
因为 1 0,2 0,
（2） （3）
所以
cos1 cos2 1
sin 1
tan 1
u1 x
,sin 2
xx0 0
tan 2
u2 x
xx0 0
令
于是(2)化为 T1 T2 T
T (u2 x
解：由于研究的是柔软轻绳，故弦的 重量可以忽略不计。且由于惯性离心 力的作用，绳的平衡位置为水平线。 如右图所示，在绳中划出一小段dx， 考虑这一小段的受力和运动情况，此 处u(x,t)表弦的位移，T1和T2 分别表小段 dx段的两端所受的张力。注意在小振 幅情况下 sin tan ux,cos 1, 于是这一小段作横振动的运动方程为
x
2
将(2)代入(1)，得
（2）
[1 2
2 (l 2
x2 ) ux ]xdx
[1 2
2 (l 2
x2) ux ]x
utt dx
两边除以 dx 并整理得
utt
1 2
2
x
[(l
2
x2
)ux
]
0
例5 长为l的弦，若在其上某定点 处挂x0有一质量为m的小球，试
推导弦作横振动时该点处的衔接条件。 解：由于小球重力mg的作用，弦在 x0处有一跃变点。设在任意
第五章 数学物理方程和定解条 件的导出 例题
5.1波动方程的定解问题
例1 设均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅 极小的横振动u(x, t)：坐标为x的点在t时刻沿横向的位移 求：细弦上各点的振动规律
解：研究对象：选取不包括端点的一小段（x, x+dx）
《大学物理》第二章--波动方程
a o
● ●
b
●
u
d
S
x
●
x
x dx
dxS S ( d ) S dS x
t 时刻体积元所受合力
( x，t ) d dx x 体积元质量为 dV Sdx v dxS Sdx 根据牛顿第二定律有
应力是 x 和 t 的函数
2 2
——波动方程
以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律， 还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析 波动方程的意义. 2. 波动方程的动力学推导
以平面波在固体细长棒中的传播为例 设有一截面积为S ，密度为ρ 的固体细棒， 一平面纵波沿棒长方向传播。
S
u
a o
● ●
b
●
u
d
2 2
2 T ，u T 1 2 u
y 1 y 2 2 x u t 2
2 2
——波动方程
注意：
波动方程是由平面简谐波推导出的， 但对其它平面波仍然成立， 从数学上，平面简谐波波函数 只是上述波动方程的一个特解。
y 1 y 2 2 x u t 2
y 0.1cos(3t x )
t=0时的波形曲线如图，则： Ａ，a点的振幅为－０．１m; Ｃ，两点间的相位差为 / 2 Y(m) 0.１m -0.１m a
Ｂ,波长为４m Ｄ，波速为６m/s
u b
C X(m)
0
例３，若一平面简谐波的波动方程为
y A cos( Bt Cx)
式中的Ａ，Ｂ，Ｃ为正值恒量，则
Ａ，波速为Ｃ／Ｂ Ｂ，周期为１／Ｂ
Ｃ，波长为 C / 2 Ｄ，圆频率为Ｂ Ｄ
大学物理-波动方程的基本解 推迟势与超前势
X 处δ 所激发的势，其定解问题为 则式 (11.4.5) 可简写为
(11.4.3) (11.4.4) (11.4.5)
(11.4.6)
(2) 求像函数 G (X, t；X' ,t ') 。作变量代换 r = X – X' ，r = | X – X' |
(11.4.7)
原先点源位于 X' ，作变换后，点源位于球坐标 (r, θ , φ) 的原点 (如图11.4.1)。
(11.4.11) (3) 求像原函数 G (X, t；X' ,t ') 。由拉氏逆变换可得
令 p =σ+ iβ，并利用δ 函数的傅里叶展开，上式可写为
(11.4.12)
最后的等式是利用了δ 函数如下性质 f (t)δ(t – t0) = f (t0)δ(t – t0)
现在令
，由易见，再将r = | X – X' | 代入式 (11.4.12)，并采用记号 G(±) 与等
利用高斯定理及δ 函数的性质可得： (11.4.10)
将式 (11.4.9) 代入式 (11.4.10) 第一项，作梯度运算后， 利用 dS = r2 sinθdθdφ 可证
将式 (11.4.9) 代入式 (11.4.10) 第二项，利用 可证 将上两式代入式(11.4.10)，便有
将
代入式 (11.4.9)，得
(11.4.19)
用已知条件表示 u (x,t)。现只讨论 G = G (–) 的情形。由式 (11.4.13) 可得
(11.4.20)
(11.4.21)
为后面计算的方便，引入 r' = x' – x = – r，即 x' = x + r' 显然，r 的端点在 x'，终点在 x；而 r' 的端点在 x，终点 在 x' 。但两者的长度相等 r' = |r' |= |– r|= r 。
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。01:1 2:0801: 12:0801 :1212/ 11/2020 1:12:08 AM
解 棒中的波速
u Y 1.9 1011 N m 2 5.0 103 m/s
7.6 103 kg m 3
波长 u 5.0 103 m s 1 0.40m 12.5 103 kg m 3
周期 T 1 8 10 5 s
(1) 原点处质点的振动表式可写成
y0 A cost 0.1 103 cos(2 12.5 103 t) m 0.1 103 cos 25 103t m
《大学物理》
例题5 一列沿x轴负向传播的谐波,波长为4m,振幅为0.01m, 频率为50赫兹,在x=0处的引起振动的初相为0.现在x=6m处 有一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
解 入射波在x=6m处引起振动的
y
u
初相和振动方程分别为:
2 6 3
0
6
x
y6 0.01cos(100t 3 )
y 1cos[ (1 x) / 2]
y
u
sinx
1
(3)按题设条件,x=0.5m处的质点
0
2
x
振动方程为:
y 1cos[ (t 0.5) / 2] cos(t )
《大学物理》
例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐 波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有 一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
0.1 103 cos(25 103t ) m
2
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为
，或落后 1 T ，即 2 105 s 。
2
4
(4) 该两点间的距离 x 10cm 0.10m 1 ，相应的相位差为
4
2
(5) t=0.0021s 时的波形为
y 0.1 103 cos 25 103 (0.0021 x ) m
(1)波动方程;
(2)1s时波形方程并作图;
(3)0.5m处的质点振动方程.
解: (1)按题设条件,取波动方程形 式如下:
y
u
y Acos[2 ( t x ) ]
1TΒιβλιοθήκη 根据已知条件,初相为:0
2
x
2
y 1cos[ (t x) / 2]
《大学物理》
(2)按题设条件,t=1s时的波形方程为:
反射波反射到x处，引起的振动与入射波在x=6处引起的振 动的相位差为:
2 x 6 x 3 2
《大学物理》 所以波动方程为： 特别注意半波损失
y 0.01cos(100t 3 ) 0.01cos(100t 6 x / 2) 0.01cos(100t x / 2)-π
《大学物理》 5 球面波的波动方程
解 在x轴上任意x处取一点来
讨论,波反射后到达x处的相位 落后为:
x
2 210 x
0
x 10
根据已知条件,x=0处的振动为:
8 x -π
y0 0.01cos100t
2
y 0.01cos(100t )
所以波动方程为： 特别注意半波损失
0.01cos(100t 8 x / 2) 0.01cos(100t x / 2)
y0 A0 cos(t )
球面波的波动方程为:
y A0r0 cos[ (t r r0 ) ]
r
u
A0r0 振幅变小了. r r0
r
u
r0
r 振动时间落后.
或 : y A0r0 cos[t 2 r r0 ]
r
2 r r0 振动相位落后
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1120. 12.11Fr iday, December 11, 2020
《大学物理》
(2) 波动表式为
y A cos (t x ) 0.1 103 cos 25 103 (t x ) m
u
5 103
式中 x 以 m 计，t 以 s 计。
(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式为
y 0.1 103 cos 25 103 (t 1 ) m
5 104
5 103
0.1 103 cos(52.5 5x) m
0.1 103 cos( 5x) m
2
0.1 103 sin 5x m
其中以 x 以 m 计。
《大学物理》
例题3 有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅为1m,周 期为2s,波长为2m.在t=0时,坐标原点处的质点位于平衡位置沿y 轴正向运动.求
0
x
T
《大学物理》
例 2 频 率为 12.5kHz 的 平 面余 弦纵 波沿 细 长的 金属 棒传 播 ，棒 的杨 氏模 量 为
Y 1.9 1011 N/m 2 ，棒的密度 7.6 103 kg/m 3 ，如以棒上某点取为坐标原点，已
知原点处质点振动的振幅为 A=0.1mm，试求：(1) 原点处质点的振动表式，(2) 波动表式， (3) 离原点 10cm 处质点的振动表式，(4) 离原点 20cm 和 30cm 两点处质点振动的相位差， (5) 在原点振动 0.0021s 时的波形。
x0
x
y0 Acos(t )
x
则任意一点x处的时间 落后为：
t x x0 u
《大学物理》 其相位落后为：
t x x0
u
则任意一点x处的振动 方程，即波动方程为：
y Acos[(t x x0 ) ]
u
若：x0 0, 0,则有： y Acos(t x )
u
根据波动物理量之间的关系，波动方程还可以表示为：
《大学物理》 第二节 平面谐波的波动方程
1、什么叫谐波？波源和媒质的振动都是谐振动。
2、什么叫波动方程？描写任意时刻任意质点（质元） 振动状态的函数方程叫波动方程，也叫波函数。
3、平面谐波的波动方程： 写平面谐波的波动方程
y
u
的关键是利用波的特点。
即在波传播方向上振动
依次落后。设已知x0处
质点的振动。
y Acos 2 ( t x ) T
《大学物理》 4、波动方程的几点讨论：
I、波沿x轴负向传播时，波动方程为：
y Acos 2 ( t x )
y
T
II、波动方程中，x取固定值则得
到振动方程。
0
t
y0
Acos 2 ( t
T
x0
)
y
u
III、波动方程中，t取固定值则
得到波形方程。
y Acos 2 (t0 x )