基于小波分析的数字滤波器设计

・开发设计・基于小波分析的数字滤波器设计张永学1　封　磊2　刘贵忠1　申元玖3(1.西安交通大学电子与信息工程学院　陕西西安)　(2.陕西工业职业技术学院　陕西咸阳)(3.陕西省委机要局　陕西西安)摘 要:文章主要讨论了基于小波分析理论的数字滤波器设计方法,通过小波变换或小波包变换可以将原始信号分解到互不重叠的频带上,再根据滤波器的设计要求提取出有用频带分量进行相应的数据重构,可以实现对原始信号的数字滤波处理。

文中给出了利用该方法进行数字滤波的实例,结果表明,该方法可以有效地滤除噪声干扰,小波分析理论。

关键词:小波变换;小波包变换;快速算法;数字滤波中图法分类号:P631.4+24 文献标识码:B 文章编号:100429134(2005)022*******0　引　言顾名思义,滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件或软件[1]。

如果滤波器的输入和输出都是离散信号,那么该滤波器的冲激响应也肯定是离散的,这样的滤波器被称为数字滤波器[2]。

数字滤波器在数字信号处理的各种应用中发挥着十分重要的作用,它是通过对采样信号进行数学运算处理来达到频域滤波的目的。

数字滤波器的实现有硬件和软件两种手段。

硬件实现的基本部件包括延迟器、乘法器和加法器;软件实现则是利用一段算法程序对数据进行处理,它的优点是系统函数具有可变性、易于获得较理想的滤波性能,在滤波器的使用中起到了越来越重要的作用。

传统的数字滤波器设计方法的核心是Fourier 变换,设计方法有频域法和时域法两种。

频域法是利用FFT 快速算法对输入信号进行离散Fourier 变换并分析其频谱,然后根据所期望的频率特性进行滤波,再利用IFFT 恢复出时域信号;时域法是通过直接对离散采样信号进行差分方程数学运算以达到滤波的目的[3]。

但是,Fourier 变换只是一种纯频域的分析方法,它在频域的定位性是完全准确的,而在时域却无任何定位性。

也就是说,Fourier 变换在将时域信号转换为频率信号后,时域信息则失去了。

实际中,许多常见信号的频率特性会随时间而改变称其为非平稳信号或时变信号,Fourier 变换对这类信号的分析呈现出严重的不足。

虽然后来引入了短时傅立叶变换STFT ,但依然存在由于窗函数固定而导致的时间分辨率和频率分辨率无法灵活改变的缺陷。

与Fourier 变换和STFT 相比,小波分析是一种范围可变的窗口方法,它可以用长的时间间隔获得更精确的低频信息,也可以用短的时间间隔获得更精确的高频信息,因而它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。

小波变换和小波交变换可以将信号中不同的频率成分分解到互不重叠的频带上,为信号滤波提供了有效途径。

本文从实际应用出发,给出了基于小波分析的数字滤波器的软件设计方法,并用Matlab6.5进行了仿真,得出了小波分析理论能够较好地应用于数字滤波器设计的结论。

1　二进制正交小波的快速算法1.1　二进制正交小波的MALLAT 算法选择规范的正交小波基,设h (n )为其低通滤波器的单位冲击响应,g (n )为其高通滤波器的单位冲击响应,则有下式成立:g (n )=(-1)n h (1-n )(1)相应的小波分解系数的快速算法公式如下[4]:x m +1(n )=∑kh (k -2n )x m (k )(2)d m +1(n )=∑kg (k -2n )x m (k )(3)在以上的公式(2)和(3)中,x m (n )是尺度m 上的　第一作者简介:张永学,男,1970年生,高级工程师,1992年毕业于石油大学(华东),毕业后在西安石油勘探仪器总厂从事地震勘探仪器的研发和技术管理工作,现在西安交通大学电子与信息工程学院攻读硕士学位,研究方向为通信与信息系统。

邮编:710049・6・ 石　油　仪　器PETROLEUM INSTRUMENTS 2005年04月　信号,也称为近似分量,表示的高尺度,低频成分,当m =0时,x 0(n )是原始信号的数据,k 为滤波器长度;d m (n )是细节分量,表示的低尺度,高频成分。

公式(2)和(3)写成矩阵形式便是著名的快速算法公式Mallat 公式[5]:X m +1=HX m (4)D m +1=GX m(5)Mallat 小波分解公式是一种二进制分解算法,每分解一次,细节分量数据和近似分量数据量减少一倍,近似分量的频带就为上一级的一半。

通过不断的分解过程将近似信号连续分解,就可将信号分解成许多低分辨率成分。

原始信号可以看作尺度m =0时的近似值,若原始信号的频带为(0,f ),经尺度m =1,2,3,……,M 的分解后,Mallat 小波分解公式分解结果对应的频带分别为(2-1f ,f ),(2-2f ,2-1f ),……,(2-M f ,2-(M -1)f ),(0,2-M f )。

由分解过程可知,Mallat 小波分解公式没有对高频部分进行分解,所以高频段的频率分辨率较差。

图1是将一道采样率为1000Hz 、图1　小波分解示意图1024个样点的数据序列进行4层小波分解的示意图。

信号数据经小波分解后,可根据要求做进一步处理,处理后再将信号重构出来,小波分解重构公式如下:x m -1(n )=∑k[h (n -2k )x m (k )+g (n -2k )d m (k )](6)1.2　正交小波的小波包算法小波包分解是对小波分解的一种改进,小波包分解可以对信号在全频带内进行分解。

与二进制正交小波的Mallat 算法不同的是,小波包分解除了将近似部分继续分解为新的近似与细节以外,还可以将细节部分再分解为新的近似与细节,因此,它对高频段的频率分辨率较好,对信号的刻划更为精细,但运算量也相应地大量增加。

小波包分解公式[6]如下:x 2m (n )=2∑kh (k )x m (2n -k )(7)x 2m +1(n )=2∑kg (k )x m(2n -k )(8)对任一尺度m ,原始信号可以分解为2m 个等带宽的序列,若原始信号的频带为(0,f ),则2m 个频带的范围为:(2-m (l -1)f ,2-m lf ),其中,l =1,2,3,……,2m 。

图2是将一道采样率为1000Hz 、1024个样点的数据序列进行3层小波包分解的示意图。

图中,A 为原始信号,B 至I 为将原始信号经小波包分解后的8个频带宽度为62.5Hz 的信号分量。

小波包分解的重构算法可以参考参考文献[7],分解后的信号每重构一次,信号的数据长度增加一倍,经m 层重构后,信号恢复为原信号的长度。

2　基于小波分析的滤波器设计方法2.1　设计流程利用小波分析的方法设计数字滤波器的步骤如下:首先,根据原始信号的采样率,由采样定理计算出原始信号的可能频率范围;其次,根据所设计的滤波器的具体参数,计算出利用小波分解或小波包分解的分解次数并进行分解;最后从分解后的结果中挑出符合滤波器设计要求的频率分量的小波或小波包系数进行・7・　2005年　第19卷　第2期 张永学等:基于小波分析的数字滤波器设计重构,便会得到滤波后的信号。

2.2　基于小波分析进行滤波器设计对被处理数据的要求利用小波分析进行滤波器设计时应注意两个问题:一是信号的采样间隔(或采样率),二是数据的数量。

图2　小波包分解示意图 最细的M 尺度层的采样间隔大小由两个因素决定:一是要使采样数据能够真实反应信号的各种变化(如光滑、突变、振动等),满足时域分析的需要;二是采样间隔的大小决定了频率范围,这种频率范围应能够满足对原信号进行频率分析的需要。

由采样定理可知,采样数据的最大频率范围为采样频率的一半;同样由最粗的0尺度层的采样间隔,可知最低的频率范围。

于是从需要分辨的最高频率和需要分辨的最低频率这两个指标,就可决定最细尺度层的采样间隔和数据分解的层数。

在Mallat 算法中,如果在0尺度层至少要取用N 0个数据才能满足表现低频分量的需要,在M 层则至少需要2M N 0个数据,才能满足M 个分解层次的需要。

在Mallat 算法中实际使用的数据要比可用于分析的数据多,要根据待分析数据的具体情况来确定使用数据。

例如,当可获得信号的较多数据而仅需要分析其中部分数据时,可将待分析数据两端做数据扩展,扩展数据仍然为原信号的数据,既满足了多层数据分解需要,又保证了待分析数据段的有效性;如果仅仅知道原信号的某个数据段,待分析的也是这个数据段,此时需要对此数据段两端扩展数据,可根据信号的表现采用零数据扩展、奇对称扩展、偶对称扩展、光滑顺延性扩展等方法;如果已知某信号段的离散数据,但做多层数据分解重构时数据量不够,要么对原信号重新加密采样,要么对已知离散数据做插值处理。

3　基于小波分析的滤波器设计实例3.1　设计要求设原始信号采样间隔为1ms ,采集时间为8s ;对其进行低截频为15.625Hz 、高截频为31.25Hz 的带通滤波。

3.2　解决方案3.2.1　用小波变换方法由于原始数据的采样率为1000Hz ,由采样定理,所采集数据的最高频率为500Hz ,利用Mallat 算法选用8阶Daubechies 小波基用Matlab6.5做计算机软件仿真。

对原始数据进行了5层分解后,滤除大于31.25Hz 的成分(即第1～4层的细节分量对应的小波系数置0)和小于15.625Hz 的成分(即第5层的近似分量对应的小波系数置0),然后再进行重构,所得即为滤波后的数据,具体情况如图2所示。

3.2.2　用小波包变换方法利用小波包算法选用8阶Daubechies 小波基用Matlab6.5做计算机软件仿真。

对原始数据进行了5层分解后,将原始数据分解到宽度15.625Hz 的32个频段上,选取小波包分解树的第32个节点(对应于第二频段即频率为15.625Hz ～31.25Hz 的分量)进行数据重构,所得即为滤波后的数据,具体情况如图2所・8・ 石　油　仪　器PETROLEUM INSTRUMENTS 2005年04月　示。

比较图3中原始信号和滤波后的波形数据,重构后的信号波形比较干净。

观察图3中原始信号和滤波后信号的频谱图,可以发现:与原始信号的频谱相比,重构后信号的频谱特性在有效频带范围内基本未变,但在抑制频带范围内却比较干净。

图3　实例滤波效果示意图4　结束语综上所述:经过小波分解或小波包分解,可以将原始信号分解到互不重叠的频带上,根据要设计的滤波器的具体要求删除通频带以外的信号,再利用相应的重构算法重构后,可以实现对原始信号的滤波。

实验表明,采用该方法可以较好地达到滤波去噪的目的,用小波分析进行信号与信息处理,失真小且非常有效。

参考文献[1]　张贤达.现代信号处理(第二版)[M ].北京:清华大学出版社,2002[2]　史习智.信号处理与软计算[M ].北京:高等教育出版社,2003[3]　陈桂明,张明照,戚红雨.应用MAT LAB 语言处理数字信号与数字图像[M ].北京:科学出版社,2001[4]　徐长发,李国宽.实用小波方法[M ].武汉:华中科技大学出版社,2004[5]　刘贵忠,邸双亮.小波分析及其应用[M ].西安:西安电子科技大学出版社,1992[6]　彭玉华.小波变换与工程应用[M ].北京:科学出版社,1999[7]　[美]崔锦泰著,程正兴译.小波分析导论[M ].西安:西安交通大学出版社,1995(收稿日期:2005-03-31　编辑:高红霞)・9・　2005年　第19卷　第2期 张永学等:基于小波分析的数字滤波器设计AB STRACTSVol.19No.2Apr.2005Li Fulong.An overvie w of the technology development on seismic prospecting instruments PI ,2005,19(2):1～5Seismic prospecting instruments can be divided into three parts which are operating application ,technology support 2ing ,design and manufacture.In order to do the work effectively in these three parts ,it is very important and necessary for us to know the development history ,hold the current pivotal technology and grasp the development direction of seismic acquisition system.The paper divided the seismic prospecting instrument into six periods according to the technology characteristics ,and introduces the main characteristics of each period.The paper also analyzes the development power and common rules of the seismic prospecting instrument from five aspects ,clarifies the pivotal technology of the current seismic prospecting instrument from seven aspects ,and looks forward to the development direction of the seismic acquisi 2tion system according to the user ’s pursuit and the development tendency of the electronicc technology.K ey Words :seismic prospecting instrument ,sensor ,data transmission ,software ,acquisition ,communicationZhang Yongxue ,Feng Lei ,Liu Guizhong and Shen Yuanjiu.Design of the digital filter based on w avelet analy 2sis.PI ,2005,19(2):6～9The paper mainly discusses the design method of the digital filter based on wavelet analysis.The original signal can be decomposed into different frequency bands by wavelet transform or wavelet packet transform.The filtered signal will be gotten after that the useful frequency bands of signal are picked up and reconstructed according to the design specifi 2cation of the digital filter.An example of digital signal filtering with the method based on wavelet analysis is provided and the result demonstrates that the theory of wavelet analysis can work well in the design of digital filter.K ey Words :wavelet transform ,wavelet packet transform ,fast Fourier algorithm ,digital filterChen Yongjun ,Li Hua wei ,Cheng N an and Weng Huihui.Design of man -machine interface circuit for the se w age -w ater treatment system in oilfield.PI ,2005,19(2):10～13The paper introduces a method for designing interface based on 80C196K C and the programmable keyboard/display interface chip 8279,and offers interface circuit diagram and program of keyboard/display.The designed circuit and pro 2gram was proved by Wave 6000Emulator ,which can meet the controlling requirements of the sewage -water treatment system.K ey Words :swage water treatment equipment ,manmachine interface ,80C196K C ,chip 8279,Wave 6000emulator Pan H ao ,Yang Mingjie and Cheng Xianmei.Design and development of circumferential sealing core holder.PI ,2005,19(2):14～16C ore holder is a device used to hold the core and seal side face of the core on testing procedure of core physical fea 2ture and so on.The holder introduced here take method of gas sealing ,a hole on side face of core holder is sealing gas passageway ,the support stick laying in rubber sleeve ,pressured gas fill in the cave between holder ’s inner side and sleeve ,thereby equality sealing core side ensuring no seepage of testing liquid or gas through two end of core.Character 2istic of the holder is fine sealing ,easy loading and unloading sample ,simple structure ,safety and long life ,so it has wildly application in permeability test and driver -displacement test on all kinds of core sample.The device has granted patent.K ey Words :core holder ,core permeability ,circum ferential sealing ,surport stickWu Aiping and Xiong Xiaodong.Design of well logging signal separate card based on FPGA device.PI ,2005,19(2):17～19In view of characteristics that the programmable FPG A is flexible to design and high in integration level and depend 2ability ,this paper introduces briefly how to design the well logging signal separate card by using FPG A and provides the simulating results of the FPG A.K ey Words :FPG A ,VHDL ,Well Logging Signal ,DesignLiang Wanlin ,Shi N a and Liang Wanjiang.Development of the core sample auto -spray coder.PI ,2005,19(2):20～21,24For a general laboratory which has the huge task of analyzing core samples ,it is quite complex work to complete the・Ⅰ・　Vol.19No.2 PETROL EUM INSTRUMENTS 。