数字信号处理课程设计-用双线性变换法设计高通和带通数字滤波器
太原理工大学数字信号处理实验三用双线性变换法设计IIR滤波器
实验三 用双线性变换法设计IIR 滤波器一、实验目的1、了解两种工程上最常用的变换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。
2、掌握双线性变换法设计IIR 滤波器的原理及具体设计方法，熟悉双线性法设计低通、带通和高通IIR 滤波器的计算机程序。
3、观察用双线性变换法设计的滤波器的品与特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。
4、熟悉用双线性变换法涉及数字Butterworth 和Chebyshev 滤波器的全过程。
5、了解多项式呈几何多项式乘方运算的计算机变成方法。
二、实验原理与方法1、确定数字滤波器的性能指标。
这些指标包括：通带、阻带临界频率pf 、s f ；通带内的最大衰减pα；阻带内的最小衰减s α；采样周期T 。
2、确定相应的数字频率，Tf T f s s p pπωπω2,2==。
3、计算经过频率预畸的相应参考模拟低通原型的频率)2(),2(s s p p tg tg ωω=Ω=Ω。
4、计算低通原型阶数N ，计算3db 归一化频率c Ω，从而求得低通原型的传递函数)(s H a 。
5、用上表中所列变换公式1111--+-=zz s ，代入)(s H a ，求得数字滤波器传递函数)(z H =1111|)(--+-=zz s a s H 。
6、分析滤波器频域特性，检查其指标是否满足要求。
三、实验内容及步骤1、采样频率为1HZ，设计一个Chebyshev高通数字滤波器其中通带临界频率fp=0.3HZ,通带内衰减小于0.8db(α=0.8db),阻带临界频率fs=0.2HZ,p阻带内衰减大于20db(α=20db)。
求这个数字滤波器的传递函数H(z)，输s出它的幅频特性，观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。
高通数字滤波器的设计f=1; fp=3/10; fs=2/10; Rp=0.8; Rs=20;[n,Wn]=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);[b,a]=cheby1(n,Rp,Wn,'high');freqz(b,a,512,1)b =0.0262 -0.1047 0.1570 -0.1047 0.0262a =1.0000 1.5289 1.6537 0.9452 0.2796n =4 Wn =0.60002、采样频率为1HZ ，设计一个数字低通滤波器，要求其通带临界频率fp=0.2HZ ，通带内衰减小于1db(dbp1=α),阻带临界频率fs=0.3HZ,阻带内衰减25db(dbs 25=α)。
数字信号处理课程设计用双线性变换法设计IIR滤波器
目录一、摘要 (3)二、设计思想 (3)2.1 IIR数字滤波器设计思路 (3)2.2设计IIR数字滤波器的两种方法 (4)2.3双线性变换法的基本原理 (5)2.4用双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤 (6)三、程序源代码和运行结果 (6)3.1低通滤波器 (6)3.2高通滤波器 (9)3.3带通滤波器 (12)3.4带阻滤波器 (14)四、网络结构图 (17)五、心得体会 (19)参考文献 (19)一、摘要数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。
数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。
数字滤波器按单位脉冲响应的性质可分为无限长单位脉冲响应滤波器IIR和有限长单位脉冲响应滤波器(FIR)两种。
本文介绍IIR数字滤波器的设计。
二、设计思想2.1 IIR数字滤波器设计思路IIR 数字滤波器可用一个n阶差分方程表示y(n)=Σb r x(n-r)+Σa k y(n-k)或用它的Z域系统函数:对照模拟滤波器的传递函数:不难看出,数字滤波器与模拟滤波器的设计思路相仿,其设计实质也是寻找一组系数{b,a},去逼近所要求的频率响应,使其在性能上满足预定的技术要求;不同的是模拟滤波器的设计是在S平面上用数学逼近法去寻找近似的所需特性H(S),而数字滤波器则是在Z平面寻找合适的H(z)。
IIR数字滤波器的单位响应是无限长的,而模拟滤波器一般都具有无限长的单位脉冲响应,因此与模拟滤波器相匹配。
双线性变换法设计数字滤波器
双线性变换法在数字滤波器上应用冲击响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器的冲击响应，但是它的缺点是产生频响的混叠失真，这是因为从s平面到z平面不是一一映射关系。
为了克服这个缺点，可以采用双线性变换法。
既然冲击响应不变法是将一条横带变换到整个z平面上去，可以将s平面压缩变换到某一中介s1平面的一条横带里，再通过标准变换关系z=exp(s1*T)将此带变换到整个z平面上去，这样就使s平面与z平面之间建立一一对应的单值关系，消除了多值变换性。
为了将s平面的jΩ轴压缩到s1平面的jΩ1轴上的-pi/T到pi/T一段上，可以通过以下的正切变换来实现：Ω=c*tan(Ω1*T/2)这里c是任意常数。
这样当Ω1由-pi/T经0变化到pi/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也映射到了整个jΩ轴。
将这个关系延拓到整个s平面和s1平面，则可以得到s=c*tanh(s1*T/2)=c*[1-exp(-s1*T)] /[1+exp(-s1*T)]再将s1平面通过标准变换关系映射到z平面，即令z=exp(s1*T)，并且，通常取c=2/T，得到s=(2/T) * [1-z^(-1)] / [1+z^(-1)]同样对z求解，得到z=[1+((2/T)*s] / [1-((2/T)*s]这样的变换叫做双线性变换。
为了验证这种映射具有s平面的虚轴映射到z平面单位圆上的特性，考虑z=exp(j*ω)，得s=(2/T) * [1-exp(-j*ω)] / [1+exp(-j*ω)]=(2/T) * j*[sin(ω/2)]/ cos(ω/2)]=(2/T) * j * tan(ω/2)=jΩ除了使s平面的虚轴映射到单位圆上之外，s平面的左半部分映射到单位圆的内部，s平面的右半部分映射到单位圆的外部。
观察式子z=[1+((2/T)*s] / [1-((2/T)*s]，发现s的实部为负时，因子[1+((2/T)*s] / [1-((2/T)*s]的幅度小于1，相当于单位圆的内部。
数字信号处理课程设计--双线性变换法设计数字高通滤器
数字信号处理课程设计--双线性变换法设计数字高通滤器《数字信号处理》课程设计报告题目双线性变换法设计数字高通滤器学院信息工程学院专业通信工程班级1004学号2010013598 2010013643 学生姓名陈涛周亮指导教师刘振二0一二年十二月目录一前言 (1)二课程设计的目的和意义 (2)三课程设计题目描述及要求 (2)四详细设计过程 (2)1.设计思想 (2)2. 设计原理 (3)2.1 巴特沃斯型滤波器原理 (3)2.2 双线性变换法原理 (6)3. 设计过程 (7)3.1巴特沃斯模拟滤波器的设计 (7)3.2巴特沃斯模拟滤波器转变为数字高通滤波器 (7)五总结 (10)1.设计过程中遇到的问题及解决办法 (10)2.总结与体会 (10)参考文献 (11)一前言数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。
因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。
而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。
数字信号处理的算法需要利用计算机或专用处理设备如数字信号处理器（DSP）和专用集成电路（ASIC）等。
数字信号处理技术及设备具有灵活、精确、抗干扰强、设备尺寸小、造价低、速度快等突出优点，这些都是模拟信号处理技术与设备所无法比拟的。
巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种。
巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。
这种滤波器最先由英国工程师斯替芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth）在1930年发表在英国《无线电工程》期刊的一篇论文中提出的。
数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
此课程设计主要介绍了用双线性不变法设计数字高通滤波器，要求采用巴特沃斯型滤波器，介绍了设计步骤，然后在MATLAB 环境下进行了仿真与调试，实现了设计目标。
实验四 IIR数字滤波器的设计
电气与信息工程学院数字信号处理实验报告学生姓名班级电子信息工程学号指导教师2019.12实验四 IIR 数字滤波器的设计一、实验目的：1. 掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器的具体设计方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、高通和带通IIR 数字滤波器的MATLAB 编程。
2. 观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。
3. 熟悉巴特沃思滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器的频率特性。
二、实验原理:1． 脉冲响应不变法用数字滤波器的单位脉冲响应序列 模仿模拟滤波器的冲激响应 ,让 正好等于 的采样值，即 ，其中 为采样间隔，如果以 及 分别表示 的拉式变换及 的Z 变换，则)2(1)(m T j s H T z H m a e z sT ∑∞-∞==+=π2．双线性变换法S 平面与z 平面之间满足以下映射关系：);(,2121,11211ωωσj re z j s s T s T z z z T s =+=-+=+-⋅=-- s 平面的虚轴单值地映射于z 平面的单位圆上，s 平面的左半平面完全映射到z 平面的单位圆内。
双线性变换不存在混叠问题。
双线性变换是一种非线性变换，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。
三、实验内容及步骤：实验中有关变量的定义:fc 通带边界频率；fr阻带边界频率；δ通带波动；At 最小阻带衰减；fs采样频率；T采样周期上机实验内容：（1）fc=0.3KHz,δ=0.8dB,fr=0.2KHz, At=20dB,T=1ms;设计一个切比雪夫高通滤波器，观察其通带损耗和阻带衰减是否满足要求。
MATLAB源程序：wp=2*1000*tan(2*pi*300/(2*1000));ws=2*1000*tan(2*pi*200/(2*1000));[N,wn]=cheb1ord(wp,ws,0.8,20,'s'); %给定通带（wp）和阻带(ws)边界角频率，通带波动波动0.8，阻带最小衰减20dB，求出最低阶数和通带滤波器的通带边界频率Wn[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');%给定通带（wp）和阻带(ws)边界角频率，通带波动[num,den]=bilinear(B,A,1000);[h,w]=freqz(num,den);f=w/(2*pi)*1000;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([0,500,-80,10]);grid;xlabel('频率');ylabel('幅度/dB')程序结果num = 0.0304 -0.1218 0.1827 -0.1218 0.0304 den = 1 1.3834 1.4721 0.8012 0.2286系统函数：123412340.0304 -0.1218z 0.1827z-0.1218z0.0304z H(z)=1.0000+1.3834z+1.4721z+ 0.8012z+0.2286z--------++幅频响应图：分析：由图可知，切比雪夫滤波器幅频响应是通带波纹，阻带单调衰减的。
利用双线性变换法设计数字带通滤波器
西安邮电大学数字信号处理课内上机报告专业班级： 学生姓名： 学号(班内序号):年 月 日——————————————————————————装订线————————————————————————————————报告份数：题目：设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3pi rad到0.4pi，通带最大衰减为3db，阻带最小衰减为18db，0.2pi 以下和0.5pi以上范围为阻带。
采用切比雪夫型，利用双线性变换法设计之源程序％所设计的数字滤波器的指标Ts = 0.1，Fs=1/Ts，Rp = 3，Rs = 18;wp1=0.3*pi，wp2=0.4*pi;ws1=0.2*pi，ws2=0.5*pi;％频率的预畸变Wp1=(2/T)*tan(wp1/2);Wp2=(2/T)*tan(wp2/2);Wp=[Wp1,Wp2]; ％模拟滤波器的通带截止频率Ws1=(2/T)*tan(ws1/2);Ws2=(2/T)*tan(ws2/2);Ws=[Ws1,Ws2]; ％模拟滤波器的阻带截止频率BW=Ws2-Ws1; ％模拟滤波器的带宽% BW=Wp2-Wp1;Omegaw0=sqrt(Ws1*Ws2); ％模拟滤波器的中心频率% Omegaw0=sqrt(Wp1*Wp2);％求模拟低通滤波器的阶数与边缘频率[N,OmegaC]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%[N,OmegaC]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')％求切比雪夫模拟低通滤波器的零、极点与增益[z0,p0,k0]=cheb2ap(N,Rs);%[z0,p0,k0]=cheb1ap(N,Rp);%设计归一化的模拟原型带通滤波器%求原型滤波器的分子系数AnalogB=k0*real(poly(z0));%求原型滤波器的分母系数AnalogA=real(poly(p0));%模拟低通到模拟带通的分子、分母系数的变换[BandB,BandA]=lp2bp(AnalogB,AnalogA,Omegaw0,BW);%双线性变换：模拟带通与数字带通的分子分母系数的变换[DigitalB,DigitalA] = bilinear(BandB,BandA,Fs);%变为二阶节级联结构[sos,G] = tf2sos(DigitalB,DigitalA);%求数字带通滤波器的幅频、相频特性、及其群延迟％求数字带通滤波器的幅频特性[Hz,Wz]=freqz(DigitalB,DigitalA,1024,'whole');％将数字带通滤波器的幅频特性转化为分贝表示dbHz=20*log10((abs(Hz)+eps)/max(abs(Hz)));％求数字带通滤波器的相频特性φ＝angle(Hz)％求数字带通滤波器的群延迟特性grd = grpdelay(DigitalB,DigitalA,Wz);％作图subplot(2,3,1);plot(Wz/pi,abs(Hz));title('幅频响应');xlabel(''),ylabel('幅度:|Hz|');axis([0,1,0,1.1]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]);grid; subplot(2,3,4);plot(Wz/pi,dbHz);title('模值(dB)');xlabel('频率（单位：\pi）');ylabel('分贝（dB）');axis([0,1,-40,5]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]);set(gca,'YTickmode','manual','YTick',[-50,-30,-2,0]);set(gca,'YTickLabelMode','manual','YTickLabels',['50';'30';' 2';' 0']);grid; subplot(2,3,2);plot(Wz/pi,angle(Hz)/pi);title('相频响应');xlabel('');ylabel('单位：\pi ');axis([0,1,-1,1]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]);grid; subplot(2,3,5);title(零极点图');ylabel('单位：\dB');xlabel('单位：\pi ');zplane(DigitalB,DigitalA);axis([-1.1,1.1,-1.1,1.1]);subplot(2,3,3); plot(Wz/pi,grd); title('群延迟')xlabel('频率（单位：\pi）'); ylabel('样本'); axis([0,1,0,8])set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]); %画高刻度线set(gca,'YTickmode','manual','YTick',[0:0.5:10]); gridset(gcf,'color','w') % 置图形背景色为白色幅频响应幅度:|H z|模值(dB)频率：（单位：π）分贝（d B）相频响应单位:πReal PartI m a g i n a r y P a r t群延迟频率（单位：pi ）样本Chebyshev II 型IIR 数字带通滤波器幅频响应幅度:|H z|模值(dB)频率：（单位：π）分贝（d B）相频响应单位:πReal PartI m a g i n a r y P a r t群延迟频率（单位：pi ）样本Chebyshev I 型 IIR 带通滤波器指导教师评语：实 验 成 绩: 指导(辅导)教师 :——————————————————————————装订线————————————————————————————————。
《数字信号处理》教案
《数字信号处理》教学大纲课程类型：专业课总学时：通信工程专业70；信息工程专业64讲课学时：通信工程专业60；信息工程专业54实践学时：通信工程专业10；信息工程专业10一、课程的目的与任务本课程讲授数字信号处理的基本理论和基本分析方法，并且进行理论与算法的实践。
要求学生掌握离散时间信号与系统的基本理论，掌握离散时间系统的时域分析与 Z变换及离散傅立叶变换和快速傅里叶变换的理论计算法；掌握IIR和FIR数字滤波器的结构、理论和设计方法，为学生毕业后从事数字技术及其工程应用提供必要的训练。
二、课程有关说明《数字信号处理》是通信工程专业和信息工程专业的专业课，课程的内容包括：线性时不变离散时间系统的基础知识、数学模型（差分方程）及其求解，Z变换，离散傅立叶变换（DFT）理论及应用，快速傅立叶变换（FFT），无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器设计，有限长单位脉冲响应（FIR）数字滤波器设计等内容。
除了理论教学外，还配有一定数量的上机实验。
数字信号处理在理论上所涉及的范围及其广泛。
高等数学、随机过程、复变函数等都是其数学基本工具。
电路理论、信号与系统等是其理论基础。
其算法及实现（硬件和软件）与计算机学科和微电子技术密不可分。
学生应该认真学习以上的知识，更好地掌握数字信号处理的基本理论、算法和实现技能。
主要教学方式：教师主讲，答疑、课堂讨论为辅，并结合实验教学。
考核评分方式：闭卷考试三、教学内容绪论（2学时）本章应掌握：数字信号处理的基本概念。
熟悉：数字信号处理系统的基本组成。
了解：数字信号处理的学科概貌、学科特点、实际应用、发展方向和实现方法。
第一章时域离散信号和时域离散系统（4学时）第一节时域离散信号本节应掌握：序列的运算，即移位、翻褶、和、积、累加、差分、时间尺度变换、卷积和等；序列的周期性。
熟悉：几种常用序列，即单位抽样序列、单位阶跃序列、矩形序列、实指数序列、复指数序列、正弦序列。
了解：用单位抽样序列来表示任意序列。
实验五：双线性变换法的设计IIR-数字滤波器
实验五、双线性变换法设计IIR 数字滤波器一、实验目的：1、熟悉用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理与方法。
2、掌握数字滤波器的计算机仿真方法。
3、熟悉Batterworth 滤波器设计方法及特点 二、实验原理（一）、IIR 数字滤波器的设计步骤：① 按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标； ② 根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器；③ 跟据脉冲响应不变法和双线性不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器；④ 如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法来得到所要的滤波器。
在MATLAB 中，经典法设计IIR 数字滤波器主要采用以下步骤：IIR 数字滤波器设计步骤（二）、用模拟滤波器设计数字滤波器的方法 1、冲激响应不变法：冲激响应不变法是从时域出发，要求数字滤波器的冲激响应h (n ) 对应于模拟滤波器h (t ) 的等间隔抽样。
优点：时域逼近良好；保持线性关系。
缺点：频域响应混叠。
只适用于限带低通滤波器和带通滤波器2、双线性变换法优点：克服了频域混叠模拟滤波器原型 buttap,cheb1ap频率变换 模拟离散化 bilinear,impin varIIR 数字滤波器/Tπ/T π-3/Tπ3/Tπ-j ΩσjIm (z)Re(z)1S 平面Z 平面1S ~S T Tππ-将整个平面压缩变换到平面一个的带状区域缺点：高频时会引起畸变1）冲激响应不变法impinvar格式：[BZ,AZ]= impinvar （B,A,Fs ）功能：把具有[B,A]模拟滤波器传递函数模型转换为采样频率为Fs 的数字滤波器的传递函数模型[BZ,AZ]，Fs 默认值为1。
例：一个4阶的Butterworth 模拟低通滤波器的系统函数如下：12251)(234++++=s s s s s H a试用冲激响应不变法求出Butterworth 模拟低通数字滤波器的系统函数。
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广 西 大 学数字信号处理课程设计报告课题名称：用双线性变换法设计高通和带通数字滤波器1． 数字滤波器1.1 数字滤波器介绍数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。
数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l 两个电平状态)、灵活性强等优点。
时域离散系统的频域特性:()()()jw jw jw e H e X e Y =，其中()jw e Y ，()jw e X 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性），()jw e H 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。
输入序列的频谱()jw e X 经过滤波后()()jw jw e H e X 。
因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择()jw e H ，使得滤波后的()()jw jw e H e X 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。
IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为： ()()()∑∑==-+-=Ni i Ni i i n y i n x a n y 1b系统函数为： ()∑∑=-=-+=N k kk Mr rr z a zb z H 11设计IIR 滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。
1.2 IIR 数字滤波器设计原理IIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为()()()z X z Y z a z N k kk kk=-=∑∑=-=-1Mk 1bz H 假设M ≤N ，当M ＞N 时,系统函数可以看作一个IIR 的子系统和一个(M-N)的FIR 子系统的级联。
IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数k a 和k b ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。
如果在S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z 平面上去逼近，就得到数字滤波器。
我的设计方法：本课程设计采用先构造一个巴特沃斯模拟高（带）通滤波器，利用双线性变换将模拟高（带）通滤波器转换成数字高通滤波器。
1.2.2双线性变换法为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。
为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=e sT转换到Z 平面上。
也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=e s1T将此横带变换到整个Z平面上去。
这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3图1-3双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现式中,T仍是采样间隔。
当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。
将式（1-9）写成将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z=e s1T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：⎪⎭⎫⎝⎛Ω=Ω2tan21TT2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTjΩ-ΩΩΩ+-⋅=ΩTsTsTsTsTsTseeTTsTeeeeTs1111111122tanh2212/2/2/2/----+-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=+-⋅=Z平面S1平面S平面这两个关系式是S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换 首先,把jw e z =可得即S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆。
其次，将jw +=σs 代入，得因此由此看出，当 σ<0时，|z |<1；当 σ>0时，|z |>1。
也就是说，S 平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆上。
因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。
双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。
这是因为S 平面与Z 平面是单值的一一对应关系。
S 平面整个j Ω轴单值地对应于Z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。
这个关系重写如下：上式表明，S 平面上Ω与Z 平面的ω成非线性的正切关系，如图1-4所示。
由图1-4看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。
11112--+-=z z T s s T s T s T s T z -+=-+=222121Ω=⎪⎭⎫⎝⎛=+-=--j T j e e T s j j 2tan 2112ωωωΩ--Ω++=j Tj Tz σσ22222222||Ω+⎪⎭⎫⎝⎛-Ω+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=σσT T z ⎪⎭⎫⎝⎛=Ω2tan 2ωT图1-4双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，图1-4所示。
由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。
首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图1-5所示。
图1-5双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。
也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。
2．数字滤波器设计实现2.1 典型模拟滤波器比较1、Butterworth巴特沃斯滤波器：它具有单调下降的幅频特性；即最平幅度。
2、Chebyshev切比雪夫滤波器：在通带或阻带等波纹，可提高选择性。
3、Bessel贝塞尔滤波器：在通带内有较好的线性相位特性。
4、Ellipse椭圆滤波器：其选择性相对前三种是最好的。
此处选择巴特沃斯主要是想获得最平稳的幅频响应。
而不计较相位特性，而用双线性变换法也会将线性相位变为非线性相位。
2.2 设计步骤高通滤波器设计：根据以上IIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR高通滤波器。
(1)确定性能指标在设计高通滤波器之前,首先根据实际的需要确定滤波器的技术指标: 通带截止频率fp=6000Hz；阻带截止频率fs=5000Hz；阻带最小衰减As=70dB和通带最大衰减Ap=1dB(2)把频率转化为数字角频率wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs(3)预畸变校正求出相应模拟滤波器模拟角频率指标用Ω=tan(w/2)对模拟滤波器滤波器的数字边界频率预畸变,得到模拟滤波器的边界频率主要是通带截止频率Wp;阻带截止频率Ws的转换。
抽样频率Fs=16000Hz。
通带截止频率wph=tan(wp/2);阻带截止频率wsh=tan(ws/2);(4)求出模拟滤波器阶数N和截至频率[N,wc]=buttord(wph,wsh,ap,as,'s')(5)求出模拟高通系统函数H（s）的分子分母系数向量B,A[B,A]=butter(N,wc,'high','s')(6)求出模拟高通系统函数H（s）的分子分母系数向量B,A利用双线性变换法将模拟高通滤波器Ha(s)转换成数字高通滤波器H(z)。
[Bz,Az]=bilinear(B,A,0.5)带通滤波器设计：根据以上IIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR带通滤波器。
(1)确定性能指标fs1=1000;fp1=2000;fp2=4000;fs2=5000;Fs=16000;ap=1;as1=65;as2=65;as=65(2)把频率转化为数字角频率wp1=2*pi*fp1/Fs;wp2=2*pi*fp2/Fs;ws1=2*pi*fs1/Fs;ws2=2*pi*fs2/Fs(3)预畸变校正求出相应模拟滤波器模拟角频率指标用Ω=tan(w/2)对模拟滤波器滤波器的数字边界频率预畸变,得到模拟滤波器的边界频率主要是通带截止频率Wp;阻带截止频率Ws的转换。
抽样频率Fs=16000Hz。
通带截止频率wph1=tan(wp1/2) wph2=tan(wp2/2)阻带截止频率wsh1=tan(ws1/2) wsh2=tan(ws2/2)(4)求出模拟滤波器阶数N和截至频率[N,wc]=buttord(wph,wsh,ap,as,'s')(5)求出模拟带通系统函数H（s）的分子分母系数向量B,A[B,A]=butter(N,wc,'s')(6)求出模拟带通系统函数H（s）的分子分母系数向量B,A利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。
[Bz,Az]=bilinear(B,A,0.5)2.3 程序流程图首先确定性能指标，把频率转化为数字角频率，进而在进行频率预畸变，用Ω=tan(w/2)对高（带）通模拟数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变,得到高（带）通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率Wp;阻带截止频率Ws 的转换。
抽样频率Fs=16000Hz。