巴特沃斯数字低通滤波器课程设计
数字低通巴特沃斯滤波器的设计实验报告
实验报告姓名：学号：实验日期：实验题目：数字低通巴特沃斯滤波器的设计实验目的：掌握IIR数字滤波器的设计方法实验内容：1.设计一个低通巴特沃斯模拟滤波器，绘制滤波器的的幅频响应及零极点图。
指标如下：通带截止频率：WP＝1000HZ, 通带最大衰减：RP=3dB阻带截止频率：Ws＝2000HZ, 阻带最小衰减：Rs=40 dB参考程序butter1.m2. 用冲激响应不变法和双线性变换法将一模拟低通滤波器转换为数字低通滤波器并图释H(S)和H(Z)，采样频率Fs＝1000Hz实验地点：4305机房实验结果：%巴特沃兹滤波器的幅频响应图subplot(1,2,1)；％分两个窗口，幅频图在第一个窗口wp=1000;ws=2000;rp=3;rs=40; ％设置指标[N,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s') ％计算巴特沃斯低通滤波器的阶数和3dB截止频率[B,A]=butter(N,wn,'s'); ％代入N和Wn设计巴特沃斯模拟低通滤波器[Z,P,K]=buttap(N); ％计算滤波器的零、极点[h,w]=freqs(B,A,1024); ％计算1024点模拟滤波器频率响应h，和对应的频率点w ％画频率响应幅度图plot(w,20*log10(abs(h)/abs(h(1))))grid;xlabel('频率Hz');ylabel('幅度（dB）');％给x轴和y轴加标注title('巴特沃斯幅频响应') ％给图形加标题axis([0,3000, -40,3]);line([0,2000],[-3,-3]);line([1000,1000],[-40,3]);%绘制巴特沃斯滤波器的极点图subplot(1,2,2) ％在第二个窗口画极点图p=P';q=Z';x=max(abs([p,q]));x=x+0.1;y=x;axis([-x,x,-y,y]);axis('square')plot([-x,x],[0,0]);hold on plot([0,0],[-y,y]);hold on plot(real(p),imag(p),'x') 程序运行结果： N = 7wn = 1.0359e+003 Z = []P = -0.2225 + 0.9749i -0.2225 - 0.9749i -0.6235 + 0.7818i -0.6235 - 0.7818i -0.9010 + 0.4339i -0.9010 - 0.4339i -1.0000 K = 1.0000100020003000-40-35-30-25-20-15-10-50频率Hz幅度（d B ）巴特沃斯幅频响应-2-1012-1.5-1-0.50.511.5b=1:a=[1,1000];w=[0:1000]*2*pi;％模拟频率为2 f ，其中f 取0~1000Hz [h,w]=freqs(b,a,w);％计算模拟滤波器的频率响应 subplot(2,2,1)plot(w/2/pi,abs(h)/abs(h(1)));grid;％画模拟滤波器幅频特性 title('模拟频率响应');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度'); Fs=1000;[bz,az]=impinvar(b,a,Fs); ％冲激响应不变法设计数字滤波器 [bzl,azl]=bilinear(b,a,Fs); ％双线性变换法设计数字滤波器 wz=[0:pi/512:pi]; hz1=freqz(bz,az,wz); hz2=freqz(bzl,azl,wz);subplot(2,2,2);plot(wz/pi,abs(hz1)/hz1(1));grid; ％画出冲激响应不变法滤波器的幅频图， axis([0,1,0,1]) ％数字频率wz 归一化为0~1 title('冲激响应不变法数字频率响应')subplot(2,2,3);plot(wz/pi,abs(hz2)/hz2(1));grid; ％画出双线性变换法滤波器的幅频图， axis([0,1,0,1]) ％数字频率wz 归一化为0~1 title(双线性变换法数字频率响应);500100000.51模拟频率响应f(Hz)幅度00.510.51冲激响应不变法数字频率响应00.510.51双线性变换法数字频率响应结果分析：总结：。
关于八阶巴特沃斯低通滤波器的设计
关于⼋阶巴特沃斯低通滤波器的设计⽬录1、课程设计⽬的 (1)2、课程设计内容和要求 (1)2.1、设计内容 (1)2.2、设计要求 (1)3、设计⽅案及实验情况 (1)3.1、设计思路 (1)3.2、电路及滤波原理 (1)3.3、芯⽚介绍 (3)3.4、⼯作原理及硬件设计 (4)3.5、硬件电路原理图 (9)4、课程设计总结 (11)5、参考⽂献 (11)1、课程设计⽬的（1）掌握电⼦电路的⼀般设计⽅法和设计流程；（2）学习简单电路系统设计，掌握Protel99或其它⼯具软件的使⽤⽅法；（3）学习掌握硬件电路设计的全过程。
2、课程设计内容和要求2.1、设计内容（1）查阅相关资料，完成系统总体⽅案设计；（2）利⽤Multisim软件仿真；（3）利⽤protel99软件画出电路原理图与PCB版图；（4）按照要求撰写设计说明书。
2.2、设计要求滤波技术是信号分析、处理技术的重要分⽀，⽆论是信号的提取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传递是⾄关重要的。
在近代各种电⼦设备和控制系统中，滤波技术应⽤极为⼴泛。
在所有的电⼦系统中，使⽤最多，技术最复杂要算滤波器了。
滤波器的优劣直接决定着产品的优劣。
本课程设计设计⼀个有源滤波器，滤波范围：10Hz-2KHz,⾼通滤波电路采⽤⼆阶⾼通滤波电路，低通部分采⽤⼋阶巴特沃斯滤波电路。
3、设计⽅案及实验情况3.1、设计思路带通滤波器是由低通RC环节和⾼通RC环节组合⽽成的。
要将⾼通的下限截⽌频率设置为⼩于低通的上限截⽌频率。
电路是由有源低通滤波器，有源⾼通滤波器两部分组成的有源带通滤波器。
⾼通滤波电路采⽤截⽌频率为10HZ的压控电压源⼆阶⾼通滤波电路，低通部分采⽤截⽌频率为2K的⼋阶巴特沃斯滤波器。
其中，⼋阶巴特沃斯滤波器是由四个压控电压源⼆阶低通滤波器级联构成。
3.2、电路及滤波原理（1）压控⼆阶电路压控电压源⼆阶滤波电路的特点:运算放⼤器为同相接法，滤波器的输⼊阻抗很⾼，输出阻抗很低，滤波器相当于⼀个电压源。
巴特沃斯低通滤波器课程设计
电路基础课程设计巴特沃斯低通滤波器设计目标:通带边界频率ωc=4396rad/s (f c=700Hz);通带最大衰减αmax=3dB;阻带边界频率ωs=26376rad/s(f s=4200Hz); 阻带最小衰减αmin=30dB;1.设计步骤⑴设计电压转移函数①将给定的电压衰减技术指标进行频率归一化选取归一化角频率ωr=ωc，这样通带边界频率Ωc=ωc/ ωr=1,阻带边界频率Ωs=ωs/ ωr=ωs/ωc。
②根据归一化的技术指标求出电压转移函数巴特沃斯低通滤波器的阶数n=Log(100.1αmin−1) 2Log(Ωs)带入数据求得n=1.93 取整得n=2由a k=2sin(2k−1)π2n，b k=1和H(s)=U out(s)U in(s)=∏A ks2+a k s+b kn2k=1可得到电压转移函数H(s)=U out(s)U in(s)=1s2+√2s+1将转移函数进行反归一化，即另s=sωc 得到实际转移函数H(s)=U out(s)U in(s)=1s243962+√2s4396+1⑵转移函数的实现选取下图作为实现转移函数的具体电路：列节点方程求解转移函数节点1 U1(1R1+1R2+s∗C1)−1R1U in−1R2−s∗C1∗U2=0节点2 (1R2+s∗C2)U2−1R2U1=0又有U out=U3解得H(s)=U outU in=11+(R2+R2)s∗C2+C1C2R1R2s2对比解得的电压转移函数和推得的电压转移函数里各项的系数并且令R1= R2,C1=1μF,可以得到C1=11000000F=1μFR1=250000√21099Ω=321.705ΩR2=250000√21099Ω==321.705ΩC2=12000000F=0.5μF因实验室没有0.5μF的电容因此取C2=0.47μF2.计算机仿真⑴软件环境：Multisim 10⑵电路图：⑶仿真结果：①700Hz下的波形图②4200Hz下的波形图③波特图◎700Hz下衰减2.673dB◎4200Hz下衰减30.491dB3．实验室实际操作因实验室没有0.5μF的电容和321.705Ω的电阻，因此取C2=0.47μFR1=R2=330Ω实际连电路时，选取集成电路块的第1、2、3引脚分别作为放大器的输出端、负端和正端，第4和11引脚作为供电端，C2一端连接电压源的接地线。
巴特沃斯低通滤波器和基于凯塞窗的FIR滤波器设计以及布莱克曼窗(三阶升余弦窗)的FIR滤波器
数字信号处理作业设计报告姓名：李文娟学号：2009124042专业：计算机应用学院：信息工程学院2009 年1月8 号数字信号处理作业设计报告一、目的1.增进对MATLAB的认识，加深对数字信号处理理论方面的理解。
2.掌握数字信号处理中IIR和FIR滤波器的设计。
3.了解和掌握用MATLAB实现IIR和FIR滤波器的设计方法、过程，为以后的设计打下良好基础。
二、数字信号处理课程设计1.IIR（无限脉冲响应）模拟滤波器设计（1）设计题目：巴特沃斯型模拟低通滤波器设计（2）设计要求：（通带最大衰减Rp=1，阻带最小衰减Rs=40，通带边界频率Wp=1000hz，阻带边界频率Ws=5000hz，滤波器类型：巴特沃斯低通滤波器）（3）设计原理：①根据要求选择滤波器参数②通过公式计算过渡比：PS KΩ=Ω偏离参数：1K=滤波器的阶数：1lglgK NK =3dB 截止频率：Butterworth 模拟低通滤波器221()1a Nc H j Ω=⎛⎫Ω+ ⎪Ω⎝⎭幅度平方函数：其中，N 为滤波器的阶数，c Ω为通带截止频率。
（4）Matlab 源程序：wp=2*pi*1000; ws=2*pi*5000; Rp=1; As=40;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s') %巴特沃斯模拟低通滤波器阶数和3db 截止频率 [B,A]=butter(N,wc,'s') %计算巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数中分子和分母的系数向量 freqs(B,A); % 绘出系统的幅频特性和相频特性曲线（5）结果和仿真波形： 结果：N = 4 wc =9.9347e+003 B =1.0e+015 *0 0 0 0 9.7414 A =1.0e+015 *0.0000 0.0000 0.0000 0.0026 9.7414仿真波形：2.IIR （无限脉冲响应）数字滤波器设计 （1）设计题目：巴特沃斯型数字低通滤波器（2）设计要求：（通带最大衰减rp=3db ，阻带最小衰减rs=20db ，通带边界频率fp=100hz ，阻带边界频率fs=300hz ，采样频率Fs=1khz ）（3）设计原理：IIR 数字滤波器的系统函数为1z -的有理分式：1011()1Nk k N k k b zH z a z -=-==+∑∑设计IIR 滤波器的系统函数，就是要确定()H z 的阶数N 及分子分母多项式的系数ka 和kb ，使其()()j j z e H e H z ωω==满足指定的频率特性。
脉冲响应不变法设计巴特沃斯低通滤波器课程设计
脉冲响应不变法设计巴特沃斯低通滤波器课程设计关键字：巴特沃斯低通滤波器脉冲响应不变法第二章引言滤波器设计在电子工程、应用数学和计算机科学领域都是非常重要的内，。
而低通滤波器在信号处理中的作用等同于其它领域如金融领域中移动平均数（movingaverage)所起的作用，低通滤波器有很多种，其中，最通用的就是巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器。
巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。
在振幅的对数对角频率的波得图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。
巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数，振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。
只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。
其他滤波器高阶的振幅对角频率图和地结束的振幅对角频率有不同的形状。
第三章基本原理3.1滤波器的基本理论3.1.1滤波器的分类滤波器分两大类：经典滤波器和现代滤波器。
经典滤波器是假定输入信号中的有用成分和希望取出的成分各自占有不同的频带。
这样，当通过一个线性系统（即滤波器）后可讲欲去除的成分有效的去除。
现代滤波器理论研究的主要内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。
经典滤波器分为低通、高通、带通、带阻滤波器。
每一种又有模拟滤波器（AF）和数字滤波器（DF）。
对数字滤波器，又有IIR滤波器和FIR滤波器。
IIRDF的转移函数是：FIRDF的转移函数是：FIR滤波器可以对给定的频率特性直接进行设计，而IIR滤波器目前最通用的方法是利用已经很成熟的模拟滤波器的设计方法进行设计。
3.1.2滤波器的技术要求低通滤波器：：通带截止频率：阻带下限截止频率：通带允许的最大衰减：阻带允许的最小衰减（，的单位dB）：通带上限角频率：阻带下限角频率（，）即3.2模拟滤波器的设计3.2.1巴特沃思(Butterworth)滤波器的介绍：因为我们设计的滤波器的冲击响应一般都为实数，所以有这样，如果我们能由，，，求出，那么就容易得到所需要的。
数字信号处理巴特沃斯滤波器设计
数字信号处理巴特沃斯滤波器设计数字信号处理在当今科技领域中扮演着至关重要的角色，滤波器作为数字信号处理领域中的重要组成部分，广泛应用于信号去噪、信号增强、信号分析等方面。
巴特沃斯滤波器作为数字信号处理领域中的一种重要类型，具有平滑的频率响应曲线和较陡的截止特性，被广泛应用于语音处理、图像处理、生物医学信号处理等领域。
本文将介绍数字信号处理中巴特沃斯滤波器的设计原理和方法。
在数字信号处理中，滤波器是一种通过对信号进行处理来实现滤除或增强某些频率成分的系统。
巴特沃斯滤波器是一种典型的低通滤波器，其特点是在通频带范围内频率响应平坦，截止频率处有较 steependifferentiation，可有效滤除非所需频率信号。
要设计一个巴特沃斯滤波器，首先需要确定滤波器的截止频率和阶数。
巴特沃斯滤波器的阶数决定了滤波器的频率选择性能，在实际应用中可根据信号处理的要求进行选择。
一般来说，阶数越高，滤波器的截止特性越陡，但相应的频率选择性能也会增强。
确定好阶数后，接下来需要进行巴特沃斯滤波器的参数计算，包括极点位置和幅频特性。
根据巴特沃斯滤波器的传递函数形式，可以通过公式计算各个极点的位置，并绘制出滤波器的幅频特性曲线。
设计完巴特沃斯滤波器的参数后，接下来是实现滤波器的数字化。
数字巴特沃斯滤波器一般通过模拟滤波器的模拟频率响应和数字频率响应之间的变换来实现。
常用的数字化方法包括脉冲响应不变法和双线性变换法，通过这些方法可以将模拟滤波器的参数转换为数字滤波器的参数，实现数字滤波器的设计。
在实际应用中，巴特沃斯滤波器的设计需要根据具体的信号处理要求和系统性能来选择合适的截止频率和阶数，确保滤波器设计的稳定性和性能。
同时，在设计过程中需要考虑到滤波器的实现复杂性和计算成本，选择合适的设计方法和参数计算技术，以实现滤波器设计的有效性和可靠性。
综上所述，巴特沃斯滤波器作为数字信号处理领域中的重要组成部分，在信号处理、通信系统、生物医学等领域中有着广泛的应用前景。
数字巴特沃斯滤波器的设计
目录第1章摘要 (2)第2章巴特沃斯滤波器的设计 (2)第3章脉冲响应不变法 (4)第4章 MATLAB简介 (7)4.1 MATLAB介绍 (7)4.2 MATLAB命令介绍 (8)第5章仿真过程及仿真图 (8)5.1 仿真程序 (8)5.2 仿真波形 (9)第6章设计结论 (10)第7章结束语 (10)参考文献 (11)第1章 摘要随着科学技术的发展，信号处理理论和分析方法已应用于许多领域和学科中。
本题目是设计一个脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。
在对信号进行分析与处理时，信号中经常伴有噪声。
根据有用信号和噪声的不同特征，消除或削弱干扰噪声.提取有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。
从本质上说，滤波就是改变信号中各频率分量的相对幅度和相位。
根据性质分为模拟滤波器和数字滤波器。
前者处理的是连续时间信号，后者处理的是离散时间信号。
模拟滤波器的理论和设计方法已发展的相当成熟，如巴特沃斯滤波器，切比雪夫滤波器，椭圆滤波器，贝塞尔滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用。
设计要求要设计一个巴特沃斯滤波器，在用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。
第2章 巴特沃斯滤波器的设计2.1巴特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点巴特沃斯模拟滤波器幅度平方函数的形式是()N c N c a j j j H 222)/(11)/(11ΩΩ+=ΩΩ+=Ω （5-6）式中N 为整数，是滤波器的阶次。
Ω=0时，)(Ωj H a =1时；当Ω=c Ω时，)(c a j H Ω=1/2 ，所以c Ω又称为3dB 截止频率。
2.2幅度平方函数的极点分布及)(s H a 的构成将幅度平方函数2)(Ωj H a 写成s 的函数 Nc s j N c a a j s j j s H s H 22)/(11)/(11)()(Ω+=ΩΩ+=-=Ω（5-7） 此式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点k s 用下式表示 )21221(2)212(2/1*)()1(N k j c c j N k j c N k e e e j s +++Ω=Ω=Ω-=πππ k=0,1,2，……（5-8）这2N 个极点分布在s 平面半径为c Ω的圆上，角度间隔是π/N 弧度。
巴特沃斯低通滤波器设计
巴特沃斯低通滤波器一、设计要求（1）设计一巴特沃斯数字低通滤波器，在0.3π通带频率范围内，通带幅度波动小于1dB ，在0.5π~πrad 阻带频率范围内，阻带衰减大于12dB 。
二．设计过程巴特沃斯双线性变换法（1）数字指数:p w =0.3π，s w =0.5π，（2）求p Ω，s Ω利用频率预畸变公式得：p Ω=2T tan 2p w =2T tan 320π=1.019⨯1Ts Ω=2T tan 2s w =2T tan 4π=2T (3)确定滤波器阶数sp λ=s p ΩΩ=211.019TT ⨯=1.963 sp k≈0.132 N=—lg lg sp sp k λ=—lg 0.132lg1.963≈3.0023 N=4 (4)确定系统函数G(p)= 43212.613 3.4142 2.61311p p p p ++++ c Ω=p Ω()10.12101p a N --=1.019⨯1T⨯()10.1124101-⨯⨯-=1.2065T P=11211c s z s T z ---=Ω+=1c Ω⨯2T ⨯1111z z ---+=11211.20651z z ---+ H(z)=G(p)=12341234146434.1675441.3465432.542711.06234 1.69864z z z z z z z z--------++++-+-+三．软件仿真（1）将分子分母带入Matlab 验证b=[1 4 6 4 1];a=[34.16754 -41.34654 32.5427 -11.06234 1.69864];[H,w]=freqz(b,a,1000);plot(w,20*log10(abs(H)/max(H)),'-');grid;xlabel('frequency');ylabel('magnitude');-250-200-150-100frequency m a g n i t u d e图（a ）频率——幅度衰减图0.3π≈0.940.9250.930.9350.940.9450.950.955frequency m a g n i t u d e图(b)0.5π≈1.57frequency m a g n i t u d e图(c)（2）用Matlab 直接仿真出低通滤波器wp=2*tan(0.3*pi/2)*1000;ws=2*tan(0.5*pi/2)*1000;ap=1;as=12;[n,wn]=buttord(wp,ws,ap,as,'s');[b,a]=butter(n,wn,'s');[bn,an]=bilinear(b,a,1000);[H,w]=freqz(bn,an);plot(w,abs(H),'-');grid;xlabel('frequency');ylabel('magnitude');legend('双线性变化法');figure(2);plot(w,20*log10(abs(H)/max(H)),'-');grid;00.51 1.522.533.5frequency m a g n i t u d e0.3π≈0.94图(d)0.5π≈1.57图（e）四．分析将计算得出的低通滤波器系统函数H（z）的分子分母各项系数用Matlab验证，得图（a）幅频关系图。
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巴特沃斯数字低通滤波器课程设计目录1.题目.......................................................................................... .22.要求 (2)3.设计原理 (2)3.1 数字滤波器基本概念 (2)3.2 数字滤波器工作原理 (2)3.3 巴特沃斯滤波器设计原理 (3)3.4脉冲响应不法 (5)3.5实验所用MATLAB函数说明 (7)4.设计思路 (9)5、实验内容 (9)5.1实验程序 (9)5.2实验结果分析 (13)6.设计总结 (13)7.参考文献 (14)一、题目：巴特沃斯数字低通滤波器二、要求：利用脉冲响应不变法设计巴特沃斯数字低通滤波器，通带截止频率100HZ,阻带截止频率120Hz,采样频率1000HZ，通带最大衰减为0.5HZ，阻带最小衰减为10HZ，画出幅频、相频相应曲线。
并假设一个信号x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t),其中f1=50HZ,f2=200HZ。
用此信号验证滤波器设计的正确性。
三、设计原理1、数字滤波器的基本概念所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤波器除某些频率成分的数字器件或程序，因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是的形式和实现滤波方法不同。
正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波处理精度高、稳定、体积小、质量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实验模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。
如果要处理的是模拟信号，可通过A\DC和D\AC,在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。
2、数字滤波器的工作原理数字滤波器是一个离散时间系统，输入x(n)是一个时间序列，输出y(n)也是一个时间序列。
如数字滤波器的系统函数为H(Z),其脉冲响应为h(n),则在时间域内存在下列关系y(n)=x(n) h(n)在Z域内，输入输出存在下列关系Y(Z)=H(Z)X(Z)式中，X(Z),Y(Z)分别为输入x(n)和输出y(n)的Z 变换。
同样在频率域内，输入和输出存在下列关系Y(jw)=X(jw)H(jw)式中，H(jw)为数字滤波器的频率特性，X(jw)和Y(jw)分别为x(n)和y(n)的频谱。
w 为数字角频率，单位rad 。
通常设计H(jw)在某些频段的响应值为1，在某些频段的响应为0.X(jw)和H(jw)的乘积在频率响应为1的那些频段的值仍为X(jw)，即在这些频段的振幅可以无阻碍地通过滤波器，这些频带为通带。
X(jw)和H(jw)的乘积在频段响应为0的那些频段的值不管X(jw)大小如何均为零，即在这些频段里的振幅不能通过滤波器，这些频带称为阻带。
一个合适的数字滤波器系统函数H(Z)可以根据需要输入x(n)的频率特性，经数字滤波器处理后的信号y(n)保留信号x(n)中的有用频率成分，去除无用频率成分。
3、巴特沃斯滤波器设计原理（1）基本性质巴特沃斯滤波器以巴特沃斯函数来近似滤波器的系统函数。
巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。
巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示1()ΩΩ+=Ωc N /22a 11)(j H N=1,2，…… （2-6）下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征 a 对所有的N ，()1aj H 20=Ω=Ω。
b 对所有的N ，()707.0a j 2c =ΩΩH =Ω即()dB 3a lg 20j H c =Ω=ΩΩ c ()Ωj H a 2是Ω的单调下降函数。
d ()Ωj H a 2随着阶次N 的增大而更接近于理想低通滤波器。
如下图2所示，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器阶次N 的增加而变得越来越好，在截止频率Ωc 处的函数值始终为1/2的情况下，通带内有更多的频带区的值接近于1；在阻带内更迅速的趋近于零。
图2 巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数（2）系统函数设巴特沃斯的系统函数为H a （s ），则：（3）设计过程巴特沃思低通滤波技术指标关系式为a p >-20log|H a (j Ω)|，Ω<ΩPa s <-20log|H a (j Ω)|，Ω>Ωs其中：Ωp 为通带边界频率，Ωs 为阻带边界频率。
代入式1.4.1可得:经过化简整理可得：取满足上式的最小整数N作为滤波器的阶数。
再将N代入可得：或查表求得归一化传输函数H(s),令s/Ωc代替归一化原型滤波器系统函数中的s,即得到实际滤波器传输函数。
4、脉冲响应不变法所谓脉冲响应不变法就是数字滤波器的脉冲响应序列h(n)等于模拟滤波器的响应ha(t)的采样值，即h(n)=ha(t)|t=nT=ha(nT)式中，T为采样周期。
因此数字滤波器的系统函数H(Z)可由下式求得H(z)=Z[h(n)]=Z[ha(nT)]Z[-]表示[-]的内容进行变换，变换的内容请参考相应的数字信号处理材料。
如果已经获得了满足性能指标的模拟滤波器的传递函数Ha(s) ,求与之对应的数字滤波器的传递函数H(z)的方法是：（1）、求模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)。
式中，L[Ha(s)]表示对Ha(s)的Laplace.逆变换。
Laplace变换内容请参考高等数学的积分变换或信号处理教材。
（2）、求模拟滤波器单位冲激响应ha(t)的采样值，即数字滤波器冲激响应序列h(n)。
（3）、对数字滤波器的冲激h(n)响应进行z变换，得到传递函数H(z)。
由上述方法推论出更直接地由模拟滤波器系统函数Ha(s)求出数字滤波器系统函数H(z)的步骤是：（1）利用部分分式展开将模拟滤波器的传递函数H(z)展开成Ha(s)= Rk\(S-Pk)在MATLAB中这步可通过residue函数实现若调用residue函数的形式为[b,a]=residue(R,P,K)形式。
若为[R,P,K]=residue(a,b)则为上面调用形式的反过程。
(2)将模拟极点Pk变换为数字极点e^pkT即得到数字系统的传递函数H(z)= Rk\(1-e^pkT*z*(-1))式中T为采样间隔。
（3）将上式转换为传递函数形式，可采用[R,P,K]=residue(b,a)。
对于上面的步骤，中已经提供了冲激响应不变法设计数字滤波器的函数，调用格式为[bz,az]=impinvar(b,a[ ,Fs],Fp)式中，b,a为模拟滤波器分子和分母多项式系数向量；Fs为采样频率（所滤波数据），单位Hz，缺省时为1Hz，为预畸变频率（prewarpedfrequency），是一个“匹配”频率，在该频率上，频率响应在变换前后和模拟频率可精确匹配。
一般设计中不考虑。
bz,az分别为数字滤波器分子和分母多项式系数向量。
5、实验所用MATLAB函数说数。
（1）[N,wc]=buttord(wp,ws,RP,As,’s’)该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3db截止频率wc。
Wp、ws和wc是实际模拟角频率(rad\s)。
Rp和As为通带最大衰减和最小衰减。
（2）[Z,P,k]=buttap(N)该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子，返回长度为N的列向量Z和P，分别给出N个零点和极点的位置，K表示滤波器增益。
（3）Y=filter(b,a,x)式中b表示系统传递函数的分子多项式的系数矩阵；a表示系统传递函数的分母多项式的系数矩阵；x表示输入序列；filter表示输出序列。
IIR函数实现的直接形式。
(4) [b，a]=butter（N，wc，‘ftype’）计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量b、a。
说明：调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB 截止频率的归一化值，一般是调用buttord格式（1）计算N和wc。
系数b、a是按照z-1的升幂排列。
(5) [B，A]=butter（N，Ωc，‘ftype’，‘s’）计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子、分母多项式系数向量。
说明：调用参数N和Ωc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB 截止频率(实际角频率)，可调用buttord（2）格式计算N和Ωc。
系数B、A按s的正降幂排列。
tfype为滤波器的类型：◇ftype=high时，高通；Ωc只有1个值。
◇ftype=stop时，带阻；Ωc=[Ωcl,Ωcu]，分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。
◇ ftype缺省时：若Ωc只有1个值，则默认为低通；若Ωc有2个值，则默认为带通；其通带频率区间Ωcl<Ω <Ωcu。
(6)[H,w]=freqz(b,a,N)b和a分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，返回量H则包含了离散系统频响在 0～pi范围内N个频率等分点的值（其中N为正整数），w则包含了范围内N个频率等分点。
调用默认的N时，其值是512。
可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用abs()和angle()函数及plot()函数，绘制出系统的频响曲线。
(7)lp2lp函数 [bt,at]=lp2lp(b,a,w0)该函数用于实现由低通模拟原型滤波器至低通滤波器的频率变换，可以用传递函数和状态空间进行转换，但无论哪种形式，其输入必须是模拟滤波器原型。
（8）[bz,az]=impinvar（b,a,fs)把具有[b,a]模拟滤波器传递函数模型转换为采样频率为fs的数字滤波器的传递函数模型[bz,az]，如果在函数中没有确定频率fs 时，函数默认为1Hz.四、设计思路设定信号↓模拟低通滤波器原型→频率变换→模拟离散化→IIR数字滤波器→输出信号五、实验内容1.MATLAB程序设计Wp=2*pi*100; Ws=2*pi*150; %滤波器截止频率Rp=0.5; Rs=10; %通带最大衰减和阻带最小衰减Fs=1000; %采样频率Nn=128; %调用freqz所用的频率点数[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); %模拟滤波器的最小阶数[z,p,k]=buttap(N); %设计模拟低通原型Butterworth滤波器[Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k); %将零点极点增益形式转换为传递函数形式[b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wc) %进行频率转换[bz,az]=impinvar(b,a,Fs); %运用脉冲响应不变法得到数字滤波器的传递函数figure(1)[H,W]=freqz(bz,az,Nn,Fs); %绘制数字滤波器的幅值特性和相频特性subplot(2,1,1)plot(W,20*log10(abs(H)));xlabel('频率');ylabel('幅度');grid on;subplot(2,1,2);plot(W,180\pi*unwrap(angle(H)));xlabel('频率');ylabel('幅度');grid on;figure(2)f1=50; f2=200; %输入信号的频率N=100; %数据长度dt=1\Fs; n=0:N-1; t=n*dt; %采样间隔和时间序列x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %滤波器输入信号subplot(2,1,1); %绘制输入信号plot(t,x);title('输入信号'); %用filter函数对输入信号滤波y1=filter(bz,az,x);subplot(2,1,2);Plot(t,y1); %绘出输出波形xlabel('时间')title('输出信号');2.实验结果分析实验得到的两幅图如上所示，在第一幅图中，小于100处衰减小于3Hz，而在大于120Hz处衰减大于15dB，满足滤波器设计指标。