2018-2019学年高二数学苏教版必修五课件：第1章 1.2 第2课时 余弦定理(2)
苏教版高中数学必修五课件本章回顾
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
本章回顾
本章研究了一元二次不 等式的解法,并借助二元一次不等
式组的几何意义求解简单的 线性 规 划问题,最后探索了
基本不等式的证明过程,例举了基本不等式的简 单应用.
不 等 关系
不 等 关 组
一元二次不等式 二元一次不等式组 基 本 不 等 式
几 何解
应
意 义法
Hale Waihona Puke 用几 何应意 义
用
证应 明用
不等式刻画现实世界中 不等关系的数学工具, 它是描述优化问题的一 种数学模型.
学习本章应注重数形结 合,学会通过函 数图象 理解一元 二 次不等式与一元二次方 程、二次 函数的联系,并能解 释二元一次不等式和基 本 不等式的几何意义.在此基础上, 体会不等式在 解决实际问题中的作用, 进一步提高解决实际 问题的能力.
2018-2019学年高中数学苏教版必修五课件：第1章1.3正弦定理、余弦定理的应用
11．设△ABC 的周长为 2p，内切圆半径为 r，则△ABC
的面积＝pr． 12．S＝12absin C＝_12_a_c_s_in__B___＝_12_b_c_s_i_n_A__．
知识点 1 解斜三角形应用题的步骤
(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用 题中的有关名称、术语，如保留、仰角、俯角、视角、 象限角、方位角、方向角等．
第1章 解三角形
1．3 正弦定理、余弦定理 的应用
[情景导入] 2006 年 10 月 12 日，中国宣布了自己的 探月计划：中国将在 2007 年把“嫦娥一号”绕月卫星送 入太空，2012 年实现发射软着陆器登陆月球．路透社报 道：中国将在 2024 年把人送上月球．登陆月球如此困难， 除了因存在很多科学难题外，还因为月球与地球相距很 远，有 38 万公里．很久以前，
3．(1)山下 B 点望山上 A 点仰角为 30°，则山上 A 点望山下 B 点俯角为 30°．
(2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的 水平角．若水平面上点 A 处测得点 B 的方位角是 120°，则 点 B 在点 A 东偏南 30°方向上．
4．(1)A 点望 B，C 的视角是指∠BAC 的大小． (2)在△ABC 中，A＝105°，B＝30°，则 C 点望 A、B 的视角为 45°． 5．(1)坡度是指斜坡所在平面与水平面的夹角． (2)沿坡度为 30°的斜坡直线向上行走 100 米，实际 升高了 50 米．
6．东北方向是指东偏北 45°的方向． 7．(1)三角形面积：△ABC 中用 a 和 BC 边上的高 h
表示，三角形面积的公式为_S_＝__12_a_h_． (2)△ABC 中，已知 AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC
苏教版数学高二-必修五课件 1.2 余弦定理(二)
解析答案
跟踪训练2 在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsin A ＝ 3 acos B. (1)求角B； 解 由 bsin A＝ 3acos B 及正弦定理， 得 sin B＝ 3cos B， 即 tan B＝ 3，因为 B 是三角形的内角，所以 B＝π3.
解析答案
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 由sin C＝2sin A及正弦定理得，c＝2a. 由余弦定理及 b＝3，得 9＝a2＋c2－2accosπ3， 即 9＝a2＋4a2－2a2，所以 a＝ 3，c＝2 3.
解析答案
题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式 a2－b2 sinA－B
例 3 在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，求证： c2 ＝ sin C .
证明 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
123456
4.已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的范围是 (2 2， 10) . 解析 只需让3和a所对的边均为锐角即可.
12＋2·312·－3 a2>0， 故12＋2·a12·－a 32>0，
1＋3>a， 1＋a>3，
解得 2 2<a< 10.
解析答案
5.在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，C＝23π，则 a＝ 1 . 解析 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2＋1＋a＝3， 即a2＋a－2＝0， 解得a＝1或a＝－2(舍).
＝ sin C ，故等式成立. Nhomakorabea反思与感悟
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2课件：第1章 1.5 1.5.3 微积分基本定理
5．设
f(x)＝lxg＋x∫，a0
x＞0， 3t2dt，x≤0，
若 f(f(1))＝1，则 a＝
________.
解析：显然 f(1)＝lg 1＝0， 故 f(0)＝0＋∫a0 3t2dt＝t3|a0＝1， 得 a＝1.
答案：1
求图形的面积
[例 3] 求由曲线 y＝x2－2x＋3 与直线 y＝x＋3 所围 成的图形的面积．
∴01f(x)dx＝－13.
答案：＝－13
π
2．0(cos x＋1)dx＝________.
解析：∵(sin x＋x)′＝cos x＋1， ∴π0(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)|π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π
3．求下列定积分：
(1)∫π20sin2x2dx；(2)23(2－x2)(3－x)dx. 解：(1)sin2x2＝12－co2s x，
[精解详析] (1)取 F(x)＝x33＋x2＋3x，
则 F′(x)＝x2＋2x＋3，
从而12(x2＋2x＋3)dx＝12F′(x)dx＝F(2)－F(1)＝235.
(2)取 F(x)＝－cos x－sin x，
则 F′(x)＝sin x－cos x，
π
π
从而0(sin x－cos x)dx＝0F′(x)dx＝F(π)－F(0)＝2.
a
解析：由已知得 S＝0
xdx＝23x32|a0＝23a32＝a2，所以 a12
＝23，所以 a＝49.
答案：49
1．求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分． (2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分 再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符 号后才能积分． 2．利用定积分求曲边梯形的面积 (1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出 它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的 上、下限．
苏教版高中数学必修五等差数列张PPT课件
(2)由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
练习二 （1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？ 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得： （2）由题意得：
a1=3,d=7-3=11-7=4,
a1=2,d=9-2=16-9=7 ∴这个数列的通项公式是：
∴这个数列的通项公式是： an=2+ (n-1) × 7
an=a1+(n-1)d=4n-1
=7n-5(n≥1)
∴a4=4×4-1=15,
令100=7n-5,得 n=15
d=am-an /(m-n)
可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个 数列的递推公式。
四 个 实 例 我们经常从这样第数二数项，起从，0开后始一，项每与隔前5数一一项次的，可差以是得5到。数列：
0，5， ， ， ，…
①
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥从运第会二上项，起女子，举后重一被项正与式列 为比赛项目。该项目共设置了7个级别前，一其项中的较差轻的是45个。级别体重
aa =、a +a(n、-1n)d、d知 •所 aaaaaa…a234n234----===以aaaaa设123naaa===-21有=ddd-一123,,,ad+++：1个ddd==,d等=（,a差(3aa-数1a1++2列2=ddd){）,a+an4}d+-(+∴即的aad…2a-=31=an+首=-1na()aaa+1d=项n通以的1(-1,(a+a+n3n…-是--3过用系a11)122)d=)da+(d观数an(1a-1,n14-与)察有公ad3) 差d：什是表么a2d示，特,则出点a有来3？：，；a4a都1与可d an=a1+(n-1)d 三求一 当n=1时，上式也成立。
苏教版数学高二- 必修5素材 1.2教材解读
1.2教材解读一、正弦定理1． 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==． 注：①正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．② 正弦定理sin sin sin a b c A B C ==可看作是三个方程sin sin a b A B =，sin sin b c B C=，sin sin a c A C=的合并，每个方程都含有四个量，知其中三个可求第四个量．三个等式的比值是一个定值，这个定值就是ABC △外接圆的直径2R ，即有2sin sin sin a b c R A B C ===． 2．正弦定理的变形变形（1）：2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，；变形（2）：sin sin sin 222a b c A B C R R R ===，，； 变形（3）：sin sin sin sin b A c A a B C ==，sin sin sin sin c B a B b C A ==，sin sin sin sin a C b C c A B==； 变形（4）：sin sin sin a b c A B C =∶∶∶∶；变形（5）：2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C++==+=++． 注：利用这些变形公式便能实现同一个三角形中边与角的互化，从而有利于问题的转达化与解决．3．正弦定理的应用（1）已知两角和任一边，求其他两边和另一角；（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边及其他两角．二、余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即2222cos a b c bc A =+- ①2222cos b c a ca B =+- ②2222cos c a b ab C =+- ③注：①余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系；②余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知其中的任意三个量可求出第四个量，于是可将余弦定理的表达式如2222cos 0a ac B c b -+-=看作是以a 为未知数的一元二次方程．这样就可以使用一元二次方程的有关知识，使得余弦定理的应用就更为广泛、灵活．2．余弦定理的变形（1）定理的特例：是指当某一内角取特殊值时的特殊形式．主要有：①22290c a b C =+⇔=（勾股定理及其逆定理）；注：勾股定理可以看作是余弦定理的特例，余弦定理可以看作是勾股定理的推广． ②22260c a b ab C =+-⇔=；③222c 120a b ab C =++⇔=；④22230c a b C =+⇔=；⑤222150c a b C =++⇔=；⑥22245c a b C =+⇔=；⑦222135c a b C =++⇔=．（2）定理的推论：222222222cos cos cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-===，，． 注：①应用以上推论，可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角；②余弦定理及其推论把“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式；③以222cos 2a b c C ab+-=为例，则222a b c C +>⇔为锐角，222a b c C +=⇔为直角，222a b c C +<⇔为钝角；④将正弦定理变形2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =代入2222cos c a b ab C =+-得222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-．此公式称为余弦定理的三角式，该公式结构规范，特征明显，易于记忆．运用它可以快捷地解决一类三角函数式的求值问题；⑤将2222cos a b c bc A =+-与2222cos b c a ca B =+-相加，得222cos 2cos 0c bc A ca B --=，即cos cos c a B b A =+．这就是三角形中有名的射影定理．3．余弦定理的应用：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边及其夹角，求第三边和其他两角．三、解三角形1．解三角形：一般地，把三角形的三个内角A B C ，，和它们的对边a b c ，，叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．注：我们把正弦定理和余弦定理结合起来，就能很好地解决解三角形的一类问题．2．解三角形的几种基本类型（1）已知一边和两角（设为A B b ，，），求另一角及两边，求解步骤；①180()C A B =-+； ②由正弦定理得：sin sin b A a B =；③由正弦定理得：sin sin b C c B=． （2）已知两边及其夹角（设为a b C ，，），解三角形的步骤：①由余弦定理得：222cos c a b ab C =+-；②由正弦定理求a b ，中较小边所对的锐角；③利用内角和定理求第三个角．（3）已知两边及一边的对角（设为a b A ，，），解三角形的步骤：①先判定解的情况；②由正弦定理sin sin b A B a=，求B ；③由内角和定理180()C A B =-+，求C ； ④由正弦定理或余弦定理求边c ．注：已知a b ，和A ，用正弦定理求B 时解的各种情况：（4）已知三边a b c，，解三角形的步骤：①由余弦定理求最大边所对的角；②由正弦定理求其余两个锐角．3．特别提示在解斜三角形问题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用正弦定理或余弦定理，公式选择得当、方法运用对路是简化问题的必要手段．同时还要注意与三角形的其他知识的综合运用．如：用三角形内角和定理；大边对大角；等边对等角；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的面积公式等．。
苏教版高中数学必修5全册完整课件
思考题：
(06江西)在△ABC中设
a
b命题p: c
s命i题nqB: △ABsCi是n等C边三s角i形n，A那么
命题p是命题q的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既充分也不必要条件
结论
12
“正边弦角定互理化和” 是余解弦决定三理角的 问题应常用用的
一个策略
3
正余定理掌握住 三角地带任漫步 边角转化是关键 正余合璧很精彩
B
π 2
即为△ABC等腰三角形或直角三角形
b2sinAc分o析：sB a2cosAsinB
b a a b 思路二：2 a2 c2 b2 2ac
2 b2 c2 a2 2bc
sbi2(n2aB2 sci2nAbc2 )osaB2(sb2in2cA2coas2 )AsinB
bs2ci2 nbA4 sai2cn2 Ba04
(1)当B 64时，C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76,
c a sin C 20sin 76 30(cm). sin A sin 40
(2)当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24,
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
3
3 2
练习：
1. (05天津)已知ΔABC中， b2 c2 - bc a2 ,
c 1 3,求A和 tanB的值 . b2
A
3
tan
B
1 2
例题分析：
例3.在△ABC中，
22
22
(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B)
苏教版数学高二苏教版必修5课件第2章数列
例2 已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1 (n≥2且 n∈N*). (1)求a2，a3的值； 解 ∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13， a3＝2a2＋23－1＝33.
理网络·明结构
(2)是否存在实数 λ，使得数列an2＋n λ为等差数列？若存在，
求出 λ 的值；若不存在，请说明理由.
a1＝1， a1＝8，
解得
或
d＝3
d＝－4.
因此 Sn＝21n(3n－1)或 Sn＝2n(5－n).
理网络·明结构
题型二 转化与化归思想求数列通项 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求 法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证 明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采 用公式求出.
公差是 1 的等差数列.
理网络·明结构
(3)求通项公式an. 解 由(2)知，数列an2－n 1为首项是 2，公差为 1 的等差数列. ∴an2－n 1＝2＋(n－1)×1＝n＋1， ∴an＝(n＋1)2n＋1.
理网络·明结构
跟踪训练2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3 ＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*). (1)求a2，a3的值； 解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)， ∴当n＝1时，a1＝2×1＝2； 当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4； 当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.
a1q＋a1q3＝20， ∴a2＋a4＝20.∴a3＝a1q2＝8，
理网络·明结构
q＝2， 解之，得
或q＝12，
a1＝2
a1＝32.
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由余弦定理，得 BC2 ＝ 202 ＋ 122 － 2×20×12· cos 120° ＝784，∴BC＝28(n mile)． 即一小时后，两船相距 28 n mile.
[答案]
13 2
[合 作 探 究· 攻 重 难]
利用正、余弦定理解决实际问题
某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45° 相距 9 海里的 C 处有一艘走私 船，正沿南偏东 75° 的方向以 10 n mile/h 的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 n mile/h 的速度沿着直线方向追去， 问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多
[规律方法] 准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要 求解的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形 的有关知识，建立数学模型，然后正确求解.
[跟踪训练] 1．两船同时从 A 港出发，甲船以 20 n mile/h 的速度向北偏东 80° 的方向 航行，乙船以 12 n mile/h 的速度向北偏西 40° 方向航行，求一小时后，两船相 距多少 n mile.
在△ABC 中，由正弦定理，得 BCsin 120° 15 3 5 3 sin∠BAC＝ ＝ × ＝ . AB 21 2 14 ∴∠BAC＝38° 13′，或∠BAC＝141° 47′(钝角不合题意，舍去)， ∴38° 13′＋45° ＝83° 13′.
答 巡逻艇应该沿北偏东 83° 13′方向去追，经过 1.5 h 才追赶上该走私 船．
2．平行四边形性质定理 平行四边形两条对角线平方的和等于 四边平方的和
1 2 2 2 2 AB ＋ AC － BC 特别地， 若 AM 是△ABC 中 BC 边上的中线， 则 AM＝2 .
．
思考：三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形， 其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的 形状时是不是要一个一个去判定？ [提示] 不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直 角，锐角；如果方便求边，假设最大边为 c，可用 a2＋b2－c2 来判断 cos C 的 正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．
第1章
解三角形
1.2 余弦定理
第2课时 余弦定理(2)
学习目标： 1.理解余弦定理， 能用余弦定理确定三角形的形状.2.熟练边角 互化．(重点)
[自 主 预 习· 探 新 知]
1．射影定理 在△ABC 中， ①bcos C＋ccos B＝ a ； ②ccos A＋acos C＝ b ； ③acos B＋bcos A＝ c .
法二：由 2cos Asin B＝sin C 可知 b2＋c2－a2 2b× ＝c， 2bc 即 b2＝a2，∴a＝b， π ∴A＝B＝C＝ ， 3 ∴△ABC 为等边三角形．
[规律方法] 利用正、余弦定理判定三角形形状的0° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．
[解] ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab， ∴2abcos C＝ab， 1 ∴cos C＝ ， 2 π ∴C＝ . 3
法一：又 2cos Asin B＝sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， ∴sin(A－B)＝0， ∴A＝B， π ∴A＝B＝C＝ ， 3 ∴△ABC 为等边三角形．
利用正、余弦定理度量平面图形
[探究问题] 1．在△ABC 中，若 AD⊥BC，则 ABcos B＋ACcos C 的值为多少？
[提示] 如图，易知 ABcos B＝BD，ACcos C＝CD，又 BD＋CD＝BC， 故 ABcos B＋ACcos C＝BC.
2．在△ABC 中，若 AD 是∠BAC 的平分线，则 BD 与 DC 有什么关系？ [提示] BD∶DC＝AB∶AC.
少时间才追赶上该走私船？ 已知sin
5 3 38° 13′＝ 14
[思路探究] 先画出示意图，再借助正、余弦定理求解．
化简得 32x2－30x－27＝0， 3 9 即 x＝ 或 x＝－ (舍去)， 2 16 ∴巡逻艇需要 1.5 h 才追赶上该走私船． ∴BC＝10x＝15，AB＝14x＝21.
利用正、余弦定理判断三角形的形状
在△ABC 中， 已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 且 2cos Asin B＝sin C，试确定△ABC 的形状.
[思路探究]
余弦定理 (a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab―――――→求 C； 法二：正、余弦定理
法一：恒等变换 2cos Asin B＝sin C ―――――――――→ 求 A 与 B 的关系．
[解] 法一：根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B. ∵B＝60° ，2b＝a＋c，
a＋c2 2 2 ∴ ＝ a ＋ c －2accos 2
60° ，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c. 又∵2b＝a＋c，∴2b＝2a，即 b＝a. ∴△ABC 是正三角形．
法二：根据正弦定理， 2b＝a＋c 可转化为 2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60° ，∴A＋C＝120° ，∴C＝120° －A， ∴2sin 60° ＝sin A＋sin(120° －A)， 整理得 sin(A＋30° )＝1，∴A＝60° ， C＝60° ，∴△ABC 是正三角形.
[基础自测] 1．在△ABC 中，若 BC＝3，则 ccos B＋bcos C＝________.
[解析] ccos B＋bcos C＝BC＝3. [答案] 3
2． 若△ABC 中， AB＝1， AC＝3， A＝60° ， 则 BC 边上的中线 AD＝________.
[解析] 在△ABC 中，由余弦定理可知 BC＝ 7. 1 ∴AD＝ 2AB2＋AC2－BC2 2 1 ＝ 21＋9－7 2 13 ＝ . 2