附录A_极惯性矩与惯性矩
附录 截面几何性质(1)
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
惯性矩和极惯性矩
惯性矩和极惯性矩
1、惯性矩和极惯性矩用于2种不同的受力形式。
惯性矩是截面对于某个中性轴的惯性矩，截面极惯性矩是截面对点的惯性矩。
⒉惯性矩用于弯曲应力，因为材料主要发生弯曲变形，也就是材料对于轴的惯性矩，而极惯性矩用于扭转应力，因为材料主要发生扭转变形，也就是材料对于点的惯性矩。
3、某些对称的截面还有这样的特性，即极惯性矩=2倍的惯性矩，比如圆形和长方形等。
扩展资料：
惯性矩是一个几何量，通常被用作描述截面抵抗弯曲的性质。
惯性矩的国际单位为（m）。
即面积二次矩，也称面积惯性矩，而这个概念与质量惯性矩（即转动惯量）是不同概念。
惯性矩基础知识
ah a
dz
by ybdy 2
b
2 ah
a
h bh(a ) AyC 2
2 b
z
S y zdA zhdz A
0
S zc ydA
A
h 2
hz 2
0 h
b bh AzC 2
2 h 2
ybdy
h 2
by 2 2
0
4
二、简单图形的形心
1、形心坐标公式：
S z A ydA yc A A S y AzdA zc A A
E
C D
z1
z
O
z
B
I z1 I y1 I z I y
上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直 的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原 点的极惯性矩
22
I z1 I y1
Iz Iy 2 Iz Iy 2 2
Iz Iy 2 Iz Iy 2
cos 2 I zy sin 2 cos 2 I zy sin 2
i ci
Az
120
z
yc
A y
i
ci
A
A1 y c1 A2 y c 2 A1 A2
60 1100 34.7(mm) 10 110 80 10 8
y
10 10
解法三：负面积法
A1 9600mm 2 , z c1 40mm, y c1 60mm A2 70 110mm 2 , z c 2 45mm, y c 2 65mm
2
y
z
yc zc
b
c
a
y
dA yc
zc
I zy I zcyc abA
——平行移轴公式
惯性矩基础知识
§A-1 静矩和形心 §A-2 惯性矩和惯性积 §A-3 平移轴公式 §A-4 转轴公式 §A-5 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩
1
§A-1 静矩和形心
一、简单图形的静矩（面积矩）
1、定义：
dA对z轴的微静矩:
y
dA对y轴的微静矩:
dSz ydA dS y zdA
128 7 11
yc
Ai yci A1 yc1 A2 yc2
A
A1 A2
60 96 65 (77) 39.7(mm) 96 77
z
9
§A-2 惯性矩和惯性积
一、简单图形的惯性矩
1、定义：
y
z
dA
dA对z轴的惯性距: dI z y2dA
y
dA对y轴的惯性距: dI y z2dA o
A
ybdy
h
by2 2 0 2 h
2
2
z
dz
z
4
二、简单图形的形心
1、形心坐标公式： 2、形心确定的规律：
yc
Sz A
ydA
A
A
zc
Sy A
zdA
A
A
（1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。
（2）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。
5
三、组合图形（由若干个基本图形组合而成的图形）的静矩：
z
dA
y
o
S z
ydA
A
z
S y
zdA
A
2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。
3、静矩的值可以是正值、负值、或零。
2
y
z
附录(惯性矩、静矩)
O
记住图形对形心轴的惯性矩， 记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 为形心坐标，注意其正负号。 惯性积公式中 a, b 为形心坐标，注意其正负号。
附录 平面图形的几何性质
几何性质——只与横截面的几何形状和尺 只与横截面的几何形状和尺 几何性质 寸 有关的某些几何量， 有关的某些几何量，对杆件的应力和变形 起 着重要作用，如横截面面积A， 着重要作用，如横截面面积 ，圆轴横截面 F Fl N 拉压杆 对圆心的极惯性矩I σ= 对圆心的极惯性矩 P等。∆l = N A EA 圆轴扭转
材料力学
中南大学土木建筑学院
8
组合图形的静矩和形心有如下公式
S y = ∑ Ai zCi ； S z = ∑ Ai yCi
i =1 i =1
n
n
yC =
∑Ay
i =1 i
n
Ci
A
； zC =
∑Az
i =1
n
i Ci
A
材料力学
中南大学土木建筑学院
9
组合图形的静矩和形心
z Ⅰ
C1(yC1, zC1) C (yC ,zC)
I y + Iz I y − Iz 主惯性轴 Iy = + cos 2α − I yz sin 2α 的意义 1 2 2
对α求导
d Iy1 dα
即
材料力学
=−2
Iy − Iz 2
sin2 −2Iyz cos2 =−2Iy1z1 = 0 α α
主惯性轴就是使得图形的 惯性矩取极值时的坐标轴
材料力学 (33)
b
2 b
2
z 2 hdz
b3h 12
y轴和y轴为图形对称轴，故 I yz 0
y
dA
dρ
ρ C
d
例3：已知圆截面直径为d，求 Iy， Iz， Ip 。 解：选取圆环微元
dA 2d
z
Ip
2dA
A
d 2
2
2
d
d4
0
32
Iy
Iz
1 2
Ip
d4
64
y轴或z轴有一个为图形对称轴时，图形对这 O 一对坐标轴的惯性积为零。
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z
P (z,y) y z
极惯性矩—平面图形对坐标原点的二次极矩 y
Ip
2dA
A
平面图形对不同的坐标系，极惯性矩也不同， 其值一定大于零。 极惯性矩的量纲为长度的四次方。
iz
Iz A
iy
Iy A
惯性半径的量纲为长度的一次方。
y
dA
dy
dA y
hz
C z dz
b
例2：已知矩形截面尺寸为b× h，求：Iy， Iz， Iyz 。
解：取平行于z轴的微元
dA bdy
Iz
y2dA
A
h
2 h
2
y 2bdy
bh3 12
取平行于y轴的微元
dA hdz
Iy
z2dA
材料力学
惯性矩、惯性积和极惯性矩
惯性矩—平面图形对于坐标轴的二次矩
y
Iz
y 2dA
A
I y
z 2dA
A
平面图形对不同的坐标轴，惯性矩也不同，
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
惯性矩和平行移轴公式
二、应用
解： 例 求 I 和xC I yC
200 yC
IxC IxC IxC6.01107mm 4
30 I
C
而
I xC
Ix C1
a 12A1
200 157.5 30
200 303 5.5 7220 30m 0 4m
I
12
2.03 170mm 4
xC1
a 1 57.5 xC
a 2 57.5 xC2
200 157.5 30 I
xC1
a 1 57.5 xC
a 2 57.5 xC2
结语
谢谢大家！
A O
y xC a
AyC 2d A 2 aA
yC
dA
a2 d A A
x
I xC
0
a2 A
即：
IxIxC a2A
§A.3 平行轴定理
一、定理推导
Ix IxC a2A
同理
Iy IyC b2A IxyIxCyC abA
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
显然：
Ix IxC
Iy IyC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。
由对称性
y
O
x
1 D4
Ix Iy 2 I p 64
d
D
3.环形截面
Ix
Iy
1 2Ip
(
D4 6
4
d
4
)
D4
64
(14
)
特别指出： 惯 性 矩——对某一轴而言 极 惯 性 矩——对某一点而言
三、惯性半径
在力学计算中，有时把惯性矩写成
即：
Ix
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= 附录 A 极惯性矩与惯性矩
题号
页码
A-1 (1)
A-3 ........................................................................................................................................................2 A-4 ........................................................................................................................................................3 A-6 ........................................................................................................................................................4 A-7 ........................................................................................................................................................4 A-8 .. (5)
(也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解)
A-1 试确定图示截面形心 C 的坐标 y C。
题 A-1 图
(a)解：坐标及微面积示如图 A − 1 (a)。
由此得
d A =ρ d ϕd ρ
R α
∫ y d A ∫ ∫ ρ cos ϕ ⋅ρ d ϕd ρ 2R sin α y C
= A
A
−α
R α ∫ ∫ =
ρ d ϕd ρ
3α
−α
(b)解：坐标及微面积示如图 A − 1 (b)。
0= A
d A = h ( y )d y = ay n d y
由此得
y C =
∫A =ydA =∫b
y ⋅ ay n
d y n
= (n + 1)b 0 ay d y n + 2
A-3 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩。
题 A-3 图
(a)解：取微面积如图 A − 3 (a)所示。
d A = 2 z d y
由于
∫ ∫ ∫ 3
2 2 4 z = a cos α
y = b sin α，d y = b cos αd α
故有
I z =
y 2d A = A
π 2 (b sin α)2 ⋅ 2a cos α ⋅ b cos αd α
- π 2
= ab π
πab 3
2
(1 − cos4α)d α = - π 4 2 4
(b)解：取微面积如图 A − 3 (b)所示。
且ϕ 在 α 与 − α 之间变化，而
d A = 2z d y = d cos 2
ϕd ϕ
2
由此可得
sin α =
d − 2δ d
I = ∫
α
d y 2
d A = ∫ (
sin ϕ ) 2 ⋅ d
cos 2ϕd ϕ z A -α 2 2
4 4
d α 1 d
= ∫ sin 2 2ϕd ϕ = α ∫ (1 − cos4ϕ
)d ϕ 8 -α 4 = d (α − sin 4α ) 32 4
64 -α
A-4 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩。
4
解：由截面的对称性可得
题 A-4 图
I z =
bh 3 12 πd 4 − 64 = a − 12 πR 4
4
A-6 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩。
解：由截面关于 z 轴的对称性可得 4
题 A-6 图
4
I = a z
12 − (a −δ ) 12
= 1 [a 4
− (a −δ )4 ] 12 A-7 图示曲边三角形 EFG ，z 轴为平行于 EF 边的形心轴，试计算该截面对 z 轴的
惯性矩。
题 A-7 图
1
解：视曲边三角形面积 A 为正方形面积 A 1 与 4
圆面积
A 2 之差（见图 A − 7 ），即
A = A 1 − A 2 =
4 − π R 2
4
由图可知， A 1 及 A 2 的形心位置（竖向）依次为
y C 1
由
= R ，y 2 C 2
= 4R
3π
可得 A 的形心位置为
A 1 y C 1 = Ay C + A 2 y C 2
y C =
A 1 y C 1 − A 2 y C 2 A
= 2
R 3(4 −π)
进而求曲边三角形截面对 z 轴的惯性矩。
先求 A 对 z 0 轴的 I z ， I = I (1) − I ( 2 )
= 1 R 4 − π R 4 = 16 − 3π R 4
最后求 I z ，
z 0 z 0
z 0 3 16 48
I = I
− Ay 2 = 16 − 3π R 4 − ( 4 − π R 2 )( 2
R )2 z z 0 C
48 4 12 − 3π
= 3(16 − 3π)(4 − π) − 16 R 4 ≈ 7.55 ×10− 3 R 4
144(4 − π)
A-8 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩。
3 题A-8 图
(a)解：1.确定形心位置（到顶边之距为y C ）
y = 0.350 × 0.100 × 0.050 + 2 × (0.400 × 0.050 × 0.300)
m = 0.1833m
C 0.350 × 0.100 + 2 × (0.400 ×0.050) 2．计算惯性矩
I = {0.350 × 0.100
z 12
+ 0.350 × 0.100 × (0.1833 −0.050) 2
3
+ 2 × [0.050 × 0.400
12
+ 0.050 × 0.400 × (0.300 −0.1833 )2 ]}m 4 = 1.729 ×10 −3 m 4 = 1.729 ×109 mm 4
(b)解：1.确定形心位置（到顶边之距为y C ）
y = 0.800 × 0.500 × 0.400 −0.550 × 0.400 × 0.425
m = 0.3694m
C 0.800 × 0.500 −0.550 × 0.400 2．计算惯性矩
3 3 2
C 4
2 4 2 I = [
0.500 × 0.800 z 12 + 0.500 × 0.800 × (0.400 − 0.3694) 2 − 0.400 × 0.550 12 − 0.400 × 0.550 × (0.425 − 0.3694) 2 ]m 4 = 1.548 ×10 −2 m 4 = 1.548 ×1010 mm 4
(c)解：根据附录 C 第 4 行的公式，可直接计算惯性矩，
I z =
h 3 (a 2 + 4ab + b 2 ) 36(a + b )
0.2503 × (0.100 2 + 4 × 0.100 × 0.300 + 0.300 2 ) = m 4 36 × (0.100 + 0.300)
= 2.39 ×10 −4 m 4 = 2.39 ×108 mm 4
(d)解：1.确定形心位置（到大圆水平直径之距为 y C ）
0 −
π × 0.300
× 0.100 y = 4 m = −0.0333m π
(0.600 2 − 0.300 2 ) 4
结果为负值，表示形心 C 在大圆水平直径上方。
2．计算惯性矩
I = [
π × 0.600 z 64 + π × 0.600 4 × 0.03332
− π × 0.300 64 − π × 0.300 4
× 0.13332 ]m 4 = 5.02 ×10−3 m 4 = 5.02 ×109 mm 4。